Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.

1. Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo
o
(
x se x ¸ 0
jxj =
¡x se x < 0
p p p p
exemplo, j 2j = 2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (pois
Por p
1 ¡ 2 < 0).
Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»~o
ca
x
f (x) = x +
jxj
ca ³nio) ¶ o conjunto R ¡ f0g.
cujo campo de de¯ni»~o (dom¶ e
Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto
f (x) = x ¡ 1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 5.1.
a e c
y
2
1
-2 -1 1 2 x
-1
-2
x
Figura 5.1. Esbo»o do gr¶¯co de f (x) = x +
c a jxj
.
39

2. Limites laterais 40
Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se
< 0, f (x) tende a ¡1.
Dizemos ent~o que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶ igual a 1,
a e
e denotamos
lim f (x) = 1
+
x!0
Dizemos tamb¶m que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶ igual
e e
a ¡1, e denotamos
lim f (x) = ¡1
¡x!0
De um modo geral, sendo f (x) uma fun»~o, se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo
ca a e
inferior de um intervalo contido em D(f ),
lim f (x) signi¯ca lim f(x)
x!x0
x!x+
0 x>x0
Se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo superior de um intervalo contido em D(f),
a e
lim f (x) signi¯ca lim f (x)
x!x0
x!x¡
0 x<x0
Exemplo 5.1
Consideremos agora a fun»~o f (x) = 1=x. Conforme j¶ observado no exemplo 4.7, aula
ca a
4 (reveja-o), esta fun»~o n~o tem limite quando x ! 0.
ca a
Temos D(f) = R ¡ f0g = ] ¡ 1; 0[ [ ]0; +1[. Assim, 0 ¶ extremo superior do
e
intervalo ] ¡ 1; 0[ ½ D(f ), e tamb¶m ¶ extremo inferior do intervalo ]0; +1[ ½ D(f ).
e e
y
3
2
y=1/x
1
0
-2 -1 1 2 3 x
-1
-2
1 1
Figura 5.2. limx!0+ x
= +1, limx!0¡ x
= ¡1
No esbo»o do gr¶¯co de f, ¯gura 5.2, ilustramos a ocorr^ncia dos limites laterais
c a e
1 1 1 1
lim = lim = +1 lim = lim = ¡1
x!0+ x x!0 x
x>0
x!0¡ x x!0 x
x<0

3. Limites laterais 41
1 1
(Tamb¶m ilustramos que lim
e = lim = 0.)
x!+1 x x!¡1 x
Neste caso, ¶ conveniente denotar, introduzindo novos s¶
e ³mbolos em nossa ¶lgebra
a
de limites,
1 1 1 1
lim = + = +1 lim = ¡ = ¡1
x!0+ x 0 x!0¡ x 0
Observa»~o 5.1 Em geral, dizemos que
ca
lim f(x) = 0+ se
x!x0
(i) lim f(x) = 0, e
x!x0
(ii) f(x) mant¶m-se > 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) > 0 para todo x su¯ciente-
e
mente pr¶ximo de x0 .
o
Dizemos que lim f (x) = 0¡ se
x!x0
(i) lim f(x) = 0, e
x!x0
(ii) f(x) mant¶m-se < 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) < 0 para todo x su¯ciente-
e
mente pr¶ximo de x0 .
o
Escrevemos ainda lim+ f (x) = 0+ para indicar que
x!x0
(i) lim+ f (x) = 0, e (ii) f (x) > 0 quando x ! x0 e x > x0 .
x!x0
Analogamente, podemos tamb¶m conceituar os casos
e
lim f(x) = 0¡ , lim¡ f (x) = 0¡ , e lim¡ f (x) = 0+ .
x!x+
0 x!x0 x!x0
Nossa ¶lgebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos resultados:
a
( (
c +1 se c > 0 c ¡1 se c > 0
= =
0+ ¡1 se c < 0 0¡ +1 se c < 0
Tamb¶m ¶ f¶cil intuir que
e e a
+1 +1 ¡1 ¡1
= +1 = ¡1 = ¡1 = +1
0+ 0¡ 0+ 0¡
Exemplo 5.2
1 1
lim (x ¡ 1)2 = 0+ , portanto lim = + = +1.
x!1 x!1 (x ¡ 1)2 0

4. Limites laterais 42
2x ¡ 3 ¡3
lim = + = ¡1
x!0 + x 0
5 5
lim = = 0+
x!+1 x ¡ 3 +1
x+2 x+2
Exemplo 5.3 Calcular lim + e lim ¡
x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j
Solu»~o. Observe que x + 2 > 0 se e somente se x > ¡2.
ca
Assim sendo, se x > ¡2, temos x + 2 > 0 e ent~o jx + 2j = x + 2.
a
Por outro lado, se x < ¡2, temos x + 2 < 0 e ent~o jx + 2j = ¡(x + 2).
a
Assim sendo, temos
x+2 x+2 x+2
lim + = lim = lim = lim 1 = 1
x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 x + 2 x!¡2
x>¡2 x>¡2
x+2 x+2 x+2
lim ¡ = lim = lim = lim ¡1 = ¡1
x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 ¡(x + 2) x!¡2
x<¡2 x<¡2
Observa»~o 5.2 A a¯rma»~o
ca ca
lim f (x) = a
x!x0
¶ equivalente µ a¯rma»~o, simult^nea, de que
e a ca a
lim f(x) = a e lim f (x) = a
x!x+
0 x!x¡
0
Se no entanto f (x) ¶ de¯nida para x > x0 , mas n~o ¶ de¯nida para x < x0 , ent~o
e a e a
limx!x0 f (x) = a signi¯ca limx!x+ f (x) = a
0
p p
Por exemplo, limx!0 x = 0, muito embora x n~o esteja de¯nida para x < 0.
p a p
lim
Neste caso, a¯rmar quep x!0 x = 0 signi¯ca que limx!0+ x = 0, j¶ que n~o se
a a
de¯ne o limite limx!0¡ x
ca a ca ³nua em [a; b])
Observa»~o 5.3 (O gr¶¯co de uma fun»~o cont¶
No exemplo ao in¶ da aula, vimos que a fun»~o f (x) = x + x=jxj tem limites laterais
³cio ca
diferentes no ponto x0 = 0, sendo lim f (x) = 1 e lim f(x) = ¡1. Assim, conforme
+ ¡
x!0 x!0
podemos vizualizar na ¯gura 5.1, o gr¶¯co de f apresenta um salto no ponto 0.
a
Tamb¶m a fun»~o f (x) = 1=x tem um salto no ponto 0. Agora por¶m o salto ¶
e ca e e
in¯nito, sendo lim f (x) = +1 e lim f (x) = ¡1.
+ ¡
x!0 x!0

5. Limites laterais 43
y
f(b)
f(a)
0 a b x
e ³nua e diferenci¶vel no intervalo [a; b].
Figura 5.3. f ¶ cont¶ a
y
f(b)
f(a)
0 a c d b x
e ³nua no intervalo [a; b], mas n~o tem derivadas nos pontos c e d.
Figura 5.4. f ¶ cont¶ a
Na aula 4, estivemos observando que a fun»~o f (x) = 1=x2 tem limite in¯nito no
ca
ponto 0: lim f (x) = +1. Aqui, nas proximidades de 0, o gr¶¯co salta" para cima dos
a
x!0
dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr¶¯co.
a
Quando uma fun»~o f (x) ¶ cont¶
ca e ³nua nos pontos de um intervalo [a; b], a curva
y = f (x), a · x · b, gr¶¯co de f no intervalo [a; b], n~o apresenta quebras ou saltos.
a a
Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr¶¯co ligando o ponto inicial A =
a
(a; f (a)) ao ponto ¯nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o l¶pis do papel, tal como na ¯gura
a
5.3.
Observa»~o 5.4 (Uma fun»~o cont¶
ca ca ³nua pode n~o ter derivada sempre) J¶ na ¯gu-
a a
ra 5.4 temos uma ilustra»~o de uma fun»~o cont¶
ca ca ³nua no intervalo [a; b] que, no entanto,
n~o tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes
a
a c e d n~o ¶ poss¶ tra»ar retas tangentes ao gr¶¯co de f .
a e ³vel c a
Observa»~o 5.5 (Continuidade signi¯ca lim ¢f = 0) Na observa»~o 2.1, aula 2,
ca ca
¢x!0
vimos que, sendo x0 2 D(f), se existe f 0 (x0 ) ent~o lim ¢f = 0. Na verdade, n~o ¶
a a e
¢x!0
necess¶rio termos f diferenci¶vel x0 para que tenhamos lim ¢f = 0.
a a
¢x!0

6. Limites laterais 44
A condi»~o necess¶ria e su¯ciente para que tenhamos lim ¢f = 0 ¶ que f seja
ca a e
¢x!0
cont¶
³nua no ponto x0 .
Vejamos: ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ).
Fazendo x = x0 + ¢x, temos ¢f = f (x) ¡ f(x0 ). Temos que ¢x ! 0 se e
somente se x ! x0 .
Se lim ¢f = 0, ent~o lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, logo
a
¢x!0 x!x0
lim f (x) = lim [(f (x) ¡ f (x0 )) + f (x0 )] = 0 + f(x0 ) = f(x0 ). Assim, f ¶ cont¶
e ³nua
x!x0 x!x0
em x0 .
³nua em x0 , lim f (x) = f (x0 ). Logo, lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, e
Se f ¶ cont¶
e
x!x0 x!x0
ent~o lim ¢f = 0.
a
¢x!0
Assim, lim ¢f = 0 , lim f (x) = f (x0 ).
¢x!0 x!x0
Quando existe f 0 (x0 ), temos lim ¢f = 0 e ent~o lim f (x) = f(x0 ), ou seja
a
¢x!0 x!x0
a e ³nua em x0 .
Se f tem derivada em x0 ent~o f ¶ cont¶
No entanto, podemos ter f cont¶
³nua em x0 , sem ter derivada em x0 . Veja proble-
mas 5 e 6 abaixo.
5.1 Problemas
y
0 1 2 x
-1/2
-1
Figura 5.5.

7. Limites laterais 45
1. Na ¯gura 5.5 est¶ esbo»ado o gr¶¯co de uma fun»~o y = f (x). Complete as
a c a ca
igualdades:
(a) lim f(x) =
¡
(b) lim f (x) =
+
(c) lim f(x) =
¡
x!1 x!1 x!2
(d) lim f(x) =
+
(e) lim f (x) =
¡
(f) lim f (x) =
+
x!2 x!0 x!0
(g) lim f(x) = (h) lim f(x) =
x!+1 x!¡1
2. Em que pontos a fun»~o f do problema anterior ¶ de¯nida? Em quais pontos ¶
ca e e
cont¶
³nua?
3. Calcule os limites laterais
j¼ ¡ xj j¼ ¡ xj 1
(a) lim¡ (b) lim+ (c) lim
x!¼ x¡¼ x!¼ x¡¼ x!8¡ x ¡ 8
1 x2 ¡ 5x + 4 p
(d) lim (e) lim (f) lim x ¡ 2
x!8+ x ¡ 8 x!2+ 2¡x x!2+
4. Calcule os limites lim f (x), lim f (x) e diga se existe o limite lim f (x).
x!¡3+ x!¡3¡ x!¡3
e e ³nua no ponto ¡3.
Diga tamb¶m se f ¶ cont¶
8 8
< 1 < 9
se x < ¡3 se x · ¡3
(a) f (x) = 2 ¡ 3x (b) f (x) = x2
: p : p4 + x se x > ¡3
3
x + 2 se x ¸ ¡3 3
5. Veri¯que que a fun»~o f (x) = jxj ¶ cont¶
ca e ³nua em x0 = 0, mas n~o existe f 0 (0)
a
f (0+¢x)¡f (0)
(mostre que n~o existe o limite lim
a ¢x
). Mostre que existem os limites
¢x!0
f (0+¢x)¡f (0) f (0+¢x)¡f (0)
laterais lim + ¢x
e lim ¢x
, chamados respectivamente de
¢x!0 ¢x!0¡
0 +
derivada direita de f no ponto 0 (f (0 )) e derivada esquerda de f no ponto 0
(f 0 (0¡ )). Esboce o gr¶¯co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos
a
acima.
p
6. Veri¯que que a fun»~o f (x) = 3 x ¶ cont¶
ca e ³nua em x0 = 0, mas lim f (0+¢x)¡f (0) =
¢x ¢x!0
+1. Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f 0 (0) = +1. Esboce o
gr¶¯co de f , tra»ando-o cuidadosamente atrav¶s dos pontos de abcissas 0, §1=8,
a c e
§1, §8, e interprete geometricamente o fato de que f 0 (0) = +1.
5.1.1 Respostas e sugest~es
o
1. (a) ¡1 (b) ¡1=2 (c) +1 (d) 0 (e) ¡1 (f) ¡1 (g) ¡1=2 (h) ¡1
2. A fun»~o f ¶ de¯nida em R ¡ f1g. E cont¶
ca e ¶ ³nua em R ¡ f1; 2g.
3. (a) ¡1 (b) 1 (c) ¡1 (d) +1 (e) +1 (f) 0

8. Limites laterais 46
4.
(a) lim f (x) = ¡1, lim f (x) = 1=11. N~o se de¯ne (n~o existe) o limite
a a
x!¡3+ x!¡3¡
lim f (x). f (¡3) = ¡1, mas como n~o existe lim f (x), f n~o ¶ cont¶
a a e ³nua no ponto
x!¡3 x!¡3
¡3.
(b) lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 1. f ¶ cont¶
e ³nua no ponto ¡3 pois
x!¡3+ x!¡3¡ x!¡3
lim f (x) = f (¡3).
x!¡3
5. Ao esbo»ar o gr¶¯co de f , notamos que f (x) = x, se x ¸ 0, e f (x) = x, se x · 0.
c a
Assim, f 0 (0+ ) = 1 indica a presen»a de uma reta tangente ao gr¶¯co de f , µ direita do
c a a
ponto (0; 0)", como sendo a reta tangente ao gr¶¯co de y = x, x ¸ 0, no ponto (0; 0) (a
a
reta tangente a uma reta ¶ a pr¶pria reta). Analogamente, interpreta-se f 0 (0¡ ) = ¡1.
e o
p
6. f 0 (0) = +1 signi¯ca que a reta tangente a curva y = 3 x, no ponto (0; 0), ¶ vertical.
µ e