Estatítica Descritiva - Caderno completo + Exercícios Resolvidos

1. CADERNO
ESTATÍSTICA
DESCRITIVA
4º semestre
Luan Guerra

2. FACEBOOK
Não curtir? Por quê?
SUGESTÕES
cadernosppt@gmail.com.br

3. Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.

4. CADERNO
+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

5. População
População é conjunto de elementos sobre
os quais queremos informações.
Ex.: Paulistanos, veículos, cães
abandonados, produtos para vender.

6. Amostra
Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da
população.
Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães,
final de placa.

7. Variável
É a característica que queremos estudar.
As variáveis podem ser:
Qualitativa
Os valores são qualidades ou atributos.
Quantitativas
Os valores são quantidade.

8. Variável
Definição
As variáveis qualitativas pode ser ordinal
(possui ordem natural) ou nominal (não possui
ordem natural).
As variáveis quantitativas pode ser discreta
(assume valores exatos) ou contrários (assume
valores aproximados).
Exemplo: População de cães abandonados.

9. Exemplos
Variáveis Qualitativas:
Qualitativas
Ordinal – Porte, size
Nominal – raça, cor
Variáveis Quantitativas:
Quantitativas
Discreta – Nº de dentes
Contínua – Peso, altura

10. Variações
Quantitativa Contínua
Quantitativa Discreta
Qualitativa Ordinal
Qualitativa Nominal

11. Classificação
Exercício
Moradores de uma cidade
Camisetas à venda em uma loja
V. Quant. Discreta: Preço
V. Qual. Nominal: Marca, cor
V. Qual. Ordinal: Tamanho
Alunos desta sala

12. Índices, coeficientes e taxas
• Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a
outra.
Numerador é uma coisa e denominador é outra coisa..são coisas
separadas.
Exemplos
Densidade demográfica
Divide a população pela superfície.
Produção per capita
Valor total da produção dividido pela população
Renda per capita
Valor total da renda dividido pela população

13. • Os coeficientes são razões entre o numero de
ocorrências e o numero total (a soma dos números de
ocorrências e de não ocorrências).
São razões entre partes e o todo.
• Coeficiente de natalidade
Número de nascimentos dividido pela população, ou
seja, é um subconjunto dentro de um conjunto.
• Coeficiente de mortalidade
Número de óbitos dividido pela população.
• Coeficiente de Evasão Escolar
Número de alunos evadidos dividido pelo numero inicial
de matriculas

14. • As taxas são coeficientes multiplicados por uma
potencia de 10, para tornar o resultado mais
inteligível.
• Exemplo: em cada 200 celulares vendidos, 4
apresentam defeito..
• Coef. de defeitos = 4/200 = 0,02
• Taxa de defeitos = 2% ... é quando é
multiplicado por 100.

15. • Taxa de natalidade = coeficiente de
natalidade x 1000
• Taxa de mortalidade = coeficientes de
mortalidade x 1000
• Taxa de evasão escolar = coeficientes de
evasão escolar x 100

16. Exercício
• O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1º
ano no inicio de 2009 e 683.816 no final do ano.
O estado B apresentou, respectivamente,
436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado
apresentou maior evasão escolar?
Evasão estado A: 6,8%
Evasão estado B: 5,5%

17. Resolução
Estado A
Estado B

18. Técnicas de Descrição Gráfica
• Considere uma população ou amostra com N elementos
(ou o numero de dados), em que está sendo estudada
determinada variável.
• Considere que K é o numero de valores diferentes que
esta variável pode assumir:
• Definimos a FREQUÊNCIA (f) de um valor como o
numero de vezes que ele foi observado.
N: tamanho da população ou amostra, em que
consideramos uma variável.
K: quantidade de valores diferentes que a variável
assume.
Fi: é a frequência do i-ésimo valor.

19. Exemplo
• Perguntou-se para 10 pessoas quantos
irmãos elas tinham, e as respostas foram:
0,1,2,2,1,0,3,6,1,0
(variável quantitativa discreta)

20. Exemplo
N: 10 : quantidade de números
K: 5 : quantidade de variáveis
Fi: temos 5 freqüências;
F1: Freq do 0: 3 (quantidade de 0s)
F2: Freq do 1: 3
F3: Freq do 2: 2
F4: Freq do 3: 1
F5: Freq do 4: 1

21. • Soma-se as freqüências e tem que dar 10 (n)
• Definimos a freqüência relativa Fr (ou proporção) de
um valor como o quociente da sua freqüência pelo
numero de dados.
• Assim: Fr1 = F1 / N
Exemplo:
Fr1: 3/10: 0,3
Fr2: 3/10: 0,3
Fr3: 2/10: 0,2
Fr4: 1/10: 0,1
Fr5: 1/10: 0,1
Somando todas as Frs...da 1..assim como 100%

22. Exemplo
Cálculo de Frequências
De 50 funcionários: QU
AL
ITA
TIV
A
30 são solteiros, 15 são casados, 3
separados e 2 viúvos.

23. Resolução
N: 50
K: 4
F1: 30 solteiros
F2: 15 casados
F3: 3 separados
F4: 2 viúvos

24. Frequência Relativa
Fr1: 30/50 = 0,6 = 60%
Fr2: 15/50 = 0,3 = 30%
Fr3: 3/50 = 0,06 = 6%
Fr4: 2/50 = 0,04 = 4%

25. Tabelas
(IBGE)
1. Formulação:
• Título
• Dados
• Cabeçalho
• Coluna
• Indicadores

26. Modelo Tabela

27. Séries Estatística
• Cronológica ou histórica
Função do local
• Espacial ou geográfica
Função do lugar
• Específica ou categórica
Função da espécie

28. Representação gráfica das
variáveis qualitativas
• Modelos:
Colunas ou Barras

29. Modelo
Gráfico
• Tipo pizza ou Circular

30. Descrição Gráfica dos Valores
Quantitativas Discretas
Ex.: Perguntou-se para 10 pessoas
quantos folhas elas tinham e as respostas
foram:

31. Exemplo

32. Gráfico
Tipo Barra
Tabela 1
5
Frequência
4
3
2
1
0
1 2 3 4
Nº Folhas

33. Gráfico
Tipo Pizza

34. Frequência Acumulada

35. Frequência Acumulada
Gráfico

36. Tabelo 2
Observação
21,4 [21,35 ; 21,45]
Possui cinco termos
nesse intervalo.

37. Histograma

38. Característica Numérica
Distribuição de Frequência
x = variável
quantidade
x1 = i-ésimo valor da
variável x
Medidas de Posição
servem para localizar
os dados na reta real.

39. Exemplo
Ex.: Idade de 5 x = 18 + 22 + 25 + 21 + 25
pessoas: 5
18, 22, 25, 21 e 24 x = 110 / 5 = 22 idade média
x1, x2, ...
X = Idade
N=5

40. Calculando a Média - HP12C
Podemos usar as teclas de funções estatísticas da
calculadora HP12C para calcular a média de uma série de
dados da forma abaixo (refazendo o último exemplo):
‘f’ ∑ (limpa as memórias estatísticas)
18 ∑+ (insere o primeiro dado)
22 ∑+ (insere o segundo dado)
25 ∑+ (insere o terceiro dado)
21 ∑+ (insere o quarto dado)
24 ∑+ (insere o quinto dado)
‘g’ (a média aparecerá no visor)
As memórias R1 a R6 guardam algumas informações
associadas à série de dados que forem inseridos. Na
memória R1 temos o valor n, em R2, ∑x e em R3, ∑x2. No
nosso exemplo, como entramos com apenas uma série de
dados, as memoras R4 a R6 não fazem sentido.

41. Fórmula

42. Calculando na Frequência

43. Exercício
A última fórmula é a média ponderado,
onde as frequência são os pesos.
Ex.: Calcular a média de 3 provas, onde
P1 = 5, com peso 3, P2 = 4, com peso 2 e
P3 = 8, com peso 5.
M = 5.3+4.2+8.5/3+2+5 = 63/10 = 6,3

44. Exercício
x . n² de definição de cada calculando...

45. Fórmula

46. Exemplo
(Média de dados agrupados em classe de frequência)
Tabela de salários por hora:

47. Resolução

48. Média
Ponderada
Exercício

49. Propriedade da Média
Multiplicando-se todos os valores de uma
variável por uma constante C, a média fica
multiplicada por esta constante.

50. Exercício

51. Exercício II

52. Soma
• Somando-se uma constante C a todos
valores de uma variável, a média fica
somada desta constante:

53. Resolução

54. Mediana (Md)
• É o valor central (ou média dos valores
centrais) dos dados ordenados.
OBS: Deixar na ordem crescente

55. Resolução
Definindo
a média

56. Exercício II

57. Exercício III

58. Exercício IV

59. Mediana de dados Agrupados
Exemplo: Considere a tabela abaixo, que
lista a altura de 40 pessoas:

60. Medida de Dados Agrupados

61. Dados
L* = Limite inferior de classe mediana
F(ant) = frequência acumulada da classe
anterior à classe mediana
h* = amplitude da classe mediana
f* = frequência de classe mediana

62. Número de divórcios de acordo
com o tempo de casamento
Exercício
L* f*

63. Mediana
Md E 0 6
=
Classe mediana
Md = 5,36 anos

64. Resposta
Isto é, dos 5000 casamentos
que acabaram em divórcios,
metade durou até 5,36 anos e
a outra metade durou mais
de 5,36.

65. Quantis
Um quantil de ordens p1 ou p – quantil
(q (p)), onde p é uma proporção
(0 < p < 1), é uma medida tal que 100.p%
dos valores ficam abaixo dele.
q (0,6)
0,6%
0,25%
q (0,25)

66. 0,25
Exercício
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
X1, x2, x3
q(0,25) = ?
P. n = 0,25 . 10 = 2,5
Queremos á posição 2,5 que está entre o 2º e o 3º
dados.
q(0,25) = 10 + 15/2 = 12,5

67. Quantis especiais
q(0,25) = 1º quartil = q1
q(0,50) = 2º quartil = q2 = md
q(0,75) = 3º quartil = q3

68. Quantis de dados agrupados

69. Dados
• L* = Limite inferior de classe do quantil
• F(ant) = frequência acumulada da classe
anterior à classe quantil
• h* = amplitude da classe do quantil
• f* = frequência de classe do quantil

70. Exemplo
q(0,60) = ?
n = 5000
p = 0,60
P . n= 3000
Portanto q (0,60) E

71. Localização

72. Resolução

73. Resposta
Isto é, 60% casamentos
duraram até 6,86 anos e
40% duraram mais.

74. Exercício

75. Exercício

76. Resposta
Isto é, 87% casamentos
duraram até 13,5 anos e
13% duraram mais.

77. Moda
É o (s) valor (es) mais frequentes.

78. Bi-Moda
Utiliza-se as
os números
mais
evidentes.

79. Esquema dos 5 mínimos
X1 = Menor número dos dados:
q1 = 1º quartil = q(0,25)
q2 = 2º quartil = q(0,50)
q3 = 3º quartil = q(0,75)
Xn = maior número

80. Quadro
q1 q2 q3
x1 x2

81. Exemplo
1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25
x1 = 1
xn = 25
q1 = p.n = 0,25 . 10 = 2,5
Queremos a posição 2,5

82. Resolução
x1 = 1
xn = 25
q2 = p.n = 0,5 . 10 = 2,5
Queremos a posição 5

83. Resolução
x1 = 1
xn = 25
q3 = p.n = 0,75 . 10 = 7,5
Queremos a posição 7,5

84. Quadro
5,5 8,5 10,5
1 25

85. Box Plot

86. Qd
Qd = distância interquartil
Qd = q3 – q1
LS = Limite superior = q3 + 3/2 . qd
LІ = Limite inferior = q1 - 3/2 . qd

87. Box Plot

88. Exemplo
Qd = q3 - q1 = 10,5 - 5,5 = 5
LS = q3 – (3/2 . Qd) = 10,5 + 3/2 . 5 = 18
LI = q1 – (3/2 . Qd) = 10,5 - 3/2 . 5 = -2

89. Gráfico

90. Medidas de Dispersão
Indicam a quanto os dados estão dispersão:

91. Calculando a Amplitude
Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10
R = 10 – (-3) = 13

92. Variância (s²)
É a média dos quadrados das diferenças
entre os valores e a média.
Ou seja,

93. Tabela
)

94. Calculando a variância:
Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10
X = (-3, -2, +0, + 5, + 10) / 5(Termos) = 2
Variação = (-3 -2)² + (-2 -2)² + (0 -2)² + (5 -
2)² + (10 - 2)² =?
Variação = 25 + 16+ 4 + 9 + 64 / 5 = 23,6

95. Exercícios
5, 5, 5, 5, 5
X=5
Variação = 0

96. Exercícios
3, 4, 5, 6, 7
X=5
Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²
+ (7 - 5)²
Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2

97. Exercícios II
3, 4, 5, 6, 7
X=5
Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²
+ (7 - 5)²
Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2

98. Exercícios III
• 4, 4, 5, 6, 6
X= 5
Variação = (4 -5)² + 2. (5 + 5)² + (7 - 5)² .
Variação = S² = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 / 5 =
4/5 = 0,8

99. Observação
• Quando maior variação, mas dispersos
estão os dados.

100. Propriedades
A variância também pode ser calculada
através da seguinte fórmula:

101. Exemplo
x
Média

102. Efetuando a variação
• Variação: 155/30 –
2,17² = 0,4578

103. Multiplicando-se os dados por C = constante, a
variação fica multiplicada por:

104. Somando-se uma constante C aos
dados, a variância:

105. Variância
1) A fórmula de S² que de demos é a
variância de uma populãção.
A variância da amostra tem o
denominador -1 ao invés de n.
2) A unidade de S² é a unidade de X ao
quadrado.
Se X é dado em cm, S² é dado em cm².

106. Desvio-Padrão
Tira
rar
qua aiz
drad
S= a
O desvio-padrão está na mesma unidade de x.
Coeficiente
de Variação

107. Exercício
• Erros de impressão
em 50 páginas
aleatórios de um livro.

108. Questões:
a) Qual o nº médio de erros por página?
b) E o nº mediano?
c) E a variância?
d) E o desvio-padrão?
e) E o coeficiente de variação?
f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nº
esperado do erros?

109. Resolução
?

110. F
Resolução

111. Xf
Resolução

112. X²f
Resolução

113. Nº médio de erros
Resolução

114. Nº Mediano
Resolução

115. Variância
Resolução

116. Desvio-Padrão
Resolução

117. e)

118. f)
f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nº
esperado do erros?

119. Exercícios
• O Departamento Pessoal da firma X fez
o levantamento dos salários dos 120
funcionários (em números de salários
mínimos) e obteve os resultados da
tabela abaixo:
E
Lis xerc
ta í
Re cio
vis
ão

120. Tabela - Exercício

121. Pede-se:
• Quantos funcionários estão na faixa 4├ 6 salários
mínimos?
• Esboce o histograma.
• Calcule a média, a amplitude, a variância e o desvio-
padrão.
• Calcule o primeiro quartil e a mediana.
• Se for concedido um aumento de 100% a todos os
funcionários, haverá alteração na média? E na
variância?
• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a
todos os funcionários, haverá alteração na média? E
na variância?

122. Resolução
1º Criar tabela

123. TABELA

124. a)
Quantos funcionários estão na faixa 4├ 6
salários mínimos?
Resposta: 24

125. b)
Esboce o histograma.
60
50
48
40
30 30 Frequência
24
20
18
10
0
0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 10

126. c)
Calcule a média, a amplitude, a variância,
o desvio-padrão e cv.
Média
x = 438/120 = 3,65 salários mínimos

127. c)
• Amplitude
R = Xmax. - Xmín. = ?
R = Xmáx. - Xmín. = 10 – 0 = 10

128. c)
• Variância (s²)
S² = 2214/120 – 3,65² = 5,13 (s.m.)²

129. c) Desvio-Padrão

130. c)

131. d)
Calcule o primeiro quartil e a mediana.
Fórmula para calcular quantil quando o
exercício tiver intervalo.

132. Resolução
x1 = 1
xn = 120
q1 = p.n = 0,25 . 120 = 30
Queremos a posição 30

133. Resolução
Portanto a média pertence ao intervalo 2 – 4.
MD

134. e)
• Se for concedido um aumento de 100% a
todos os funcionários, haverá alteração na
média? E na variância?
Resposta: A média será dobrada. A
variância se quadruplicará.

135. f)
• Se for concedido um aumento de um
salário mínimo a todos os funcionários,
haverá alteração na média? E na
variância?
Resposta: A média subirá (1) salário
mínimo. A variância não mudará.

136. Revisão
Estatística Descritiva
EXERCÍCIO + RESOLUÇÃO

137. Exercícios One
1) Quais são os tipos de variáveis que
existem? Dê um exemplo de cada tipo
para a população carros à venda em uma
concessionária.

138. Resolução
Variável é a característica de interesse
que é medida em cada elemento da
amostra; Como o nome diz, seus valores
variam de elemento para elemento.
As variáveis podem ter valores numéricos
ou não numéricos e serem classificadas
da seguinte forma:

139. Resolução
Continuação
Variáveis Quantitativas
São as características que podem ser medidas em uma escala
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem
sentido. Podem ser contínuas ou discretas.
Variáveis contínuas são características mensuráveis que
assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as
quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser
medidas através de algum instrumento.
Exemplos: Peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão
arterial, idade.
Variáveis discretas são características mensuráveis que podem
assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e,
assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o
resultado de contagens.
Exemplos: Número de filhos, número de bactérias por litro de leite,
número de cigarros fumados por dia.

140. Resolução
Continuação
Variáveis Qualitativas
São as características que não possuem valores
quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias
categorias, ou seja, representam uma classificação dos
indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais.
Variáveis nominais não existe ordenação dentre as
categorias.
Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante,
doente/sadio.
Variáveis ordinais existe uma ordenação entre as
categorias.
Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da
doença (inicial, intermediário, terminal), mês de
observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).

141. Resolução
Continuação
Dê um exemplo de cada tipo para a população carros à
venda em uma concessionária.
Podemos relacionar os tipos para a população de carros
a venda em uma concessionária na forma das seguintes
variáveis:
Variáveis Quantitativas
Discreta: Preço, portas, lugares, donos.
Contínua: Tamanho em metros, peso.
Variáveis Qualitativas
Nominais: Cor, modelo, tipo de combustível
Ordinais: Ano de fabricação

142. Exercícios Two
2) Considere a tabela abaixo onde estão listadas as notas de 40
alunos:
Nota f
5 10
6 8
7 9
8 6
9 5
10 2
(a)Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o
desvio-padrão e o coeficiente de variação;
(b)Faça um diagrama em barras.

143. TABELA

144. a)
Calcule a média, a
mediana, a moda, a
amplitude, a variância, o
desvio-padrão e o
coeficiente de variação.

145. Média
Resolução
x = 275/40 = 6,85 notas/alunos

146. Mediana
Resolução
40 termos

147. Moda
Resolução

148. Amplitude
Resolução

149. Variância (S²)
Resolução
S²

150. Desvio-padrão
Resolução

151. Coeficiente de variação
Resolução

152. b)
Faça um diagrama em barras:

153. Exercícios
O que acontece com a mediana, a média, o desvio-
padrão e a variância de uma série de dados quando:
Cada observação é multiplicada por 2?
A média, a mediana e o desvio padrão ficaram multiplicados
por 2, ou seja, dobrará. Já a variância se quadruplicará.
Soma-se 10 a cada observação?
A média e a mediana ficam somadas com 10, o desvio padrão e
a variância não se alteram.
Subtrai-se a média de cada observação?
A média e a mediana ficam igual a zero e o desvio padrão não
se altera.

154. Exercícios
Na companhia A, a média dos
salários é R$ 6.000,00 e o
terceiro quartil é R$ 3.000,00.

155. a)
Se você fosse um candidato a
trabalhar nesta companhia e o seu
futuro salário fosse escolhido ao
acaso entre os salários pagos
atualmente pela companhia, o que
seria mais provável, ganhar mais ou
menos de R$ 3.000,00?

156. Resolução
O candidato receberá
75%
menos de R$ 3000,
pois 75% dos
funcionários dessa
empresa ganham até
esse valor.

157. b)
Suponha que na companhia B a
média dos salários é R$ 4.000,00 e
a variância quase zero, e que você
também se apresenta como
candidato. Se o seu futuro salário
também fosse escolhido ao acaso
entre os salários pagos atualmente,
em qual companhia você preferiria
trabalhar?

158. Resolução
Nessa avaliação a
empresa B é mais viável,
pois a maioria dos
trabalhadores ganham
mais de R$ 4000.

159. Probabilidade

160. Probabilidade
Natureza
Fenômenos determinístico: nas mesmas condições,
os resultados são o mesmo.
Exemplo: A água sempre ferve a 100 ºC ao nível do
mar.
Fenômenos aleatório: nas mesmas condições, o
resultado é imprevisível.
Exemplo: Duas laranjas no mesmo pomar dão
produções diferentes.

161. Detalhes
Um experimento aleatório é um fenômeno
aleatório produzido pelo homem.
Exemplo: Jogar um dado; Jogar uma
moeda; Tirar uma carta do baralho;
Sorteio da Mega Sena.

162. Conjunto
O conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório é chamado de espaço
amostral. ( ou ℮).
Ex.: Jogando um dado
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ex.: Jogando 2 moedas, C= Cara, R = Coroa
= {(C,C); (C,R); (R,C); (R,R)}
Um evento é qualquer subconjunto de .
Exemplo: Jogando um dado, descreva:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

163. Exemplos
A) nº par A = {2, 4, 6}
B) nº menor que 4 B = {1, 2, 3}
C) nº menor que 2 C = {1} Evento Unitário
D) nº menor que 7 D= Evento Certo
E) nº maior que 6 E = 0 Evento Impossível

164. Operações com Eventos
Aleatórios
= {e1, e2, ..., en}, A, B e C
União
A υ B = {ei ℮ / ei ℮A ou ei ℮B)

165. Interseção
A ∩ B = {ei ℮ / ei ℮A e ei ℮B)

166. Diferença
A - B = {ei ℮ / ei ℮A e ei ℮B)

167. Complementação
- Ac = Ā = { – A} {ei ℮ / ei ℮A)

168. Frequência Relativa
• Se, em n tentativas do experimento, o
evento A ocorreu m vezes, tempos a
frequência relativa de A:
f(A) =

169. Exemplos
Jogamos 20 x 1 dados e obtivemos 8
pares.
Então: f(par) = 8/20 = 0,40
Obs: A frequência (f) está sempre entre 0 e 1.

170. Definição
• 1º P(A) =
• Se é finito e seus elementos tem a
mesma chance de ocorrer:

171. EXERCÍCIO
DE
PROBABILIDADE

172. Exercícios
Exercícios do Capítulo 5 do livro
“Estatística Básica” de Bussab e Morettin
Uma urna contém duas bolas brancas e
três bolas vermelhas. Retira-se uma bola
ao acaso da urna. Se for branca, lança-
se uma moeda, se for vermelha, ela é
devolvida à urna e retira-se outra.

173. a) Dê o espaço amostral do
experimento:
= Espaço Amostral = Resultado do Experimento

174. b)
Lance um dado até que a face 5
apareça pela primeira vez.
Enumere os possíveis
resultados do experimento.

175. Exercício One
Três jogadores, A, B e C disputam um
torneio de tênis. Inicialmente, A joga com
B e o vencedor joga com C, e assim por
diante. O torneio termina quando um
jogador ganha duas vezes seguidas ou
quando são disputadas, ao todo, quatro
partidas.
Quais são os resultados possíveis do
torneio?

176. Resolução

177. Exercício Two
Duas moedas são lançadas, dê
o espaço amostral.

178. Exercício Three
Um dado e uma moeda são
lançados, dê o espaço amostral.

179. Exercício Four
Dê o espaço amostral para cada
um dos experimentos aleatórios:
(a) Lançamento de dois dados – anota-se a
configuração obtida;

180. c)
Em famílias com três crianças,
anota-se os sexos;

181. e)
Mede-se a duração de
lâmpadas, deixando-as acesas
até que se queimem;

182. g)
Lança-se uma moeda até que
apareça cara pela primeira vez,
e anota-se o número de
lançamentos;

183. Exercícios Five
Expresse em termos de operações de
eventos:
a) A ocorre mas B não ocorre;
A -B

184. b)
Exatamente um dos eventos A e
B ocorre;
AUB - A∩B = (A-B) U (B-A)

185. c)
Nenhum dos eventos A e B
ocorre.
(AUB)C = - (AUB)

186. Probabilidade
Condicional

187. Exercício
Consideraremos os 250 alunos de uma
escola de línguas, distribuídos nos cursos
de inglês e espanhol da seguinte maneira:
Sorteando-se um aluno ao acaso, qual a
probabilidade que curse espanhol,
dado que é do sexo feminino?

188. Resolução
• Sorteando um aluno ao acaso, calcule as
probabilidades:
P(E) =
P(F) =
P(E∩F) =

189. Estudo
• Estudar espanhol, dado que é do sexo
feminino.
P(E/F) = =
=

190. Probabilidade Condicional
A, B, C
Definimos a probabilidade condicional de
A, dado que B ocorre por:
, se

191. P(A/B)
Diagrama

192. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exercício A = {2, 4, 6}
B = {2, 3, 4, 5, 6}

194. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exercício A = {2, 4, 6}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
C = {3, 4, 5, 6}

196. Teorema do Produto

197. Exercício One
Uma urna possui 5 bolas cinzas e 6
pretas. Retira-se duas, sem reposição.
Calcule a probabilidade de:
a) Ambas serem cinzas
b) Casa uma de uma cor

198. Resolução

199. a)
Teorema do Produto

200. b)
Teorema do Produto
=

201. Exercício Two
Jogamos um dado, e se sair 1 ou 2,
tiramos uma bola da urna 1 (que tem 5
cinzas e 3 pretas), e se sair 3, 4, 5 ou 6,
tiramos uma bola da urna 2 (3 cinzas e 2
pretas).
Qual a probabilidade da bola retirada
ser cinza?

202. Resolução

203. Resolução
OBSERVAÇÃO
C = Cor Cinza

204. Resultado

205. Exercício Three
Idem One a), com reposição:

206. Eventos Independentes
A, B, C
A e B são independentes se:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
Logo, P(A∩B) = P(A). P(B)

207. Exemplo
Utilizando os exercícios One e Two, os
eventos são dependentes, já no exercício
Three, ele é independente.
Exemplos:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A e B são dependentes
A = {2, 4, 6}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
C = {3, 4, 5, 6} A e C são independentes

208. Probabilidade Condicional

209. Exercício de Probabilidade
Extra

210. Exercício One
Em uma cidade do interior do Brasil, a
probabilidade de que um habitante
escolhido ao acaso tenha televisão em
casa é 11/12. Já a probabilidade de esse
habitante ser um comerciante é 1/11.
Escolhendo um habitante dessa cidade
ao acaso, qual a probabilidade de que
ele tenha televisão em casa e seja
comerciante?

211. Resolução

212. Exercício Two
Alguns professores estão prestando concurso
para dar aulas em uma escola. Inicialmente,
eles farão uma prova escrita e, depois de
serem aprovados nessa prova, farão uma
prova prática. Aquele que for aprovado na
prova prática será contratado. Sabendo que a
probabilidade de aprovação na prova escrita é
1/4 e de aprovação na prova prática (depois
de ser aprovado na escrita) é 2/3, calcule a
probabilidade de que um professor, escolhido
ao acaso, seja contratado.

213. Resolução

214. Exercício Nine
No exame para tirar a carteira de motorista, a
probabilidade de aprovação na prova escrita é
9/10 . Depois de ser aprovado na parte
teórica, há uma prova prática de direção. Para
os que já passaram no exame escrito, a
probabilidade de passar nessa prova prática é
2/3. Qual a probabilidade de que, escolhido
um candidato ao acaso, ele seja aprovado em
ambas as provas escrita e prática e tire a
carteira de motorista?

215. Resolução

216. Exercício Twelve
Em uma sala de ensino médio, 12
alunos gostam de vôlei, 13 gostam de
futebol, 5 gostam dos dois esportes e
outros 10 não gostam nem de vôlei nem
de futebol. Sabendo que a turma tem 30
alunos, qual a probabilidade de que um
aluno, escolhido ao acaso, goste de vôlei
ou de futebol?

217. Resolução
n = Número de Alunos

218. Resolução

219. Exercício
Na experiência de jogar, aleatoriamente,
um dado "honesto" de seis faces
numeradas de 1 a 6, verificar se os
eventos "número dois" e "número par"
são independentes.

220. Resolução
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
B = {2}

221. Resolução

222. Resolução

223. LISTA
Probabilidade

224. Exercício One
(MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram
indicados para participarem de um torneio
de basquete. A probabilidade de Paulo ser
escolhido para participar do torneio é 3/5. A
probabilidade de Roberto ser escolhido para
participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo
que a escolha de um deles é independente
da escolha do outro, a probabilidade de
somente Paulo ser escolhido para participar
do torneio é igual a:

225. Resolução

226. Resposta
c) 12/25

227. Exercício Two
(MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão
viajando pela Europa. Com as informações que
dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade
de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade
de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a
probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje
em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema
de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com
a informação recebida pelo telefonema de Ana,
Carlos agora estima corretamente que a
probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris
é igual a:

228. Resolução

229. Resposta
b) 1/3

230. Exercício Three
(MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto
de gasolina, a probabilidade de ela pedir
para verificar o nível de óleo é de 0,28; a
probabilidade de ela pedir para verificar a
pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade
de ela pedir para verificar ambos, óleo e
pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade
de Lígia parar em um posto de gasolina e
não pedir nem para verificar o nível de óleo e
nem para verificar a pressão nos pneus é
igual a:

231. Resolução

232. Resposta
e) 0,65

233. Teoria da Probabilidade Total
e
Teo de Bayes
Motivação: Suponha uma população em
que 1% possua determinada doença.
Existe em teste para detectá-la que dá
probabilidade de falso-positivo de 1% e de
falso-negativo de 1%.

234. Testes

235. Exercício
Uma pessoa fez o teste e de positivo.
Qual a probabilidade dela estar doente,
isto é P( / ) = ?
P(doente/positivo) = ?

236. Resolução

237. Resolução
• Obs: A1, ..., An são uma partição de , se:

238. Exemplo
= {1, 2, ..., 6}
A1 = {1, 2}
A2 = {3, 4, 5}
A3 = {6}

239. Fórmula

240. Calculando
A1 = Sadia, A2 = Doente, B = Positivo

241. Resolução

242. Exercício
Teorema de Bayes

243. Resumo
• Uma caixa com TRÊS moedas:
1º Honesta
2º Com DUAS caras
3º Com probabilidade de cara 1/5
P(2ª / c) = ?
C = CARA
R = COROA

244. Resolução

245. Fórmula

246. Variáveis Aleatórias
Discretas
Introdução

247. Exemplo
Lançam-se 3 moedas. Seja X: número de
ocorrências da face cara. Determinar a
distribuição de probabilidade de X.

248. Resolução

249. Definição
• Variável Aleatória (v.a) é a função que
associa a todo evento pertencente a uma
partição do espaço amostral um único
número real.
• A variável aleatória é discreta quando
assume valores em um conjunto finito ou
enumerável.

250. Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Probabilidade é a função que
associa a cada valor assumido pela
variável aleatória a probabilidade do
evento correspondente, isto é:
Ao conjunto {(xi, p(xi)) i = 1, ..., n} é a
distribuição de probabilidades.

251. Observação

252. Exemplo
• Considere uma urna contendo 3 bolas
vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, sem
reposição, e defina a variável X: nº de
ão
bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
URNA

253. Resolução
X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS
Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.

254. Exemplo
• Considere uma urna contendo 3 bolas
vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, com
reposição, e defina a variável X: nº de
ão
bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
URNA

255. Resolução
X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS
Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.

256. Exercício
• Lança-se uma moeda até que saia cara
pela 1º vez X: nº de lançamentos

257. Resolução

258. Esperança Matemática
(Valor médio ou Média)
Uma seguradora cobra R$1.000 por carro
e paga R$ 30000 em caso de sinistro (o
que ocorre 3% das vezes).
Quanto ela espera ganhar em média, por
carro?

259. Resolução

260. Resolução
Média
Observação: Resolução a partir da frequência

261. Resolução
Probabilidade
Observação: Resolução a partir da probabilidade.

262. Fórmula
Resolução Probabilidade

263. Esperança Matemática
(Valor médio ou Média)
Podemos definir mediana, moda, variância
e desvio-padrão, de forma similar à feita
em distribuição de frequência, mas
usando p(xi) no lugar de fi/n.
Observação
Notação da variância: o²x, o²(x), o².

264. Distribuições
Variáveis

265. Distribuição de Bernoulli
• Experimento com somente duas
possibilidades:
SUCESSO (S)
FRACASSO (F)
X: nº de sucessos em 1 jogada.

266. Distribuição Geométrica
• Experimento com somente duas
possibilidades:
SUCESSO (S)
FRACASSO (F)
X: nº de tentativa até 1 S.

267. Distribuição Binomial
• Experimento com somente duas
possibilidades:
SUCESSO (S)
FRACASSO (F)
Você estabelece um quantidade e verifica
quanto saio no final da verificação.

268. Variável Aleatório Contínua
É uma v.a. que assume valores em um
intervalo contínuo.
Exemplo:
X → Alturacm de um grupo de pessoas.

269. Funções Densidade de
Probabilidade
Seja X uma v.a. contínua A função
densidade de probabilidade é a função f(x)
tal que:
a) f(x) > 0, para todo x ℮ Rx = {valores
assumidos por x}
b) Rx f(x) dx = 1

270. Além disto, para a, b, е Rx, a < b.
P(a < x < b) = f(x) = dx

271. Distribuição Normal
Modelos de Distribuição Contínuas
É a distribuição normal Z , que tem média.
O e desvio-padrão 1.
Qualquer distribuição normal x com média
µ e desvio-padrão o pode ser transformado
em Z através de mudança de variável.

272. Exemplos
Distribuição Normal
Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados
avaliados.