O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases: 1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.

1. 84
Unidade III
Unidade III
5 Estrutura de grupo
Seja G um conjunto munido de uma operação * (tem de ser binária, isto é, uma regra que faz
corresponder, a cada par de elementos do conjunto G, um único elemento desse mesmo conjunto).
Diremos que G tem uma estrutura de grupo ou é um grupo em relação à operação *, ou ainda que
(G, *) é um grupo se:
I. a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ G;
II. existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:
a * e = a = e * a, para todo a ∈ G;
III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto é: a´ * a = e = a * a´, para
todo a ∈ G.
Caso as condições anteriores sejam satisfeitas, então (G, *) é um grupo. Em outras palavras, se (G, *)
satisfaz as três propriedades anteriores e também atende a seguinte propriedade:
• a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer que sejam a, b ∈ G. Então, (G, *) é um
grupo abeliano ou comutativo.
Lembrete
O termo simétrico pode se referir a nomes diferentes, dependendo
do tipo operação que utilizamos. Sendo utilizada a adição usual, o
simétrico aditivo de n ∈ G é denotado por –n e conhecido na literatura
como oposto, mas se utilizamos a multiplicação usual, o simétrico
multiplicativo de n ∈ G é denotado por n–1
, conhecido na literatura
como inverso.
São exemplos de grupo abeliano:
Exemplo 1
Grupo aditivo dos números inteiros (Z, +).

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Álgebra
Exemplo 2
Grupo aditivo dos números racionais (Q, +).
Exemplo 3
Grupo aditivo dos números reais (R, +).
Exemplo 4
Grupo aditivo dos números complexos (C, +).
Exemplo 5
Grupo multiplicativo dos números racionais (sem o zero) (Q*, . ).
Exemplo 6
Grupo multiplicativo dos números reais (sem o zero) (R*, . ).
Exemplo 7
Grupo multiplicativo dos números complexos (sem o zero) (C*, . ).
Exemplo 8
Todos os espaços vetoriais para adição.
Exemplo 9
O conjunto das simetrias de um triângulo equilátero.
Exemplo 10
GLn
(R), x, isto é, o conjunto das matrizes reais quadradas (n x n) inversíveis com n > 1, para
multiplicação usual de matrizes.
Contraexemplos, ou melhor, não são grupos abelianos:
• o conjunto dos naturais com operação adição usual (N, +);
• o conjunto dos naturais com operação de potenciação, sendo x* y = xy
(N, *);
• o conjunto dos reais com operação de multiplicação (R, x);

3. 86
Unidade III
• Mn
(R), x, isto é, o conjunto das raízes reais quadradas (n x n) para multiplicação usual de matrizes;
• o conjunto dos números inteiros Z. Este e a operação de multiplicação não formam uma estrutura
de grupo, pois nenhum número inteiro a, exceto 1 e –1, tem inverso em Z.
Voltando aos exemplos de grupos, como ilustração, provaremos que o conjunto dos números
complexos C, munido da operação de adição, forma uma estrutura de grupo abeliano. Inicialmente,
devemos lembrar que um número complexo é representado algebricamente por x = a + bi, em que a e
b são números reais e i = −1.
Voltando a abordar os exemplos sobre grupos, verifiquemos se o conjunto dos números complexos
com a operação de adição (C, +) é um grupo abeliano. Para tanto, vamos ver quais as propriedades
válidas para que os complexos sejam tal grupo. Vamos lá:
I. a operação de multiplicação é associativa, isto é: x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejam
x, y, z ∈ C.
Para verificar a validade da propriedade associativa, vamos definir três números complexos: x = a +
bi; y = c + di; z = e + fi. Substituindo, temos:
• x * (y * z) = (x * y) * z
• x * (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) * z
• a + bi + (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) + e + fi
• a + c + e + (b + d + f)i = a + c + e + (b + d + f)i
Há, portanto, atendimento à propriedade associativa.
II. Existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:
x * e = x = e * x, para todo x ∈ A;
Então, temos, por um lado:
i)
x * e = x
a + bi + e = a + bi
e = a + bi – (a + bi)

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Álgebra
e = 0
e, por outro lado:
ii)
e * x = x
e + a + bi = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
e = 0
Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é o número 0 (zero).
Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é:
x´ * x = e = x * x´, para todo x ∈ C.
Por um lado, temos:
i)
x´ * x = e
x´ + a + bi = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi
Por outro lado, temos:
ii)
x * x´ = e
a + bi + x´ = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi

5. 88
Unidade III
Portanto,comoi=ii,todonúmerocomplexotemumsimétricoparaaoperaçãodeadição,queéx´=–a–bi.
A operação * é comutativa, isto é: x * y = y * x para quaisquer que sejam x, y ∈ C.
• x * y = y * x
• a + bi + c + di = c + di + a + bi
• a + c + (b + d)i = a + c + (b + d)i
Portanto, vale a propriedade associativa. Podemos concluir, então, que (C, +) é um grupo abeliano.
Você encontrará, em seus estudos, várias simplificações de notação. Desse modo, ao invés do grupo
G com a operação estrela (G*), muitos autores dizem apenas grupo G quando não existe ambiguidade
no que se refere à operação considerada. Geralmente, quando falamos da operação de multiplicação,
substitui‑se x*y por x . y ou ainda xy. Nessa operação, o inverso de cada elemento x será x–1
.
O elemento neutro de um grupo G, genericamente falando, é denotado por e. Quando trabalhamos
com a operação aditiva, se temos um grupo abeliano, o elemento neutro é simbolizado por 0 e o inverso
é genericamente chamado de elemento simétrico do elemento x e representado por –x.
Apresentaremos agora algumas propriedades básicas de um grupo G, usando a notação da
multiplicação entre elementos.
Se x e y são elementos de G, então, o inverso de xy, isto é, (xy)–1
é dado por: (xy)–1
= y–1
x–1
. Como
consequência, temos a propriedade aplicada à multiplicação de matrizes n x n: (AB)–1
= B–1
A–1
.
Outra propriedade diz respeito à lei de cancelamento. Se x e y são elementos de um grupo G, então,
xy = xz ⇒ y = z → lei de cancelamento à esquerda
yx = zx ⇒ y = z → lei de cancelamento à direita.
Essa propriedade é importante na multiplicação de matrizes, na qual, geralmente, AB ≠ BA, mas vale
a lei do cancelamento.
Se temos uma expressão do tipo: XA = B, em que X, A e B são matrizes n x n e A admite inversa (A–1
), para
determinarmos a matriz X, usamos a lei do cancelamento à direita, isto é, multiplicamos a expressão XA = B
por A–1
pela direita, obtendo XAA–1
= BA–1
⇒ XI = BA–1
⇒ X = BA–1
, em que I é a matriz identidade de ordem n.
A lei geral de associatividade é provada por indução (veja observação a seguir).
Consideremos um conjunto finito de elementos x1
, x2
, ..., xn
de um grupo G. Podemos combinar,
usando a operação de multiplicação, de diversas formas diferentes, quaisquer que sejam, e obteremos
sempre o mesmo resultado.

6. 89
Álgebra
Observação
O princípio da indução finita é um método matemático importante para
mostrar, de uma forma dedutiva, se uma indução ou proposição matemática
é completamente verdadeira ou falsa. É utilizado para proposições que
estão inseridas no conjunto dos números naturais. Vale dizer que esse não
é o único método para tal fim.
Para verificar a validade de uma propriedade ou proposição, tomemos o conjunto dos números
naturais (N) ou inteiros positivos (Z+
) e indiquemos P(n) como sendo uma propriedade ou proposição
verdadeira ou falsa aplicável aos números naturais. Seguimos então os seguintes passos:
1) determinamos P(1) (para n =1). Se essa proposição for verdadeira, seguimos para o próximo;
2) supondo,então,queP(k),paraumkgenérico,sejaverdadeira,determinamoseavaliamosP(k+1)∀k∈N;
3) se P(k +1) também for verdadeira, a proposição P(n) será verdadeira ∀k ∈ N.
Saiba mais
Para aprofundar seu conhecimento sobre indução finita, veja exemplos
e exercícios disponíveis em: E‑CÁLCULO. O princípio da indução finita. São
Paulo: USP. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/pif/pif.
htm> Acesso em: 02 out. 2012.
5.1 Subgrupo
O subgrupo de um grupo G possui uma estrutura com a mesma operação definida no grupo G.
Os grupos G e {e} são subgrupos do grupo G; são chamados de subgrupos triviais de G. Os demais
subgrupos, caso existam, são chamados subgrupos próprios.
Consideremos H ≠ ∅ um subconjunto de G se, e somente se:
a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H, isto é, para todo x, y ∈ H, temos xy ∈ H;
b) o elemento neutro pertencer a H;
c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, para todo x ∈ H, temos x–1
∈ H.

7. 90
Unidade III
Exemplos:
1) Para todo n ∈ N, o conjunto dos múltiplos de n é um subgrupo de (Z, +), ou seja, nZ = {nx / x ∈ Z}.
2) Todos os conjuntos de raízes de índice n > 1 são subgrupos de C – {0}.
3) Sejam H1
, H2
, ..., Hn
subgrupos de G. Então, H = H1
∩ H2
∩ ... ∩ Hn
é um subgrupo de G.
4) Seja G o conjunto de todas as retas do plano com coeficiente angular não nulo. G = {f: R → R /
f(x) = ax + b, a ≠ 0 e a, b ∈ R} é um grupo com a operação composição de funções. Tomemos
H como sendo o conjunto das retas do plano com coeficiente angular igual a 1, isto é, H = {f : R
→ R / f(x) = 1x + b; b ∈ R}. Então, H é subgrupo de G.
5.2 Semigrupo
Um semigrupo é um conjunto S com uma operação binária2
, na qual se verificam as seguintes
propriedades:
a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a * b ∈ S), que é denominada
propriedade de fechamento.
b) Para qualquer a, b, c, ∈ S, temos: (a*b)* c = a* (b*c) = a* b* c, que é denominada propriedade
associativa.
Exemplo:
O conjunto S = {2n / n ∈ N*}, conjunto dos números pares sem o zero, é um semigrupo comutativo
em relação à multiplicação.
Nenhuma outra restrição é colocada com relação a um semigrupo. Sendo assim, não é necessário se
ter um elemento neutro. Logo, um conjunto que é fechado para uma determinada operação, que possui
propriedade associativa, é um semigrupo, que, com um elemento neutro, será chamado de monoide,
como veremos a seguir.
5.3 Monoide
Um monoide é um semigrupo com elemento neutro. Dizemos que M é um monoide comutativo se
(M,*) for comutativo.
2
Dado um conjunto B não vazio, uma função *: B × B → B é chamada de operação binária sobre o conjunto B,
definindo, assim, uma estrutura algébrica [B,*].

8. 91
Álgebra
Exemplos:
1) as operações de multiplicações sobre os naturais;
2) as operações de multiplicações sobre os inteiros;
3) as operações de multiplicações sobre os racionais;
4) as operações de multiplicações sobre os reais.
Observação
Seja (N*
, *), que corresponde ao conjunto dos números naturais sem
o zero com a operação estrela. Definimos * da seguinte forma: dados
a, b ∈ N, a* b = ab
, é definida a propriedade de potenciação sobre os
naturais sem o zero, que não é associativa, nem comutativa, nem possui
elemento neutro.
6 Anéis e Corpos
Enunciaremos, a seguir, as propriedades que deverão ser satisfeitas para que um conjunto munido
de duas operações (em particular nos restringiremos à adição e à multiplicação) tenha uma estrutura
de anel. Buscaremos apresentar tais propriedades de forma mais objetiva para favorecer a compreensão
dessa estrutura.
Por meio da extensão das propriedades de anel para anel com unidade, anel comutativo e domínio de
integridade, definiremos uma estrutura de corpo, de modo que, a cada nova estrutura, serão satisfeitas,
além das propriedades anteriores, mais algumas novas propriedades.
Seja A um conjunto não vazio, no qual estejam definidas duas operações: adição e
multiplicação. Chamaremos (A, +, .) de anel se as seguintes propriedades forem verificadas para
quaisquer a, b, c ∈ A:
I. associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c;
II. existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição, isto é: a + 0 = a = 0 + a;
III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por ‑a para a adição, isto é: ‑a + a = 0 = a
+ (‑a), para todo a ∈ A;
IV. comutativa da adição: a + b = b + a;

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Unidade III
V. associativa da multiplicação: a.(b.c) = (a.b)c;
VI. distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): a.(b + c) = a.b + a.c;
(a + b).c = a.c + b.c.
Se forem satisfeitas as propriedades anteriores, diremos que A, munido das operações de adição e
multiplicação, forma uma estrutura de anel, ou simplesmente que (A, +, .) é um anel.
6.1 Anel com identidade
Se um anel satisfizer a propriedade:
• existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1. a, para qualquer a ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel
com unidade ou anel com identidade.
6.2 Anel comutativo
Se um anel satisfizer a propriedade:
• a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, –, .) é um anel comutativo.
6.3 Domínio de integridade
Se um anel satisfizer a propriedade:
• a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel sem divisores
de zero.
Se (A, +, .) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um
domínio de integridade.
6.4 Corpo
Finalmente, se um domínio de integridade (A, +, .) satisfaz a propriedade:
• para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a. b = b. a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo
ou que tem uma estrutura de corpo, pois este possui um elemento inverso com relação à
multiplicação.
Vejamos agora alguns exemplos das estruturas definidas anteriormente.
Exemplo 1
Anel comutativo dos números inteiros (Z, +,. ).

10. 93
Álgebra
Exemplo 2
Anel comutativo dos números racionais (Q, +,. ).
Exemplo 3
Anel comutativo dos números reais (R, +, .).
Exemplo 4
Anel comutativo dos números complexos (C, +, .).
Exemplo 5
Todos os anéis numéricos Z, Q, R e C são anéis de integridade ou domínios de integridade.
Observe que todos os exemplos citados são anéis, anéis com unidade, anéis comutativos e domínios
de integridade.
Exemplo 6
O conjunto Q dos números racionais, com as operações
p
q
p
q
pq p q
qq
+ =
+‘
‘
‘ ‘
‘
e
p
q
p
q
+
‘
‘
. A igualdade
p
q
p
q
pq p q= ↔ =
‘
‘
‘ ‘
.
O simétrico de
p
q
é −
p
q
.
O zero é
0
q
, para q ≠ 0; o inverso do número racional
p
q
≠ 0 é
q
p
.
Exemplo 7
Tomemos A M
a a
a a
a a a a= =



 ∈






2
11 12
21 22
11 12 21 22( ) / , , ,» » , o conjunto das matrizes (2 x 2) com
termos reais.
Definindo‑se para todas as
a a
a a
b b
b b
A
11 12
21 22
11 12
21 22







 ∈, , a soma e o produto, respectivamente por:
a a
a a
b b
b b
a b a b
a b
11 12
21 22
11 12
21 22
11 11 12 12
21 2



 +



 =
+ +
+ 11 22 22a b+





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Unidade III
e
a a
a a
b b
b b
a b a b a b11 12
21 22
11 12
21 22
11 11 12 12 11 12


 ⋅



 =
+ + aa b
a b a b a b a b
12 22
21 11 22 21 21 12 22 22+ +




,
temos (M2 (R); +, .) o denominado anel das (2 x 2) – matrizes reais.
Exemplo 8
Corpo dos números reais (R, +, .).
Exemplo 9
O corpo Z2
={0, 1}, formado apenas por dois elementos distintos 0 e 1, com as operações 0 + 1 = 1
+ 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0.0 = 0.1 = 1.0 = 0 e 1.1 = 1. Aqui, o simétrico de cada elemento é ele próprio
(e o inverso também).
Exemplo 10
No conjunto Q(t), das funções racionais r t
p t
q t
( )=
( )
( )
, em que p e q são polinômios com coeficientes
racionais, sendo q não identicamente nulo, tem‑se
p t
q t
p t u t
q t u t
( )
( )
=
( ) ( )
( ) ( )
.
.
.
As operações em Q(t) são definidas de maneira usual.
Exemplo 11
Para este exemplo, retomaremos o conceito de congruência módulo m. Dizemos que a é congruente
a b módulo m, isto é, a ≡ b(mod m), se existir um inteiro k, tal que a = b + km. Note que b equivale
ao resto da divisão de a por m. Com esse conceito, podemos definir Z / 〈m〉 como sendo o conjunto
formado pelos restos da divisão de um número inteiro por m. Desse modo, temos Z / 〈4〉 = {0, 1, 2, 3},
visto que o menor resto de uma divisão por 4 é 0 e o maior possível é 3.
O conjunto Z / 〈4〉, com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈4〉, +, .) é um exemplo
de um anel que não é domínio de integridade, que, por sua vez, não pode ser um corpo. Lembrando
que, para ser domínio de integridade, é preciso satisfazer a condição: a . b = 0 → a = 0 ou b =
0, para quaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de Z / 〈m〉, para m não primo.
Avaliando a tabela multiplicativa, em seguida, você pode ver que 2 • 2 = 0 e, como 2 ≠ 0, Z / 〈4〉 não
é domínio de integridade.
A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈4〉, nas quais aparecem apenas os restos das
divisões de qualquer número inteiro por 4.

12. 95
Álgebra
Tabela 4 Tabela 5
+ 0 1 2 3 • 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 0 2
3 3 0 1 2 3 0 3 2 1
As operações dos elementos de Z / 〈4〉 são feitas da seguinte maneira:
Adição:
Tomamos como exemplo a operação entre o número 7 e o número 5. O resto da divisão de 7 por 4
resulta em 3, que é o que aparece na parte azul da tabela, e o resto da divisão de 5 por 4 resulta em 1,
que também aparece na parte azul da tabela. A soma dos restos resulta em 4, que, dividido por 4, tem
como resultado resto 0. Ao cruzarmos os valores em azul da tabela, 3 com 1, temos, então, resultado 0.
Logo, basta operarmos com os restos de dois números para sabermos o resultado do resto da soma, não
sendo necessário somar os dois números em si.
Apresentamos, em seguida, outro exemplo, agora buscando o resto da divisão da soma dos números
(125 e 87) por 4.
125 → Resto = 1
87 → Resto = 3
Somando os restos:
1 + 3 = 4 → Resto = 0
Logo, a soma dos restos da divisão de 128 e 87 por 4 resulta em um resto igual a 0. Na tabela, podemos
ver esse resultado, ao cruzar, na parte em azul, o número 3 com o número 1. Se considerarmos 125 + 87 =
212, ao dividirmos por 4, obteremos também resto 0, o que ilustra que podemos trabalhar com a soma do
resto de cada número individualmente, em vez de operarmos com o resultado da soma dos números em si.
Multiplicação:
Tomamos como exemplo a operação entre o número 9 e o número 11. Faremos da mesma maneira
que na adição, só que agora considerando o produto entre os restos da divisão desses dois números pelo
número 4.
9 → Resto = 1
11 → Resto = 3

13. 96
Unidade III
Multiplicando os restos: 1 x 3 = 3. Nesse caso, ao dividirmos 3 por 4, obteremos 0 no quociente e
resto 3, que é o valor que vemos na tabela, ao cruzarmos, em vermelho, os números 1 e 3. Observe que,
se multiplicarmos 9 x 11 = 99, em que 99= 4 x 24 + 3, isto é, o resto também é 3. Isso ilustra também,
assim como no caso da adição, que não precisamos trabalhar com os números em si para a realização
de tais operações, mas apenas com seus restos.
Exemplo 12
O conjunto Z / 〈5〉 , com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈5〉, +, .) é um exemplo de um anel
que,maisdoqueserdomíniodeintegridade,éumcorpo,poisobedeceacondição:a.b=0→a=0oub=0,para
quaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de Z / 〈p〉, para p primo.
A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restos das
divisões de qualquer número inteiro por 5.
Tabela 6 Tabela 7
+ 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
As operações são efetuadas como no exemplo anterior, com o resto da divisão de cada elemento.
O que vemos de diferente nesse último caso, e que se estende para todos os Z / 〈p〉, com p primo, é
que, na operação de multiplicação, jamais ocorrerá a . b = 0 sem que tenhamos ou a = 0 ou b = 0. Essa
propriedade faz com que o conjunto dos Z / 〈p〉 faça parte das estruturas de corpos.
Exemplo 13
Vejamos agora o corpo dos números complexos. Vamos verificar cada uma das propriedades de
corpo para esse conjunto.
A operação * é associativa, isto é: x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejam x, y, z ∈ C. Para verificar
a sua validade, vamos definir três números complexos: x = a + bi; y = c + di; z = e + fi.
• x * (y * z) = (x * y) * z
• x * (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) * z
• a + bi + (c + di + e + fi) = (a + bi + c + di) + e + fi
• a + c + e + (b + d + f)i = a + c + e + (b + d + f)i

14. 97
Álgebra
Portanto, satisfaz a propriedade associativa. Existe, em, A o elemento neutro e para a operação *, isto
é: x * e = x = e * x, para todo x ∈ C.
Por um lado temos:
i) x * e = x
a + bi + e = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
e = 0
Por outro lado, temos:
ii) e * x = x
e + a + bi = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
e = 0
Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é número 0.
Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é: x´ * x = e = x * x´ para todo x ∈ C.
Por um lado, temos:
x´ * x = e
x´ + a + bi = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi
e, por outro lado:
x * x´= e
a + bi + x´ = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi

15. 98
Unidade III
Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que é
x´ = – a – bi.
A operação * é comutativa, isto é: x * y = y * x, quaisquer que sejam x, y ∈ C.
• x * y = y * x
• a + bi + c + di = c + di + a + bi
• a + c + (b + d)i = a + c + (b + d)i
Até aqui, mostramos que C é um grupo comutativo em relação à adição.
Associativa da multiplicação: x. (y. z) = (x. y)z:
• x. (y. z) = (x. y)z
• (a + bi) [(c + di)(e + fi)] = [(a + bi)(c + di)] (e + fi)
• (a + bi)(ce + cfi + dei – df)=(ac + adi + bci – bd)(e + fi)
• ace + acfi + adei – adf + bcei – bcf – bde – bdfi = ace + adei + bcei – bde + acfi – adf – bcf – bdfi
• ace – adf – bcf – bde + (acf + ade + bce – bdf)i = ace – adf – bcf – bde + (acf + ade + bce – bdf)i
Portanto, vale a associativa na multiplicação.
Distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): x . (y + z) = x.y + x.z (esquerda):
• (a + bi)(c + di + e + fi) = (a + bi)(c + di) + (a + bi)(e + fi)
• (a + bi)(c + e + di + fi) = ac + adi + bci – bd + ae + afi + bei – bf
• ac + ae – bd – bf + (ad + af + bc + be)i = ac + ae – bf – bd + (ad + bc + af + be)i
Portanto, vale a distributiva à esquerda.
Vamos, agora, verificar a propriedade distributiva da multiplicação à direita, isto é:
• (x + y). z = x . z + y. z (direita)
• (a + bi + c + di)(e + fi) = (a + bi)(e + fi)+(c + di)(e + fi)
• ae + bei + ce + dei + afi – bf + cfi – df = ae + afi + bei – bf + ce + cfi + dei ‑ df
• ae + ce – bf – df + (be + de + af + cf)i = ae + ce – bf – df + (af + be + cf + de)i

16. 99
Álgebra
Portanto, vale a distributiva à direita.
Mostramos até aqui que (C, +,.) é um anel.
Existe 1 ∈ A, 0≠1, tal que x . 1 = x = 1. x para qualquer x ∈ C:
• (a + bi)1= a + bi = 1 (a + bi)
Portanto, (C, +, .) é um anel com unidade.
x . y = y . x para quaisquer a, b ∈ A:
• (a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)
• ac + adi + bci – bd = ac + cbi + adi – bd
• ac – bd + (ad + bc)i = ac – bd+(ad + cb)i
Portanto, (C, +,.) é um anel comutativo.
x . y = 0 → x = 0 ou y = 0 para quaisquer x, y ∈ C.
0 . (c + di) = 0c + 0di = 0 (a + bi) . 0 = a0 + 0bi = 0.
Essa propriedade é validada imediatamente, já que a e b são números reais.
Portanto, (C, +,.) é um domínio de integridade.
Para qualquer x ∈ C, x ≠ 0, existe x` ∈ C, tal que x . x´ = x´. x = 1.
a bi a b i a b i
a bi a bi
a bi
a bi
a bi
+( ) +( )= + =
+
→
+




−
−



 =
−
’ ’ ’ ’
1 1
aa b2 2
+
a b i
a
a b
b
a b
i’ ’+ =
+
−
+2 2 2 2
Mostramos, assim, que (C, +, .) é um corpo, ou seja, o conjunto dos números complexos, munido da
adição e da multiplicação, forma uma estrutura de corpo.
Retomando conceitos:
Para termos um corpo, precisamos de um anel (A), conjunto não vazio, em que estejam definidas
duas operações (adição e multiplicação) e se verifiquem as propriedades: associativa (para a adição

17. 100
Unidade III
e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição), e,
além disso, que admita um único elemento neutro (para adição) e simétrico (para multiplicação).
Se existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1 . a, para qualquer a ∈ A, temos um anel com unidade.
Se tivermos um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, dizemos ter um domínio de
integridade. Finalmente, se dado um domínio de integridade (A, +, .), tal que, para qualquer a ∈
A, a ≠ 0, existe b ∈ A, e a . b = b . a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo, ou que (A, +, .) tem uma
estrutura de corpo, pois possui um elemento inverso com relação à multiplicação.
Anéis
Anéis com identidade
Anéis comutativos com identidade
Domínios de integridade
(n não primo)
Corpos
QR
C, Z / 〈p〉 (p primo)
M, (Z)
Z / 〈n〉
Z
Figura 20
Nessa representação, temos bem clara a divisão das estruturas, vemos os corpos fazendo parte do
domínio de integridade. Podemos ver que fazem parte dos corpos os conjuntos dos números reais,
racionais e complexos, mas também faz parte o Z 〈p〉 com p primo, pois, como vimos, esse conjunto
corresponde ao resto da divisão de dados números por p. Contudo, como vimos no exemplo de Z / 〈5〉,
que é primo, ao efetuarmos a operação de multiplicação de dois elementos desse conjunto, tal que
a . b = 0, isso só ocorre quando a = 0 ou b = 0, o que situa esse conjunto na estrutura domínios
de integridade. Finalmente, o que o enquadra nos corpos é o fato de que, nesse conjunto, existem
elementos a e b, tal que ab = ba = 1, ou seja, o elemento possui um inverso.
O domínio de integridade faz parte dos anéis comutativos com identidade, e vemos inserido nessa
estrutura o conjunto dos números inteiros Z, o qual obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre
quando a = 0 ou b = 0. Entretanto, o fato de não haver dois elementos no conjunto dos números
inteiros, tal que ab = ba = 1 (pois para satisfazer essa relação, b teria de ser o inverso de a, e o inverso
de um número inteiro não é um número inteiro) faz com que os números inteiros não estejam inseridos
na estrutura de um corpo.
Os anéis comutativos com identidade fazem parte dos anéis com identidade, diferenciando‑se pelo
fato de, nessa estrutura, a operação de multiplicação obedecer a condição de comutação (ab = ba).

18. 101
Álgebra
Temos na figura, nessa estrutura, o conjunto Z / 〈n〉 para n não primo, pois, como vimos em Z / 〈4〉, esse
caso não obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre quando a = 0 ou b = 0, pois para a = 2 e b = 2,
obtivemos um resultado 0.
Os anéis com identidade fazem parte dos anéis, diferenciando‑se apenas no fato de que, nessa
estrutura, o conjunto deve ter um termo neutro. Vemos, nessa estrutura, o conjunto formado por
matrizes quadradas (ordem n), no qual sabemos que o termo neutro de uma matriz quadrada é a
matriz identidade. Contudo, as matrizes não se encaixam nos anéis comutativos com identidade, pois a
multiplicação destas não obedece a lei de comutação.
Por fim, temos os anéis, que devem ter definidas as operações de adição e multiplicação com as
propriedades: associativa (para a adição e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da
multiplicação em relação à adição), mas não precisa necessariamente satisfazer as condições das outras
estruturas. Um exemplo de anéis que não se encaixam nas outras estruturas são matrizes retangulares,
em que não há um termo neutro para multiplicação, isto é, não conseguimos construir uma matriz
identidade se a matriz não for quadrada.
Resumo
Nesta unidade estudamos e retomamos os principais conceitos de
estruturas algébricas de grupos, corpos e anéis.
Quanto às principais características de um grupo, vimos que um
conjunto G é um grupo, em relação a uma operação * ou (G*), se:
1) a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer
que sejam a, b, c ∈ G;
2) existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:
a * e = a = e * a, para todo a ∈ G;
3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto
é: a´ * a = e = a * a´, para todo a ∈ G.
Se, além disso, a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer
que sejam a, b ∈ G, então (G, *) é um grupo abeliano ou comutativo.
Lembrandodequeconceitodesubgrupo,dadoH,H≠∅,umsubconjunto
de G, H será subgrupo se, e somente se:
a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H; isto é,
para todo x, y ∈ H, temos xy ∈ H;

19. 102
Unidade III
b) o elemento neutro pertencer a H;
c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, para
todo x ∈ H, temos x–1 ∈ H.
Lembremos ainda do conceito de semigrupo: um conjunto S com uma
operação binária, em que se verificam as seguintes propriedades:
a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a *
b ∈ S), que é denominada propriedade de fechamento.
b) Para qualquer a, b, c ∈ S, temos: (a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c, que
é denominada propriedade associativa.
Dentro da classificação de semigrupos, vale lembrarmos ainda do
monoide, que é um semigrupo com elemento neutro.
Relembremos, agora, as principais características e propriedades
de um anel. Seja A um conjunto não vazio no qual estejam definidas
duas operações: adição e multiplicação. Chamaremos (A, +, .) a um
anel se as seguintes propriedades forem verificadas para quaisquer
a, b, c ∈ A:
1) associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c;
2) existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição +, isto é: a + 0 = a =
0 + a;
3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por – a para a
adição, isto é: – a + a = 0 = a + (– a), para todo a ∈ A;
4) comutativa da adição: a + b = b + a;
5) associativa da multiplicação: a . (b.c) = (a.b) . c;
6) distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita):
a . (b + c) = a . b + a . c; (a + b) . c = a . c + b . c.
Teremos um anel com identidade se, além das propriedades de um
anel, ainda for satisfeita a propriedade: existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a. 1 =
a = 1. a, para qualquer a ∈ A.
Será um anel comutativo se, além das anteriores, ainda satisfizer a
propriedade: a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A.

20. 103
Álgebra
Será um domínio de integridade se, além de tudo, ainda satisfizer esta
propriedade: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A.
Teremosumcorposeumdomíniodeintegridadesatisfizerapropriedade:
para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a . b = b . a = 1.
Exercícios
Questão 1. As afirmações a seguir são de estrutura de grupo, anéis e corpos.
I. O subconjunto H = { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z5
, +).
II. O subconjunto H = { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z6
, +).
III. 3Z = {3x ; x ∈ Z} é subanel do anel (Z, +, •
).
IV. O anel ( Z7
,+, •
) não é um anel de integridade.
Assinale a alternativa com os itens incorretos:
A) I.
B) II.
C) I e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa correta.
Justificativa: o subconjunto H = { , , }0 2 4 não é um subgrupo do grupo (Z5
,+), pois, por exemplo,
2 4 1+ = ∉H (resto da divisão por 5).
II – Afirmativa incorreta.
Justificativa: o subconjunto H = { , , }0 2 4 é um subgrupo do grupo (Z6
,+), pois a soma de quaisquer
dois dos elementos de H é também um elemento de H.

21. 104
Unidade III
0 0 0
0 2 2 0 2
0 4 4 0 4
2 2 4
+ = ∈
+ = + = ∈
+ = + = ∈
+ = ∈
H
H
H
H
2 4 4 2 0+ = + = ∈H (resto da divisão por 6).
4 4 2+ = ∈H (resto da divisão por 6).
III – Afirmativa correta.
Justificativa: 3Z = {3x ; x ∈ Z} é um subanel do anel (Z, +, •
), pois ∀ 3x, 3y ∈ 3Z, tem-se:
· 3x + (–3y) = 3x – 3y = 0 ∈ 3Z (–3y é o simétrico aditivo de 3y).
· 3x . (3y) = 3 . 3 . x . y = 3 . (3xy), e como “3xy” é um número inteiro, 3 . (3xy) ∈ 3Z.
IV – Afirmativa incorreta.
Justificativa: o anel ( Z7
,+, •
) é um anel de integridade, pois a adição é associativa, é comutativa,
admite elemento neutro, e todo elemento de »7
tem simétrico aditivo. A multiplicação é associativa, é
comutativa, admite elemento neutro e é distributiva em relação à adição. Se x ⨂ y = 0A
, então, ou
x = 0A
ou y = 0A.
Questão 2. (ENADE 2005, Matemática) A respeito da solução de equações em estruturas algébricas,
assinale a opção incorreta.
A) Em um grupo (G, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a G.
B) Em um anel (A, +, •), a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.
C) Em um anel (A, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.
D) Em um corpo (K, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a K, a ≠
0.
E) Em um corpo (K, +, •), a equação a•X + b = c tem solução para quaisquer a, b e c pertencentes a
K, a ≠ 0.
Resolução desta questão na plataforma.