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AULA 05
  MATEMÁTICA II
 Professor: João Alessandro


   DERIVADAS:
CONCEITOS INICIAIS
A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
                Galileu, ao descrever pela primeira vez uma
                função que relacionava o espaço com o
                tempo na queda dos corpos, deixou em
                aberto    a   necessidade     do     Cálculo
                Diferencial, o cálculo com derivadas.
                                           derivadas
A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em
qualquer fenômeno que envolva funções.

Mas, quando se trata de corpos em
movimento,     esta   interpretação  é
especialmente precisa e interessante.
De fato, historicamente, foi o que deu
origem ao estudo das derivadas.
A LEI DA QUEDA DOS CORPOS
A tentativa de Galileu de demonstrar
que todos os corpos caem com a
mesma aceleração esbarrou na falta de
um instrumento matemático -         as
derivadas.
• Quem foi capaz de completar a tarefa
de Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase
ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.
                                      Sir Isaac Newton
Gottfried Wilhelm
von Leibniz                           (Woolsthorpe, 4
                                      de Janeiro de
(Leipzig, 1 de julho
                                      1643 — Londres,
de 1646 — Hanôver,
                                      31 de Março de
14 de Novembro de
                                      1727)
1716)
A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial
e, ao medir o ritmo de mudança dos fenômenos
físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram
as portas ao espetacular desenvolvimento
científico e tecnológico que transformou o mundo
em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história
anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o
sonho pitagórico: explicar o mundo com a
Matemática.
() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a
manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo
Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e
este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o
publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo
próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso
nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter
desfeito o coração de Leibniz”.
INTRODUÇÃO
Se uma função é representada graficamente por uma reta
(função afim) facilmente sabemos com que velocidade varia
essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta
representativa da função.
         y

       f(b)

                                f(b) - f(a)
                                    ∆y
                       α
       f(a)
                      b–a                                  f ( b) − f ( a)
                       ∆x                      tmv = tgα =                 =m
                                                           14  4  −a 3
                                                                b244
                                              taxa média         V
                                                                ∆y y
                                              de variação        V
                                                                ∆x x

              O   a         b            x
E... se o gráfico da função não for uma reta?
 Com que velocidade (rapidez) varia essa função?
O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente”
a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o
resto é História e o estudo das Derivadas…
                      y



              f(b)                                          f ( b) − f ( a)
                                                      tmv =                 =m
                                                                4− a 3
                                                                 b
                                                            14 244
                                                                  V
                                                                 ∆y y
                                                                  V
                                                                 ∆x x
                                        f(b) - f(a)
                                           ∆y


               f(a)
                              b–a
                O         a   ∆x    b           x
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
 NA GEOMETRIA ANALÍTICA
E… quando tomamos o limite?

          y                                   Vamos, então, estudar Derivadas!


 f(x)



                                   ∆y
                                                f(x) − f(x 0 ) = m(x − x 0 )
                               f(x) - f(x0)
                                                  f ' (x 0 ) = tgα = m
  f(x0)            α ∆x
              x0
                    x-x0
                                        x
                                                 f(x) − f(x 0 ) = f ' (x).(x − x 0 )
    O                      x


                       y − f(x 0 ) = y '.(x − x 0 )
OUTROS EXEMPLOS
Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2.
                      – Então temos que:
    y(ºC)                        • A partir de x0 = 1h, a variável x
     f(3)=9
                                   aumentou de 2 unidades (horas) e
                                   passou para      x = 3h.
               ∆y                       ∆x = x – x0 = 3 – 1 = 2
                                 • A temperatura y = f(x) também sofre
      f(1)=1
                                   variação: passou de f(1) = 1ºC para
                    ∆x
               x0=1 x=3   x(h)
                                   f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades
                                   (ºC).
                                         ∆y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8
                                   A razão ∆y/∆x = 4ºC/h, significa
                                  que, entre 1h e 3h, a temperatura
                                  aumentou 4ºC por hora, em média.
TEMPERATURA DE UMA SALA
• Noção Intuitiva
    – Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num
      instante bem próximo de x0 = 1h.
 y(ºC)
                                x         x        f(x)       ∆x        ∆y       ∆y/ ∆x
 f(3)=9
                             1h30min     1,5      2,25        0,5      1,25        2,5
           ∆y                1h12min     1,2      1,44        0,2      0,44        2,2

                             1h06min     1,1      1,21        0,1      0,21        2,1
  f(1)=1

                ∆x                     1,000277   1,00055   0,000277   0,00055   2,000360
                             1h1seg        7         5          7         5          1
           x0=1 x=3   x(h)



     À medida que ∆x se aproxima de zero,
     ∆y/∆x se aproxima de 2.
TEMPERATURA DE UMA SALA
 y(ºC)
                                                      ∆y          f ( x) − f ( x0 )
 f(3)=9                      f ' ( x0 ) = y ' = lim      = lim
                                                ∆x →0 ∆x   x → x0      x − x0
           ∆y
                             x 2 −1        ( x − 1)( x + 1)
                        lim         = lim                   = lim( x + 1) = 2º C / h
                        x →1 x − 1    x →1      x −1          x →1
  f(1)=1

                ∆x
           x0=1 x=3   x(h)



 O limite da razão ∆y/∆x, quando ∆x → 0, exprime que, quando x
aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a
temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)
EXEMPLOS
Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto
x0 = 3, ou seja, f’(3).

                                ∆y          f ( x) − f ( x0 )
       f ' ( x0 ) = y ' = lim      = lim
                          ∆x →0 ∆x   x → x0      x − x0
Temos: x0 = 3      e    f(x0) = f(3) = 2.32 = 18

              2x 2 − 18       2( x 2 − 9)       2( x + 3)( x − 3)
f ' (3) = lim           = lim             = lim
         x →3 x − 3      x →3 x − 3        x →3      x −3

              f ' (3) = lim 2( x + 3) = 12
                        x →3
EXEMPLOS
Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou
seja, f’(2).
                                 ∆y          f ( x) − f ( x0 )
        f ' ( x0 ) = y ' = lim      = lim
                           ∆x →0 ∆x   x → x0      x − x0
Temos: x0 = 2      e    f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8

               x2 − 6x + 8        ( x − 2)( x − 4)
f ' (2) = lim              = lim                   = lim( x − 4) = −2
          x →2    x−2        x →2       x−2          x →2
EXEMPLOS
Exemplo 4 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de
motores, sendo o custo mensal de produção dado por:
C(x) = 1500 + x (em reais).
a) Determine a derivada no ponto x0 = 10 motores.
b) Interprete o resultado obtido.
a) f(x0) = f(10) = 1500 + 10 = 1510
                                    ∆y          f ( x) − f ( x0 )
           f ' ( x0 ) = y ' = lim      = lim
                              ∆x →0 ∆x   x → x0      x − x0
                                 1500 + x − 1510                  x − 10
       f ' ( x 0 ) = lim                             = lim               =1
                       x →10          x − 10            x →10 x − 10
b) O resultado f’(x0) = 1, significa que a cada aumento
de unidade de motor, há um aumento de 1 real no
custo mensal, a partir de 100 motores.
EXEMPLOS
Exemplo 5 - Consideremos a função C(x) = custo da produção
de x sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos,
tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.
O que significa isso?
Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e
produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20
reais, aproximadamente.
DÚVIDAS?
joao.alessandro@grupointegrado.br
        jalmat@hotmail.com

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Concurso FEMAR Resultado Final Etapa1-EmpregoscomEtapaII.pdf
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Aula 05 derivadas - conceitos iniciais

  • 1. AULA 05 MATEMÁTICA II Professor: João Alessandro DERIVADAS: CONCEITOS INICIAIS
  • 2. A LINGUAGEM DO MOVIMENTO Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. derivadas A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções. Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.
  • 3. A LEI DA QUEDA DOS CORPOS A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. • Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de (Leipzig, 1 de julho 1643 — Londres, de 1646 — Hanôver, 31 de Março de 14 de Novembro de 1727) 1716)
  • 4. A LINGUAGEM DO MOVIMENTO Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenômenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espetacular desenvolvimento científico e tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática. () O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.
  • 5. INTRODUÇÃO Se uma função é representada graficamente por uma reta (função afim) facilmente sabemos com que velocidade varia essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função. y f(b) f(b) - f(a) ∆y α f(a) b–a f ( b) − f ( a) ∆x tmv = tgα = =m 14 4 −a 3 b244 taxa média V ∆y y de variação V ∆x x O a b x
  • 6. E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… y f(b) f ( b) − f ( a) tmv = =m 4− a 3 b 14 244 V ∆y y V ∆x x f(b) - f(a) ∆y f(a) b–a O a ∆x b x
  • 7. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NA GEOMETRIA ANALÍTICA
  • 8. E… quando tomamos o limite? y Vamos, então, estudar Derivadas! f(x) ∆y f(x) − f(x 0 ) = m(x − x 0 ) f(x) - f(x0) f ' (x 0 ) = tgα = m f(x0) α ∆x x0 x-x0 x f(x) − f(x 0 ) = f ' (x).(x − x 0 ) O x y − f(x 0 ) = y '.(x − x 0 )
  • 9. OUTROS EXEMPLOS Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2. – Então temos que: y(ºC) • A partir de x0 = 1h, a variável x f(3)=9 aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h. ∆y ∆x = x – x0 = 3 – 1 = 2 • A temperatura y = f(x) também sofre f(1)=1 variação: passou de f(1) = 1ºC para ∆x x0=1 x=3 x(h) f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC). ∆y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8 A razão ∆y/∆x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média.
  • 10. TEMPERATURA DE UMA SALA • Noção Intuitiva – Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h. y(ºC) x x f(x) ∆x ∆y ∆y/ ∆x f(3)=9 1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5 ∆y 1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2 1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1 f(1)=1 ∆x 1,000277 1,00055 0,000277 0,00055 2,000360 1h1seg 7 5 7 5 1 x0=1 x=3 x(h) À medida que ∆x se aproxima de zero, ∆y/∆x se aproxima de 2.
  • 11. TEMPERATURA DE UMA SALA y(ºC) ∆y f ( x) − f ( x0 ) f(3)=9 f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0 ∆y x 2 −1 ( x − 1)( x + 1) lim = lim = lim( x + 1) = 2º C / h x →1 x − 1 x →1 x −1 x →1 f(1)=1 ∆x x0=1 x=3 x(h) O limite da razão ∆y/∆x, quando ∆x → 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC. (aproximadamente, pois se trata de limites)
  • 12. EXEMPLOS Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3). ∆y f ( x) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0 Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18 2x 2 − 18 2( x 2 − 9) 2( x + 3)( x − 3) f ' (3) = lim = lim = lim x →3 x − 3 x →3 x − 3 x →3 x −3 f ' (3) = lim 2( x + 3) = 12 x →3
  • 13. EXEMPLOS Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2). ∆y f ( x) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0 Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8 x2 − 6x + 8 ( x − 2)( x − 4) f ' (2) = lim = lim = lim( x − 4) = −2 x →2 x−2 x →2 x−2 x →2
  • 14. EXEMPLOS Exemplo 4 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por: C(x) = 1500 + x (em reais). a) Determine a derivada no ponto x0 = 10 motores. b) Interprete o resultado obtido. a) f(x0) = f(10) = 1500 + 10 = 1510 ∆y f ( x) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0 1500 + x − 1510 x − 10 f ' ( x 0 ) = lim = lim =1 x →10 x − 10 x →10 x − 10 b) O resultado f’(x0) = 1, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 1 real no custo mensal, a partir de 100 motores.
  • 15. EXEMPLOS Exemplo 5 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais. Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato. O que significa isso? Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.