1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para a integral ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de antiderivada e integral indefinida. Na primeira parte, define antiderivada como a operação inversa da derivada e apresenta exemplos de como encontrá-la. A segunda parte introduz a notação da integral indefinida e apresenta algumas propriedades e fórmulas para antidiferenciar funções. Por fim, exemplifica o cálculo de antiderivadas através de alguns exercícios.
1) O documento discute derivadas de funções implícitas, taxas de variação média e instantânea, e aplicações desses conceitos em física e economia.
2) A derivada de uma função implícita é calculada isolando dy/dx na equação e resolvendo-a. Isso geralmente resulta em uma nova função implícita para dy/dx.
3) Taxas de variação média e instantânea medem como uma grandeza varia em relação a outra no intervalo ou instante, respectivamente. Isso inclui velocidade,
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
A aula apresenta a regra da cadeia para derivar funções compostas de uma ou mais variáveis. A regra é generalizada para funções de várias variáveis intermediárias e variáveis independentes. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para a integral ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de antiderivada e integral indefinida. Na primeira parte, define antiderivada como a operação inversa da derivada e apresenta exemplos de como encontrá-la. A segunda parte introduz a notação da integral indefinida e apresenta algumas propriedades e fórmulas para antidiferenciar funções. Por fim, exemplifica o cálculo de antiderivadas através de alguns exercícios.
1) O documento discute derivadas de funções implícitas, taxas de variação média e instantânea, e aplicações desses conceitos em física e economia.
2) A derivada de uma função implícita é calculada isolando dy/dx na equação e resolvendo-a. Isso geralmente resulta em uma nova função implícita para dy/dx.
3) Taxas de variação média e instantânea medem como uma grandeza varia em relação a outra no intervalo ou instante, respectivamente. Isso inclui velocidade,
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
A aula apresenta a regra da cadeia para derivar funções compostas de uma ou mais variáveis. A regra é generalizada para funções de várias variáveis intermediárias e variáveis independentes. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
O documento discute métodos para estimar densidades de probabilidade a partir de dados, incluindo métodos paramétricos bayesianos, métodos de núcleo e misturas de distribuições. O algoritmo EM é descrito como uma abordagem para inferir parâmetros de misturas de distribuições maximizando a verossimilhança dos dados.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
Medida de risco por Teoria de Valores ExtremosRenato Vicente
O documento resume os principais conceitos da Teoria de Valores Extremos (EVT) para medir riscos, incluindo: 1) a distribuição generalizada de valores extremos para máximos em blocos e a distribuição generalizada de Pareto para violações de limiares; 2) estimação de parâmetros dessas distribuições; 3) determinação de intervalos de confiança para medidas de risco via inversão de testes de verossimilhança ou bootstrap.
[1] O documento apresenta métodos para calcular o valor em risco (VaR) de portfólios não-lineares, incluindo aproximações delta e delta-quadrática para portfólios dependentes de um ou mais fatores de risco.
[2] No caso de um único fator de risco, o retorno do portfólio segue uma distribuição qui-quadrado misturada normal. Para múltiplos fatores, a variância do retorno é decomposta em uma combinação de variáveis qui-quadrado.
[3] É apresentado um exemplo
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, resolvendo equações de conservação da quantidade de movimento e energia.
(2) É analisada uma onda senoidal, calculando seu comprimento de onda, valores em pontos específicos e distância percorrida após um tempo.
(3) São calculadas a força entre duas cargas pontuais e a carga de um sistema em equilíbrio, por meio da lei de Coulomb e momento resultante.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
O documento discute técnicas bayesianas, incluindo o teorema de Bayes, modelos hierárquicos, inferência de parâmetros e hiperparâmetros, e seleção de modelos. É apresentado o uso do teorema de Bayes para classificação de dados através de um perceptron contínuo. Métodos bayesianos são comparados a métodos frequentistas e discutidas aproximações para inferência bayesiana.
[1] Curso de Especialização em Telecomunicações que aborda noções de função, derivada, suas definições e regras de derivação; [2] A derivada representa a taxa instantânea de variação de uma função e é usada para calcular a velocidade de um móvel a partir de sua posição em função do tempo; [3] O documento explica como calcular a derivada da posição x(t) = 3 + 0,5t - 3t2 no instante t = 10,0s para obter a velocidade do móvel nesse ponto.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
O documento apresenta as noções de derivada como inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função e novas regras de derivação, como a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. É introduzido o conceito geométrico de derivada ligado à aproximação linear local de uma função por sua tangente e são mostradas equações de retas tangentes e normais a curvas.
Este documento presenta las derivadas de las funciones trigonométricas. (1) Introduce las derivadas de seno y coseno, mostrando que (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = -sen x. (2) Luego presenta las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante usando las reglas de derivación de funciones compuestas y cuocientes. (3) Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente y deriva sus expresiones.
This document discusses topics related to rural marketing in India. It defines rural marketing and provides an overview of concepts like the classification of rural markets, the distinction between rural and urban markets, and the nature and scope of rural markets. It also discusses emerging areas in rural marketing and government schemes to improve rural infrastructure like road connectivity, electrification, and public distribution systems.
Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
O documento discute métodos para estimar densidades de probabilidade a partir de dados, incluindo métodos paramétricos bayesianos, métodos de núcleo e misturas de distribuições. O algoritmo EM é descrito como uma abordagem para inferir parâmetros de misturas de distribuições maximizando a verossimilhança dos dados.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
Medida de risco por Teoria de Valores ExtremosRenato Vicente
O documento resume os principais conceitos da Teoria de Valores Extremos (EVT) para medir riscos, incluindo: 1) a distribuição generalizada de valores extremos para máximos em blocos e a distribuição generalizada de Pareto para violações de limiares; 2) estimação de parâmetros dessas distribuições; 3) determinação de intervalos de confiança para medidas de risco via inversão de testes de verossimilhança ou bootstrap.
[1] O documento apresenta métodos para calcular o valor em risco (VaR) de portfólios não-lineares, incluindo aproximações delta e delta-quadrática para portfólios dependentes de um ou mais fatores de risco.
[2] No caso de um único fator de risco, o retorno do portfólio segue uma distribuição qui-quadrado misturada normal. Para múltiplos fatores, a variância do retorno é decomposta em uma combinação de variáveis qui-quadrado.
[3] É apresentado um exemplo
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, resolvendo equações de conservação da quantidade de movimento e energia.
(2) É analisada uma onda senoidal, calculando seu comprimento de onda, valores em pontos específicos e distância percorrida após um tempo.
(3) São calculadas a força entre duas cargas pontuais e a carga de um sistema em equilíbrio, por meio da lei de Coulomb e momento resultante.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
O documento discute técnicas bayesianas, incluindo o teorema de Bayes, modelos hierárquicos, inferência de parâmetros e hiperparâmetros, e seleção de modelos. É apresentado o uso do teorema de Bayes para classificação de dados através de um perceptron contínuo. Métodos bayesianos são comparados a métodos frequentistas e discutidas aproximações para inferência bayesiana.
[1] Curso de Especialização em Telecomunicações que aborda noções de função, derivada, suas definições e regras de derivação; [2] A derivada representa a taxa instantânea de variação de uma função e é usada para calcular a velocidade de um móvel a partir de sua posição em função do tempo; [3] O documento explica como calcular a derivada da posição x(t) = 3 + 0,5t - 3t2 no instante t = 10,0s para obter a velocidade do móvel nesse ponto.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
O documento apresenta as noções de derivada como inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função e novas regras de derivação, como a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. É introduzido o conceito geométrico de derivada ligado à aproximação linear local de uma função por sua tangente e são mostradas equações de retas tangentes e normais a curvas.
Este documento presenta las derivadas de las funciones trigonométricas. (1) Introduce las derivadas de seno y coseno, mostrando que (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = -sen x. (2) Luego presenta las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante usando las reglas de derivación de funciones compuestas y cuocientes. (3) Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente y deriva sus expresiones.
This document discusses topics related to rural marketing in India. It defines rural marketing and provides an overview of concepts like the classification of rural markets, the distinction between rural and urban markets, and the nature and scope of rural markets. It also discusses emerging areas in rural marketing and government schemes to improve rural infrastructure like road connectivity, electrification, and public distribution systems.
Psychology is the scientific study of behavior and mental processes. It originated from disciplines like philosophy and biology. The field has developed over time with perspectives including neuroscience, evolutionary psychology, and cognitive psychology. It is studied through various subfields like clinical, developmental, social, and cognitive psychology.
Lecture 12 from a college level neuropharmacology course taught in the spring 2012 semester by Brian J. Piper, Ph.D. (psy391@gmail.com) at Willamette University. Focus is on pharmacokinetics, pharmacodynamics, epidemiology, and health risks
Lecture 19 from a college level neuropharmacology course taught in the spring 2012 semester by Brian J. Piper, Ph.D. (psy391@gmail.com) at Willamette University. Pharmacokinetics, pharmacodynamics, and epidemiology of MDMA (ecstasy).
Acetylcholine is a neurotransmitter synthesized from choline and acetyl-CoA by the enzyme choline acetyltransferase, broken down by acetylcholinesterase, and acts on nicotinic and muscarinic receptors in the central and peripheral nervous systems. Dysfunction of the cholinergic system is implicated in diseases like Alzheimer's and Myasthenia Gravis.
Pharmacotherapies for parkinsons diseaseBrian Piper
This seminar was delivered to 2nd year pharmacy students as part of 2 lectures for a pharmacology & toxicology class. This material accompanies Goodman & Gilman's (12e) chapter 22.
lecture 10 from a college level introduction to psychology course taught Fall 2011 by Brian J. Piper, Ph.D. (psy391@gmail.com) at Willamette University,
An overview of muscarinic receptor agonists and antagonists. This presentation was delivered to 2nd year pharmacy students enrolled in a pharmacology & toxicology class and accompanies Goodman & Gilman's (12e) chapter 9.
This is an overview of drugs used to control nausea and vomiting. This presentation was for 2nd year pharmacy students as part of a pharmacology & toxicology course and accompanies Goodman & Gilman's (12e) chapter 46.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para uma integral da forma ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
1. A expressão para du/dx se u depende de x, y(x) e z(x,y) é du/dx = fx + fy' + fz(fx + fy' ), onde y' é dy/dx e zx e zy são as derivadas parciais de z.
2. Se w depende de u e v, que dependem de x e y linearmente, então a derivada temporal de w é igual à combinação linear das derivadas espaciais.
3. A derivada de z = sen(x)cos(x) é dz/dx = (sen(x))(sen
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
1. O documento apresenta o teorema sobre as derivadas das funções exponenciais f(x) = ex e logarítmicas g(x) = loga x.
2. É mostrado que a derivada de ex é ex e a derivada de ax é ax ln a.
3. Também são apresentadas as derivadas de funções logarítmicas como ln x, loga x e ln |x|.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
A aula apresenta a derivação implícita para calcular a derivada de funções onde y é definida implicitamente por uma equação entre x e y. A derivação implícita é usada para derivar funções trigonométricas inversas e logarítmicas. A derivada do número e é definida como um limite. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas de funções complexas.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
1) O documento descreve o cálculo do volume de sólidos através da integral definida, representando o volume como a soma de elementos inifinitesimais.
2) É introduzida a noção de elemento inifinitesimal de volume dV e mostrado como a integral de dV entre limites fornece o volume total.
3) São apresentados exemplos de cálculo do volume de um tronco de pirâmide e de um sólido de revolução.
1) O documento descreve o cálculo do volume de sólidos através da integral definida, considerando seções transversais perpendiculares a um eixo.
2) O volume é dado pela soma dos volumes elementares de cada seção, sendo este dado pelo produto da área da seção pelo comprimento do elemento.
3) Como exemplo, calcula-se o volume de um tronco de pirâmide através desta abordagem.
O documento discute taxas relacionadas e diferenciais no cálculo. Aborda como derivar taxas de variação de variáveis relacionadas por equações e como usar aproximações diferenciais para estimar variações de funções. Fornece exemplos ilustrativos sobre taxas relacionadas em problemas físicos e uso de diferenciais.
1. O documento apresenta demonstrações de propriedades dos números reais relacionadas a igualdades e desigualdades envolvendo potenciações e radiciação.
2. São mostradas provas de que para todo número real x, x2 ≥ 0 e que x > 0 é equivalente a x-1 > 0.
3. Também é demonstrado que xy = 0 implica que x = 0 ou y = 0 e que x2 = y2 implica x = y ou x = -y.
1) O documento apresenta as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, mostrando que a derivada de ex é ex e a derivada de ax é ax ln a.
2) Também mostra que a derivada de ln x é 1/x e a derivada de loga x é 1/(x ln a).
3) Apresenta um exemplo de derivar uma função exponencial de base e expoente variáveis, mostrando que a derivada de xx é xx(1 + ln x).
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
Equações literais são equações que contêm duas ou mais variáveis. Resolvem-se isolando cada variável num dos membros da equação. Isola-se a variável que se pretende determinar, tratando as outras como números.
O documento define equações literais como equações que têm mais de uma variável e fornece exemplos. Explica como resolver equações literais isolando cada variável um de cada vez. Fornece exemplos resolvendo equações literais em ordem a diferentes variáveis.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
O documento descreve a restinga do Rio Grande do Norte, abordando sua localização, clima, solo, relevo, vegetação e áreas de preservação, como a RPPN Mata Estrela, RDS Ponta do Tubarão e o Parque das Dunas. Conclui que a restinga enfrenta processo de abandono e grande risco de extinção devido à falta de políticas de conservação e ao desenvolvimento urbano.
O documento descreve a formação e características das restingas ao longo da costa brasileira. Apresenta as principais adaptações da flora e fauna a este ecossistema costeiro arenoso, sujeito a fatores como salinidade, variações térmicas e escassez hídrica. Detalha também a classificação e transição entre diferentes zonas de vegetação ao longo da planície costeira, incluindo dunas móveis e fixas.
O documento descreve técnicas de substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo funções trigonométricas e radiciais. Apresenta exemplos de como substituir x por funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente para calcular integrais definidas. Também discute como decompor frações racionais em frações parciais para calcular suas integrais.
O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.
[1] O documento discute o conceito de integral definida e apresenta suas propriedades fundamentais. [2] Uma integral definida representa a área sob a curva de uma função contínua entre dois limites e pode ser aproximada por somas de retângulos. [3] O valor exato da integral é obtido fazendo a partição tender a zero e somando as áreas dos retângulos.
1) O documento discute integrais indefinidas, que são antiderivadas ou primitivas de funções.
2) Duas primitivas de uma mesma função diferem entre si por uma constante.
3) A integral indefinida de uma função f no intervalo I é a primitiva genérica de f em I, denotada por ∫f(x)dx = F(x) + C, onde C é uma constante genérica.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute regras de L'Hôpital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de aplicação das regras para cálculo de limites envolvendo funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Discutem-se também novas formas indeterminadas como 00, 10 e 11 e procedimentos para lidar com esses casos.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
1) O documento apresenta uma revisão sobre funções exponenciais e logarítmicas e introduz o número e.
2) É feita uma revisão sobre potências com bases reais positivas e expoentes reais. Logaritmos são definidos como o expoente ao qual se eleva a base para obter o valor.
3) O número e é definido como o limite de uma sequência e demonstrado que é irracional.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
1) A aula apresenta como derivadas podem ser usadas como ferramentas auxiliares no esboço de gráficos de funções, fornecendo informações qualitativas sobre o comportamento da função.
2) É definido o que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo e apresentado o Teorema 6.1, que relaciona o sinal da derivada ao comportamento da função.
3) São definidos pontos de máximo e mínimo locais de uma função e apresentado o Teorema 6.2, que relaciona o sinal
1) O documento discute velocidade instantânea e derivadas. É introduzida a noção de velocidade instantânea como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
2) A derivada de uma função é definida como o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável independente quando esta última tende a zero.
3) Regras para calcular a derivada de funções como xn são apresentadas, assim como notações comuns para representar derivadas.
O documento apresenta os elementos básicos de um relatório de pesquisa, incluindo a introdução, revisão da literatura, considerações metodológicas, resultados e discussões, e conclusões. A introdução descreve o objetivo, justificativa, metodologia e resultados da pesquisa. A revisão da literatura analisa pesquisas anteriores sobre o tema. As considerações metodológicas detalham a amostra, coleta e análise de dados. Os resultados e discussões apresentam os achados em relação às questões da pesquisa. Por
A Caatinga é o único bioma exclusivamente brasileiro, localizado no semi-árido nordestino. Sua vegetação é composta por árvores e arbustos espinhosos e xerófitos que perdem as folhas na estação seca. Apesar de sua biodiversidade, a Caatinga sofre com a degradação causada pelo desmatamento para agricultura e pecuária. Unidades de conservação buscam proteger remanescentes deste ecossistema único.
O documento descreve a caatinga do Rio Grande do Norte, incluindo sua localização, características de clima, vegetação, solos e fauna. Também discute intervenções humanas que causaram degradação e desertificação em algumas áreas, e medidas para a conservação do bioma, como a Estação Ecológica do Seridó.
O autor critica o "Zé Ninguém" por ser facilmente manipulado por líderes que prometem liberdade mas na verdade o mantém como escravo. O autor afirma que só o próprio "Zé Ninguém" pode conquistar a verdadeira liberdade, reconhecendo suas próprias limitações e assumindo responsabilidade por sua vida.
1. Aula 3
Deriva»~o em cadeia e deriva»~o
ca ca
impl¶
³cita
A regra da cadeia ¶ uma regra de deriva»~o que nos permite calcular a derivada de
e ca
uma composi»~o (ou um encadeamento) de fun»~es, tais como f (g(x)) ou f (g(h(x))),
ca co
conhecendo-se as derivadas f 0 (x), g 0 (x) e h0 (x).
Quando temos uma fun»~o composta, tal como y = (x3 + x ¡ 1)10 , podemos
ca
decomp^-la em fun»~es elementares. Simplesmente escrevemos
o co
y = u10 ; u = x3 + x ¡ 1:
Na nota»~o de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que
ca
dy dy du
= ¢
dx du dx
No caso, teremos ent~o
a
dy dy du
= ¢
dx du dx
= 10u9 ¢ (3x2 + 1)
= 10(x3 + x ¡ 1)9 (3x2 + 1)
Repetindo tudo, passando da nota»~o de Leibniz para a nota»~o de Lagrange,
ca ca
temos
y = f (u); u = g(x)
e ent~o
a
dy dy du
= ¢
dx du dx
= f 0 (u) ¢ g 0 (x)
= f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x)
19
2. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 20
Regra 3.1 (Deriva»~o em cadeia) Se y = f (u) e u = g(x) ent~o
ca a
dy dy du
= ¢
dx du dx
Em outras palavras, sendo y = f (g(x)), tem-se
y 0 = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x):
Observa»~o 3.1 A id¶ia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶ a seguinte: sendo
ca e e
y = f (u) e u = g(x), temos ¢u = g(x + ¢x) ¡ g(x) e, ¢y = f (u + ¢u) ¡ f (u)
Assumindo, para simpli¯car, que ¢u 60 sempre que ¢x = 0 (o que nem sempre
= 6
ocorre!), temos
¢y ¢y ¢u
= ¢
¢x ¢u ¢x
Quando ¢x tende a 0, ¢u tamb¶m tende a 0 (observa»~o 2.1), e assim
e ca
¢y ¢y ¢u
lim = lim ¢ lim
¢x!0 ¢x ¢u!0 ¢u ¢x!0 ¢x
e portanto
dy dy du
= ¢
dx du dx
Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»~o mais rigorosa da regra da cadeia,
ca
um procedimento poss¶ mas deveras so¯sticado.
³vel
dy
Exemplo 3.1 Calcular , sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8 .
dx
Solu»~o. Escrevemos
ca
y = u8 ; u = v10 + 1; v = x2 + 1
Assim, estamos compondo (encadeando) tr^s fun»oes. Aplicando a regra da cadeia
e c~
temos
dy dy du
= ¢
dx du dx
dy du dv
= ¢ ¢
du dv dx
= 8u7 ¢ 10v 9 ¢ 2x
= 160(v 10 + 1)7 (x2 + 1)9 x
= 160x((x2 + 1)10 + 1)7 (x2 + 1)9
3. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 21
3.1 Derivadas de fun»~es dadas implicitamente
co
Muitas vezes, duas vari¶veis x e y s~o tais que, em um certo intervalo de valores de x,
a a
y depende de x, ou seja, y ¶ uma fun»~o da vari¶vel x, mas em lugar de uma f¶rmula
e ca a o
y = f (x), temos uma equa»~o F (x; y) = c, inter-relacionando ambas as vari¶veis, tal
ca a
como nos dois exemplos abaixo.
(1) x2 + y 2 = 2
(2) x3 + y 3 = x + y + xy
µ
As vezes, ¶ poss¶ resolver a equa»~o dada em y, ou seja, isolar" y no primeiro
e ³vel ca
membro da equa»~o, expressando explicitamente y como vari¶vel dependendo de x. Por
ca a
exemplo, no caso da equa»~o (1), podemos fazer
ca
y 2 = 2 ¡ x2
e ent~o
a p
y = § 2 ¡ x2
Neste caso, deduzimos ent~o que as fun»oes
a c~
p p
y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2
ambas satisfazem a equa»~o x2 + y 2 = 2.
ca
No caso da equa»~o (2), podemos veri¯car que, por exemplo, o par (1; 0) satisfaz
ca
a equa»~o, mas n~o nos ¶ ¶bvio como resolver a equa»~o em y e obter uma fun»~o
ca a e o ca ca
3 3
y = f (x) satifazendo f (1) = 0 e x + (f(x)) = x + f(x) + xf (x).
dy
No entanto, em ambos os casos, ¶ quase sempre poss¶ obter a derivada
e ³vel , em
dx
um determinado ponto x0 , se conhecemos tamb¶m o valor correspondente y0 .
e
Para isto, derivamos ambos os membros da equa»~o F (x; y) = c, considerando y como
ca
fun»~o de x, e usamos as regras de deriva»~o, bem como a regra da cadeia, quando
ca ca
necess¶rio.
a
dy
Exemplo 3.2 Obtendo , a partir da equa»~o x2 + y 2 = 2, por deriva»~o impl¶
ca ca ³cita.
dx
Denotaremos por (¤)0 a derivada da express~o ¤ (a express~o que estiver entre
a a
par^nteses), em rela»~o a x. Inicialmente notamos que, sendo y uma fun»~o de x,
e ca ca
2 0 0
temos, pela regra da cadeia, (y ) = 2y ¢ y .
dy
Para obtermos (ou y 0 ) no caso da equa»~o x2 + y 2 = 2, fazemos
ca
dx
4. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 22
x2 + y 2 = 2
(x2 + y 2 )0 = (2)0
(x2 )0 + (y 2 )0 = 0
2x + 2yy 0 = 0
yy 0 = ¡x
x
y0 = ¡
y
dy x
Isto quer dizer que, se y ¶ fun»~o de x satisfazendo x2 + y 2 = 2, ent~o
e ca a =¡ .
dx y
p p
Como vimos, as fun»~es y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2 ambas
co
2 2
satisfazem x + y = 2. Pela deriva»~o impl¶
ca ³cita" efetuada acima, temos
dy x x x
1. Se y = f1 (x), ent~o
a =¡ =¡ . Neste caso, y 0 = ¡ p ;
dx y f1 (x) 2 ¡ x2
dy x x x
2. Se y = f2 (x), ent~o
a =¡ =¡ . Neste caso, y 0 = p
dx y f2 (x) 2 ¡ x2
dy
Exemplo 3.3 Obtendo , a partir da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, por deriva»~o
ca ca
dx
impl¶
³cita.
dy
Para obtermos (ou y 0 ) no caso da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, fazemos
ca
dx
x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y
(x3 + y 3 )0 = (x2 y 2 + x + y)0
3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 y 2 )0 + 1 + y 0
3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 )0 y 2 + x2 (y 2 )0 + 1 + y 0
3x2 + 3y 2 y 0 = 2xy 2 + x2 ¢ 2yy 0 + 1 + y 0
Obtemos ent~o y 0 , deixando no primeiro membro somente os termos com y 0 :
a
3y 2 y 0 ¡ 2x2 yy 0 ¡ y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
(3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1)y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
1 + 2xy 2 ¡ 3x2
y0 = 2
3y ¡ 2x2 y ¡ 1
Exemplo 3.4 Obter a reta tangente µ curva x3 +y 3 = x2 y 2 +x+y no ponto P = (1; 0).
a
Note que o problema s¶ faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence µ curva:
o a
3 3 2 2
1 + 0 = 1 ¢ 0 + 1 + 0.
5. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 23
dy
Primeiro obtemos ³cita, a partir da equa»~o x3 + y 3 =
, por deriva»~o impl¶
ca ca
dx
x2 y 2 + x + y.
0 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
Isto j¶ foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y = 2
a .
3y ¡ 2x2 y ¡ 1
O coe¯ciente angular da reta tangente procurada ¶
e
¯ ¯
dy ¯
¯ 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 ¯
¯ 1¡3
dx ¯x=1 = 3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1 ¯x=1 = ¡1 = 2
y=0 y=0
Assim sendo, a reta procurada tem equa»~o y ¡ 0 = 2(x ¡ 1), ou seja, y = 2x ¡ 2.
ca
3.2 Derivada da fun»~o pot^ncia f (x) = xr , sendo r
ca e
um n¶mero racional
u
Da ¶lgebra elementar, temos
a
1 p
x 2 = x (x ¸ 0)
1 p
x 3 = 3 x (x real qualquer)
1 p
x n = n x (n > 0, x ¸ 0 se n ¶ par, x qualquer se n ¶ ¶
e e ³mpar)
p p p
x q = q x (q > 0; quando q ¶ par, x ¸ 0 se p ¶ ¶
e e ³mpar positivo, e x > 0 se p ¶ impar
e
negativo)
Regra 3.2
1 1 1
(x n )0 = ¢ x n ¡1
n
ou seja,
p 1
( n x)0 = p
n
n xn¡1
Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0,
p p p ¡1
(x q )0 = ¢ xq
q
Portanto, se r ¶ um expoente racional,
e
(xr )0 = rxr¡1
Demonstra»~o da regra 3.2.
ca
1
Se y = x n , ent~o y n = x.
a
Aplicando deriva»~o impl¶
ca ³cita obtemos
ny n¡1 y 0 = 1
6. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 24
1 1 1 1 1 1¡n 1 1
Portanto y 0 = n¡1
= ¢ y 1¡n = ¢ (x n )1¡n = ¢ x n = ¢ x n ¡1
ny n n n n
Demonstra»~o da regra 3.3.
ca
p
Sendo p e q inteiros, q > 0, se y = x q , ent~o y q = xp .
a
Por deriva»~o impl¶
ca ³cita, obtemos ent~o
a
(y q )0 = (xp )0 ou, equivalentemente qy q¡1 y 0 = pxp¡1 .
pxp¡1 pxp x¡1 pxp x¡1 p p p p
Assim, y 0 = = q ¡1 = p ¡1 = yx¡1 = xp=q x¡1 = x q ¡1
qy q¡1 qy y qx y q q q
p
Exemplo 3.5 Calcular a derivada de f (x) = 3
3x2 + 3x + 5
1
Solu»~o. Temos f (x) = (3x2 + 3x + 5) 3 .
ca
Aplicando deriva»~o em cadeia e a regra 3.3, temos
ca
1
f 0 (x) = [(3x2 + 3x + 5) 3 ]0
1 2
= (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (3x2 + 3x + 5)0
3
1 2
= (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (6x + 3)
3
2
= (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (2x + 1)
2x + 1
=
(3x 2 + 3x + 5)2=3
2x + 1
=p 3
(3x2 + 3x + 5)2
Solu»~o alternativa. Sendo y = f(x), temos
ca
p3
y = 3x2 + 3x + 5
e portanto
y 3 = 3x2 + 3x + 5
Aplicando deriva»~o impl¶
ca ³cita, obtemos
6x + 3
3y 2 y 0 = 6x + 3, ou seja, y 0 =
3y 2
de onde
2x + 1 2x + 1
y0 = p 2 = p
( 3x + 3x + 5)
3 2 3
(3x2 + 3x + 5)2
7. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 25
3.3 Problemas
dy
1. Calcule
dx
µ 3 ¶5 µ 2 ¶4
x x
(a) y = +1 + +1
3 2
((x3 + 7)4 + x)5
(b) y =
x2 + 1
µ ¶10
x
(c) y =
x+1
2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
(a) f(x) = (x2 ¡ 3x + 8)3
x
(b) f(x) = 2
(x ¡ 1)4
(c) F (v) = (17v ¡ 5)1000
(d) s(t) = (4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡2
(u2 + 1)3
(e) k(u) =
(4u ¡ 5)5
3. Determine (i) a equa»~o da reta tangente µ curva no ponto indicado e (ii) os
ca a
pontos do gr¶¯co em que reta tangente µ curva ¶ horizontal, nos casos
a a e
(a) y = (4x2 ¡ 8x + 3)4 , P = (2; 81).
(b) y = (2x ¡ 1)10 , P = (1; 1).
4. Se k(x) = f (g(x)), com f(2) = ¡4, g(2) = 2, f 0 (2) = 3 e g 0 (2) = 5, calcule
k 0 (2).
5. Determine y 0 sendo y uma fun»~o de x dada implicitamente pela equa»~o
ca ca
(a) 2x3 + x2 y + y 3 = 1
1 1
(b) 2 + 2 = 1
x y
(c) (y 2 ¡ 9)4 = (4x2 + 3x ¡ 1)2
6. Veri¯que primeiramente que o ponto P pertence µ curva dada e ache a equa»~o
a ca
da reta tangente µ curva no ponto P .
a
(a) xy = ¡16, P = (¡2; 8);
(b) 2x ¡ x y + y 3 ¡ 1 = 0,
3 2
P = (2; ¡3).
7. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
8. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 26
p
(a) f(x) = 3
8x3 + 27
p
(b) f(x) = (7x + x2 + 3)6
4
(c) f(t) =
(9t 2 + 16)2=3
p3
2z + 3
(d) g(z) = p
3z + 2
5
(e) F (v) = p5
v 5 ¡ 32
dy
8. Calcule se
dx
p
(a) 6x + xy ¡ 3y = 4
p
(b) 3x2 + 3 xy = 2y 2 + 20
9. Uma fun»~o ¶ par se f(¡x) = f (x) para todo x em seu dom¶
ca e ³nio, e ¶ ¶
e ³mpar se
f (¡x) = ¡f (x) para todo x em seu dom¶
³nio. Sendo f deriv¶vel, demonstre que
a
(a) Se f ¶ par, ent~o f 0 ¶ ¶
e a e ³mpar (ou seja, se f (¡x) = f (x) para todo x no
dom¶ de f), ent~o f 0 (¡x) = ¡f 0 (x);
³nio a
e ³mpar, ent~o f 0 ¶ par.
(b) Se f ¶ ¶ a e
3.3.1 Respostas e sugest~es
o
µ 3 ¶4 µ 2 ¶3
dy 2 x x
1. (a) = 5x + 1 + 4x +1
dx 3 2
dy
(b) =
dx
5((x3 + 7)4 + x)4 (12x2 (x3 + 7)3 + 1)(x2 + 1) ¡ 2x((x3 + 7)4 + x)5
(x2 + 1)2
dy 10x9
(c) =
dx (x + 1)11
2. (a) f 0 (x) = 3(x2 ¡ 3x + 8)2 (2x ¡ 3)
¡(7x2 + 1)
(b) f 0 (x) =
(x2 ¡ 1)5
(c) F 0 (v) = 17000(17v ¡ 5)999
(d) s0 (t) = ¡2(4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡3 (20t4 ¡ 9t2 + 2)
(u2 + 1)2 (4u2 ¡ 30u ¡ 20)
(e) k0 (u) =
(4u ¡ 5)6
3. (a) (i) y ¡ 81 = 864(x ¡ 2), (ii) (1; 1), (1=2; 0) e (3=2; 0).
(b) (i) y ¡ 1 = 20(x ¡ 1), (ii) (1=2; 0).
4. k0 (2) = 15.
9. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 27
¡(6x2 + 2xy)
5. (a) y0 =
x2 + 3y2
y3
(b) y0 = ¡
x3
(4x2 + 3x ¡ 1)(8x + 3)
(c) y0 =
4y(y2 ¡ 9)3
6. (a) 4x ¡ y + 16 = 0
(b) y + 3 = ¡ 36 (x ¡ 2)
23
8x2
7. (a) f 0 (x) = 8x2 (8x3 + 27)¡2=3 = p
3
(8x3 + 27)2
p µ ¶
x
(b) f 0 (x) = 6(7x + x2 + 3)5 7+ p
x2 + 3
¡48t
(c) f 0 (t) = p
3
(9t2 + 16)5
p
0 (z) = ¡3 2z + 3 + 2
3
(d) g p p p
2 (3z + 2)3 3 3z + 2 3 (2z + 3)2
¡5v 4
(e) F 0 (v) = ¡5v 4 (v 5 ¡ 32)¡6=5 = p
5
(v 5 ¡ 32)6
p
12 xy + y
8. (a) y0 = p
6 xy ¡ x
18x5=3 y 2=3 + y
(b) y0 =
12x2=3 y 5=3 ¡ x
9. (a) Se f ¶ uma fun»~o par, temos a igualdade f (¡x) = f (x). Derivando ambos
e ca
os membros em rela»~o a x, temos [f (¡x)]0 = f 0 (x). Por deriva»~o em cadeia,
ca ca
aplicada ao primeiro membro, temos f 0 (¡x) ¢ (¡x)0 = f 0 (x), logo ¡f 0 (¡x) =
f 0 (x), ou seja f 0 (¡x) = ¡f 0 (x). Conclu¶
³mos ent~o que se f ¶ fun»~o par, sua
a e ca
derivada f 0 ¶ fun»~o ¶
e ca ³mpar.