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CÁLCULO 4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
                                                        LISTA DE EXERCÍCIOS 1


Exercício 1: Mostre que a função y  xe x é a solução da equação linear: y' '  2 y'  y  0 no intervalo
 ,  .

Exercício 2:
a) Mostre que as funções y1  c1cos 4x e y 2  c 2 sen 4x , onde c1 e c 2 são constantes arbitrárias, são
   ambas as soluções da equação diferencial: y''  16y  0 .
b) Mostre que y  y1  y 2 também é solução da equação diferencial anterior.


Exercício 3: Classifique as equações diferenciais, considerando y(x), em lineares e não lineares e dê a
sua ordem:

a) 1  x  y''  4xy'  5y  cos x                                  b) yy''  2 y  1  x 2
                              4
       d3y       dy                                                    d2y
c) x              2  y0                                         d)         9y  seny
                 dx 
          3
     dx                                                                  dx 2
e) x 3 y 4   x 2 y''  4xy'  3y  0                              f) 1  y 2  dx  xdy  0

Exercício 4: Verifique se as funções apresentadas são soluções das respectivas equações diferenciais
dadas considerando y(x):
                    x
                                               dy
a) 2y' y  0, y  e 2                      b)      2y  e 3x , y  e 3x  10 e 2x
                                               dx
c) y' 25  y 2 , y  5 tan 5x                                       d)
                                                                          dy
                                                                          dx
                                                                               
                                                                                   y
                                                                                   x
                                                                                       ,              
                                                                                                       2
                                                                                           y  x  c1 , c1  0, x  0
         2
       d y              dy
e) x         2
                 2           0,   y  c1  c 2 x 1                f) x 2 y''  3xy' 4y  0, y  x 2  x 2 ln x, x  0
       dx               dx

Exercício 5: Resolva as equações:

       dy                                                                                       dy
a)         5 y  50                           b) dx  e3 x dy  0                         c) x     4y
       dx                                                                                       dx
                                                                                              dy
d) y '  e3 x  2 y                            e) y '  x 1  y 2                          f)     2 x  xy
                                                                                              dx
g) ydy  x 1  y 2  dx
                                                                   dy
                                                h) (e x  e x )       y2
                                                                   dx


Exercício 6: Resolva o problema de valor inicial:

    dy                                            dy
     5 y  20                                     2 xy  x                     x 2 y '  y  xy
a)  dx                                        b)  dx                         c) 
    y (0)  2                                     y (0)  1                     y (1)  1
                                                 

                                                                                                                        RQ 6047 Rev. 05
                                                                                                                          Página 1 de 2
Exercício 7: O gráfico abaixo apresenta um conjunto de curvas integrais que representam a solução da
         dy
equação      2 xy . Indique as curvas referentes às soluções da condição dada:
         dx

a)   y(0)  5 curva (        )
b)   y(1)  1 curva (        )
c)   y(1)  1 curva (       )                                                                                  curva 1

d)   y(1)  3 curva (       )                                                                            curva 2
e)   y(0)  1 curva (       )
                                                                                                         curva 3




                                                                                                         curva 4

                                                                                                                curva 5



                                                                                   x
                                                               1
Exercício 8: Considere a equação diferencial ordinária : h  2     h  (2 x  1) e .
                                                                            2      2
                                                            x  4x
Indique qual a alternativa representa a solução da EDO.

               x
          x2  2                            x2 2x
                                                                         ( x  1) 2 x                                 x                          x
a)   h      e 1                b)    h     e               c)   h             e                 d)   h  2 x2 e 2         e)    h  xe x  e 2
          2                                 2                                2

_________________________________________________________________________________

Respostas:

Exercícios 3: a) Linear de 2°ordem                  b) Não linear de 2°ordem              c) Não linear de 3°ordem
              d) Não linear de 2°ordem              e) Linear de 4°ordem                  f) Não linear de 1°ordem

Exercícios 4: Todas as funções são soluções das respectivas equações.

Exercícios 5:
                                            e3 x
a)   y  10  Ce5 x              b)   y         C                     c)   y  C x4                   d)    2e3 x  3e2 y  C
                                             3
                                                         x2
            1 2                                                                                                            1
e) y  sen ( x  C )                   y  2Ce                         y   1  C e x                       y
                                                                                               2
                                                         2
                                  f)                               g)                                     h)
            2                                                                                                        arctg (e x )  C


Exercício 6:
                                                                                                   1
                                                                                               (1 )
                                                                                                   x
                                                  1 3  x2                                e
a)   y  4  2e 5 x                        b) y   e                         c)    y
                                                  2 2                                           x
Exercício 7:

a) curva 2      b) curva 3        c) curva 5        d) curva 1          e) curva 4


                                                                                                                                RQ 6047 Rev. 05
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  • 1. CÁLCULO 4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Exercício 1: Mostre que a função y  xe x é a solução da equação linear: y' '  2 y'  y  0 no intervalo  ,  . Exercício 2: a) Mostre que as funções y1  c1cos 4x e y 2  c 2 sen 4x , onde c1 e c 2 são constantes arbitrárias, são ambas as soluções da equação diferencial: y''  16y  0 . b) Mostre que y  y1  y 2 também é solução da equação diferencial anterior. Exercício 3: Classifique as equações diferenciais, considerando y(x), em lineares e não lineares e dê a sua ordem: a) 1  x  y''  4xy'  5y  cos x b) yy''  2 y  1  x 2 4 d3y  dy  d2y c) x  2  y0 d)  9y  seny  dx  3 dx dx 2 e) x 3 y 4   x 2 y''  4xy'  3y  0 f) 1  y 2  dx  xdy  0 Exercício 4: Verifique se as funções apresentadas são soluções das respectivas equações diferenciais dadas considerando y(x): x dy a) 2y' y  0, y  e 2 b)  2y  e 3x , y  e 3x  10 e 2x dx c) y' 25  y 2 , y  5 tan 5x d) dy dx  y x ,   2 y  x  c1 , c1  0, x  0 2 d y dy e) x 2 2  0, y  c1  c 2 x 1 f) x 2 y''  3xy' 4y  0, y  x 2  x 2 ln x, x  0 dx dx Exercício 5: Resolva as equações: dy dy a)  5 y  50 b) dx  e3 x dy  0 c) x  4y dx dx dy d) y '  e3 x  2 y e) y '  x 1  y 2 f)  2 x  xy dx g) ydy  x 1  y 2  dx dy h) (e x  e x )  y2 dx Exercício 6: Resolva o problema de valor inicial:  dy  dy   5 y  20   2 xy  x  x 2 y '  y  xy a)  dx b)  dx c)   y (0)  2  y (0)  1  y (1)  1   RQ 6047 Rev. 05 Página 1 de 2
  • 2. Exercício 7: O gráfico abaixo apresenta um conjunto de curvas integrais que representam a solução da dy equação  2 xy . Indique as curvas referentes às soluções da condição dada: dx a) y(0)  5 curva ( ) b) y(1)  1 curva ( ) c) y(1)  1 curva ( ) curva 1 d) y(1)  3 curva ( ) curva 2 e) y(0)  1 curva ( ) curva 3 curva 4 curva 5 x 1 Exercício 8: Considere a equação diferencial ordinária : h  2 h  (2 x  1) e . 2 2 x  4x Indique qual a alternativa representa a solução da EDO. x x2  2 x2 2x ( x  1) 2 x x x a) h e 1 b) h e c) h e d) h  2 x2 e 2 e) h  xe x  e 2 2 2 2 _________________________________________________________________________________ Respostas: Exercícios 3: a) Linear de 2°ordem b) Não linear de 2°ordem c) Não linear de 3°ordem d) Não linear de 2°ordem e) Linear de 4°ordem f) Não linear de 1°ordem Exercícios 4: Todas as funções são soluções das respectivas equações. Exercícios 5: e3 x a) y  10  Ce5 x b) y C c) y  C x4 d) 2e3 x  3e2 y  C 3 x2 1 2  1 e) y  sen ( x  C ) y  2Ce y   1  C e x y 2 2 f) g) h) 2 arctg (e x )  C Exercício 6: 1  (1 ) x 1 3  x2 e a) y  4  2e 5 x b) y   e c) y 2 2 x Exercício 7: a) curva 2 b) curva 3 c) curva 5 d) curva 1 e) curva 4 RQ 6047 Rev. 05 Página 2 de 2