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Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas
Incógnitas
Quando  tratamos  as equações  do  1°  grau  com  duas  variáveis vimos  que  a  equação x  +  y  =  20  admite
infinitas  soluções,  pois  se  não  houver  restrições  como  as  do  exemplo  na  página  em  questão,  podemos  atribuir
qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 ­ x.
A equação x ­ y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções.
Como as equações x + y = 20 e x ­ y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar:
Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo
tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?
Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora.
Métodos de Resolução
Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro
ométodo da adição e em seguida o método da substituição.
Método da Adição
Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos
uma equação com apenas uma incógnita.
Quando  a  simples  soma  não  nos  permite  alcançar  este  objetivo,  recorremos  ao  princípio  multiplicativo  da
igualdadepara multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a
equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.
A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.
Quando o sistema admite uma única solução?
Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:
Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com
o respectivo termo da segunda equação:
Agora  de  forma  simplificada  podemos  obter  o  valor  da  incógnita x simplesmente  passando  o  coeficiente  2  que
multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2:
Agora que sabemos que x  =  13,  para  encontrarmos  o  valor  de y,  basta  que  troquemos x por 13  na  primeira
equação e depois isolemos y no primeiro membro:
Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo
a mais que seria multiplicar ambos os membros por ­1, já que teríamos ­y no primeiro membro e não y como é
preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos
facilite a realização dos cálculos.
Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o
valor dey, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é
assim que devemos proceder.
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.
Quando o sistema admite uma infinidade de
soluções?
Vejamos o sistema abaixo:
Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer
variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por ­2 e então realizarmos a soma:
Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema
admite uma infinidade de soluções.
Quando  um  sistema  admite  uma  infinidade  de  soluções  dizemos  que  ele  é  um  sistema  possível  e
indeterminado.
Quando o sistema não admite solução?
Vejamos este outro sistema:
Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar
nenhuma  das  variáveis,  mas  agora  veja  o  que  acontece  se  multiplicarmos  por 2  todos  os  termos  da  primeira
equação e realizarmos a soma das equações:
Obtivemos 0 = ­3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.
Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível.
Método da Substituição
Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos
na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos
a variável.
Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.
O  procedimento  é  menos  confuso  do  que  parece.  A  seguir  veremos  em  detalhes  algumas  situações  que
exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.
Quando o sistema admite uma única solução?
Para  nos  permitir  a  comparação  entre  os  dois  métodos,  vamos  utilizar  o  mesmo  sistema  utilizado  no  método
anterior:
Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x:
Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 ­ y:
Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x:
Quando o sistema admite uma infinidade de
soluções?
Solucionemos o sistema abaixo:
Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê­lo pelo método da substituição.
Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da primeira equação:
Agora na outra equação vamos substituir y por 10 ­ 2x:
Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções.
Quando o sistema não admite solução?
Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior:
Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu coeficiente 2 é divisor de ambos
coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos:
Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado:
Conforme explicado anteriormente, o resultado 0 = ­3 indica que este sistema não admite soluções.

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Sistemas de equações do 1° grau com 2 incógnitas

  • 1. Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas Quando  tratamos  as equações  do  1°  grau  com  duas  variáveis vimos  que  a  equação x  +  y  =  20  admite infinitas  soluções,  pois  se  não  houver  restrições  como  as  do  exemplo  na  página  em  questão,  podemos  atribuir qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 ­ x. A equação x ­ y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções. Como as equações x + y = 20 e x ­ y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar: Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação? Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora. Métodos de Resolução Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro ométodo da adição e em seguida o método da substituição. Método da Adição Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. Quando  a  simples  soma  não  nos  permite  alcançar  este  objetivo,  recorremos  ao  princípio  multiplicativo  da igualdadepara multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita. A seguir temos outras explicações que retratam estas situações. Quando o sistema admite uma única solução? Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo: Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:
  • 2. Agora  de  forma  simplificada  podemos  obter  o  valor  da  incógnita x simplesmente  passando  o  coeficiente  2  que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2: Agora que sabemos que x  =  13,  para  encontrarmos  o  valor  de y,  basta  que  troquemos x por 13  na  primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro: Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por ­1, já que teríamos ­y no primeiro membro e não y como é preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos. Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o valor dey, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é assim que devemos proceder. Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado. Quando o sistema admite uma infinidade de soluções? Vejamos o sistema abaixo: Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por ­2 e então realizarmos a soma: Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema admite uma infinidade de soluções. Quando  um  sistema  admite  uma  infinidade  de  soluções  dizemos  que  ele  é  um  sistema  possível  e indeterminado. Quando o sistema não admite solução? Vejamos este outro sistema: Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar
  • 3. nenhuma  das  variáveis,  mas  agora  veja  o  que  acontece  se  multiplicarmos  por 2  todos  os  termos  da  primeira equação e realizarmos a soma das equações: Obtivemos 0 = ­3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções. Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível. Método da Substituição Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável. Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável. O  procedimento  é  menos  confuso  do  que  parece.  A  seguir  veremos  em  detalhes  algumas  situações  que exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição. Quando o sistema admite uma única solução? Para  nos  permitir  a  comparação  entre  os  dois  métodos,  vamos  utilizar  o  mesmo  sistema  utilizado  no  método anterior: Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x: Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 ­ y: Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x: Quando o sistema admite uma infinidade de soluções? Solucionemos o sistema abaixo:
  • 4. Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê­lo pelo método da substituição. Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da primeira equação: Agora na outra equação vamos substituir y por 10 ­ 2x: Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções. Quando o sistema não admite solução? Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior: Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu coeficiente 2 é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos: Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado: Conforme explicado anteriormente, o resultado 0 = ­3 indica que este sistema não admite soluções.