O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
1) O documento introduz os conceitos de razão e proporção, explicando que são relações entre grandezas. Razão é a divisão entre duas grandezas, enquanto proporção é a igualdade entre razões.
2) São apresentadas propriedades dessas relações, como razões poderem ou não ter unidades de medida, e grandezas poderem ser direta ou inversamente proporcionais.
3) Há exercícios para classificar relações e calcular razões e proporções em diferentes situações.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
1) O documento apresenta exemplos de resolução de problemas envolvendo equações do 1o grau com uma incógnita.
2) As etapas para resolver problemas são: ler o problema, escrever dados, equação e resolver a equação.
3) Os exemplos incluem problemas sobre idades de pessoas, coleções de selos e comprimento de uma pista de corrida.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
1) O documento introduz os conceitos de razão e proporção, explicando que são relações entre grandezas. Razão é a divisão entre duas grandezas, enquanto proporção é a igualdade entre razões.
2) São apresentadas propriedades dessas relações, como razões poderem ou não ter unidades de medida, e grandezas poderem ser direta ou inversamente proporcionais.
3) Há exercícios para classificar relações e calcular razões e proporções em diferentes situações.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
1) O documento apresenta exemplos de resolução de problemas envolvendo equações do 1o grau com uma incógnita.
2) As etapas para resolver problemas são: ler o problema, escrever dados, equação e resolver a equação.
3) Os exemplos incluem problemas sobre idades de pessoas, coleções de selos e comprimento de uma pista de corrida.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
O documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras envolvendo triângulos retângulos e figuras geométricas. Os exercícios solicitam determinar medidas de lados, altitudes, distâncias e comprimentos utilizando as relações entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo.
O documento discute conceitos básicos de radiciação, incluindo a relação com potenciação, nomenclatura, propriedades, cálculos envolvendo raízes de números grandes ou com índices diferentes, indicação de raízes sem usar o radical, radicais semelhantes, operações com radicais e racionalização.
Equações do 1o grau são expressões matemáticas com sinal de igualdade e uma variável. Resolver uma equação envolve isolar os termos com a variável em um lado e os demais no outro, reduzir termos semelhantes e determinar o valor da variável que satisfaz a igualdade. A resolução segue a ordem de parênteses, colchetes e chaves e o valor obtido deve pertencer ao conjunto de números considerado.
O documento discute os conceitos de ângulos, incluindo como medir e classificar diferentes tipos de ângulos, como ângulos retos, suplementares e congruentes. Ele também menciona formas de explorar ângulos através de atividades práticas e ferramentas como geoplanos e periscópios.
O documento apresenta as fórmulas para calcular a área e o volume de várias figuras geométricas planas e sólidas. Inclui as fórmulas e exemplos numéricos para calcular a área do retângulo, quadrado, triângulo, paralelograma, trapézio, losango e círculo. Também apresenta as fórmulas e exemplos para calcular o volume do cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro.
O documento fornece informações sobre porcentagem, incluindo sua definição, como calcular porcentagens e representá-las em frações e números decimais. Explica como resolver problemas envolvendo porcentagem de valores e como diferentes alunos podem chegar à mesma solução de forma distinta.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
(1) O documento discute inequações, que são sentenças matemáticas abertas por desigualdades. (2) As inequações de 1o grau têm métodos de resolução similares às equações, mas seu conjunto de soluções permite valores variáveis da incógnita. (3) Um exemplo mostra como resolver uma inequação de 1o grau para obter o conjunto de soluções onde a incógnita é maior que um valor.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
Este documento apresenta as principais relações métricas no triângulo retângulo, incluindo a relação de Pitágoras. Ele define os elementos do triângulo retângulo, como hipotenusa e catetos, e mostra como dois triângulos dentro de um triângulo retângulo são semelhantes, levando às relações a2 = b2 + c2, h2 = mn, ah = bc e b2 = an. Ele então resume formalmente estas relações métricas importantes no triângulo retângulo.
1) O documento discute inequações do segundo grau, explicando que assim como equações, devem seguir os mesmos passos para resolução, porém o conjunto solução é diferente.
2) Apresenta um exemplo numérico de resolução de uma inequação do primeiro grau para ilustrar os conceitos.
3) Explica que para inequações do segundo grau, deve-se utilizar o Teorema de Bhaskara para encontrar os valores de x, e comparar ao sinal da inequação original para definir o conjunto solução.
Slides criados pelo residente em matemática Kunta, enviado para as aulas não presenciais na escola Marita Motta
Conteúdo: Linguagem algébrica: variável e incógnita
Equações polinomiais do 1º grau
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Residente: Kunta M. da Fonseca
Professora: Elcielle Bonomo
O QUE SÃO?
São expressões matemáticas
Tem uma INCÓGNITA
E uma IGUALDADE
Servem para ajudar encontrar soluções para problemas nos quais um número não é conhecido.
DESAFIO
Considere que a balança seguir está em equilíbrio. Qual equação essa imagem está representando?
RESOLVENDO O DESAFIO
EXERCÍCIO 1: CIRCULE AS equações
y - 10 > 6
EXERCÍCIO 2: Agora é com você
EXERCÍCIO 3
exemplos
x + 3 = 7
x = 7 - 3
x = 4
EXERCÍCIO 4
exemplos
x = 7
3
x = 7 . 3
x = 21
OBRIGADA POR SUA VISITA
1) O documento apresenta 10 problemas de matemática do ENEM com questões sobre probabilidade, porcentagem, geometria e análise de gráficos.
2) As competências avaliadas pelo ENEM incluem interpretar textos, fenômenos e solucionar problemas matemáticos.
3) As habilidades mais relevantes para a matemática são identificar variáveis, compreender gráficos e calcular probabilidades.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento discute os critérios de congruência de triângulos, definindo-os como triângulos que têm lados e ângulos correspondentes congruentes. Apresenta cinco casos que garantem a congruência: Lado-Ângulo-Lado, Ângulo-Lado-Ângulo, Lado-Ângulo-Ângulo Oposto, Lado-Lado-Lado e um caso especial para triângulos retângulos. Explica também porque o caso Ângulo-Lado não constitui critério de congruência.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
Portifolio da 8 serie = 9 ano de 2013 prof mmvinitvito
O documento apresenta os materiais e avaliações da disciplina de Matemática, Geometria e Ciências do 9o ano. Ele lista os itens necessários como cadernos, canetas, lápis de cor e réguas, além de exemplificar exercícios sobre operações matemáticas e identificação de elementos geométricos.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
O documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras envolvendo triângulos retângulos e figuras geométricas. Os exercícios solicitam determinar medidas de lados, altitudes, distâncias e comprimentos utilizando as relações entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo.
O documento discute conceitos básicos de radiciação, incluindo a relação com potenciação, nomenclatura, propriedades, cálculos envolvendo raízes de números grandes ou com índices diferentes, indicação de raízes sem usar o radical, radicais semelhantes, operações com radicais e racionalização.
Equações do 1o grau são expressões matemáticas com sinal de igualdade e uma variável. Resolver uma equação envolve isolar os termos com a variável em um lado e os demais no outro, reduzir termos semelhantes e determinar o valor da variável que satisfaz a igualdade. A resolução segue a ordem de parênteses, colchetes e chaves e o valor obtido deve pertencer ao conjunto de números considerado.
O documento discute os conceitos de ângulos, incluindo como medir e classificar diferentes tipos de ângulos, como ângulos retos, suplementares e congruentes. Ele também menciona formas de explorar ângulos através de atividades práticas e ferramentas como geoplanos e periscópios.
O documento apresenta as fórmulas para calcular a área e o volume de várias figuras geométricas planas e sólidas. Inclui as fórmulas e exemplos numéricos para calcular a área do retângulo, quadrado, triângulo, paralelograma, trapézio, losango e círculo. Também apresenta as fórmulas e exemplos para calcular o volume do cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro.
O documento fornece informações sobre porcentagem, incluindo sua definição, como calcular porcentagens e representá-las em frações e números decimais. Explica como resolver problemas envolvendo porcentagem de valores e como diferentes alunos podem chegar à mesma solução de forma distinta.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
(1) O documento discute inequações, que são sentenças matemáticas abertas por desigualdades. (2) As inequações de 1o grau têm métodos de resolução similares às equações, mas seu conjunto de soluções permite valores variáveis da incógnita. (3) Um exemplo mostra como resolver uma inequação de 1o grau para obter o conjunto de soluções onde a incógnita é maior que um valor.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
Este documento apresenta as principais relações métricas no triângulo retângulo, incluindo a relação de Pitágoras. Ele define os elementos do triângulo retângulo, como hipotenusa e catetos, e mostra como dois triângulos dentro de um triângulo retângulo são semelhantes, levando às relações a2 = b2 + c2, h2 = mn, ah = bc e b2 = an. Ele então resume formalmente estas relações métricas importantes no triângulo retângulo.
1) O documento discute inequações do segundo grau, explicando que assim como equações, devem seguir os mesmos passos para resolução, porém o conjunto solução é diferente.
2) Apresenta um exemplo numérico de resolução de uma inequação do primeiro grau para ilustrar os conceitos.
3) Explica que para inequações do segundo grau, deve-se utilizar o Teorema de Bhaskara para encontrar os valores de x, e comparar ao sinal da inequação original para definir o conjunto solução.
Slides criados pelo residente em matemática Kunta, enviado para as aulas não presenciais na escola Marita Motta
Conteúdo: Linguagem algébrica: variável e incógnita
Equações polinomiais do 1º grau
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Residente: Kunta M. da Fonseca
Professora: Elcielle Bonomo
O QUE SÃO?
São expressões matemáticas
Tem uma INCÓGNITA
E uma IGUALDADE
Servem para ajudar encontrar soluções para problemas nos quais um número não é conhecido.
DESAFIO
Considere que a balança seguir está em equilíbrio. Qual equação essa imagem está representando?
RESOLVENDO O DESAFIO
EXERCÍCIO 1: CIRCULE AS equações
y - 10 > 6
EXERCÍCIO 2: Agora é com você
EXERCÍCIO 3
exemplos
x + 3 = 7
x = 7 - 3
x = 4
EXERCÍCIO 4
exemplos
x = 7
3
x = 7 . 3
x = 21
OBRIGADA POR SUA VISITA
1) O documento apresenta 10 problemas de matemática do ENEM com questões sobre probabilidade, porcentagem, geometria e análise de gráficos.
2) As competências avaliadas pelo ENEM incluem interpretar textos, fenômenos e solucionar problemas matemáticos.
3) As habilidades mais relevantes para a matemática são identificar variáveis, compreender gráficos e calcular probabilidades.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento discute os critérios de congruência de triângulos, definindo-os como triângulos que têm lados e ângulos correspondentes congruentes. Apresenta cinco casos que garantem a congruência: Lado-Ângulo-Lado, Ângulo-Lado-Ângulo, Lado-Ângulo-Ângulo Oposto, Lado-Lado-Lado e um caso especial para triângulos retângulos. Explica também porque o caso Ângulo-Lado não constitui critério de congruência.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
Portifolio da 8 serie = 9 ano de 2013 prof mmvinitvito
O documento apresenta os materiais e avaliações da disciplina de Matemática, Geometria e Ciências do 9o ano. Ele lista os itens necessários como cadernos, canetas, lápis de cor e réguas, além de exemplificar exercícios sobre operações matemáticas e identificação de elementos geométricos.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grauEverton Moraes
1) O documento apresenta uma lista de 11 exercícios de sistemas de equações do 1° grau. Os exercícios envolvem resolver sistemas por métodos como adição e substituição e determinar valores desconhecidos a partir de sistemas.
2) Os exercícios abordam situações como produção de peças de tecido com comprimentos diferentes, idades de pessoas em datas futuras e presentes, e número de veículos e pneus em um estacionamento.
3) As questões propõem sistemas com duas equações e duas incó
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Este documento contém 10 questões de múltipla escolha sobre diversos assuntos como geometria, copas do mundo, unidade de medida, frações e deslocamento de partículas. As questões abordam cálculos, interpretação de gráficos e resolução de problemas.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de equações do segundo grau, incluindo sua forma geral (ax2 + bx + c = 0) e métodos para resolver equações completas e incompletas.
2) É mostrado um exemplo de problema envolvendo uma equação do segundo grau obtida ao equacionar a área total de uma figura composta por um retângulo e um quadrado.
3) São explicados os passos para verificar se um número é solução de uma equação do segundo grau, como substituir o número na equação e verificar se a igualdade resultante é
O documento descreve conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo:
1) Equações lineares e sistemas lineares;
2) Matrizes associadas a sistemas lineares;
3) Classificação de sistemas lineares quanto ao número de soluções;
4) Técnica de escalonamento para resolver sistemas lineares.
A equação irracional é construída a partir de problemas em que a medida desco...Gustavo Wyllian
A equação irracional envolve uma incógnita sob um radical. Para resolvê-la, remove-se o radical elevando ambos os lados da equação à mesma potência, gerando uma equação racional de primeiro ou segundo grau. A solução é verificada para garantir que satisfaça a igualdade original.
Este documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo como identificar os coeficientes a, b e c de uma equação ax2 + bx + c = 0 e como resolver equações completas e incompletas do segundo grau. Exemplos ilustram como encontrar as soluções de equações específicas.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos sobre sistemas de equações de 1a grau com duas incógnitas. (1) Discute como determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema de equações, (2) explica os métodos da substituição e gráfico para resolver sistemas de equações, (3) classifica os tipos de sistemas que podem ter uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos sobre sistemas de equações de 1a grau com duas incógnitas. (1) Discute como determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema de equações, (2) explica os métodos da substituição e gráfico para resolver sistemas de equações, (3) classifica os tipos de sistemas que podem ter uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
1) O documento discute equações de 1o grau, definindo o que são equações, conjuntos universo e verdade, raízes de equações e como resolvê-las.
2) A resolução de equações envolve determinar o valor da incógnita que torna a equação verdadeira, e pode envolver simplificação de termos com parênteses e frações.
3) Exemplos ilustram como equações podem ser representadas com uma balança e como reduzir termos ao mesmo denominador para resolver equações com frações.
O documento descreve duas atividades para ensinar sobre sistemas de equações lineares. A primeira atividade apresenta um problema sobre idades e pede aos alunos que o traduzam em equações, mostrando que um sistema pode ter múltiplas soluções. A segunda atividade apresenta um problema sobre pesos de objetos e ensina o método da substituição para resolver sistemas.
O documento apresenta um exemplo de como resolver sistemas de equações utilizando os métodos da substituição e da adição. No exemplo inicial, José precisa descobrir as idades de Pedro e Paulo a partir de duas informações, formando um sistema de duas equações com duas incógnitas.
O documento discute métodos para resolver equações algébricas, incluindo fatorar expressões e aplicar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão em ambos os lados da equação para transformá-la em uma forma equivalente com soluções iguais. Ao elevar ambos os lados ao quadrado, novas soluções podem surgir, então é necessário verificar quais soluções originais são mantidas.
O documento discute a resolução de sistemas de equações lineares por métodos algébricos e gráficos. Ele apresenta duas atividades para os alunos praticarem a tradução de problemas para linguagem algébrica na forma de sistemas de equações e os métodos de resolução desses sistemas, incluindo a representação gráfica usando o software Geogebra.
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
O documento descreve equações do segundo grau e o método de Bhaskara para resolvê-las. Equações do segundo grau contêm termos com expoente 2 da incógnita. O método de Bhaskara usa os coeficientes da equação do segundo grau para calcular o discriminante e, em seguida, as raízes da equação. O documento exemplifica o método ao resolver a equação x2 - 2x - 3 = 0.
O documento discute resolução de sistemas lineares por diferentes métodos como substituição, adição e comparação. Explica como representar problemas com duas variáveis por sistemas de equações e resolver graficamente. Classifica sistemas em determinados, impossíveis e indeterminados.
Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitasrosilenedalmolin
O documento descreve um problema de basquete onde Pipoca acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos, totalizando 25 arremessos e 55 pontos. Isso é representado por um sistema de duas equações com duas incógnitas, que é resolvido para encontrar que Pipoca acertou 20 arremessos de 2 pontos e 5 arremessos de 3 pontos.
O documento apresenta os métodos para resolver sistemas de equações do 1° grau com duas variáveis, incluindo o método da substituição e o método da adição. Exemplos ilustram como aplicar cada método para encontrar a solução do sistema, que é o par ordenado que satisfaz ambas as equações simultaneamente. Exercícios são fornecidos para praticar os métodos.
O documento apresenta os métodos para resolver sistemas de equações do 1° grau com duas variáveis, incluindo o método da substituição e o método da adição. Exemplos demonstram como aplicar cada método para encontrar a solução do sistema, que é o par ordenado que satisfaz ambas as equações simultaneamente. Exercícios são fornecidos para praticar os métodos.
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CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
Sistemas de equações do 1° grau com 2 incógnitas
1. Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas
Incógnitas
Quando tratamos as equações do 1° grau com duas variáveis vimos que a equação x + y = 20 admite
infinitas soluções, pois se não houver restrições como as do exemplo na página em questão, podemos atribuir
qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 x.
A equação x y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções.
Como as equações x + y = 20 e x y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar:
Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo
tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?
Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora.
Métodos de Resolução
Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro
ométodo da adição e em seguida o método da substituição.
Método da Adição
Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos
uma equação com apenas uma incógnita.
Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo da
igualdadepara multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a
equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.
A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.
Quando o sistema admite uma única solução?
Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:
Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com
o respectivo termo da segunda equação:
2. Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que
multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2:
Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira
equação e depois isolemos y no primeiro membro:
Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo
a mais que seria multiplicar ambos os membros por 1, já que teríamos y no primeiro membro e não y como é
preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos
facilite a realização dos cálculos.
Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o
valor dey, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é
assim que devemos proceder.
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.
Quando o sistema admite uma infinidade de
soluções?
Vejamos o sistema abaixo:
Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer
variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por 2 e então realizarmos a soma:
Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema
admite uma infinidade de soluções.
Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema possível e
indeterminado.
Quando o sistema não admite solução?
Vejamos este outro sistema:
Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar
3. nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira
equação e realizarmos a soma das equações:
Obtivemos 0 = 3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.
Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível.
Método da Substituição
Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos
na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos
a variável.
Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.
O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situações que
exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.
Quando o sistema admite uma única solução?
Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no método
anterior:
Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x:
Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 y:
Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x:
Quando o sistema admite uma infinidade de
soluções?
Solucionemos o sistema abaixo: