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Funções de Duas Variáveis Reais
e Curvas de Nível

Francislaine Cristina
Natália Rezende
Funções de Duas Variáveis Reais
DEFINIÇÃO: Uma função de duas variáveis reais a
valores reais é uma função ƒ: A→B, onde A ⊂ R². Uma
tal função associa a cada par (x,y) ∈ A, um único
número ƒ(x,y) ∈ R. O domínio é todo o plano xy ou
parte dele. Ou seja, uma função f de duas variáveis x e
y, é uma regra que associa um único número real f(x,y)
a cada ponto (x,y) de algum conjunto D no plano xy.

1
Exemplo
1) z = f(x,y) = x² + y²

Neste exemplo, a função é de duas variáveis, pois ela
associa cada par de números reais x e y ao número real z
definido como a soma dos quadrados de x e y. Em uma
notação mais compacta, pode-se dizer que ela associa o
par ordenado (x,y) ao número real z = x² + y². Portanto
como a expressão algébrica que define f por ser calculada
para qualquer escolha dos valores de x e y, temos que o
domínio de f é todo o plano cartesiano R² = R x R.

Domínio de f = R² = R x R

2
Gráfico
O gráfico de uma função ƒ(x,y) é
uma superfície que representa o
conjunto de pontos (x,y,z) ∈ R³ para
os quais (x,y) ∈ R² (domínio) e z =
ƒ(x,y). Ou seja, o gráfico de f é o
conjunto de pontos do R³ dado por
{(x,y,f(x,y)) : (x,y) ∈ D}, ele
representa uma superfície no
expaço. Se f for dada por uma
fórmula e seu domínio não for
especificado, estará implicito que
ele é o conjunto de todos os (x,y)
para os quais a regra está bem
definida, no sentido que ela nos dê
um número real.
3
Curvas de Nível
DEFINIÇÃO: Seja z = f(x,y) uma função de duas
variáveis e k um número real. O conjunto dos pontos
(x,y) no domínio de f para os quais f(x,y) = k é
chamado de uma curva de nível de f. Em que, ela
contém os pontos do domínio de f para os quais o
gráfico de f tem altura k. Ao esboçar a curva de nível
no plano xy, deve-se associar a ela o seu
correspondente valor de k.

4
Exemplos
Z = x² - y²
Um parabolóide hiperbólico (sela de cavalo)

Curva de Nível

Gráfico

5
Exemplos
Z = x² + y²
O parabolóide elíptico de revolução

Curva de Nível

Gráfico

6
EXERCÍCIOS
1- Determine o domínio da função f(x,y) = √(64-x²-y²).
Solução:
64-x²-y² ≥ 0
x²+y² ≤ 64
Df = {(x,y) ∈ R² : x²+y² ≤ 64}
Temos pois: x² + y² ≤ 8² (círculo)
Centro (0,0) e raio ≤ 8

7
Gráfico da Função

Gráfico do Domínio da
Função

8
2 - Esboce o gráfico de z = f(x,y) = ln(x² + y²) e dê seu
domínio.

9
Para todo F(x,y) temos um z correspondente, e a
cada z um c. As curvas de nível são círculos
centrados na origem de raios
. Se c →-∞ o raio
tende a zero, se c →+∞ o raio tende a infinito.
F(x,y) = ln(x² + y²), sabendo que a função
trigonométrica ln não existe no ponto (0,0) temos:

10
REFERÊNCIAS
GONÇALVES, Raimundo Merval Morais – NOTAS DE AULA DE FUNÇÕES
DE VÁRIAS VARIÁVEIS, 2011;
BORTOLOSSI, Humberto José – CÁLCULO DIFERENCIAL A VÁRIAS
VARIÁVEIS, Editora PUC Rio, 2º ed, 2003;
http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/ifvv01.pdf;
http://www.mat.ufmg.br/~lima/apostilas/eadfinal2.pdf;
http://sinop.unemat.br/site/prof/foto_p_downloads/fot_4519funues_de_vrias_va
riveis_pdf.pdf.
http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/f_aula_ifvv.pdf

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Funções de duas variáveis reais e curvas de nível

  • 1. Funções de Duas Variáveis Reais e Curvas de Nível Francislaine Cristina Natália Rezende
  • 2. Funções de Duas Variáveis Reais DEFINIÇÃO: Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função ƒ: A→B, onde A ⊂ R². Uma tal função associa a cada par (x,y) ∈ A, um único número ƒ(x,y) ∈ R. O domínio é todo o plano xy ou parte dele. Ou seja, uma função f de duas variáveis x e y, é uma regra que associa um único número real f(x,y) a cada ponto (x,y) de algum conjunto D no plano xy. 1
  • 3. Exemplo 1) z = f(x,y) = x² + y² Neste exemplo, a função é de duas variáveis, pois ela associa cada par de números reais x e y ao número real z definido como a soma dos quadrados de x e y. Em uma notação mais compacta, pode-se dizer que ela associa o par ordenado (x,y) ao número real z = x² + y². Portanto como a expressão algébrica que define f por ser calculada para qualquer escolha dos valores de x e y, temos que o domínio de f é todo o plano cartesiano R² = R x R. Domínio de f = R² = R x R 2
  • 4. Gráfico O gráfico de uma função ƒ(x,y) é uma superfície que representa o conjunto de pontos (x,y,z) ∈ R³ para os quais (x,y) ∈ R² (domínio) e z = ƒ(x,y). Ou seja, o gráfico de f é o conjunto de pontos do R³ dado por {(x,y,f(x,y)) : (x,y) ∈ D}, ele representa uma superfície no expaço. Se f for dada por uma fórmula e seu domínio não for especificado, estará implicito que ele é o conjunto de todos os (x,y) para os quais a regra está bem definida, no sentido que ela nos dê um número real. 3
  • 5. Curvas de Nível DEFINIÇÃO: Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e k um número real. O conjunto dos pontos (x,y) no domínio de f para os quais f(x,y) = k é chamado de uma curva de nível de f. Em que, ela contém os pontos do domínio de f para os quais o gráfico de f tem altura k. Ao esboçar a curva de nível no plano xy, deve-se associar a ela o seu correspondente valor de k. 4
  • 6. Exemplos Z = x² - y² Um parabolóide hiperbólico (sela de cavalo) Curva de Nível Gráfico 5
  • 7. Exemplos Z = x² + y² O parabolóide elíptico de revolução Curva de Nível Gráfico 6
  • 8. EXERCÍCIOS 1- Determine o domínio da função f(x,y) = √(64-x²-y²). Solução: 64-x²-y² ≥ 0 x²+y² ≤ 64 Df = {(x,y) ∈ R² : x²+y² ≤ 64} Temos pois: x² + y² ≤ 8² (círculo) Centro (0,0) e raio ≤ 8 7
  • 9. Gráfico da Função Gráfico do Domínio da Função 8
  • 10. 2 - Esboce o gráfico de z = f(x,y) = ln(x² + y²) e dê seu domínio. 9
  • 11. Para todo F(x,y) temos um z correspondente, e a cada z um c. As curvas de nível são círculos centrados na origem de raios . Se c →-∞ o raio tende a zero, se c →+∞ o raio tende a infinito. F(x,y) = ln(x² + y²), sabendo que a função trigonométrica ln não existe no ponto (0,0) temos: 10
  • 12. REFERÊNCIAS GONÇALVES, Raimundo Merval Morais – NOTAS DE AULA DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS, 2011; BORTOLOSSI, Humberto José – CÁLCULO DIFERENCIAL A VÁRIAS VARIÁVEIS, Editora PUC Rio, 2º ed, 2003; http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/ifvv01.pdf; http://www.mat.ufmg.br/~lima/apostilas/eadfinal2.pdf; http://sinop.unemat.br/site/prof/foto_p_downloads/fot_4519funues_de_vrias_va riveis_pdf.pdf. http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/f_aula_ifvv.pdf 11