Funções parte i

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Funções parte i

  1. 1. Conceitos IniciaisConceitos IniciaisPAR ORDENADO – conceito primitivoPAR ORDENADO – conceito primitivoP(x,y) – ponto no plano cartesianoP(x,y) – ponto no plano cartesianoAbscissa OrdenadaP(x,y)P (x,0)P (0,y)xy
  2. 2. FUNÇÃOFUNÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃOSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de ASejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de Aem B, essa relação será chamada de função quandoem B, essa relação será chamada de função quando paraparatodotodo e qualquer elemento de A estiver associado ae qualquer elemento de A estiver associado a um únicoum únicoelemento em B.elemento em B.A relação binária h = {(x;y)| y < x}A relação binária h = {(x;y)| y < x}xy <A B24135h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}3+= xy24135g: {(2;5)}g: {(2;5)}A BNÃO É FUNÇÃONÃO É FUNÇÃO NÃO É FUNÇÃONÃO É FUNÇÃO
  3. 3. c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}1+= xyA B24135f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}f é uma função de A em B, poisf é uma função de A em B, pois todotodoelemento de A está associado aelemento de A está associado a um únicoum únicoelemento em Belemento em BELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: AELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A →→ BBDOMÍNIO: A = {2, 4}DOMÍNIO: A = {2, 4}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
  4. 4. Não é funçãoCONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃOCONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO
  5. 5. Considere a função f: AConsidere a função f: A →→ B definida por y = 3x + 2, pode-seB definida por y = 3x + 2, pode-seafirmar que o conjunto imagem de f é:afirmar que o conjunto imagem de f é:23 += xyA B 23 += xy521.3 =+=y12358111517822.3 =+=y1123.3 =+=y23)( += xxf→→→5)1( =f8)2( =f11)3( =f}11,8,5{)Im( =∴ f
  6. 6. GRÁFICO DA FUNÇÃO f: AGRÁFICO DA FUNÇÃO f: A →→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}1 2 31185xy
  7. 7. 1 2 31185xyGRÁFICO DA FUNÇÃO f:GRÁFICO DA FUNÇÃO f: ℜℜ →→ ℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
  8. 8. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados àsproposições VERDADEIRAS:01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3}02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3}04. para x = 3, tem-se y = 308. para x = 0, tem-se y = 216. para x = - 3, tem-se y = 032. A função é decrescente em todo seu domínioVV(3,3) ou f(3) = 3(0,2) ou f(0) = 2(-3,2) ou f(-3) = 2VVFF
  9. 9. APLICAÇÕES: y =f(x)APLICAÇÕES: y =f(x)2) Dado que f(1) = 2 e, para todo x, f(x) = 5 f(x – 1), obtenha:f(2)f(3)f(0)f(– 1)
  10. 10. Resposta: 220000 == bea
  11. 11. Resposta: 12
  12. 12. y = f(x) = ax +ba > 0yD = ℜ Im = ℜFUNÇÃOCRESCENTE(0, b)xy(0, b)xFUNÇÃODECRESCENTEa < 0Raiz ouzero dafunçãoy = 0
  13. 13. y = x – 2y(0, -2)x2 314253y = 3x –6y(0, -6)x2 334659CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃOΔxΔya =
  14. 14. Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).f(3) = 5f(-1) = -3(3, 5)(-1, -3)y = ax + b5 = a(3) + b-3 = a(-1) + b=+=+3-ba-5b3aa = 2 b = - 1f(x) = ax + bf(x) = 2x – 1Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15
  15. 15. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00,o seu valor, em reais, daqui a três anos será:x(anos)y(reais)0 5160800Função do 1º grau:f(x) = a.x+ bP1(0,800)P2(5,160)800 = a.0 + bb = 800160 = a. 5 + 800-640 = 5aa = -128f(x) = a.x+ bf(x) = -128.x+ 800f(3) = -128.3+ 800f(3) = 416f(3) = 416Portanto após 3 anos aMáquina valerá R$ 416,00
  16. 16. A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, emreais, de n quilos de certo produto.C(reais)x(quilogramas)0 2080180Se o fabricante vender esseproduto a R$ 102,00 o quilo,a sua porcentagem de lucroem cada venda será?Função do 1º grau:f(x) = a.x+ bP1(0,80)P2(20,180)80 = a.0 + bb = 80180 = a. 20 + 8020a = 100a = 5f(x) = a.x+ bf(x) = 5.x+ 80f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85R$ 85 ⇔ 100%R$102 ⇔ xx = 120%LUCRO DE 20%
  17. 17. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo,ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos,o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:x(anos)y(reais)0 6500860Função do 1º grau:f(x) = a.x+ bA(0,860)B(6,500)860 = a.0 + bb = 860500 = a. 6 + 860-360 = 6aa = -60f(x) = a.x+ bf(x) = -60.x+ 860a) f(3) = -60.3+ 860f(3) = 680ABFb) f(9) = -60.9+ 860f(9) = 320Fc) f(7) = -60.7+ 860f(7) = 440Fd) - 60x + 860 < 200-60x < -660x > 11anosFe) f(13) = -60.13+ 860f(13) = 440f(13) = 80V
  18. 18. Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1ograu) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oCcorrespondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então atemperatura correspondente a 112,5 ml émltemperatura0 10020270Função do 1º grau:f(x) = a.x+ bP1(0,20)P2(100,270)20 = a.0 + bb = 20270 = a. 100 + 20100a = 250a = 2,5f(x) = a.x+ bf(x) = 2,5.x+ 20y = 2,5x + 20112,5 = 2,5x + 2092,5=2,5x37°C = x
  19. 19. Função do 1º grau:y = f(x) = a.x+ bGRÁFICO PASSA PELA ORIGEMy = a.xCÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULARy = a.x50 = a.40 → a = 5/4xyxay.45.==xgx==24.4530
  20. 20. EXTRAS01)02)RESPOSTA:
  21. 21. RESPOSTA: 0,2
  22. 22. y = f(x) = ax2+ bx+ cVértice(0,c)xVyVx1 x2Vértice(0,c)xVyVx1x2yx xya > 0 a < 0Raízes : xRaízes : x11 e xe x22ax2+ bx + c = 0 2 4V Vbx e ya a− −∆= =
  23. 23. Após o lançamento de um projétil, suaaltura h, em metros, t segundos após oseu lançamento é dada porh(t) = – t2+ 20t. Em relação a estelançamento, analise as afirmações aseguir.l. A altura máxima atingida pelo projétilfoi de 10m.ll. O projétil atingiu a altura máximaquando t=10s.lll. A altura do projétil é representada poruma função polinomial quadrática cujodomínio é [0,20].lV. Quando t = 11, o projétil ainda nãoatingiu sua altura máxima.Todas as afirmações corretas estão em:a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III –IVACAFE - 2010 PUC – PR - 2010O lucro de uma determinadaempresa é dado pela leiL(x) = -L(x) = - xx22+ 8+ 8xx - 7- 7, em que x é aquantidade vendida (em milhares deunidades) e L é o lucro (em reais). Aquantidade que se deve vender paraque o lucro seja máximo bem comoo valor desse lucro são,respectivamente:A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00
  24. 24. UFSC - 2009Se o lucro de uma empresa é dado porL(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é aquantidade vendida, então o lucro daempresa é máximo quando x é igual a:UFSC - 2013O lucro, em reais, para a comercializaçãode x unidades de um determinadoproduto é dado porL(x) = - 1120 + 148x – x2. Então, paraque se tenha lucro máximo, deve-sevender quantos produtos?UFSC - 2005Tem-se uma folha de cartolinacom forma retangular, cujos ladosmedem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conformeilustração a seguir. Quantodeve medir x, em centímetros,para que a área da regiãohachurada seja a maior possível?GABARITO: 11
  25. 25. As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelasAs dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelasexpressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valorexpressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valormáximo da área em cmmáximo da área em cm22, que esse retângulo pode assumir., que esse retângulo pode assumir.Vértice5/2yV0 52x10 – 2xA = base x alturaA = 2x . (10 – 2x)A(x) = – 4x2+ 20xa = - 4 b = 20 c = 0RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO0 = – 4x2+ 20xx2- 5x = 0x1 = 0 x2 = 5ÁreaÁrea Máxima é o yvA(5/2) = – 4(5/2)2+ 20(5/2)A(5/2) = 25cm2
  26. 26. RESUMO GRÁFICO∆ > 0x1 ≠ x2x1 x2yx∆ = 0x1 = x2x1 = x2xy∆ < 0x1, x2 ∉ Rxy
  27. 27. 04)GABARITO: 1/2
  28. 28. 05)GABARITO: E
  29. 29. 06)GABARITO: E
  30. 30. a)
  31. 31. Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Umretângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm decomprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo sejamáxima?
  32. 32. EXERCÍCIOS EXTRAS01)GABARITO: A
  33. 33. EXERCÍCIOS EXTRAS02)GABARITO: 09

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