O documento fornece exemplos resolvidos de como calcular o volume de sólidos de rotação. Explica as fórmulas para rotação em torno dos eixos x e y e como determinar o raio de rotação. Também discute casos onde o sólido é maciço ou oco e como calcular cada um.

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Volume de Sólidos de
Rotação
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Escrito em: 30/03/2016 - Atualizado em: 19/11/2017.
Como determinar o volume de um sólido de rotação?
Contanto que o sólido rotacional não tenha nenhum espaço vazio, você pode
usar a fórmula:
V = π
b

[r()]2
d (Rotação em )
se o sólido for gerado em torno do eixo , ou então,
Vy = π
d
c
[(r(y)]2
dy (Rotação em y)
se o sólido for gerado em torno do eixo y.
OBS.: A maior dificuldade de se determinar o volume de um sólido de rotação
normalmente é determinar o raio de rotação (r() ou r(y)), do sólido. O raio
de rotação é a distância entre o eixo de rotação e a extremidade externa da área
rotativa. Lembre-se também que ele é sempre perpendicular ao eixo de rotação.
Exemplo 1: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y =
2 − 2 no intervalo [−, ].
Solução:
A primeira dica para resolver esse tipo de problema é desenhar o gráfico da
curva com a área por ela limitada. Isso ajudará você a visualizar o sólido cujo vol-
ume pretende-se determinar.
O gráfico a seguir mostra a região (em azul) limitada pela curva que será rota-
cionada.
1

2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
a-a
a
Figura 1: Região a ser rotacionada.
Como o problema não diz sobre qual eixo a figura será rotacionada (x ou y)
vamos calcular o volume do sólido para as duas situações.
Usando X Como Eixo de Rotação:
O próximo passo, após representar a curva e a região limitada por ela grafica-
mente, é identificar se o sólido formado com a rotação em torno do eixo “x" é maciço
ou oco.
A melhor forma de saber isso é usando (literalmente) a sua imaginação. Se rota-
cionássemos a área em azul do gráfico 1 em torno do eixo "x" a uma alta velocidade
de longe veríamos uma esfera igual a esfera da figura 2.
z
x
y
a-a
a
Figura 2: Esfera maciça de raio a.
Com esse exercício imaginativo além de enxergar a forma do sólido também con-
seguimos ver que o mesmo não possui nenhuma cavidade, ou em outras palavras,
é solido maciço.
Como neste caso o sólido é maciço podemos partir para o próximo passo que é
determinar o raio de rotação.
O raio de rotação é a extensão do segmento (em vermelho na figura 3) com uma
extremidade no eixo  e outra na curva.
2

3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
a-a
r()
Figura 3.
Determinar a extensão do raio de rotação, r() é bem simples: sua extensão é a
curva de cima menos a curva de baixo. Como a curva de cima é ƒ() = 2 − 2 e
a curva de baixo é o eixo  (g() = 0), o raio de rotação será
r() = ƒ() ˘ g() = 2 − 2 − 0 = 2 − 2
Assim, o volume do sólido rotacional será:
V = π

−
2 − 2
2
d =
4
3
π3
Note que este é exatamente o resultado que teríamos se usássemos a fórmula
Ve =
4
3
π · r3
que calcula o volume de uma esfera de raio r.
Usando Y Como Eixo de Rotação:
Como já esboçamos o gráfico da curva e da região por ela limitada vamos passar
para a próxima etapa que é: descobrir se o sólido criado pela rotação em torno do
eixo "y" gera um sólido maciço.
z
x
y
a-a
a
Figura 4: Meia esfera de raio a.
Pela imagem acima verificamos que o sólido formado é uma meia esfera maciça.
Assim, podemos determinar o raio de rotação (nesse caso r(y)) e calcular o volume
do sólido sem problemas.
3

4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Olhando o gráfico a seguir é fácil verificar que o raio de rotação é limitada a
esquerda pela curva g(y) = 0 e ƒ(y) = 2 − y2.
a-a
r(y)
Figura 5.
Assim:
r(y) = ƒ(y) − g(y) = 2 − y2
logo o volume do sólido será:
Vy = π

0
2 − y2
2
dy =
2
3
π3
Que é a metade do volume de uma esfera de raio .
Exemplo 2: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y = 3
e pela retas y = 8 e y = 0.
Solução:
O gráfico da curva e as retas que a limitam a área que será rotacionada (em
azul), é apresentado a seguir.
y = 3
y = 8
x
y
2
Fig. 1: Região entre as curvas.
4

5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como novamente o problema não fornece a informação sobre que eixo a região
da figura 1 está sendo rotacionada vamos calcular o volume do sólido para os dois
casos.
Usando Y Como Eixo de Rotação:
A figura a seguir mostra como seria o sólido criado com a rotação da figura 1 em
torno do eixo y. Note que temos uma figura maciça.
z
x
y
Fig. 2: Rotação em y
Observe pela figura 1 que para a rotação em torno do eixo y temos r() = 3
y.
y = 3
y = 8
x
y
2
r(y)
Fig.3: Raio de rotação em vermelho
r() = 3
y − 0
Sendo assim, o volume do sólido será:
5

6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Vy = π
8
0
[r(y)]2
dy
Vy = π
8
0
( 3
y)2
dy
Vy =
96
5
π
Usando X Como Eixo de Rotação:
A figura 3 mostra, mais ou menos, como seria o sólido gerado pela rotação da
figura 1 em x.
y
x
8
-8
Fig. 4: Rotação em x. Figura oca.
Aqui a rotação em  não gera uma figura maciça. Na verdade, o sólido mais se
parece com um cilindro encaixado num funil. Nesse caso o cálculo do volume é um
trabalho de três passos.
6

7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
1◦ passo:
Encontramos o raio de rotação da curva que formaria o cilindro.
y
x
r()
8
-8
Fig. 4.1: Raio de rotação do cilindro.
y = 3
y = 8
x
y
2
r()
Fig. 4.2: r(x) limitado pela curva y = 8 e y = 0.
r() = 8 − 0 = 8
2◦ passo:
Encontramos o raio de rotação do “funil".
7

8. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
y
x
r ()
8
-8
Fig. 4.3: Raio de rotação do funil.
y = 3
y = 8
x
y
r ()
Fig. 4.4: r’(x) limitado por y = x3 e y = 0.
r () = 3
− 0 = 3
3◦ passo:
De posse de r() (raio de rotação do cilindro) e r () (raio de rotação do funil)
fazemos:
V = π
2
0
(r())2
− r ()
2
d
= π
2
0
82
− (3
)2
d
= π
2
0
64 − 6
d
8

9. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
=
768
7
π
Comentário:
Quando o sólido não é maciço a estratégia é calcular o volume da figura (como
se esta fosse maciça), o volume da cavidade e em seguida subtrair do primeiro
resultado o segundo. Já para saber se um sólido é ou não maciço utilize gráficos.
Lembre-se também que ao contrário do cálculo de uma área em que a integração ao
longo de qualquer eixo (x ou y) não influencia na resposta final o mesmo NAO ocorre
com o volume. A rotação em torno de um eixo ou outro (ver exemplo anterior) pode
mudar completamente a forma do sólido.
Exemplo 3: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y = −2 + 2 + 1 e y = 1 em torno do eixo .
Solução:
A área (em azul) limitada pelas curvas acima e que sofrerá a rotação é mostrada
na figura a seguir.

y
y = 1
y = −2 + 2 + 1
Fig. 1: Região que será rotacionada em azul.
Claramente percebemos que a rotação dessa área, em torno do eixo , gera um
sólido oco.
9

10. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Fig. 2. Sólido visto lateralmente (esquerda)
e de cima (direita).
Em vista disso procedemos assim:
Determinamos o raio de rotação da curva mais acima em relação ao eixo  de
rotação.
x
y
y=1
y = −2 + 2 + 1
r(x)
r() = (−2
+ 2 + 1) − 0 = −2
+ 2 + 1
Agora o raio de rotação da curva mais próxima
x
y
y=1
y = −2 + 2 + 1
r’(x)
10

11. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
r () = 1 − 0 = 1
E finalmente fazemos:
V = π
2
0
(r())2
− r ()
2
d
V = π
2
0
(−2
+ 2 + 1)2
− (1)2
d
V = π
2
0
4
− 43
+ 22
+ 4 d
V =
56
15
π
Exemplo 4: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y =
1
4
2 + 1, y = 0,  = 1 e  = 4 em torno do eixo .
Solução:
A região entre as curvas (em azul) a seguir gera claramente um sólido maciço
quando rotacionada em torno do eixo .
 = 1  = 4
1
4
2 + 1
Figura 1.
A extensão do raio de rotação será r() =
1
4
2 + 1 − 0.
 = 1  = 4
1
4
2 + 1
r()
11

12. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Figura 2: Raio de rotação.
Sendo assim:
V = π
4
1
[r()]2
d
V = π
4
1
1
4
2
+ 1
2
d
V =
2103
80
π
Exemplo 5: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
( − 1)2 = 20 − 4y, y = 1 e y = 3 em torno do eixo  = 1.
Solução:
A região a ser rotacionada aparece em azul na imagem a seguir:
( − 1)2 = 20 − 4y
eixo
R
y=1
y=3
Figura 1.
Note que o raio de rotação, neste caso é limitado pela curva y = (−1)2 = 20−4y
e pelo próprio raio de rotação  = 1. Assim:
r() = 20 − 4y + 1 − 1
r() = 20 − 4y
12

13. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
De modo que o volume será:
V = π
3
1
20 − 4y
2
dy
V = 24π
Exemplo 6: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y = 2 + 1 e y =  + 3 em torno do eixo .
Solução:
A figura a seguir mostra a região (em azul) a ser rotacionada.
2 + 1
 + 3
-1 2
Figura 1.
Claramente a região rotacionada em torno do eixo  gera uma figura oca. Se
sentir dificuldade em visualizar isso pode tentar fazer um esboço tridimensional do
sólido.
Assim vamos determinar o raio de rotação da curva mais externa.
13

14. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
2 + 1
 + 3
-1 2
R
r() = ( + 3) − 0
O raio de rotação da curva menos externa.
2 + 1
 + 3
-1 2
R
r () = 2
+ 1 − 0
Em seguida calculamos o volume.
V = π
2
−1
( + 3)2
− (2
+ 1)2
d
14

15. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
V =
117
5
π
Exemplo 7: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y =
6

− 3 e y = 3  em torno do eixo .
Solução:
O gráfico das curvas descritas é mostrado a seguir.
y = 6

− 3
y = 3 
1
Nesse caso, procedemos assim: calculamos o volume formado apenas pela curva
y = 3  e a reta  = 1.
y = 3 
1
r(x)
V = π
1
0
3 
2
d
15

16. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
V =
9
2
π
Agora calculamos o volume formado apenas pela curva y =
6

− 3 e a reta  = 1.
y = 6

− 3
1
r(x)
V
= π
2
1
6

− 3
2
d
V
= 9π(3 − 4 · og(2))
Finalmente somamos esses dois resultados.
V =
9
2
π + 9π (3 − 4 · og(2))
V = π
63 − 72 · og(2)
2
16

17. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Este trabalho está licenciado com uma
Licença Creative Commons -
Atribuição-NãoComercial-
CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por
isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do
mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos
de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com
Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer-
cícios entre em contato.
nbbedego@gm.com
.ƒcebook.com/theNmberType
.nmber890.ordpress.com
17