1) A aula trata da derivada em cadeia e derivada implícita. 2) A regra da cadeia permite calcular a derivada de funções compostas, como f(g(x)), sabendo-se as derivadas de f e g. 3) É possível obter a derivada dy/dx de funções dadas implicitamente por equações F(x,y)=c, derivando ambos os lados da equação.

1. Aula 3
Deriva»~o em cadeia e deriva»~o
ca ca
impl¶
³cita
A regra da cadeia ¶ uma regra de deriva»~o que nos permite calcular a derivada de
e ca
uma composi»~o (ou um encadeamento) de fun»~es, tais como f (g(x)) ou f (g(h(x))),
ca co
conhecendo-se as derivadas f 0 (x), g 0 (x) e h0 (x).
Quando temos uma fun»~o composta, tal como y = (x3 + x ¡ 1)10 , podemos
ca
decomp^-la em fun»~es elementares. Simplesmente escrevemos
o co
y = u10 ; u = x3 + x ¡ 1:
Na nota»~o de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que
ca
dy dy du
= ¢
dx du dx
No caso, teremos ent~o
a
dy dy du
= ¢
dx du dx
= 10u9 ¢ (3x2 + 1)
= 10(x3 + x ¡ 1)9 (3x2 + 1)
Repetindo tudo, passando da nota»~o de Leibniz para a nota»~o de Lagrange,
ca ca
temos
y = f (u); u = g(x)
e ent~o
a
dy dy du
= ¢
dx du dx
= f 0 (u) ¢ g 0 (x)
= f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x)
19

2. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 20
Regra 3.1 (Deriva»~o em cadeia) Se y = f (u) e u = g(x) ent~o
ca a
dy dy du
= ¢
dx du dx
Em outras palavras, sendo y = f (g(x)), tem-se
y 0 = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x):
Observa»~o 3.1 A id¶ia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶ a seguinte: sendo
ca e e
y = f (u) e u = g(x), temos ¢u = g(x + ¢x) ¡ g(x) e, ¢y = f (u + ¢u) ¡ f (u)
Assumindo, para simpli¯car, que ¢u 60 sempre que ¢x = 0 (o que nem sempre
= 6
ocorre!), temos
¢y ¢y ¢u
= ¢
¢x ¢u ¢x
Quando ¢x tende a 0, ¢u tamb¶m tende a 0 (observa»~o 2.1), e assim
e ca
¢y ¢y ¢u
lim = lim ¢ lim
¢x!0 ¢x ¢u!0 ¢u ¢x!0 ¢x
e portanto
dy dy du
= ¢
dx du dx
Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»~o mais rigorosa da regra da cadeia,
ca
um procedimento poss¶ mas deveras so¯sticado.
³vel
dy
Exemplo 3.1 Calcular , sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8 .
dx
Solu»~o. Escrevemos
ca
y = u8 ; u = v10 + 1; v = x2 + 1
Assim, estamos compondo (encadeando) tr^s fun»oes. Aplicando a regra da cadeia
e c~
temos
dy dy du
= ¢
dx du dx
dy du dv
= ¢ ¢
du dv dx
= 8u7 ¢ 10v 9 ¢ 2x
= 160(v 10 + 1)7 (x2 + 1)9 x
= 160x((x2 + 1)10 + 1)7 (x2 + 1)9

3. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 21
3.1 Derivadas de fun»~es dadas implicitamente
co
Muitas vezes, duas vari¶veis x e y s~o tais que, em um certo intervalo de valores de x,
a a
y depende de x, ou seja, y ¶ uma fun»~o da vari¶vel x, mas em lugar de uma f¶rmula
e ca a o
y = f (x), temos uma equa»~o F (x; y) = c, inter-relacionando ambas as vari¶veis, tal
ca a
como nos dois exemplos abaixo.
(1) x2 + y 2 = 2
(2) x3 + y 3 = x + y + xy
µ
As vezes, ¶ poss¶ resolver a equa»~o dada em y, ou seja, isolar" y no primeiro
e ³vel ca
membro da equa»~o, expressando explicitamente y como vari¶vel dependendo de x. Por
ca a
exemplo, no caso da equa»~o (1), podemos fazer
ca
y 2 = 2 ¡ x2
e ent~o
a p
y = § 2 ¡ x2
Neste caso, deduzimos ent~o que as fun»oes
a c~
p p
y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2
ambas satisfazem a equa»~o x2 + y 2 = 2.
ca
No caso da equa»~o (2), podemos veri¯car que, por exemplo, o par (1; 0) satisfaz
ca
a equa»~o, mas n~o nos ¶ ¶bvio como resolver a equa»~o em y e obter uma fun»~o
ca a e o ca ca
3 3
y = f (x) satifazendo f (1) = 0 e x + (f(x)) = x + f(x) + xf (x).
dy
No entanto, em ambos os casos, ¶ quase sempre poss¶ obter a derivada
e ³vel , em
dx
um determinado ponto x0 , se conhecemos tamb¶m o valor correspondente y0 .
e
Para isto, derivamos ambos os membros da equa»~o F (x; y) = c, considerando y como
ca
fun»~o de x, e usamos as regras de deriva»~o, bem como a regra da cadeia, quando
ca ca
necess¶rio.
a
dy
Exemplo 3.2 Obtendo , a partir da equa»~o x2 + y 2 = 2, por deriva»~o impl¶
ca ca ³cita.
dx
Denotaremos por (¤)0 a derivada da express~o ¤ (a express~o que estiver entre
a a
par^nteses), em rela»~o a x. Inicialmente notamos que, sendo y uma fun»~o de x,
e ca ca
2 0 0
temos, pela regra da cadeia, (y ) = 2y ¢ y .
dy
Para obtermos (ou y 0 ) no caso da equa»~o x2 + y 2 = 2, fazemos
ca
dx

4. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 22
x2 + y 2 = 2
(x2 + y 2 )0 = (2)0
(x2 )0 + (y 2 )0 = 0
2x + 2yy 0 = 0
yy 0 = ¡x
x
y0 = ¡
y
dy x
Isto quer dizer que, se y ¶ fun»~o de x satisfazendo x2 + y 2 = 2, ent~o
e ca a =¡ .
dx y
p p
Como vimos, as fun»~es y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2 ambas
co
2 2
satisfazem x + y = 2. Pela deriva»~o impl¶
ca ³cita" efetuada acima, temos
dy x x x
1. Se y = f1 (x), ent~o
a =¡ =¡ . Neste caso, y 0 = ¡ p ;
dx y f1 (x) 2 ¡ x2
dy x x x
2. Se y = f2 (x), ent~o
a =¡ =¡ . Neste caso, y 0 = p
dx y f2 (x) 2 ¡ x2
dy
Exemplo 3.3 Obtendo , a partir da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, por deriva»~o
ca ca
dx
impl¶
³cita.
dy
Para obtermos (ou y 0 ) no caso da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, fazemos
ca
dx
x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y
(x3 + y 3 )0 = (x2 y 2 + x + y)0
3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 y 2 )0 + 1 + y 0
3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 )0 y 2 + x2 (y 2 )0 + 1 + y 0
3x2 + 3y 2 y 0 = 2xy 2 + x2 ¢ 2yy 0 + 1 + y 0
Obtemos ent~o y 0 , deixando no primeiro membro somente os termos com y 0 :
a
3y 2 y 0 ¡ 2x2 yy 0 ¡ y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
(3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1)y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
1 + 2xy 2 ¡ 3x2
y0 = 2
3y ¡ 2x2 y ¡ 1
Exemplo 3.4 Obter a reta tangente µ curva x3 +y 3 = x2 y 2 +x+y no ponto P = (1; 0).
a
Note que o problema s¶ faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence µ curva:
o a
3 3 2 2
1 + 0 = 1 ¢ 0 + 1 + 0.

5. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 23
dy
Primeiro obtemos ³cita, a partir da equa»~o x3 + y 3 =
, por deriva»~o impl¶
ca ca
dx
x2 y 2 + x + y.
0 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
Isto j¶ foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y = 2
a .
3y ¡ 2x2 y ¡ 1
O coe¯ciente angular da reta tangente procurada ¶
e
¯ ¯
dy ¯
¯ 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 ¯
¯ 1¡3
dx ¯x=1 = 3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1 ¯x=1 = ¡1 = 2
y=0 y=0
Assim sendo, a reta procurada tem equa»~o y ¡ 0 = 2(x ¡ 1), ou seja, y = 2x ¡ 2.
ca
3.2 Derivada da fun»~o pot^ncia f (x) = xr , sendo r
ca e
um n¶mero racional
u
Da ¶lgebra elementar, temos
a
1 p
x 2 = x (x ¸ 0)
1 p
x 3 = 3 x (x real qualquer)
1 p
x n = n x (n > 0, x ¸ 0 se n ¶ par, x qualquer se n ¶ ¶
e e ³mpar)
p p p
x q = q x (q > 0; quando q ¶ par, x ¸ 0 se p ¶ ¶
e e ³mpar positivo, e x > 0 se p ¶ impar
e
negativo)
Regra 3.2
1 1 1
(x n )0 = ¢ x n ¡1
n
ou seja,
p 1
( n x)0 = p
n
n xn¡1
Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0,
p p p ¡1
(x q )0 = ¢ xq
q
Portanto, se r ¶ um expoente racional,
e
(xr )0 = rxr¡1
Demonstra»~o da regra 3.2.
ca
1
Se y = x n , ent~o y n = x.
a
Aplicando deriva»~o impl¶
ca ³cita obtemos
ny n¡1 y 0 = 1

6. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 24
1 1 1 1 1 1¡n 1 1
Portanto y 0 = n¡1
= ¢ y 1¡n = ¢ (x n )1¡n = ¢ x n = ¢ x n ¡1
ny n n n n
Demonstra»~o da regra 3.3.
ca
p
Sendo p e q inteiros, q > 0, se y = x q , ent~o y q = xp .
a
Por deriva»~o impl¶
ca ³cita, obtemos ent~o
a
(y q )0 = (xp )0 ou, equivalentemente qy q¡1 y 0 = pxp¡1 .
pxp¡1 pxp x¡1 pxp x¡1 p p p p
Assim, y 0 = = q ¡1 = p ¡1 = yx¡1 = xp=q x¡1 = x q ¡1
qy q¡1 qy y qx y q q q
p
Exemplo 3.5 Calcular a derivada de f (x) = 3
3x2 + 3x + 5
1
Solu»~o. Temos f (x) = (3x2 + 3x + 5) 3 .
ca
Aplicando deriva»~o em cadeia e a regra 3.3, temos
ca
1
f 0 (x) = [(3x2 + 3x + 5) 3 ]0
1 2
= (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (3x2 + 3x + 5)0
3
1 2
= (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (6x + 3)
3
2
= (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (2x + 1)
2x + 1
=
(3x 2 + 3x + 5)2=3
2x + 1
=p 3
(3x2 + 3x + 5)2
Solu»~o alternativa. Sendo y = f(x), temos
ca
p3
y = 3x2 + 3x + 5
e portanto
y 3 = 3x2 + 3x + 5
Aplicando deriva»~o impl¶
ca ³cita, obtemos
6x + 3
3y 2 y 0 = 6x + 3, ou seja, y 0 =
3y 2
de onde
2x + 1 2x + 1
y0 = p 2 = p
( 3x + 3x + 5)
3 2 3
(3x2 + 3x + 5)2

7. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 25
3.3 Problemas
dy
1. Calcule
dx
µ 3 ¶5 µ 2 ¶4
x x
(a) y = +1 + +1
3 2
((x3 + 7)4 + x)5
(b) y =
x2 + 1
µ ¶10
x
(c) y =
x+1
2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
(a) f(x) = (x2 ¡ 3x + 8)3
x
(b) f(x) = 2
(x ¡ 1)4
(c) F (v) = (17v ¡ 5)1000
(d) s(t) = (4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡2
(u2 + 1)3
(e) k(u) =
(4u ¡ 5)5
3. Determine (i) a equa»~o da reta tangente µ curva no ponto indicado e (ii) os
ca a
pontos do gr¶¯co em que reta tangente µ curva ¶ horizontal, nos casos
a a e
(a) y = (4x2 ¡ 8x + 3)4 , P = (2; 81).
(b) y = (2x ¡ 1)10 , P = (1; 1).
4. Se k(x) = f (g(x)), com f(2) = ¡4, g(2) = 2, f 0 (2) = 3 e g 0 (2) = 5, calcule
k 0 (2).
5. Determine y 0 sendo y uma fun»~o de x dada implicitamente pela equa»~o
ca ca
(a) 2x3 + x2 y + y 3 = 1
1 1
(b) 2 + 2 = 1
x y
(c) (y 2 ¡ 9)4 = (4x2 + 3x ¡ 1)2
6. Veri¯que primeiramente que o ponto P pertence µ curva dada e ache a equa»~o
a ca
da reta tangente µ curva no ponto P .
a
(a) xy = ¡16, P = (¡2; 8);
(b) 2x ¡ x y + y 3 ¡ 1 = 0,
3 2
P = (2; ¡3).
7. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~

8. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 26
p
(a) f(x) = 3
8x3 + 27
p
(b) f(x) = (7x + x2 + 3)6
4
(c) f(t) =
(9t 2 + 16)2=3
p3
2z + 3
(d) g(z) = p
3z + 2
5
(e) F (v) = p5
v 5 ¡ 32
dy
8. Calcule se
dx
p
(a) 6x + xy ¡ 3y = 4
p
(b) 3x2 + 3 xy = 2y 2 + 20
9. Uma fun»~o ¶ par se f(¡x) = f (x) para todo x em seu dom¶
ca e ³nio, e ¶ ¶
e ³mpar se
f (¡x) = ¡f (x) para todo x em seu dom¶
³nio. Sendo f deriv¶vel, demonstre que
a
(a) Se f ¶ par, ent~o f 0 ¶ ¶
e a e ³mpar (ou seja, se f (¡x) = f (x) para todo x no
dom¶ de f), ent~o f 0 (¡x) = ¡f 0 (x);
³nio a
e ³mpar, ent~o f 0 ¶ par.
(b) Se f ¶ ¶ a e
3.3.1 Respostas e sugest~es
o
µ 3 ¶4 µ 2 ¶3
dy 2 x x
1. (a) = 5x + 1 + 4x +1
dx 3 2
dy
(b) =
dx
5((x3 + 7)4 + x)4 (12x2 (x3 + 7)3 + 1)(x2 + 1) ¡ 2x((x3 + 7)4 + x)5
(x2 + 1)2
dy 10x9
(c) =
dx (x + 1)11
2. (a) f 0 (x) = 3(x2 ¡ 3x + 8)2 (2x ¡ 3)
¡(7x2 + 1)
(b) f 0 (x) =
(x2 ¡ 1)5
(c) F 0 (v) = 17000(17v ¡ 5)999
(d) s0 (t) = ¡2(4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡3 (20t4 ¡ 9t2 + 2)
(u2 + 1)2 (4u2 ¡ 30u ¡ 20)
(e) k0 (u) =
(4u ¡ 5)6
3. (a) (i) y ¡ 81 = 864(x ¡ 2), (ii) (1; 1), (1=2; 0) e (3=2; 0).
(b) (i) y ¡ 1 = 20(x ¡ 1), (ii) (1=2; 0).
4. k0 (2) = 15.

9. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
»~ »~ ³cita 27
¡(6x2 + 2xy)
5. (a) y0 =
x2 + 3y2
y3
(b) y0 = ¡
x3
(4x2 + 3x ¡ 1)(8x + 3)
(c) y0 =
4y(y2 ¡ 9)3
6. (a) 4x ¡ y + 16 = 0
(b) y + 3 = ¡ 36 (x ¡ 2)
23
8x2
7. (a) f 0 (x) = 8x2 (8x3 + 27)¡2=3 = p
3
(8x3 + 27)2
p µ ¶
x
(b) f 0 (x) = 6(7x + x2 + 3)5 7+ p
x2 + 3
¡48t
(c) f 0 (t) = p
3
(9t2 + 16)5
p
0 (z) = ¡3 2z + 3 + 2
3
(d) g p p p
2 (3z + 2)3 3 3z + 2 3 (2z + 3)2
¡5v 4
(e) F 0 (v) = ¡5v 4 (v 5 ¡ 32)¡6=5 = p
5
(v 5 ¡ 32)6
p
12 xy + y
8. (a) y0 = p
6 xy ¡ x
18x5=3 y 2=3 + y
(b) y0 =
12x2=3 y 5=3 ¡ x
9. (a) Se f ¶ uma fun»~o par, temos a igualdade f (¡x) = f (x). Derivando ambos
e ca
os membros em rela»~o a x, temos [f (¡x)]0 = f 0 (x). Por deriva»~o em cadeia,
ca ca
aplicada ao primeiro membro, temos f 0 (¡x) ¢ (¡x)0 = f 0 (x), logo ¡f 0 (¡x) =
f 0 (x), ou seja f 0 (¡x) = ¡f 0 (x). Conclu¶
³mos ent~o que se f ¶ fun»~o par, sua
a e ca
derivada f 0 ¶ fun»~o ¶
e ca ³mpar.