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Função Quadrática
A função quadrática é uma função polinomial
do 2º grau, é qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a,
b e c são números reais e a é diferente de 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1 -f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c =1
2 -f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3-f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4-f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5-f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Exercício 1: Identifique com um x as funções quadráticas
abaixo e indique quais os valores de a, b e c,
respectivamente.
( ) f(x) = 7x² +x a = b = c =
( ) f(x) = x³ -x² + 6x a = b = c =
( ) f(x) = (2-x)² + 3x³ + 5 a = b = c =
( ) f(x) = - x + 8x² -9 a = b = c =
( ) f(x) = x² a = b = c =
( ) f(x) = (2-x)² a = b = c =
( ) f(t) = 8 -9t + 5t² a = b = c =
( ) f(p) = p² - 4 a = b = c =
Desenhando o gráfico de uma
função do 2º grau
● O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a diferente
de 0, é uma curva chamada parábola.
● se a > 0, ou seja,
● se a for positivo,
● essa parábola tem a
● concavidade voltada para cima;
●
● se a < 0, se a for negativo,
● essa parábola
● tem a concavidade
● voltada para baixo;
●
Exercício 2: Identifique com base no estudo do sinal de
a, quais das funções quadráticas abaixo possuem
concavidade para cima e para baixo.
( ) h(x) = 7x² +x
( ) f(x) = -x² + 6x
( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5
( ) f(x) = - x + 8x² -9
( ) f(x) = x²
( ) f(x) = (2+x)²
( ) f(t) = 8 -9t + 5t²
( ) f(p) = p² - 4
O Zero da função é obtido resolvendo a Equação do 2º
Grau associada à função
● Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² +
bx + c , com a diferente de 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Ou
seja, as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação
do 2º grau:
ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de
Bhaskara:
● Delta = b² - 4*a*c
● Quando Delta > 0, é positivo, há duas raízes reais e distintas;
● x1 = (-b + raiz quadrada de Delta) / 2*a
● X2 = (-b - raiz quadrada de Delta) / 2*a
Quando Delta = 0, é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há
duas raízes iguais);
● x = -b / 2*a
● Quando Delta < 0, é negativo, não há raiz real.
Exercício 3: Identifique com base no estudo do Delta da
equação do segundo grau associada a cada função
quadrática, quais delas possuem uma, duas ou nenhuma raiz
real, após isto encontre o valor das raízes reais das funções
que possuam.
( ) h(x) = 7x² +x
( ) f(x) = -x² + 6x
( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5
( ) f(x) = - x + 8x² -9
( ) f(x) = x²
( ) f(x) = (2+x)²
( ) f(t) = 8 -9t + 5t²
( ) f(p) = p² - 4
Vértice
● Coordenadas do vértice da parábola
● Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para
cima e um ponto de mínimo V;
● quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para
baixo e um ponto de máximo V.
● Em qualquer caso, as coordenadas
● de V são:
● Xv = -b / 2*a
● Yv = -Delta / 4*a
Exercício 4: Identifique com base no estudo do vértice da
função quadrática, quais os valores do Xv e do Yv de cada
função
( ) h(x) = 7x² +x
( ) f(x) = -x² + 6x
( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5
( ) f(x) = - x + 8x² -9
( ) f(x) = x²
( ) f(x) = (2+x)²
( ) f(t) = 8 -9t + 5t²
( ) f(p) = p² - 4
Imagem da Função Quadrática
● A imagem da função y = ax² + bx + c, é o conjunto dos
valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
● 1ª - quando a > 0, 2ª - quando a < 0,
●
●
Exercício 5: Determine o conjunto imagem de cada função
tomando por base o valor do Yv encontrado na questão 4
( ) h(x) = 7x² +x
( ) f(x) = -x² + 6x
( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5
( ) f(x) = - x + 8x² -9
( ) f(x) = x²
( ) f(x) = (2+x)²
( ) f(t) = 8 -9t + 5t²
( ) f(p) = p² - 4
●Construção da Gráfico
● É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau
sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo
apenas o roteiro de observação seguinte
● O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
● Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta
o eixo dos x;
● O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou
máximo (se a< 0);
● A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo
de simetria da parábola;
● Para x = 0 , temos y = a · 0²+ b · 0 + c = c; então (0, c) é o
ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
Exercício 6: seguindo os passos descritos anteriormente
esboce o gráfico das funções a seguir.
( ) h(x) = 7x² +x
( ) f(x) = -x² + 6x
( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5
( ) f(x) = - x + 8x² -9
( ) f(x) = x²
( ) f(x) = (2+x)²
( ) f(t) = 8 -9t + 5t²
( ) f(p) = p² - 4
Estudo do Sinal da Parábola
● quando a > 0
●
● y > 0 (x < x1 ou x > x2)
● y < 0 x1 < x < x2
●
● quando a < 0
●
● y > 0 x1 < x < x2
● y < 0 (x < x1 ou x > x2)
Exercícios resolvidos
● Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol – Questão 12. O
número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em
um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de
Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤
t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número
máximo de ocorrências nesse período do dia foi
● A) 0
● B) 9
● C) 15
● D) 18
●Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol –
Questão 12
● Veja que a função f(t) = – t² + 30t – 216 é uma função do
segundo grau onde a parábola tem a concavidade para baixo (a
é menor que 0) Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é
justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a
fórmula abaixo
● t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15
● Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de
ocorrências.
●
Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos
agora calcular t(15):
● t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.
●Prova Resolvida CFO PM ES 2013 –
Exatus – Questão 68.
● Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a
Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em
caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais
R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que
essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o
número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:
● Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço
por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.
● C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
● C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
● C(x) = x(6000 – 100x)
● C(x) = 6000x – 100x²
● Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola
para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor
correspondente ao Yv, e ocorre quando o X = Xv, o valor máximo ocorre
quando x = 30.
●Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus –
Questão 53.
● Assinale a alternativa correta:
● a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y.
● FALSA: Uma parábola sempre intercepta o eixo y.
● b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo.
● FALSA: O valor de a = 1 >0. Concavidade para cima.
● c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente.
● FALSA: O valor de a = 5 > 0. Crescente.
● d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes.
● FALSA: Nenhum número Real elevado ao quadrado fica negativo.
● e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3.
● Verdadeira - Lembrando da fórmula da soma das raízes;
● Soma = ´-b/a = -(-3)/1 = 3
http://www.somatematica.com.br/
● Material de todos os assuntos de matemática nesta
página.
● http://sabermatematica.com.br/funcaoquadraticaer.html
● Exercícios de matemática resolvidos
● http://pt.slideshare.net/arthurprata/funo-do-segundo-grau
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Aula1 funcaoquadrática

  • 1. Função Quadrática A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau, é qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1 -f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c =1 2 -f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3-f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4-f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 5-f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0
  • 2. Exercício 1: Identifique com um x as funções quadráticas abaixo e indique quais os valores de a, b e c, respectivamente. ( ) f(x) = 7x² +x a = b = c = ( ) f(x) = x³ -x² + 6x a = b = c = ( ) f(x) = (2-x)² + 3x³ + 5 a = b = c = ( ) f(x) = - x + 8x² -9 a = b = c = ( ) f(x) = x² a = b = c = ( ) f(x) = (2-x)² a = b = c = ( ) f(t) = 8 -9t + 5t² a = b = c = ( ) f(p) = p² - 4 a = b = c =
  • 3. Desenhando o gráfico de uma função do 2º grau ● O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a diferente de 0, é uma curva chamada parábola. ● se a > 0, ou seja, ● se a for positivo, ● essa parábola tem a ● concavidade voltada para cima; ● ● se a < 0, se a for negativo, ● essa parábola ● tem a concavidade ● voltada para baixo; ●
  • 4. Exercício 2: Identifique com base no estudo do sinal de a, quais das funções quadráticas abaixo possuem concavidade para cima e para baixo. ( ) h(x) = 7x² +x ( ) f(x) = -x² + 6x ( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5 ( ) f(x) = - x + 8x² -9 ( ) f(x) = x² ( ) f(x) = (2+x)² ( ) f(t) = 8 -9t + 5t² ( ) f(p) = p² - 4
  • 5. O Zero da função é obtido resolvendo a Equação do 2º Grau associada à função ● Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , com a diferente de 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Ou seja, as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau: ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: ● Delta = b² - 4*a*c ● Quando Delta > 0, é positivo, há duas raízes reais e distintas; ● x1 = (-b + raiz quadrada de Delta) / 2*a ● X2 = (-b - raiz quadrada de Delta) / 2*a Quando Delta = 0, é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); ● x = -b / 2*a ● Quando Delta < 0, é negativo, não há raiz real.
  • 6. Exercício 3: Identifique com base no estudo do Delta da equação do segundo grau associada a cada função quadrática, quais delas possuem uma, duas ou nenhuma raiz real, após isto encontre o valor das raízes reais das funções que possuam. ( ) h(x) = 7x² +x ( ) f(x) = -x² + 6x ( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5 ( ) f(x) = - x + 8x² -9 ( ) f(x) = x² ( ) f(x) = (2+x)² ( ) f(t) = 8 -9t + 5t² ( ) f(p) = p² - 4
  • 7. Vértice ● Coordenadas do vértice da parábola ● Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; ● quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. ● Em qualquer caso, as coordenadas ● de V são: ● Xv = -b / 2*a ● Yv = -Delta / 4*a
  • 8. Exercício 4: Identifique com base no estudo do vértice da função quadrática, quais os valores do Xv e do Yv de cada função ( ) h(x) = 7x² +x ( ) f(x) = -x² + 6x ( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5 ( ) f(x) = - x + 8x² -9 ( ) f(x) = x² ( ) f(x) = (2+x)² ( ) f(t) = 8 -9t + 5t² ( ) f(p) = p² - 4
  • 9. Imagem da Função Quadrática ● A imagem da função y = ax² + bx + c, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: ● 1ª - quando a > 0, 2ª - quando a < 0, ● ●
  • 10. Exercício 5: Determine o conjunto imagem de cada função tomando por base o valor do Yv encontrado na questão 4 ( ) h(x) = 7x² +x ( ) f(x) = -x² + 6x ( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5 ( ) f(x) = - x + 8x² -9 ( ) f(x) = x² ( ) f(x) = (2+x)² ( ) f(t) = 8 -9t + 5t² ( ) f(p) = p² - 4
  • 11. ●Construção da Gráfico ● É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte ● O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; ● Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; ● O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); ● A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; ● Para x = 0 , temos y = a · 0²+ b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
  • 12. Exercício 6: seguindo os passos descritos anteriormente esboce o gráfico das funções a seguir. ( ) h(x) = 7x² +x ( ) f(x) = -x² + 6x ( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5 ( ) f(x) = - x + 8x² -9 ( ) f(x) = x² ( ) f(x) = (2+x)² ( ) f(t) = 8 -9t + 5t² ( ) f(p) = p² - 4
  • 13. Estudo do Sinal da Parábola ● quando a > 0 ● ● y > 0 (x < x1 ou x > x2) ● y < 0 x1 < x < x2 ● ● quando a < 0 ● ● y > 0 x1 < x < x2 ● y < 0 (x < x1 ou x > x2)
  • 14. Exercícios resolvidos ● Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol – Questão 12. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi ● A) 0 ● B) 9 ● C) 15 ● D) 18
  • 15. ●Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol – Questão 12 ● Veja que a função f(t) = – t² + 30t – 216 é uma função do segundo grau onde a parábola tem a concavidade para baixo (a é menor que 0) Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo ● t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15 ● Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências. ● Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15): ● t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.
  • 16. ●Prova Resolvida CFO PM ES 2013 – Exatus – Questão 68. ● Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a: ● Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente. ● C(x) = x(2000 + 100(40 – x)) ● C(x) = x(2000 + 4000 – 100x) ● C(x) = x(6000 – 100x) ● C(x) = 6000x – 100x² ● Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor correspondente ao Yv, e ocorre quando o X = Xv, o valor máximo ocorre quando x = 30.
  • 17. ●Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus – Questão 53. ● Assinale a alternativa correta: ● a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y. ● FALSA: Uma parábola sempre intercepta o eixo y. ● b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo. ● FALSA: O valor de a = 1 >0. Concavidade para cima. ● c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente. ● FALSA: O valor de a = 5 > 0. Crescente. ● d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes. ● FALSA: Nenhum número Real elevado ao quadrado fica negativo. ● e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3. ● Verdadeira - Lembrando da fórmula da soma das raízes; ● Soma = ´-b/a = -(-3)/1 = 3
  • 18.
  • 19.
  • 20. http://www.somatematica.com.br/ ● Material de todos os assuntos de matemática nesta página. ● http://sabermatematica.com.br/funcaoquadraticaer.html ● Exercícios de matemática resolvidos ● http://pt.slideshare.net/arthurprata/funo-do-segundo-grau -caderno-de-atividades-enem-coc ● Questões do ENEM ●