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LÓGICA
  2º semestre




                Luan Guerra
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           SUGESTÕES
     cadernosppt@gmail.com.br
Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.

Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.


Observação:
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.
SITESUGERIDO


www.colegioweb.com.br/matem
 atica/conectivos-logicos-.html
LIVROSSUGERIDOS

• Alencar Filho, Edgard – Iniciação à
  Lógica Matemática

• Castrucci, Benedito – Introdução à
  Lógica Matemática
CADERNO
      +
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Apresentação
• Argumento 1 – Raciocínio
  Todo homem é mortal
  Sócrates é mortal
  Logo, Sócrates é homem

• Argumento 2 – Raciocínio
  Todo homem é mortal
  Sócrates é homem
  Logo, Sócrates é mortal
Continuação
• Lei da Não-contradição: a proposição não
  pode ser falsa e verdadeira ao mesmo
  tempo.
O que é uma proposição?
• É TODA FRASE QUE PODE SER
  CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E
  FALSO
PREMISSA?
• Está dentro de um argumento, ou seja,
  toda premissa é uma proposição, mas
  nem toda proposição é uma premissa
Raciocínio Dedutivo
• Exemplo
Todo metal é dilatado pelo calor.
O ouro é metal.
Logo, o ouro é dilatado pelo calor.
Raciocínio Indutivo
• Exemplo:
O ferro é um metal e conduz eletricidade.
O zinco é um metal e conduz eletricidade.
Logo, todo metal conduz eletricidade.
Proposições
• Proposição Simples
  É toda frase que pode ser classificada em
  verdadeira e falso.

• Proposição Composta
  É frases com duas ou mais proposições
  simples
Continuação
• Valor Lógico
  A Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V

 Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F
Continuação
Negação
Detalhes

• e é somente verdadeiro, quando os “dois”
 termos são verdadeiros.


• ou quando os “dois” são falsos.
Conjunção
• A conjunção de duas
  proposições P e Q é
  representada por:


      p^q

Lê se “p e q”
Exemplos de ‘Conjuntos’


     P         Q
Disjunção
O operado lógico DISJUNÇÃO caracterizado pelo
  conectivo OU e representado pelo símbolo V
Continuação




         Pode ser o
         p ou q ou
         os dois
OU ( V ) Exclusivo




Não podem acontecer
 ao mesmo tempo.
Símbolo de OU Exclusivo
Exemplos
A: O livro é interessante
B: O livro é caro.

Negação A: O livro não é interessante.
+: Não é verdade que o livro é interessante.

A ^ B: O livro é interessante e caro.
A V B: O livro é interessante ou caro.
Exemplos
A:Ela é mineira e ele é paraense.
  Ela não é mineira e ele é paraense.
  Ela é mineira e ele não é paraense.
  Ela não é mineira ou ele não é paraense.

B:Ela é mineira ou ele é paraense.
  Ela não é mineira e ele não é paraense.
Continuação
A:Não é verdade que Galileu esteja certo.

P: Galileu está certo.
(~p)

B:A água está líquida.
  A água está sólida.
Condicional
O operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo
   Se... Então e representado pelo símbolo




Obs:
A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda
   foi falsa.
A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a
   segunda será chamada de CONSEQUENTE.
Na condicional teremos a seguinte situação:

Uma condição SUFICIENTE gera um resultado
 NECESSÁRIO.

Daí se temos:
“Pedro é rico então Maria é médica”

Pode ser escrita:
“Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria
  seja médica.”

“Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que
  Pedro seja rico.”
Suficiente/Necessário
Se... Então
Dados
Condicional
• O conectivo se... então... e
  a condicional

 A condicional se p então q é outra
 proposição que tem como valor
 lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O
 símbolo p → q representa a condicional,
 com a seguinte tabela-verdade:
TABELA
Exemplo
Exemplo
DADOS
Bicondicional
• O conectivo se e somente se e
  a bicondicional

 A bicondicional p se e somente se q é
 outra proposição que tem como valor
 lógico V se p e q forem ambas
 verdadeiras ou ambas falsas, e F nos
 outros casos.
Bicondicional
Exercícios

Condicional
a)



A               B


Dados do Exercício:
A = Está Calor
B = É verão
e)
     NUNCA É VERÃO, QUANDO ESTÁ CALOR




Dados do Exercício:
A = Está Calor
B = É verão
Extra - Paradoxos



   SLIDES
TABELA VERDADE
TABELA VERDADE
RESOLUÇÃO
P (p,q) = ~(p v ~q)
Ordem de Prioridade
1º Fazer a negação (~)

2º Fazer a conjunção (^) e a disjunção (v)

3º Fazer a condicional (      )

4º Fazer a bi-condicional (       )
Exercícios
• P (p, q, r) = (p ^ ~q)   (q v ~ r)
Definição
Definição
Tipos de Tabela lógicas
• TAUTOLÓGICAS
  Quando os valores lógicos da proposição são
  todos verdadeiros

• CONTRADIÇÃO
  Quando os valores lógicos da proposição são
  todos falsos

• CONTINGÊNCIA
  Quando os valores lógicos da proposição são
  verdadeiros e falsos.
Exemplos
       Tipos de Tabela Lógicas
a) P (p, q) = (p ^ q)   (p v q)
Exemplos
       Tipos de Tabela Lógicas
b) P (p) = p   ~p
Exemplos
       Tipos de Tabela Lógicas
c) P (p, q) = p   (p ^ q)
Implicação Lógica
Sejam P e Q duas proposições, dizemos
que implica em P logicamente em Q se e
somente se a condicional P     Qé
umas tautológica.
Resumo
P      Q (P implica logicamente)



P      Q é uma tautológica

Também podemos verificar se P implica
 logicamente em Q da seguinte forma:
1º Verificamos quais linhas a proposição´P
  tem valor lógico verdadeiro;

2º Nessas mesmas linhas verificamos quais
  são os valores lógicos de Q;

3º Se houver alguma dessas linhas onde Q
  é falso, não temos implicação lógica.
  Agora, se não houver linhas onde Q é
  falso, temos uma implicação lógica.
Exemplo
•   Dados as proposições P(p, q) = p v q
    e Q(p,q)= p^q, verificamos se:

a) P        Q

b) Q        P
Perguntas
a) P não implica logicamente em Q, pois
   P     Q não é uma tautológica.




b) Q implica lógica em P, pois Q   Pé
   uma tautologia.
Respostas
a) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico
   VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F,
   P não implica logicamente em Q.



b) Como na 1º linha o valor lógico
   VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V
   Q implica logicamente.
Equivalência Lógica
• Sejam P e Q duas proposições, dizemos
  que P equivale logicamente em Q se e
  somente se a bicondicional P    Qé
  uma tautologia.
Resumo
P     Q (P equivale logicamente)



P     Q é uma tautologia

Também podemos verificar se P equivale
 logicamente em Q, da seguinte forma:
1º Verificamos quais linhas as proposições
  P e Q tem o valor lógico verdadeiro



2º Se todas as linhas coincidem temos uma
  equivalência lógica, caso contrário não
  temos uma equivalência lógica.
Exemplo
•   Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q,
    Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q,
    verifique se:

a) P(p,q)       Q(p,q)

b) Q(p,q)       R(p,q)
Perguntas
a) Como P      Q é uma tautologia, temos
   P    Q




b) Como Q      R não é uma tautologia,
   temos que Q não é equivalente a R
Tabela Verdade

   decorar.....
Propriedades da Equivalência
1)   p^q     p
2)   pvp     p
3)   p   q     q      p
4)   p   q     (p    q) ^ (q       p)
5)   p   q; p     q; q         r
6)   p^q      q^q
7)   pvq      qvp
Propriedades da Condicional
p     q     ~q   ~p

p     q     ~p v q
Tabela Verdade
3º Exercícios
P = Pedro é pobre
Q = Alberto é alto

~(p ^ q)

Propriedades
~p v ~q = Pedro não é pobre ou Alberto não
  é alto.
Continuação
Transformar as alternativas em conectivos:

a) ~p v ~q
b) ~p ^ ~q
c) p v ~q
d) ~p     q
e) ~p ~q
Comprovando
4º Exercício
OBS: PEGUE SEMPRE NA AFIRMATIVA E
 DEPOIS NEGUE.



P = André é artista
Q = Bernardo é engenheiro (Negativa)
Continuação
Pv~q                  Propriedades da
                        Condicional




       ~p    ~q




                  q            p
Resposta


Se Bernardo é engenheiro então André é
artista.
5º Exercício
Todos os economistas são médicos.

Como negar?

                          Médico

                             Eco
    Diagrama                 nom
                             ista
Resultado
p   q
    Negação de todos = pelo menos 1



      Médico

       Eco
       nom
                             e
       ista

                             Ou
6º Exercício
P = Pedro é pedreiro (Negativa)
Ou
Q = Paulo é paulista.
Resolução
• Conserva o 2º conectivo e troca o valor do
  1º :

~p v q




                    p      q
Resposta


Se Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista
Proposições Afirmativas e
               Negativas
Tipos

Todo S é P
Alguns S são P
Alguns S não são P
Nenhum S é P
Diagrama
• Todo S é P


               P
    ScP                S




UNIVERSAL Afirmativa
Continuação
S=P



      S

          P


          UNIVERSAL Afirmativa
Nenhum S é P

               S




UNIVERSAL Negativa      P
Algum S são P
              PARTICULAR Afirmativa

          S                   P


P                         S
          S
     P
                   P      S
Alguns S não são P
                         PARTICULAR
S                          Negativa
             S


    P
                     P

         S
                 P
Equivalência

Nenhum A é B        Todo A não é B




Todo A é B          Nenhum A não e B
Exemplo
Nenhum médico é louco

              Todo médico não é louco.

Toda arte é bela

              Nenhuma arte não é bela
Leis Associativas, Distributivas
         e da Dupla Negação
Associativas:

p ^ (q ^ s)         (p ^ q) ^ s

p v (q v s)         (p v q) v s
Distributivas
p ^ (q ^ s)            (p ^ q) v (p ^ s)

• p v (q v s)           (p v q) ^ (p v s)
Dupla Negação



~ (~p)            p
Casos particulares
S não é P              SéP

Todo S não é P          Todo S é P

Algum S não é P          Algum S é P

Nenhum S não é não P     Nenhum S é P
Exemplos
A bola de futebol não é não esférica.

                 A bola de futebol é esférica.



Todo número inteiro não é não racional.

                 Todo número inteiro é racional.
Exemplos
Algum número racional não é não natural.

           Algum número racional é natural.



Nenhum número negativo não é não natural.

           Nenhum número negativo é natural.
Argumentos
Um argumento é um conjunto de
proposições que geram uma
conseqüência da seguinte forma:
Definição
• As premissas são as proposições
  consideraremos verdadeiras, para
  determinar o valor lógico da conclusão.

• Um argumento pode ser válido ou
  inválido. Dizemos que um argumento é
  válido quando todas as premissas são
  verdadeiras a conclusão também é
  verdadeira.
• Dizemos que um argumento é inválido
  quando todas premissas forem
  verdadeiras a conclusão de alguma forma
  pode ser falsa.

• Exemplo:
  Verifica se o argumento abaixo é válidos:
Resposta: As premissas para este
argumentos são:
Façamos a tabela lógico dessas
proposições:
Procuremos as linhas onde todas as
premissas são verdadeiras. Isso ocorre na
4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessas
mesmas linhas o valor lógico da
conclusão também é verdadeiro. Logo
podemos concluir que o argumento é
válido.
Exemplo
Verifique se o argumento é válido
Solução
  VL (p v q) = V          VL(q) = V
   VL (~p) = V           VL(p) = F
_____________________________
               VL (q) = V

        Argumento Válido
Exemplo
Solução
VL (A      (~B ^ C)) = V         VL(A) = F

VL (~A       B) = V          VL(B) = V

VL (D ^ ~ C) = V      VL(D) = V e VL(~C) = V
VL(C) = F
Análise
Resultado
VL (A      (~B ^ C)) = V       VL(A) = F

VL (~A      B) = V          VL(B) = V

VL (D ^ ~ C) = V      VL(D) = V e VL(~C) = V
VL(C) = F
____________________________________________
VL ( B     ~ D) = F
Argumentos

 Diagramas
Exemplo
P1: Todos os homens são pássaros.

P2: Nenhum pássaro é animal.
______________________________
C: Portanto, nenhum homem é animal.
Diagramas

Pássaro

                  Animais
Homens
Logo
O conjunto dos homens está no conjunto
dos pássaros e o conjunto dos pássaros
não tem intenção com o conjunto dos
animais, logo o conjunto dos homens não
tem intersecção com o conjunto dos
animais, ou seja, nenhum homem é
animal.

O argumento é válido.
Exemplo
P1: Todos as crianças gostam de chocolate.

P2: Patrícia não é criança

___________________________________
C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Diagrama


 chocolate



                     Patrícia
Criança
Logo
A primeira afirma que o conjunto das crianças
está contido no conjunto das pessoas que
gostam de chocolate. A segunda premissa
afirma que Patrícia não pertence ao conjunto
das crianças, isso possibilita que ela esteja no
conjunto das pessoas que gostam de
chocolate ou fora deste conjunto,
impossibilitando que tenhamos uma conclusão
incontestável.

Logo, diremos que o argumento é inválido.
Exemplo
P1: Prestação de contas com ato
 antieconômico

P2: A prestação de contas de um prefeitura
  a está irregular
___________________________________
C: Logo, as contas desta prefeitura
  apresentam atos antieconômicos
Diagrama

                         Prefeitura

Irregular


   Ato antieconômico
            Prefeitura
Logo
A primeira premissa no diz que o conjunto de
atos antieconômicos está contido no conjunto
das contas irregulares.
A segunda premissa afirma que a conta da
prefeitura pertence ao conjunto das contas
irregulares, possibilitando assim que as contas
dessa prefeitura pertence ao conjunto de atos
antieconômicos ou não. Portanto, não podemos
concluir que necessariamente as contas
possuem ato antieconômico, ou seja, o
argumento é INVÁLIDO.
Método que parte da negação da
         conclusão:
 Neste método admitimos o valor lógico
 da conclusão FALSO, obtendo assim os
 valores lógicos das proposições
 envolvidos. Se a substituirmos esses
 valores lógicos nas premissas
 obtivermos todas verdadeiras, o
 argumento é INVÁLIDO.
 Caso gere algum conflito de lógicos o
 argumento é VÁLIDO.
Exemplo
P1: A    (B v C)

P2: B    ~A

P3: D     ~C
__________________________________
C: A      ~D
Resposta
Admitiremos o valor lógico da conclusão falso:

VL(A   ~D)   =F

VL(A) = V

VL(~D) = F

VL(D) = V
Resolução
   Substituindo esse valores lógicos nas
   premissas obteremos:

VL(A   (B v C)=V   VL(A) = F
VL(B   ~A) = V     VL(B) = F
VL(D    ~C) = V    VL(~C) = V   VL(C) = F
Logo
Como gerou conflito no valor lógico da
proposição A, temos que o argumento é
VÁLIDO.
Exercício – nº20
P: Pedro é pintor
C: Carlos é cantor
M: Mario é médico
S: Silvio é sociólogo

Premissa: P v C     ~M ^ ~ S
Negando...
Alternativas
P^   ~C     M v S
P^   ~C     M v ~S
P^   C      M ^ ~S
P^   C      M v S
~P   vC     ~M ^ S
Negando a conclusão:
•   Vamos negar as alternativas, ou seja, as
    conclusões verificar qual é verdadeira:

VL(a)) = F           VL(P^~C            MvS) = F

VL(P^~C) = V   VL(P)= V e VL(~C) = V    VL(P) = V e VL(C) = F
VL(MvS) = F     VL(M) = F e VL(S) = F
Substituindo esses valores lógicos
na premissas verdadeiras, temos:

VL(P v C ~M ^ ~S) = V
   V    F  V    V
      V       V

Resp: O argumento é inválido para letra A)
b)
VL(P ^ ~ C          M v ~S) = F

VL(P^~C) = V   VL(P)= V e VL(~C) = V     VL(P) = V e VL(C) = F
VL(Mv~S) = F      VL(M) = F e VL(~S) = F     VL(M) = F e VL(S) = V
Substituindo esses valores lógicos
   na premissas verdadeiras:
VL(P v ~C ~M ^ ~S) = V
   V F     V    F
      V      F

O argumento válido é a letra b)
Diagramas...
Exercício¹ - DIAGRAMA
Resposta

Da primeira premissa temos:

   Contabilidade



                              João
          Orçamento
Exercício - DIAGRAMA
Resposta

Da segunda premissa temos:

   Contabilidade



                             João
          Orçamento
Conclusão
Como João não pertence ao conjunto de
contabilidade ele também não pertence
ao conjunto de orçamento. Logo, João
não sabe lidar com orçamento.

O argumento é VÁLIDO, ou seja, a
afirmativa que o orçamento é inválido
está ERRADA.
Exercício² - DIAGRAMA
Resposta

Da primeira, segunda premissas, temos:

   IMPOSTOS
                    Carlos


        Honesta
           Carlos
Conclusões
Conclusão
Da primeira premissa temos que o
conjunto de pessoas honestas está
contido no conjunto de pessoas que
pagam impostos. Da segunda premissa
temos que Carlos pode está no conjunto
das pessoas honestas ou fora dele. Logo
não podemos concluir que Carlos é uma
pessoa honesta, ou seja, a afirmativa
que o argumento é válida está ERRADA.
Tornando verdadeiras...
Exercício¹
Resposta

As proposições envolvidas são:
P: Lógica é fácil.
Q: Sócrates foi mico de circo.
Argumento
1º Premissas: P   Q
2º Premissas: ~ P
_____________________
Conclusão: ~ Q
Admitindo os valores lógicos das
premissas são verdadeiras, temos:


 Resposta: Ao admitir, não conseguimos
 concluir.
Mudando o método...


     NEGANDO...
Negando a conclusão, temos:
VL (~Q) = F              VL (Q) = V

Substituindo nas premissas, temos:
   F    V

VL(P    Q) = V
VL(~P) = V           VL(P) = F

Como não gerou conflito, então o argumento é
 INVÁLIDO.
8 - Exercício
Todos cachorros tem asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Logo, existem gatos que são aquáticos.
Diagrama

 Gatos




 Cachorro

  Asas

   Aquáticos
Observação


NÃO ANILISAR AS PREPOSIÇÕES
 INDIVIDUALMENTES, TEM QUE
   ESTUDAR O ARGUMENTO
Sobre o argumento A, as
   premissas P e a conclusão C

Resposta:


  A é válido, P e C são falsos.
9 - Exercício
P: Se Soninha sorri
Q: Silvia é miss simpatia

               ARGUMENTO

P      Q
~P
~Q
Admitir a conclusão falso!
Admitindo o valor lógico da conclusão falso
temos:

VL(~q) = F          VL(q) = V

Analisando as premissas verdadeiras:
   F   V

VL(p q) = V
VL(~p) = V          VL(p) = F
Logo
O argumento é inválido, pois negando a
conclusão isso não gerou nenhum conflito.
Observação - Alternativas
Não levar em conta as premissas
individualmente, e sim o argumento.



           DESCARTAR
Observação

Sempre que o argumento é inválido, a
conclusão não é decorrências das
premissas.
Exercício 05 a 08
Chapeuzinho Vermelho
05
Raposa:
Ontem foi um dos meus dias de mentir

Lobo
Ontem foi um dos meus dias de mentir
Resolução
Resposta
06
Raposa:
Eu menti ontem.
Eu mentirei daqui a 3 dias.
7
Raposa:

Eu menti ontem.
Eu mentirei amanhã.
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica
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Conectivos lógicos e tabelas-verdade no caderno de lógica

  • 1. CADERNO LÓGICA 2º semestre Luan Guerra
  • 2. FACEBOOK Não curtir? Por quê? SUGESTÕES cadernosppt@gmail.com.br
  • 3. Aviso Esse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração. Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc. Observação: O objetivo dessa apresentação é simplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
  • 5. LIVROSSUGERIDOS • Alencar Filho, Edgard – Iniciação à Lógica Matemática • Castrucci, Benedito – Introdução à Lógica Matemática
  • 6. CADERNO + EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
  • 7. Apresentação • Argumento 1 – Raciocínio Todo homem é mortal Sócrates é mortal Logo, Sócrates é homem • Argumento 2 – Raciocínio Todo homem é mortal Sócrates é homem Logo, Sócrates é mortal
  • 8. Continuação • Lei da Não-contradição: a proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
  • 9. O que é uma proposição? • É TODA FRASE QUE PODE SER CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E FALSO
  • 10. PREMISSA? • Está dentro de um argumento, ou seja, toda premissa é uma proposição, mas nem toda proposição é uma premissa
  • 11. Raciocínio Dedutivo • Exemplo Todo metal é dilatado pelo calor. O ouro é metal. Logo, o ouro é dilatado pelo calor.
  • 12. Raciocínio Indutivo • Exemplo: O ferro é um metal e conduz eletricidade. O zinco é um metal e conduz eletricidade. Logo, todo metal conduz eletricidade.
  • 13. Proposições • Proposição Simples É toda frase que pode ser classificada em verdadeira e falso. • Proposição Composta É frases com duas ou mais proposições simples
  • 14. Continuação • Valor Lógico A Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F
  • 17. Detalhes • e é somente verdadeiro, quando os “dois” termos são verdadeiros. • ou quando os “dois” são falsos.
  • 18. Conjunção • A conjunção de duas proposições P e Q é representada por: p^q Lê se “p e q”
  • 20. Disjunção O operado lógico DISJUNÇÃO caracterizado pelo conectivo OU e representado pelo símbolo V
  • 21. Continuação Pode ser o p ou q ou os dois
  • 22. OU ( V ) Exclusivo Não podem acontecer ao mesmo tempo.
  • 23. Símbolo de OU Exclusivo
  • 24. Exemplos A: O livro é interessante B: O livro é caro. Negação A: O livro não é interessante. +: Não é verdade que o livro é interessante. A ^ B: O livro é interessante e caro. A V B: O livro é interessante ou caro.
  • 25. Exemplos A:Ela é mineira e ele é paraense. Ela não é mineira e ele é paraense. Ela é mineira e ele não é paraense. Ela não é mineira ou ele não é paraense. B:Ela é mineira ou ele é paraense. Ela não é mineira e ele não é paraense.
  • 26. Continuação A:Não é verdade que Galileu esteja certo. P: Galileu está certo. (~p) B:A água está líquida. A água está sólida.
  • 27. Condicional O operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo Se... Então e representado pelo símbolo Obs: A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda foi falsa. A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a segunda será chamada de CONSEQUENTE.
  • 28. Na condicional teremos a seguinte situação: Uma condição SUFICIENTE gera um resultado NECESSÁRIO. Daí se temos: “Pedro é rico então Maria é médica” Pode ser escrita: “Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria seja médica.” “Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que Pedro seja rico.”
  • 31.
  • 32. Dados
  • 33. Condicional • O conectivo se... então... e a condicional A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:
  • 37. DADOS
  • 38. Bicondicional • O conectivo se e somente se e a bicondicional A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.
  • 41. a) A B Dados do Exercício: A = Está Calor B = É verão
  • 42. e) NUNCA É VERÃO, QUANDO ESTÁ CALOR Dados do Exercício: A = Está Calor B = É verão
  • 47. Ordem de Prioridade 1º Fazer a negação (~) 2º Fazer a conjunção (^) e a disjunção (v) 3º Fazer a condicional ( ) 4º Fazer a bi-condicional ( )
  • 48. Exercícios • P (p, q, r) = (p ^ ~q) (q v ~ r)
  • 51. Tipos de Tabela lógicas • TAUTOLÓGICAS Quando os valores lógicos da proposição são todos verdadeiros • CONTRADIÇÃO Quando os valores lógicos da proposição são todos falsos • CONTINGÊNCIA Quando os valores lógicos da proposição são verdadeiros e falsos.
  • 52. Exemplos Tipos de Tabela Lógicas a) P (p, q) = (p ^ q) (p v q)
  • 53. Exemplos Tipos de Tabela Lógicas b) P (p) = p ~p
  • 54. Exemplos Tipos de Tabela Lógicas c) P (p, q) = p (p ^ q)
  • 55. Implicação Lógica Sejam P e Q duas proposições, dizemos que implica em P logicamente em Q se e somente se a condicional P Qé umas tautológica.
  • 56. Resumo P Q (P implica logicamente) P Q é uma tautológica Também podemos verificar se P implica logicamente em Q da seguinte forma:
  • 57. 1º Verificamos quais linhas a proposição´P tem valor lógico verdadeiro; 2º Nessas mesmas linhas verificamos quais são os valores lógicos de Q; 3º Se houver alguma dessas linhas onde Q é falso, não temos implicação lógica. Agora, se não houver linhas onde Q é falso, temos uma implicação lógica.
  • 58. Exemplo • Dados as proposições P(p, q) = p v q e Q(p,q)= p^q, verificamos se: a) P Q b) Q P
  • 59.
  • 60. Perguntas a) P não implica logicamente em Q, pois P Q não é uma tautológica. b) Q implica lógica em P, pois Q Pé uma tautologia.
  • 61. Respostas a) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F, P não implica logicamente em Q. b) Como na 1º linha o valor lógico VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V Q implica logicamente.
  • 62. Equivalência Lógica • Sejam P e Q duas proposições, dizemos que P equivale logicamente em Q se e somente se a bicondicional P Qé uma tautologia.
  • 63. Resumo P Q (P equivale logicamente) P Q é uma tautologia Também podemos verificar se P equivale logicamente em Q, da seguinte forma:
  • 64. 1º Verificamos quais linhas as proposições P e Q tem o valor lógico verdadeiro 2º Se todas as linhas coincidem temos uma equivalência lógica, caso contrário não temos uma equivalência lógica.
  • 65. Exemplo • Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q, Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q, verifique se: a) P(p,q) Q(p,q) b) Q(p,q) R(p,q)
  • 66.
  • 67. Perguntas a) Como P Q é uma tautologia, temos P Q b) Como Q R não é uma tautologia, temos que Q não é equivalente a R
  • 68. Tabela Verdade decorar.....
  • 69. Propriedades da Equivalência 1) p^q p 2) pvp p 3) p q q p 4) p q (p q) ^ (q p) 5) p q; p q; q r 6) p^q q^q 7) pvq qvp
  • 70. Propriedades da Condicional p q ~q ~p p q ~p v q
  • 72. 3º Exercícios P = Pedro é pobre Q = Alberto é alto ~(p ^ q) Propriedades ~p v ~q = Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
  • 73. Continuação Transformar as alternativas em conectivos: a) ~p v ~q b) ~p ^ ~q c) p v ~q d) ~p q e) ~p ~q
  • 75. 4º Exercício OBS: PEGUE SEMPRE NA AFIRMATIVA E DEPOIS NEGUE. P = André é artista Q = Bernardo é engenheiro (Negativa)
  • 76. Continuação Pv~q Propriedades da Condicional ~p ~q q p
  • 77. Resposta Se Bernardo é engenheiro então André é artista.
  • 78. 5º Exercício Todos os economistas são médicos. Como negar? Médico Eco Diagrama nom ista
  • 79. Resultado p q Negação de todos = pelo menos 1 Médico Eco nom e ista Ou
  • 80. 6º Exercício P = Pedro é pedreiro (Negativa) Ou Q = Paulo é paulista.
  • 81. Resolução • Conserva o 2º conectivo e troca o valor do 1º : ~p v q p q
  • 82. Resposta Se Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista
  • 83. Proposições Afirmativas e Negativas Tipos Todo S é P Alguns S são P Alguns S não são P Nenhum S é P
  • 84. Diagrama • Todo S é P P ScP S UNIVERSAL Afirmativa
  • 85. Continuação S=P S P UNIVERSAL Afirmativa
  • 86. Nenhum S é P S UNIVERSAL Negativa P
  • 87. Algum S são P PARTICULAR Afirmativa S P P S S P P S
  • 88. Alguns S não são P PARTICULAR S Negativa S P P S P
  • 89. Equivalência Nenhum A é B Todo A não é B Todo A é B Nenhum A não e B
  • 90. Exemplo Nenhum médico é louco Todo médico não é louco. Toda arte é bela Nenhuma arte não é bela
  • 91. Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação Associativas: p ^ (q ^ s) (p ^ q) ^ s p v (q v s) (p v q) v s
  • 92. Distributivas p ^ (q ^ s) (p ^ q) v (p ^ s) • p v (q v s) (p v q) ^ (p v s)
  • 94. Casos particulares S não é P SéP Todo S não é P Todo S é P Algum S não é P Algum S é P Nenhum S não é não P Nenhum S é P
  • 95. Exemplos A bola de futebol não é não esférica. A bola de futebol é esférica. Todo número inteiro não é não racional. Todo número inteiro é racional.
  • 96. Exemplos Algum número racional não é não natural. Algum número racional é natural. Nenhum número negativo não é não natural. Nenhum número negativo é natural.
  • 97. Argumentos Um argumento é um conjunto de proposições que geram uma conseqüência da seguinte forma:
  • 98. Definição • As premissas são as proposições consideraremos verdadeiras, para determinar o valor lógico da conclusão. • Um argumento pode ser válido ou inválido. Dizemos que um argumento é válido quando todas as premissas são verdadeiras a conclusão também é verdadeira.
  • 99. • Dizemos que um argumento é inválido quando todas premissas forem verdadeiras a conclusão de alguma forma pode ser falsa. • Exemplo: Verifica se o argumento abaixo é válidos:
  • 100. Resposta: As premissas para este argumentos são:
  • 101. Façamos a tabela lógico dessas proposições:
  • 102.
  • 103. Procuremos as linhas onde todas as premissas são verdadeiras. Isso ocorre na 4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessas mesmas linhas o valor lógico da conclusão também é verdadeiro. Logo podemos concluir que o argumento é válido.
  • 104. Exemplo Verifique se o argumento é válido
  • 105. Solução VL (p v q) = V VL(q) = V VL (~p) = V VL(p) = F _____________________________ VL (q) = V Argumento Válido
  • 107. Solução VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F VL (~A B) = V VL(B) = V VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = V VL(C) = F
  • 109. Resultado VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F VL (~A B) = V VL(B) = V VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = V VL(C) = F ____________________________________________ VL ( B ~ D) = F
  • 111. Exemplo P1: Todos os homens são pássaros. P2: Nenhum pássaro é animal. ______________________________ C: Portanto, nenhum homem é animal.
  • 112. Diagramas Pássaro Animais Homens
  • 113. Logo O conjunto dos homens está no conjunto dos pássaros e o conjunto dos pássaros não tem intenção com o conjunto dos animais, logo o conjunto dos homens não tem intersecção com o conjunto dos animais, ou seja, nenhum homem é animal. O argumento é válido.
  • 114. Exemplo P1: Todos as crianças gostam de chocolate. P2: Patrícia não é criança ___________________________________ C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
  • 115. Diagrama chocolate Patrícia Criança
  • 116. Logo A primeira afirma que o conjunto das crianças está contido no conjunto das pessoas que gostam de chocolate. A segunda premissa afirma que Patrícia não pertence ao conjunto das crianças, isso possibilita que ela esteja no conjunto das pessoas que gostam de chocolate ou fora deste conjunto, impossibilitando que tenhamos uma conclusão incontestável. Logo, diremos que o argumento é inválido.
  • 117. Exemplo P1: Prestação de contas com ato antieconômico P2: A prestação de contas de um prefeitura a está irregular ___________________________________ C: Logo, as contas desta prefeitura apresentam atos antieconômicos
  • 118. Diagrama Prefeitura Irregular Ato antieconômico Prefeitura
  • 119. Logo A primeira premissa no diz que o conjunto de atos antieconômicos está contido no conjunto das contas irregulares. A segunda premissa afirma que a conta da prefeitura pertence ao conjunto das contas irregulares, possibilitando assim que as contas dessa prefeitura pertence ao conjunto de atos antieconômicos ou não. Portanto, não podemos concluir que necessariamente as contas possuem ato antieconômico, ou seja, o argumento é INVÁLIDO.
  • 120. Método que parte da negação da conclusão: Neste método admitimos o valor lógico da conclusão FALSO, obtendo assim os valores lógicos das proposições envolvidos. Se a substituirmos esses valores lógicos nas premissas obtivermos todas verdadeiras, o argumento é INVÁLIDO. Caso gere algum conflito de lógicos o argumento é VÁLIDO.
  • 121. Exemplo P1: A (B v C) P2: B ~A P3: D ~C __________________________________ C: A ~D
  • 122. Resposta Admitiremos o valor lógico da conclusão falso: VL(A ~D) =F VL(A) = V VL(~D) = F VL(D) = V
  • 123. Resolução Substituindo esse valores lógicos nas premissas obteremos: VL(A (B v C)=V VL(A) = F VL(B ~A) = V VL(B) = F VL(D ~C) = V VL(~C) = V VL(C) = F
  • 124. Logo Como gerou conflito no valor lógico da proposição A, temos que o argumento é VÁLIDO.
  • 125. Exercício – nº20 P: Pedro é pintor C: Carlos é cantor M: Mario é médico S: Silvio é sociólogo Premissa: P v C ~M ^ ~ S
  • 127. Alternativas P^ ~C M v S P^ ~C M v ~S P^ C M ^ ~S P^ C M v S ~P vC ~M ^ S
  • 128. Negando a conclusão: • Vamos negar as alternativas, ou seja, as conclusões verificar qual é verdadeira: VL(a)) = F VL(P^~C MvS) = F VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = F VL(MvS) = F VL(M) = F e VL(S) = F
  • 129. Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras, temos: VL(P v C ~M ^ ~S) = V V F V V V V Resp: O argumento é inválido para letra A)
  • 130. b) VL(P ^ ~ C M v ~S) = F VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = F VL(Mv~S) = F VL(M) = F e VL(~S) = F VL(M) = F e VL(S) = V
  • 131. Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras: VL(P v ~C ~M ^ ~S) = V V F V F V F O argumento válido é a letra b)
  • 133. Exercício¹ - DIAGRAMA Resposta Da primeira premissa temos: Contabilidade João Orçamento
  • 134. Exercício - DIAGRAMA Resposta Da segunda premissa temos: Contabilidade João Orçamento
  • 135. Conclusão Como João não pertence ao conjunto de contabilidade ele também não pertence ao conjunto de orçamento. Logo, João não sabe lidar com orçamento. O argumento é VÁLIDO, ou seja, a afirmativa que o orçamento é inválido está ERRADA.
  • 136. Exercício² - DIAGRAMA Resposta Da primeira, segunda premissas, temos: IMPOSTOS Carlos Honesta Carlos
  • 138. Conclusão Da primeira premissa temos que o conjunto de pessoas honestas está contido no conjunto de pessoas que pagam impostos. Da segunda premissa temos que Carlos pode está no conjunto das pessoas honestas ou fora dele. Logo não podemos concluir que Carlos é uma pessoa honesta, ou seja, a afirmativa que o argumento é válida está ERRADA.
  • 140. Exercício¹ Resposta As proposições envolvidas são: P: Lógica é fácil. Q: Sócrates foi mico de circo.
  • 141. Argumento 1º Premissas: P Q 2º Premissas: ~ P _____________________ Conclusão: ~ Q
  • 142. Admitindo os valores lógicos das premissas são verdadeiras, temos: Resposta: Ao admitir, não conseguimos concluir.
  • 143. Mudando o método... NEGANDO...
  • 144. Negando a conclusão, temos: VL (~Q) = F VL (Q) = V Substituindo nas premissas, temos: F V VL(P Q) = V VL(~P) = V VL(P) = F Como não gerou conflito, então o argumento é INVÁLIDO.
  • 145. 8 - Exercício Todos cachorros tem asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são cachorros. Logo, existem gatos que são aquáticos.
  • 146. Diagrama Gatos Cachorro Asas Aquáticos
  • 147. Observação NÃO ANILISAR AS PREPOSIÇÕES INDIVIDUALMENTES, TEM QUE ESTUDAR O ARGUMENTO
  • 148. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C Resposta: A é válido, P e C são falsos.
  • 149. 9 - Exercício P: Se Soninha sorri Q: Silvia é miss simpatia ARGUMENTO P Q ~P ~Q
  • 150. Admitir a conclusão falso! Admitindo o valor lógico da conclusão falso temos: VL(~q) = F VL(q) = V Analisando as premissas verdadeiras: F V VL(p q) = V VL(~p) = V VL(p) = F
  • 151. Logo O argumento é inválido, pois negando a conclusão isso não gerou nenhum conflito.
  • 152. Observação - Alternativas Não levar em conta as premissas individualmente, e sim o argumento. DESCARTAR
  • 153. Observação Sempre que o argumento é inválido, a conclusão não é decorrências das premissas.
  • 154. Exercício 05 a 08 Chapeuzinho Vermelho
  • 155. 05 Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir Lobo Ontem foi um dos meus dias de mentir
  • 158. 06 Raposa: Eu menti ontem. Eu mentirei daqui a 3 dias.
  • 159. 7 Raposa: Eu menti ontem. Eu mentirei amanhã.