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Matemática
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                 Luan Guerra
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           SUGESTÕES
     cadernosppt@gmail.com.br
Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.

Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.


Observação
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.
CADERNO
      +
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Juros
• Juros Simples:

INT: $1000 . 5
=$1000 . 10% . 5 = 1500

              INT: PV . I . N
Calculando o montante
           (Juros Simples)
• FV: PV + INT

= PV + PV . I . N

FV: PV. (1 + I. N)

              PV: FV/ (1+ I . N)
Exercícios – Juros Simples
•  Verifique se os dois capitais são (ou não
   são) equivalentes na data fiscal e à taxa
   de juros simples de 10% a.m.
Na data fiscal:

a) FV1 = PV1(1+ i . n)
FV1 = 3635,35 (1+ 0,1 . 1)
FV1 = 3635, 35 . 1,1 = $4000
Exercícios – Juros Simples
b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)

PV2 = 5600 / (1 + i . N)
PV2 = 5600 / 1,4 = $4000



Resp:
São equivalentes na dela 2 à taxa de 10% a. m.
Exercício
• O exemplo foi para verificar o valor que
  seria no futuro.
Exercícios – Juros Simples
a) FV1 = PV1 (1 + i . N)

FV1 = 3636, 35 (1 + 0,1 . 5)
FV1 = 3636, 35 . 1,5
FV1 = 5454, 53 (Aproximadamente)
Exercícios – Juros Simples
b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)

PV2 = 5600 / (1 + 0,1 . 0)
PV2 = 5600 / 1

PV2 = $5600
Exercício de Juros Simples
• Valor da dívida = FV1 / (1 + i . N)
VD = 2000 / (1 + 0,1 . 3)
VD = 2000 / 1,3
VD = 1538,47 (Aproximadamente)

• Valor da dívida = FV2 / (1 + i . N)
VD2 = 2500 / (1 + i . N)
VD2 = 2500 / 1,8
VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
Exercício de Juros Simples
• VD1 + VD2 = X

VD = 1538,47 (Aproximadamente)
+
VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
_____________________________
$ 2927,36 (Aproximadamente)
Pagamentos
x / (1 + 0,1 . 10) + x / (1 + 0,1 . 15) = 2927,35

x / 2 + x / 2,5 = 2927,35

0,5x + 0,4x = 2927,35

0,9x = 2927, 35 ---- X= $3252,61

Resp: O valor $3252,61 será em cada cheque.
Capitalização Composta
• Taxas Equivalentes
Exemplo 1
• Determine a taxa anual equivalente a 2%
  a.m.
Modelo Meses
Modelo Anos
Resolução
FV 1 = FV 2
PV . (1 + 0,02) = PV (1 + i a)

1 + i . a = 1,02¹²

ia = 1,02¹² - 1 = 0,2682 ou 26,82%
Ou seja...


FV 1 = $126, 82

FV 2 = $126, 82
Exercício II
• Determine a taxa mensal equivalente a
  24% a.a.FV

Cap. Anual: FV 2 = PV (1 + ia)¹

Cap. Anual: FV 1 = PV (1 + im)¹²
Cont.
FV 1 = FV 2         (1 + im)¹² = (1 + ia)¹

          (1 + im)¹²= 1,24¹

              im = 1,24 ¹/¹²

                = 0,0181

                   ou

          i = 1,81% a.m.
Equivalência de Capitais a
    Juros Compostos
Dois capitais, com datas de vencimentos
determinados, são equivalentes quando,
levados para uma mesma data a mesma
taxa de juros, tirevem valores gerais.

No sistemas de juros compostos, se dois
capitais são equivalentes em determinado
data também o serão em qualquer outro
data.
Exercícios


Verifique se os dois capitais
são equivalentes, a juros
compostos de 10% a.m.
Exemplos
Data Focal
Meses
Resolução
Data focal:

1) FV1 = 2000 . (1 + 0,1)¹ = $ 2200

2) PV2 = 2662 / (1+0,1)² = $ 2200
Resposta


Eles são equivalentes a
taxa de juros compostos
de 10% a.m. (Data Focal)
Data Focal
Nova data focal
Data focal = 3º Mês

•   FV 1 = 2000 (1 + 0,1)² = $2420

•   PV 2 = 2662 / (1 + 0,1)¹ = $2420

Resposta: Eles são equivalentes a taxa de
  10% a.m. em qualquer data focal.
Exercício
Verificar se os conjuntos de capitais A e B
 são equivalentes, considerando-se uma
 taxa de juros compostos de 10% a.m.
Resolução
Escolher uma data focal:
Resolução
FV: 2000 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2420 . 1.1¹ +
 2662 = $10.648,00


FV: 2100 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2300 . 1.1¹ +
 2902,40 = $10.648,00


Respostas: São Equivalentes...
Equivalência de Capitais e Juros
           Compostos
• Exercício:

 Em vendas à vista, uma loja dará um
 desconto de 5%, pagando-se com cheque
 pré-datado para um mês, “não há
 cobrança em juros”, com cheque pré-
 datado para dois meses, há um acréscimo
 de 3%.
Perguntas
a) Qual a melhor forma de pagamento para
   o cliente, se o rendimento do dinheiro for
   de 3,5% a.m.? É o pior?

b) Determine as taxas de juros cobradas
   nos cheques pré-datados?
a)
• À vista

•
    Cheque p/ 30 dias



• Cheque p/ 60 dias
a)
• À vista: 0,95 x = $95



• 1 Mês: 1 x = $100



• 2 Meses: 1,03 x = $103
a)
Data focal: 0 mês (à vista)



• À vista: 0,95 x = $95
a)
• Cheque para 30 dias:

FV = PV . (1 + i)n

PV = FV / (1 + i)n

FV = 1 x / (1,035)¹ = $96,62
a)
• Cheque para 60 dias:

FV = PV . (1 + i)n

PV = FV / (1 + i)n

FV = 1,03 x / (1,035)² = $96,15
Convenção Linear
Convenção Linear
• Montante no final do 5º ano:
FV=1000.(1+0,1)5 =   $1610,51

• Montante no final do 5º ano e meio:


FV=1610,51.(1+0,1.0,5) = $1691,04
Convenção Exponencial
• Montante no final do 5º ano:



FV = 1000.(1+0,1)5 =   $1610,51
Taxa semestral
• Equivalente a 10%


iq = (1 + it)q/t - 1

Iq = (1 + 0,1)1/2 - 1

Iq = (1,1)1/2 - 1

Iq = 1,0488 – 1 = 0,0488 a.s.

Iq = 1,10,5 – 1

(1 + i) = 1,10,5
Convenção Exponencial

• Montante no final do 5º ano e médio:

FV = PV . (1+ isem )¹

• FV = 1610,51 . (1+ isem )¹

• FV = 1000 . 1,15      1000.1,1 5,5

     $1689,12
Capitalização Composta

       Atividade 6
Exercícios - 4
Qual o valor do capital, que aplicado a
taxa de 18% ao trimestre durante 181
dias, produziu um montante de
$5.000,00?
Resolução
PV?
i = 18 a. t.
n = 181 dias
FV = $5000
Determine o capital:
PV = FV / (1 + i)n

PV = $5000 / (1 + 0,18)181/190

PV = $5000 / (1,18)2,011

PV = $5000 / 1,3950

PV = $3584,23
Exercício - 5
Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em
que prazo um investidor poderá receber o
dobro da sua aplicação?


FV = 2 PV
1 = 0,225% a.d.
n = ? dias
Resolução
FV = PV . (1 + i)n

(1 + i)n = (FV / PV)

n . ln (1 + i) = ln (FV / PV)

n = ln (FV / PV) / ln (1 + i)

n = ln (2PV / PV) / ln (1 + 0,00225)

= ln 2 / ln 1,00225 = 0,6931 / 0,0022

= 308,41       dias
Exercício - 6
A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou
um rendimento de $ 240.000,00 no final
de 208 dias. Determinar as taxas diária,
mensal, trimestral e anual de juros.
Resolução
PV = $380.000
INT = $240.000
_____________
FV = $620.000

N = 208 dias
i=?
Determine a taxa:
FV / PV = (1 + i)n

1 + i = (FV / PV)

i = (FV / PV)
Taxa diária
i = (620000/380000)1/208 -1

= 0,024

ou


             0,24 a% a.d.
Taxa Mensal
n = 203/30 meses = 6,93 meses

i = (620000 / 380000)30/208 – 1

= 0,0732

ou


                 7,32% a.m.
Taxa EQUIVALENTE
iq = (1+ it)q/t - 1

iq = (1+ 0,732160)³ - 1    ³ = 90/30 = 3 trimestres

= 0,2359

ou


                      23,59% a.t.
Taxa Anual
n = 208/360 ano = 0,5638 ano

i = (620000/380000)360/208 – 1

= 1,333

ou


              =133,33% a.a.
Taxa Nominal
Poupança
• Nominal j = 6% a.a. Capitalização Mensal

 Taxa i = 0,5% a.m.

• Taxa anual equivalente a 0,5%a.m.

             iq = ( 1 + it)q/t – 1
Como calcular:
iq = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617 . 100%

      EFETIVA = 6,17%        a.a
Convenção
• A taxa efetiva por período de capitalização
  seja proporcional à taxa nominal:



j é a taxa nominal
k é o número de vezes em que os juros são
   capitalizados no período que se refere a
   taxa nominal
Exemplo 1
12% ao ano:

                    j 12%
Taxa efetiva :    i= =    = 1% ao mês
                    k  12

     Taxa efetiva (anual): 12,68%

                    12 1
       i = (1 + 0,01)      − 1 = 0,1268
Exemplo 4
5% ao ano, capitalização semestralmente:

 Taxa efetiva: i = j / k = 5/2 = 2,5 a.s.

               iq = (1+ 0,025)2/1 -1 =
            Iq = 1,0506 – 1 = 0,0506


                   5,06% a.a.
Cálculo da TAXA EFETIVA a
   partir da Taxa Nominal
A taxa efetiva (período referencial)
equivalente à taxa nominal j capitalizada k
vezes no período referencial é:

                         k
           j
    i = 1 +  − 1
         k
Exemplo 5
Um banco faz empréstimos à taxa de 5%
ao ano, mas adotando a capitalização
semestral do juros.

Qual seria o juro pago por um
empréstimo de $10.000,00, feito por 1
ano?
Resolução
Juros = 5% a.a.
K = 2 capital a.m.

a) FV = $10000
INT = ?

N = 1 ano
Taxa Efetiva Semestral
i = j/k
i = 5%/2= 2,5% a.s

Montante ao final de 1 ano:
FV = PV . (1 + i)N
FV = 1000 . (1 + 0,025)²


                         FV: $10506,24
Cont.
INT = FV – PV
INT = 10506,25 – 10000


                         INT = $506,25
b)
         Taxa efetiva anual

i = INT/PV = 506,24/10000 = 0,050625

                OU


        5,0625% a.a.
Outra possibilidade?
• Taxa efetiva anual

iq = (1+ it)q/t - 1

       iq = (1+ it)q/t - 1 = (1+0,025)² - 1 =


  0,050625            ou    5,0625% a.a.
Exercício 6

Calcular o montante resultante de um
investimento de $1.200 aplicado por 3
anos a juros nominais de 16% a.a.,
capitalizados mensalmente
Dados
PV = $1200
Prazo = 3 anos

i = 16% a.a.

K= 12 Capitalização Mensal (em 1 ano)

FV = ?
Resolução
• Montante no      FV = $1200(1+ 0,16/12)12.3
  final de 3
  anos:            FV = $1200(1+ 0,16/12)36

                   FV = $1200(1+ 0,0133)36

                   FV = $1200(1,0133)36

                   FV = $1200 . 1,6109


                         FV = $1933,15
Exercício 7
Qual o valor de resgate para um capital de
$200 aplicado pelos seguintes prazos e
taxas?
Resolução
a)
27 dias a 9% a.m., capitalização diária


FV = $200 (1 + 0,09/30)30 . 27/30
FV = $200 (1 + 0,003)27
FV = $200 (1,003)27
FV = $200 . 1,0842


FV = $216,85
b)
6 meses a 28% a.a., capitalização mensal

FV = $200 (1 + 0,28/12)12 .
FV = $200 (1 + 0,023)6
FV = $200 (1,023)6
FV = $200 . 1,1462


FV = $229,23
c)
8 meses a 18% a.s., capitalização mensal

FV = $200 (1 + 0,18/6)6. 8/6
FV = $200 (1 + 0,03)6 . 8/6
FV = $200 (1,03)8
FV = $200 . 1,12668


FV = $253,35
HP
FN

28 E 12 / i

6N

200 PV

FV
Exercício 8
Vamos supor que tenham sido pesquisadas e
  encontradas as três taxas a seguir:
• Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente
• Banco B: 15,5% a.a. capitalizados
  trimestralmente
• Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente

  Qual dessas taxas será a melhor, caso você
  esteja pensando em abrir uma caderneta de
  poupança?
Resolução
Banco A: 15% a.a. capitalizados
diariamente

FV = 100 (1 + 0,15/360)360 . 1 ano
FV = 100 (1 + 0,0004)360
FV = 100 (1,0004)360
FV = 100 . 1,1618
FV = 116,18
Resolução
Banco B: 15,5% a.a. capitalizados
trimestralmente

FV = 100 (1 + 0,155/4)4 . 1 ano
FV = 100 (1+ 0,0388)4
FV = 100 (1,0388)4
FV = 100 . 1,1642
FV = $116,42
Resolução
Banco C: 16% a.a. capitalizados
anualmente



FV = 100 (1 + 0,16)¹ = 100 . 1,16 = $116
Desconto
Exemplo
  Uma empresa emitiu uma duplicata de $ 8.000,00 ,
  com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de
  agosto descontou o título num banco que cobra 2%
  a.m. de desconto bancário. Determinar o valor de
  desconto.

 O desconto bancário segue a regra dos banqueiros.

FV = $ 8.000,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 16/08 a 03/11 = 79 dias = 79/30 meses
DB = ?
Como DB = FV * i * n , então:

   DB = 8000 * 0,02 * ( 79/30 )

           DB= $ 421,33
Valor Atual ou Valor de Resgate:
        PV = FV ( 1 - i * n )
Exemplo
• Qual o valor de resgate do título do
  exemplo anterior ?

• PV = FV ( 1 – i * n )

• PV = 8.000,00 ( 1- 0,02 * 79/30 )

• PV = $ 7.578,67
Capitalização Simples
Resolução
INT = $421,33

PV . i . N = 421,33

7578,67 . i . 79/30 = $421,33


             i = 2,11% a.m.
Capitalização Composta
i = (FV/PV)1/n – 1

i = (8000/7578,67)30/79 -1


            i = 2,0758% a.m.
Desconto Simples para Séries de
        Mesmo Valor :

Vários títulos de mesmo valor apresentados
 a um banco, com vencimentos em datas
 diferentes podem ter seus valores de
 desconto (total) calculado. Sendo i a taxa
 de desconto, temos:
DB1 = FV * i * n1

                   DB2 = FV * i * n2
                  ...........................
                   DBN = FV * i * nN
          DBTOTAL = DB1 + DB2 + ..... + DBN

DBTOTAL = FV * i * n1 + FV * i * n2 + .... + FV * i * nN

       DBTOTAL = FV * i * ( n1 + n2 + ... + nN )

         DBTOTAL = FV * i * (n1 + nN ) * N/2
Exemplo
   Quatro duplicatas, no valor de $32.000,00 cada
   uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180
   dias, são apresentadas para desconto.
   Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada
   pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do
   desconto.
FV = $32.000,00         n1=90 dias = 3 meses
iD = 3% a.m.            nN=180 dias = 6 meses
N=4
Desconto Total: DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 =
DBTotal=32.000 .4.0,03.(3+6)/2 = $17.280,00
1 Resolução
D1 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 3 = 2.880,00
D2 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 4 = 3.840,00
D3 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 5 = 4 800,00
D4 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 6 = 5.760,00

Dt = $17280,00
2 Resolução
Dt = FV . i . (n1 + Nn) . n/2
Dt = 32000 . 0,03 . ( 3 + 6 ) . 4/2

Dt = 960 . 18 = $17280,00
Exemplo
   Uma empresa apresenta 6 títulos de mesmo valor para
   serem descontados em um banco. Sabendo-se que a
   taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos
   vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do
   boderô e que o valor líquido creditado a empresa foi de
   $25.000,00, calcular o valor de cada título.
PV = $25.000,00
N=6 títulos
n1=1 mês
n6=6 meses
iD=2,8% a.m.

Pede-se: FV
Resolução
PVt = n . FV – Dt
25000 = 6 . FV – FV . id . (n1 + n6) . n/2
25000 = 6 . FV – FV . 0,028 . (1 + 6) . 6/2
25000 = 6FV – 0,5880FV

5,4120FV = 25000

             FV = $4619,16
CALCULANDO O PV
PV = FV . (1 – i . N)

PV = 4619,36 . (1 – 0,028 . 1)


            PV = $4490,02
PV = $25.000,00
N=6 títulos
n1=1 mês
n6=6 meses
iD=2,8% a.m.
Pede-se: FV
PV = N.FV – DBTOTAL
25.000 = 6 . FV – DBTOTAL (*)
Por outro lado,
DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = FV . 6 . 0,028 . (1+6)/2
DBTotal=0,5880 FV (**)
Substituindo (**) em (*), temos que:
25.000 = 6FV – 0,5880FV
Resolvendo a equação acima, temos: FV= $4.619,36
Desconto Composto

   PV = FV ( 1 – i )n
Desconto Composto :
É o abatimento concedido sobre um título
por seu resgate antecipado, com os
critérios da capitalização composta.
             Dcomp = FV – PV
sendo FV o valor nominal e PV o valor do
resgate do título.
           PV = FV ( 1 – i )n
Exercício
• Desconto Composto

Exemplo:
FV = $1000
Id = 2% am (Em meses para o vencimento)

PV = Valor de resgate ou creditado na conta
 (Valor presente)
Resolução
Exemplo
  Um duplicata no valor de $25.000,00, com
  90 dias para o seu vencimento, é
  descontada a uma taxa de 2% ao mês.
  Calcular o valor líquido creditado na conta
  e o valor do desconto concedido.
a) De acordo com o conceito de desconto
  Bancário.
b) De acordo com o conceito de desconto
  composto.
Dados:        FV=$25.000,00
              N=90 dias = 3 meses
              Id=2% ao mês
a) Desconto Bancário
DB=FV.iD.n = 25.000 . 0,02 . 3 = $1.500,00
Valor líquido creditado na conta:
PV = FV – DB = 25.000–1.500= $23.500,00

b) No desconto Composto, o valor líquido creditado em
    conta é de:
PV = FV.(1 – iD)n = 25.000 . (1-0,02)3= $23.529,80
O valor do desconto composto é de:
DCOMP = FV – PV = 25.000 – 23.529,80 = $1.470,20.
ANUIDADES OU
  SÉRIES DE
PAGAMENTOS
Valores que são pagos ou recebidos através de
uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.
Chama-se de amortização quando o objetivo de
sucessivos pagamentos é a liquidação de uma
dívida.
Chama-se de capitalização quando o objetivo de
sucessivos pagamentos é constituir um capital em
data futura.
Classificação das Séries de Pagamentos


As Séries de Pagamentos podem ser
classificadas :

Quanto ao prazo:
Podem ser temporárias (duração limitada)
ou perpétuas (duração ilimitada, como
alugueis)
Classificação das Séries de Pagamentos



Quanto a valor:
Podem ser constantes (pagamentos ou
recebimentos em valores iguais) ou
variáveis (pagamentos ou recebimentos
com valores diferentes)
Classificação das Séries de Pagamentos



Quanto a forma:
Imediatas: quando o primeiro pagamento
ocorre no primeiro período. Subdividem-se
em postecipada (primeiro pagamento se dá
no final do primeiro período,ou seja, sem
entrada) e antecipada (primeiro pagamento
no início do primeiro período, ou seja, com
entrada igual as demais prestações)
Classificação das Séries de Pagamentos



Diferidas: quando o primeiro pagamento
não ocorre no primeiro período. O período
sem pagamentos é chamado de Período de
Carência, e normalmente, nele são
cobrados juros. Também se subdividem em
postecipadas e antecipadas.
Classificação das Séries de Pagamentos


Quanto ao período:
Podem ser periódicas (intervalos de
tempo entre pagamentos iguais) ou não
periódicas (intervalos de tempo entre
pagamentos diferentes).
Modelo Básico de Série


O modelo básico de Série de Pagamentos
 que vamos tratar é uma série:
         • Temporária

         • Constante
         • Imediata
         • Periódica
Exemplo



Determinar o montante ao final do 5o. mês
de uma série de 5 pagamentos mensais,
iguais e consecutivos de $ 1.000,00 a taxa
de 1% ao mês, de forma postecipada.
Solução

Esquematicamente     temos    a   série
representada pelo Diagrama do Fluxo de
Caixa:                     FV




          0   1     2    3      4   5




                        $1000
´PASSO A PASSO - SOLUÇÃO
1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)4
    FV1 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,60
2a. parcela: FV2 = PV2(1+i)3
    FV2 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,30
3a. parcela: FV3 = PV3(1+i)2
    FV3 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,10
4a. parcela: FV4 = PV4(1+i)1
    FV4 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,00
5a. parcela: FV5 = PV5(1+i)0
    FV5 = 1000(1+0,01)0 = $ 1.000,00
FVTOTAL= $ 5.101,01
Juros Compostos
i = 10% a.m.

FV = PV . (1 + i)n

FV1 = 1000 . (1 + 0,1)4
FV2 = 1000 . (1 + 0,1)3
FV3 = 1000 . (1 + 0,1)2
FV4 = 1000 . (1 + 0,1)1
____________________________


FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)
Resultado



FVt = $5101,01
Juros Compostos
FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)


     FV = 1000 . 1,010 . 1,015 – 1/ 1,01 - 1
Fórmula
FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i

Fazendo com a fórmula:

FV = 1000 . (1 + 0,01)5 – 1/ 0,01

                FV = $5101,01
Fórmula
2) Quantas prestações de $4.000,00 devo
  aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao
  trimestre, para acumular um montante de
  $100.516,08 no final de certo prazo? E
  qual esse prazo?
Exercício II
PMT = $4000
i = 7% a.t.

FV = $100.516,08

n=?
$ 4000
Determinar:
FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i

(1 + i)n – 1/ i = FV / PMT

(1 + i)n – 1= i . FV / PMT

(1 + i)n = 1 + i . FV / PMT

n. Ln (1+ i) = ln (1 + i . FV / PMT)
Fórmula



N = ln (1 + i . FV / PMT) / Ln (1+ i)
Séries de Pagamentos
     Postecipados
Fórmula
Exercícios
• A que taxa devo aplicar $15.036,28 por
  ano para que eu tenha um montante de
  $500.000,00 no final de 10 anos?
Exercícios
             $5000000




             10




 $15036,28
Resolução
Séries Postecipada

PMT = $15036,28
FV = $500.000
N = 10 prestações anuais
I = ? A.A
Determinar:
(1 + i)n – 1 / i = FV / PMT

(1 + i)10 – 1/ i = 500000/15036,38

(1 + i)10 – 1/ i = 33,2529

i = 25% a.a.
1 - Exercício
• Quanto terei que aplicar mensalmente, à
  taxa de 1% ao mês, para ter um montante
  de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de
  acordo com os conceitos de termos
  postecipados?
Resolução

               $ 1.000.000




            Meses




  PMT
Série Postecipada - Resolução
FV = $ 1.000.000
N = 240 prestações
i = 1 % a.a

PMT = ?
De valor de cada prestação?
PMT = FV . i / ( 1 + i)n – 1

PMT = 1000000 . 0,01/1,01240 – 1

PMT = $ 1010,86
Na HP12C
G END
F FIN
1i
240 n
1000000 FV

PMT = -1010,86 (CHS)
AO DIA?
G END
F FIN
0,033173 i (i = (1+0,01)1/30 -1)
7200 n (240.30 = 7200 ao dia)
1000000 FV

PMT = -33,53 (CHS)
Outra maneira...
• Quanto terei que aplicar mensalmente, à
  taxa de 1% ao mês, para ter um montante
  de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de
  acordo com os conceitos de termos
  postecipados?
• E diariamente, à taxa equivalente a 1% ao
  mês? (ano comercial: 360 dias)
Nova Fórmula
FFC
FVA
FRC (i,n)
Exemplo
Qual é o valor de um empréstimo que
pode ser liquidado em 10 prestações
mensais (vencidas ou postecipadas), à
taxa de 2% ao mês, sendo as quatro
primeiras prestações de $3.000,00 e as 6
últimas de $4.000,00?
Resolução
Série 1
END

PMT = $3000
N = 4 prestações mensais
i = 2% a.m.
Valor atual
PV = PMT . (1 + i)n – 1 / i . (1 + i)n

PV = 3000 . 1,024 – 1 / 0,02 . 1,024


        PV = $11.423,1861
Série 2
PMT = $4000
N = 6 prestações meses
I = 2% a.m
Valor atual
PV = 4000 . 1,026 – 1 / 0,02 . 1,026

        PV = 22.405,7236
Data Zero
PV = 22405,7236/ 1,024

  PV = $20699,4252
Valor do empréstimo
X – 11423,1861 + 20699,4252 =



        $32122,61
Exercícios 1
Qual o montante, no final de 20
meses, resultante da aplicação de 14
parcelas iguais, mensais e
consecutivas de $1.800,00 cada
uma, sabendo-se que a taxa
contratada é de 3,5% ao mês e que a
primeira aplicação é feita “hoje”?
Exercícios 1
Série Antecipada
PMT = $1800
N = 14 Prest.
I = 3,5% a.m.
FV = ?
Montante no final do 14º mês
FV = (1+i) . PMT (1+i)n – 1/i

FV = 1,035.1800.1,03514-1/0,035



               $32432,23
Montante no final do 20º mês
        FV = PV . (1+i)n
              =
       $32932,23 . 1,035
              =


        $40482,11
HP 12C
   G beg
    F fin

1800 CHS PMT

    3,5 i
    14 n

FV = 32932,23
HP 12C
     F FIN

32932,23 CHS PV

     6n
     3,5 i

 FV $40482,11
Exercício 2
Série Antecipada
FV = $20000
N = 12 prestações mensais

I = 3% a.m

PMT = ?
Valor de cada prestação
PMT = 1/(1+i) . FV . i/(1+i)n – 1

PMT = 1/1,03 . 20000 . 0,03/1,0312 – 1

PMT = $ 1368,20
HP 12C
     G BEG
     F FIN

    20000 FV

       3I
      12 N


PMT = -1368,20
Exercício 3
Um empréstimo de $50.000,00 deve
ser liquidado em 12 prestações iguais.
Sabendo-se que a primeira vence no
final do 4o mês e que a taxa de juros
cobrada pela instituição financeira é
de 5% ao mês, determinar o valor da
prestação.
Série Antecipada
PMT = ?
PV = $60775,31

N = 12

I = 5% a.m
Valor de cada prestação
PMT = 1/(1+i) . PV . i.(1+i)n/(1+i)n-1

PMT = 1/1,05 . 60775,31 . 0,05 . 1,05/1,0512 – 1


            PMT = $6530,48
HP12C
F fin
50000 pv
4n
5i

FV = $-60775,31
Série de Pagamentos Antecipado
Exemplo:

 Um financiamento de $40.000 será pago
 em oito prestações mensais de $6.413,44.
 O início do pagamento das prestações
 será logo ao término de um determinado
 período de carência. Considerando juros
 efetivos de 3% ao mês, determinar o
 período de carência.
Dados
Dados
PMT = $6413,44
N = 8 prestações mensais
i = 3% a.m.
Fórmula
                  Valor atual

PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
Resolução
PV: 1,03 . 6413,44 . 1,038 – 1 / 0,03 . 1,038

          PV: 46370,9859
Período de Carência
HP12C
      G BEG
       F FIN
 6413,44 CHS PMT
        8N
         3i
  PV 46370,9859
       F FIN
46370,9859 CHS FV
     40000 PV
         3i
      N = 5,00
Questão
Exemplo:

 Um bem cujo valor à vista é de $10.000 será
 pago por meio de uma entrada de 20% mais 13
 prestações antecipadas mensais de $800 cada
 e mais um pagamento final junto com a última
 prestação. Considerando que são aplicados
 juros efetivos de 4% ao mês e que há um
 período de carência de três meses, calcular o
 valor do pagamento final de modo que a dívida
 seja liquidada.
Dados
Dados
Série antecipada

PMT = $800
N = 13 prestações mensais
i = 4% a.m.
Fórmula
              Valor atual:

PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
Resolução

PV: 1,04 . 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 . 1,0413

      PV: 8308,06 (Mês 3)
Data Zero

  PV = FV / (1 + i)n

PV = 8308,059 / 1,04³



PV = $7385,83
Resta uma dívida (data 0)

Parcela = 8000 – 7385,83 = $614,1658


Data 15
X = 614,1658 . 1,0415

            X = $1106,08
Solução 2
Data 15

          FV = 8000 . 1,0415

          FV = $14407,5480
Continuação
FV = PMT . (1 + i)n – 1 / i

FV = 800 . 1,0413 – 1 / 0,04


FV = 13301,47


X = 14407,5480 – 13301,47 = $1106,08
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE
    FLUXO DE CAIXA
Exemplo
   Uma pessoa tem as seguintes opções
   para investimento de $800.000,00 :
1. Receber $1.000.000,00 em 2 anos.
2. Receber 4 pagamentos semestrais de
   $230.000,00.
3. Receber 24 pagamentos mensais de
   $38.000,00.
Qual a melhor alternativa se a taxa de
   retorno (atratividade) é de 12% aa ?
Solução


      1. FV = PV (1+i)n
   1.000.000 = PV (1+0,12)2
     PV = $ 797.193,88
NPV = 797.193,88 – 800.000,00
     NPV = - $ 2.806,12
Solução


2.   Série de pagamentos postecipada,
                    com:
           PMT = $ 230.000,00
             n = 4 parcelas
              i = 5,83% as
     Calculando-se PV e NPV, temos
            PV = $ 800.085,57
             NPV = $ 85,75
Solução
3. Série de pagamentos postecipada, com:
            PMT = $ 38.000,00
              n = 24 parcelas
            i = 0,9488793% am
     Calculando-se PV e NPV, temos:
             PV = $ 812.182,61
             NPV = $ 12.182,61

    Portanto a melhor alternativa é a 3.
Se NPV é negativo significa que as despesas
         são maiores que as receitas.

Se NPV é positivo significa que as receitas são
          maiores que as despesas.

Se NPV é igual a zero significa que as receitas
           e as despesas são iguais
Valor presente líquido
    VPL ou NPV
Receita Atualizada



VLP = CF1/(1+i)¹ + CF2/(1+i)² + CF2/(1+i)³ + CF2/(1+i)4 - CF0
Taxa Interna de Retorno (IRR)
O Método da Taxa Interna de Retorno é
aquele     que     permite  encontrar     a
remuneração do investimentos em termos
percentuais.
Encontrar a taxa Interna de Retorno é
encontrar a taxa de juros que permite
igualar receitas e despesas na data zero.
A Taxa Interna de
Retorno é a taxa de
desconto que leva o
valor presente das
entradas de caixa de
um projeto a se
igualar   ao    valor
presente das saídas
de caixa.
Se NPV = 0, então:
Exercício

  VPL
Exemplo


Um máquina no valor de $ 10.000,00
proporcionará receitas anuais de $
3.500,00 , $ 2.800,00 , $ 2.300,00 e $
1.700,00 , quando poderá ser revendida
por $ 2.000,00. Imaginado-se uma taxa
mínima de retorno de 7% aa, o
investimento deve ser realizado?
Resolução
Resolução
i = 2%

VLP = 3500/1,07¹ + 2800/1,07² + 2300/1,07³
 + 3700/1,74 – 10000 = $416,85

Valor ($416,85) > 0

Se o valor final for maior que zero, vale a pena!
HP12C
F reg
10000 CHS g CF0
3500 g CFj
2800 g CFj
2300 g CFj
3700 g CFj
7i
F NPV = 416,85
Solução
O Fluxo de Caixa desse investimento pode ser
representado da seguinte forma:
             $ 3.500   $ 2.800   $ 2.300   $ 3.700



0            1         2         3         4




 -$ 10.000
Solução – Através do NPV
Em primeiro lugar o fluxo deve ser introduzido
na calculadora. Para isso é necessário lembrar
que os valores (receitas e despesas) devem ser
introduzidos em ordem cronológica:

                  f Reg
             10000 CHS g CF0
                3500 g CFj
                2800 g CFj
                2300 g CFj
                3700 g CFj
                    7i
                  f NPV
Solução – Através do NPV


 O resultado do NPV é $ 416,85 , o que
significa que as estimativas de receitas
são maiores que o investimento inicial,
valendo a pena ser feito.
Solução – Através da IRR


A situação também poderia ser resolvida através
  da taxa interna de retorno:
                       f Reg
                10000 CHS g CF0
                    3500 g CFj
                    2800 g CFj
                    2300 g CFj
                    3700 g CFj
                       f IRR
Solução – Através da IRR


A resposta encontrada para IRR é 8,84%
aa, maior que a taxa mínima de retorno
exigida (7% aa), o que significa que o
investimento deve ser feito.
Exercício
Uma taxa foi liquidada em quatro
prestações anuais de $25331,01,
$11200,00, $137250,00, $87500,00
respectivamente, vencimento final de cada
ano. Sabendo-se que a taxa de juros
cobrada for de 30% a.a., calcular o valor
da dívida.
Resolução
HP12C
F reg
0 g CF0
25331,01 g CFj
11200 g CFj
137250 g CFj
83500 g CFj
30 i
F NPV = 117.819,84
VALOR PRESENTE LÍQUIDO

       VPL ou NPV
VPL = SOMAN J = 1 CFJ / (1+i)j - CF0
VPL = CF1/(1+i)1 + CF2/(1+i)2 ...
Exemplo

 Dado o fluxo de caixa de um projeto,
 avalie a viabilidade, sabendo-se que o
 investidor pode aplicar no mercado
 financeira à raxa de 15% ao anos.
Modelo
VPL (15%) = 145/1,15¹ + 184/1,15² + 210/1,15³
         + 350/1,154 + 421,5/1,155


      = $312,97 milhares de reais > 0

              Projeto é viável
NA HP12C
F REG
500 CHS G CF0
145 G CFJ
210 G CFJ
350 G CFJ
421,5 G CFJ
15 I
F NPV = 312,969
Taxa de Retorno (TIR ou IRR)
SOMAN J = 1 = CFj/ (1 + i)j = CF0

i = TIR

VPL(TIR) = 0
Exemplo
Determine a TIR de problema anterior e
utilizar o resultado para avaliar a
viabilidade do projeto.

145/(1+i)¹ + 184/(1+i)² + 210/(1+i)³ +
350/(1+i)4 + 421,5/(1+i)5

= 500
TIR = 34,37% a.a. > 15% a.a.
          O PROJETO É VIÁVEL
F REG
500 CHS G CF0
145 G CFJ
210 G CFJ
350 G CFJ
421,5 G CFJ

F IRR = 34,367
Exercício 13 – Lista 4
Dívida na dada 6
Resolução
FV = PV . (1 + i)n

FV = 185428,78 . (1 + i)6
                PV


PV = PMT . (1+i)12 – 1/i . (1+i)12

185428,78 = (1+i)6 = 25000 (1+i)12/ i.(1+i)12
IRR
HP 12C

F reg
185428,78 CHS g CF0
0 g CFj
6 g NJ

25000 g CFJ
12 g NJ

F IRR 4
Exemplo
Um banco credita $200,16 na carta de um
cliente, referente ao desconto de 3
duplicatas de valores. R$ 100, R$ 120 e
R$ 80 com prazos.
42, 63 e 84 dias, respectivamente.
Determinar a taxa mensal de juros,
cobrada nessa operação,
Exercício – Calculando a IRR
HP12C
F REG
260,18 CHS G CF0
0 G CFJ
100 G CFJ
120 G CFJ
80 G CFJ

F IRR = 4,9% em 21 dias
Taxa
i = (1+0,05)30/21 – 1 = 7,22% a.m
VPL e TIR
Exemplo:
 Considere as seguintes alternativas de
 investimento mutualmente exclusivas:
Exercício
Considerando um custo do capital de 10%
 a.a., pede-se:
A) Calcular o VPL para cada
        alternativa:

              VPL(i) = 25/(1+i)¹ +
                125/(1+i)² = -100


              VPL(10%) = 25/1,1¹ +
                25/1,1² = $26,03
HP12C
    F REG
100 CHS g CF0
   25 g CFj
  125 g CFj
     10 i
 F NPV 26,03
b) Determinar a TIR para cada
            alternativa:
TIR?
25/(1,1)¹ + 25/(1,1)² = 100

TIRa = 25% a.a.
HP12C
    F REG
100 CHS g CF0
   25 g CFj
  125 g CFj

 F IRR 25,00
b)

 •   VPL(i) = 95/(1+i)¹ +
     45/(1+i)² = -100


 •   VPL(10%) = 95/1,1¹ +
     45/1,1² = $23,55
b)
TIR?

95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = 100

TIRb = 29,70% a.a.
c) Para cada alternativa (A e B),
construa o gráfico de VPL versus
 custo do capital (i). Represente
  os dois gráficos num mesmo
        plano cartesiano.
c)
ALTERNATIVA b        ALTERNATIVA a
Gráfico
Gráfico
Quando a reta intercepta o eixo do custo do
    capital, define a taxa de retorno.
d) Utilize os gráficos para
  estabelecer qual deve ser a
alternativa escolhida. Justifique
           sua reposta.
d)

Considerando o custo do capital de
10%a.a., seleciona-se a alternativa A,
pois:


 VPLb (10%) > VPLa (10%)
O valor de cada prestação é composto
por: uma parcela de juros e uma de capital
(amortização).
Sistema de Amortização
Sistema Francês de Amortização (PRICE)

Este sistema consiste em um plano de
amortização de uma dívida em prestações
periódicas, iguais e sucessivas, dentro de
conceito de termos postecipados.
Exemplo
Um banco empresta $10000, com taxa de
10% a.m., para ser pago em 5 parcelas,
sem carência, calculada pela tabela
PRICE.
Pede-se: elaborar a planilha de
financiamento
Valor de cada prestação?
PMT = PV . i.(1+i)n/(1+i)n – 1

PMT = 10000. 0,1 . 1,15/1,15 – 1

PMT = $2.637,97
1º Parcela de Juros
INT1 = i . PV

INT1 = 0,10 . 10000 = $1000
1º Parcela da Armotização
A1 = PMT - INT1

A1 = 2637,97 – 1000 = $1637,97
Saldo devedor após o pagamento
          da 1º parcela


PV1 = PV0 - A1 = 10000 – 1637,97 = $8362,03
TABELA
Calculando o Juros:
Calculando Amortização:
Calculando o Saldo devedor:
Saldo devedor, logo após o
 pagamento da 1º parcela.
PV3
PV3 = PMT . (1+i)5-3 -1/i . (1+i)5-3

PV3 = 2637,97 1,1² - 1/ 0,1 . 1,1²


            PV3 = $4578,32
Saldo devedor logo após o
 pagamento da t-ésima prestação

PVt = PMT . (1+i)n-t – 1/i . (1+i)n-t
Fórmula




At = A1 .       (1+i) t-1


   Cresce exponencialmente
Amortização
A1 = A1 . 1,1²

A3 = PV2 - PV3
Verificação de Taxa
        (Amortização x Taxas)


A2 / A1 = 1801,77 / 1637,97 = 1,10



                       Aumenta 10%
HP12C
F fin
G end
10000 CHS PV
10 I
5N
PMT $2637,97


                CONTINUANDO....
HP12C
PMT $2637,97

1 f AMORT      1000

X y            1637,97

RLC PV         -8362,03
SAC
Sistema de Amortização Constante
             (SAC)
 As amortização periódicas são todas
 iguais.

 As prestações são periódicas, sucessivas
 e descrentes em progressão aritmética
 (PA).

 As prestações são pagos no final de cada
 periódo.
Exemplos
Um banco empresta R$ 10000 com taxa
de 10% a.m., para ser pago em cima
parcelas mensais, sem prazos de
carência, calculando pelo sistema de
Amortização constante (SAC).
Pede-se: Elaborar a planilha de
financiamento.
Resolução
Resolução
Tabela
Juros
PMT
Como encontrar alguns valores das
         prestações?
P.A.
As prestações descrevem em P.A. com
 razão r = i . PV0 / n

PMTt = PMT1 – (t – 1) . r
Valor total pago:
Último termo de juros:
           PMTn = A + R

           PMTn = PV0 / n + i . PV0 / n




INTn = r
Lista 6 – Exercício da Caixa
         Econômica
Dados
12) PV0 = $864.000
n = 120 prestações mensais

SAC

i = 1% a.m.
a)
PMT1 = ?
PMT103 = ?
Valor da Amortização


A = PV0 / n = 864000 / 120 = $7200
Resolução a)
PMT1 = A + INT1

PMT1 = A + PV0

PMT1 = 7200 + 0,01 . 864000

PMT1 = 7200 + 8640 = $15840
PMT103 = PMT1 - 102 . r

r = i . PV0 / n = 0,01 . 7200 = 72

PMT1 = $15840

PMT103 = 15840 - 102 . 72

PMT103 = $8496,00
b)
Valor total de juros pagos:
Total do valor pago de juros:
Resultado b)
OBS:
PRICE
Todas as parcelas são iguais.
Amortização cresce exponencialmente

SAC
Parcelas diferentes. (Decrescente)
Amortização todos iguais.
Gráfico
PRICE
PMT = VERDE
A = ROSA




    SEMPRE POSTECIPADO
SAC
PMT = AMARELA
A = AZUL
Valor do Financiamento
r = i . PV0 / n

300 = i . 3000
i = 15% a.m.
Curva “Price” x Reta “Seca”
                                                SALDOS DEVEDORES


                   12.000,00



                   10.000,00
SALDOS DEVEDORES




                    8.000,00


                                                                           Saldo Devedor Price
                    6.000,00
                                                                           Saldo Devedor SAC


                    4.000,00



                    2.000,00



                        0,00
                               0   1   2           3           4   5   6
                                           NÚMERO DA PARCELA
Amortização
                                                    Prestações e Amortizações


                   4.000,00

                   3.500,00

                   3.000,00
                                                                                                Amortização PRICE
Valores em Reais




                   2.500,00                                                                     Prestação PRICE
                                                                                                Amortização SAC
                   2.000,00
                                                                                                Prestação SAC

                   1.500,00                                                                     Amortização SAM
                                                                                                Prestação SAM
                   1.000,00

                    500,00


                      0,00
                              0   20   40           60          80            100   120   140
                                            Núm ero de Ordem das Prestações
Devedor
                                                      Saldo Devedor
                   140.000,00


                   120.000,00


                   100.000,00
Valores em Reais




                    80.000,00
                                                                                       Saldo Devedor PRICE

                    60.000,00                                                          Saldo Devedor SAC
                                                                                       Saldo Devedor SAM

                    40.000,00


                    20.000,00


                         0,00
                                0   20    40           60             80   100   120
                                         Núm ero de Ordem das Prestações
Exercício
• Um empréstimo de $2000, contratado a
  juros efetivos de 1% ao mês, de acordo
  com tabela PRICE. Ele será pago em trÊs
  prestações mensais com carência de dois
  meses. Durante a carência os juros
  efetivos são capitalizados e incorporados
  ao principal. Construir a planilha de
  amortização.
HP 12C
F FIN
G END
2040,20 CHS PV
3N
1I
PMT = 693,71
HP12C
PMT 693,71

1 f AMORT    20,40

X y          673,31

RLC PV       1366,89
Planilha

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Caderno - Matemática Financeira

  • 1. CADERNO Matemática Financeira 3º semestre Luan Guerra
  • 2. FACEBOOK Não curtir? Por quê? SUGESTÕES cadernosppt@gmail.com.br
  • 3. Aviso Esse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração. Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc. Observação O objetivo dessa apresentação é simplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
  • 4. CADERNO + EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
  • 5. Juros • Juros Simples: INT: $1000 . 5 =$1000 . 10% . 5 = 1500 INT: PV . I . N
  • 6. Calculando o montante (Juros Simples) • FV: PV + INT = PV + PV . I . N FV: PV. (1 + I. N) PV: FV/ (1+ I . N)
  • 7. Exercícios – Juros Simples • Verifique se os dois capitais são (ou não são) equivalentes na data fiscal e à taxa de juros simples de 10% a.m. Na data fiscal: a) FV1 = PV1(1+ i . n) FV1 = 3635,35 (1+ 0,1 . 1) FV1 = 3635, 35 . 1,1 = $4000
  • 8. Exercícios – Juros Simples b) PV2 = FV2 / (1 + i . N) PV2 = 5600 / (1 + i . N) PV2 = 5600 / 1,4 = $4000 Resp: São equivalentes na dela 2 à taxa de 10% a. m.
  • 9. Exercício • O exemplo foi para verificar o valor que seria no futuro.
  • 10. Exercícios – Juros Simples a) FV1 = PV1 (1 + i . N) FV1 = 3636, 35 (1 + 0,1 . 5) FV1 = 3636, 35 . 1,5 FV1 = 5454, 53 (Aproximadamente)
  • 11. Exercícios – Juros Simples b) PV2 = FV2 / (1 + i . N) PV2 = 5600 / (1 + 0,1 . 0) PV2 = 5600 / 1 PV2 = $5600
  • 12. Exercício de Juros Simples • Valor da dívida = FV1 / (1 + i . N) VD = 2000 / (1 + 0,1 . 3) VD = 2000 / 1,3 VD = 1538,47 (Aproximadamente) • Valor da dívida = FV2 / (1 + i . N) VD2 = 2500 / (1 + i . N) VD2 = 2500 / 1,8 VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
  • 13. Exercício de Juros Simples • VD1 + VD2 = X VD = 1538,47 (Aproximadamente) + VD2 = 1388,89 (Aproximadamente) _____________________________ $ 2927,36 (Aproximadamente)
  • 14. Pagamentos x / (1 + 0,1 . 10) + x / (1 + 0,1 . 15) = 2927,35 x / 2 + x / 2,5 = 2927,35 0,5x + 0,4x = 2927,35 0,9x = 2927, 35 ---- X= $3252,61 Resp: O valor $3252,61 será em cada cheque.
  • 16. Exemplo 1 • Determine a taxa anual equivalente a 2% a.m.
  • 19. Resolução FV 1 = FV 2 PV . (1 + 0,02) = PV (1 + i a) 1 + i . a = 1,02¹² ia = 1,02¹² - 1 = 0,2682 ou 26,82%
  • 20. Ou seja... FV 1 = $126, 82 FV 2 = $126, 82
  • 21. Exercício II • Determine a taxa mensal equivalente a 24% a.a.FV Cap. Anual: FV 2 = PV (1 + ia)¹ Cap. Anual: FV 1 = PV (1 + im)¹²
  • 22. Cont. FV 1 = FV 2 (1 + im)¹² = (1 + ia)¹ (1 + im)¹²= 1,24¹ im = 1,24 ¹/¹² = 0,0181 ou i = 1,81% a.m.
  • 23. Equivalência de Capitais a Juros Compostos
  • 24. Dois capitais, com datas de vencimentos determinados, são equivalentes quando, levados para uma mesma data a mesma taxa de juros, tirevem valores gerais. No sistemas de juros compostos, se dois capitais são equivalentes em determinado data também o serão em qualquer outro data.
  • 25. Exercícios Verifique se os dois capitais são equivalentes, a juros compostos de 10% a.m.
  • 28. Meses
  • 29. Resolução Data focal: 1) FV1 = 2000 . (1 + 0,1)¹ = $ 2200 2) PV2 = 2662 / (1+0,1)² = $ 2200
  • 30. Resposta Eles são equivalentes a taxa de juros compostos de 10% a.m. (Data Focal)
  • 32. Nova data focal Data focal = 3º Mês • FV 1 = 2000 (1 + 0,1)² = $2420 • PV 2 = 2662 / (1 + 0,1)¹ = $2420 Resposta: Eles são equivalentes a taxa de 10% a.m. em qualquer data focal.
  • 33. Exercício Verificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando-se uma taxa de juros compostos de 10% a.m.
  • 34.
  • 36. Resolução FV: 2000 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2420 . 1.1¹ + 2662 = $10.648,00 FV: 2100 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2300 . 1.1¹ + 2902,40 = $10.648,00 Respostas: São Equivalentes...
  • 37. Equivalência de Capitais e Juros Compostos • Exercício: Em vendas à vista, uma loja dará um desconto de 5%, pagando-se com cheque pré-datado para um mês, “não há cobrança em juros”, com cheque pré- datado para dois meses, há um acréscimo de 3%.
  • 38. Perguntas a) Qual a melhor forma de pagamento para o cliente, se o rendimento do dinheiro for de 3,5% a.m.? É o pior? b) Determine as taxas de juros cobradas nos cheques pré-datados?
  • 39. a) • À vista • Cheque p/ 30 dias • Cheque p/ 60 dias
  • 40. a) • À vista: 0,95 x = $95 • 1 Mês: 1 x = $100 • 2 Meses: 1,03 x = $103
  • 41. a) Data focal: 0 mês (à vista) • À vista: 0,95 x = $95
  • 42. a) • Cheque para 30 dias: FV = PV . (1 + i)n PV = FV / (1 + i)n FV = 1 x / (1,035)¹ = $96,62
  • 43. a) • Cheque para 60 dias: FV = PV . (1 + i)n PV = FV / (1 + i)n FV = 1,03 x / (1,035)² = $96,15
  • 45. Convenção Linear • Montante no final do 5º ano: FV=1000.(1+0,1)5 = $1610,51 • Montante no final do 5º ano e meio: FV=1610,51.(1+0,1.0,5) = $1691,04
  • 46. Convenção Exponencial • Montante no final do 5º ano: FV = 1000.(1+0,1)5 = $1610,51
  • 47. Taxa semestral • Equivalente a 10% iq = (1 + it)q/t - 1 Iq = (1 + 0,1)1/2 - 1 Iq = (1,1)1/2 - 1 Iq = 1,0488 – 1 = 0,0488 a.s. Iq = 1,10,5 – 1 (1 + i) = 1,10,5
  • 48. Convenção Exponencial • Montante no final do 5º ano e médio: FV = PV . (1+ isem )¹ • FV = 1610,51 . (1+ isem )¹ • FV = 1000 . 1,15 1000.1,1 5,5 $1689,12
  • 50. Exercícios - 4 Qual o valor do capital, que aplicado a taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de $5.000,00?
  • 51. Resolução PV? i = 18 a. t. n = 181 dias FV = $5000
  • 52. Determine o capital: PV = FV / (1 + i)n PV = $5000 / (1 + 0,18)181/190 PV = $5000 / (1,18)2,011 PV = $5000 / 1,3950 PV = $3584,23
  • 53. Exercício - 5 Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? FV = 2 PV 1 = 0,225% a.d. n = ? dias
  • 55. FV = PV . (1 + i)n (1 + i)n = (FV / PV) n . ln (1 + i) = ln (FV / PV) n = ln (FV / PV) / ln (1 + i) n = ln (2PV / PV) / ln (1 + 0,00225) = ln 2 / ln 1,00225 = 0,6931 / 0,0022 = 308,41 dias
  • 56. Exercício - 6 A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou um rendimento de $ 240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros.
  • 57. Resolução PV = $380.000 INT = $240.000 _____________ FV = $620.000 N = 208 dias i=?
  • 58. Determine a taxa: FV / PV = (1 + i)n 1 + i = (FV / PV) i = (FV / PV)
  • 59. Taxa diária i = (620000/380000)1/208 -1 = 0,024 ou 0,24 a% a.d.
  • 60. Taxa Mensal n = 203/30 meses = 6,93 meses i = (620000 / 380000)30/208 – 1 = 0,0732 ou 7,32% a.m.
  • 61. Taxa EQUIVALENTE iq = (1+ it)q/t - 1 iq = (1+ 0,732160)³ - 1 ³ = 90/30 = 3 trimestres = 0,2359 ou 23,59% a.t.
  • 62. Taxa Anual n = 208/360 ano = 0,5638 ano i = (620000/380000)360/208 – 1 = 1,333 ou =133,33% a.a.
  • 64. Poupança • Nominal j = 6% a.a. Capitalização Mensal Taxa i = 0,5% a.m. • Taxa anual equivalente a 0,5%a.m. iq = ( 1 + it)q/t – 1
  • 65. Como calcular: iq = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617 . 100% EFETIVA = 6,17% a.a
  • 66. Convenção • A taxa efetiva por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal: j é a taxa nominal k é o número de vezes em que os juros são capitalizados no período que se refere a taxa nominal
  • 67. Exemplo 1 12% ao ano: j 12% Taxa efetiva : i= = = 1% ao mês k 12 Taxa efetiva (anual): 12,68% 12 1 i = (1 + 0,01) − 1 = 0,1268
  • 68. Exemplo 4 5% ao ano, capitalização semestralmente: Taxa efetiva: i = j / k = 5/2 = 2,5 a.s. iq = (1+ 0,025)2/1 -1 = Iq = 1,0506 – 1 = 0,0506 5,06% a.a.
  • 69. Cálculo da TAXA EFETIVA a partir da Taxa Nominal A taxa efetiva (período referencial) equivalente à taxa nominal j capitalizada k vezes no período referencial é: k  j i = 1 +  − 1  k
  • 70. Exemplo 5 Um banco faz empréstimos à taxa de 5% ao ano, mas adotando a capitalização semestral do juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $10.000,00, feito por 1 ano?
  • 71. Resolução Juros = 5% a.a. K = 2 capital a.m. a) FV = $10000 INT = ? N = 1 ano
  • 72. Taxa Efetiva Semestral i = j/k i = 5%/2= 2,5% a.s Montante ao final de 1 ano: FV = PV . (1 + i)N FV = 1000 . (1 + 0,025)² FV: $10506,24
  • 73. Cont. INT = FV – PV INT = 10506,25 – 10000 INT = $506,25
  • 74. b) Taxa efetiva anual i = INT/PV = 506,24/10000 = 0,050625 OU 5,0625% a.a.
  • 75. Outra possibilidade? • Taxa efetiva anual iq = (1+ it)q/t - 1 iq = (1+ it)q/t - 1 = (1+0,025)² - 1 = 0,050625 ou 5,0625% a.a.
  • 76. Exercício 6 Calcular o montante resultante de um investimento de $1.200 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente
  • 77. Dados PV = $1200 Prazo = 3 anos i = 16% a.a. K= 12 Capitalização Mensal (em 1 ano) FV = ?
  • 78. Resolução • Montante no FV = $1200(1+ 0,16/12)12.3 final de 3 anos: FV = $1200(1+ 0,16/12)36 FV = $1200(1+ 0,0133)36 FV = $1200(1,0133)36 FV = $1200 . 1,6109 FV = $1933,15
  • 79. Exercício 7 Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelos seguintes prazos e taxas?
  • 81. a) 27 dias a 9% a.m., capitalização diária FV = $200 (1 + 0,09/30)30 . 27/30 FV = $200 (1 + 0,003)27 FV = $200 (1,003)27 FV = $200 . 1,0842 FV = $216,85
  • 82. b) 6 meses a 28% a.a., capitalização mensal FV = $200 (1 + 0,28/12)12 . FV = $200 (1 + 0,023)6 FV = $200 (1,023)6 FV = $200 . 1,1462 FV = $229,23
  • 83. c) 8 meses a 18% a.s., capitalização mensal FV = $200 (1 + 0,18/6)6. 8/6 FV = $200 (1 + 0,03)6 . 8/6 FV = $200 (1,03)8 FV = $200 . 1,12668 FV = $253,35
  • 84. HP FN 28 E 12 / i 6N 200 PV FV
  • 85. Exercício 8 Vamos supor que tenham sido pesquisadas e encontradas as três taxas a seguir: • Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente • Banco B: 15,5% a.a. capitalizados trimestralmente • Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente Qual dessas taxas será a melhor, caso você esteja pensando em abrir uma caderneta de poupança?
  • 86. Resolução Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente FV = 100 (1 + 0,15/360)360 . 1 ano FV = 100 (1 + 0,0004)360 FV = 100 (1,0004)360 FV = 100 . 1,1618 FV = 116,18
  • 87. Resolução Banco B: 15,5% a.a. capitalizados trimestralmente FV = 100 (1 + 0,155/4)4 . 1 ano FV = 100 (1+ 0,0388)4 FV = 100 (1,0388)4 FV = 100 . 1,1642 FV = $116,42
  • 88. Resolução Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente FV = 100 (1 + 0,16)¹ = 100 . 1,16 = $116
  • 90. Exemplo Uma empresa emitiu uma duplicata de $ 8.000,00 , com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de agosto descontou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário. Determinar o valor de desconto. O desconto bancário segue a regra dos banqueiros. FV = $ 8.000,00 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. n = 16/08 a 03/11 = 79 dias = 79/30 meses DB = ?
  • 91. Como DB = FV * i * n , então: DB = 8000 * 0,02 * ( 79/30 ) DB= $ 421,33
  • 92. Valor Atual ou Valor de Resgate: PV = FV ( 1 - i * n )
  • 93. Exemplo • Qual o valor de resgate do título do exemplo anterior ? • PV = FV ( 1 – i * n ) • PV = 8.000,00 ( 1- 0,02 * 79/30 ) • PV = $ 7.578,67
  • 95. Resolução INT = $421,33 PV . i . N = 421,33 7578,67 . i . 79/30 = $421,33 i = 2,11% a.m.
  • 96. Capitalização Composta i = (FV/PV)1/n – 1 i = (8000/7578,67)30/79 -1 i = 2,0758% a.m.
  • 97. Desconto Simples para Séries de Mesmo Valor : Vários títulos de mesmo valor apresentados a um banco, com vencimentos em datas diferentes podem ter seus valores de desconto (total) calculado. Sendo i a taxa de desconto, temos:
  • 98. DB1 = FV * i * n1 DB2 = FV * i * n2 ........................... DBN = FV * i * nN DBTOTAL = DB1 + DB2 + ..... + DBN DBTOTAL = FV * i * n1 + FV * i * n2 + .... + FV * i * nN DBTOTAL = FV * i * ( n1 + n2 + ... + nN ) DBTOTAL = FV * i * (n1 + nN ) * N/2
  • 99. Exemplo Quatro duplicatas, no valor de $32.000,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto. FV = $32.000,00 n1=90 dias = 3 meses iD = 3% a.m. nN=180 dias = 6 meses N=4 Desconto Total: DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = DBTotal=32.000 .4.0,03.(3+6)/2 = $17.280,00
  • 100. 1 Resolução D1 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 3 = 2.880,00 D2 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 4 = 3.840,00 D3 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 5 = 4 800,00 D4 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 6 = 5.760,00 Dt = $17280,00
  • 101. 2 Resolução Dt = FV . i . (n1 + Nn) . n/2 Dt = 32000 . 0,03 . ( 3 + 6 ) . 4/2 Dt = 960 . 18 = $17280,00
  • 102. Exemplo Uma empresa apresenta 6 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do boderô e que o valor líquido creditado a empresa foi de $25.000,00, calcular o valor de cada título. PV = $25.000,00 N=6 títulos n1=1 mês n6=6 meses iD=2,8% a.m. Pede-se: FV
  • 103. Resolução PVt = n . FV – Dt 25000 = 6 . FV – FV . id . (n1 + n6) . n/2 25000 = 6 . FV – FV . 0,028 . (1 + 6) . 6/2 25000 = 6FV – 0,5880FV 5,4120FV = 25000 FV = $4619,16
  • 104. CALCULANDO O PV PV = FV . (1 – i . N) PV = 4619,36 . (1 – 0,028 . 1) PV = $4490,02
  • 105. PV = $25.000,00 N=6 títulos n1=1 mês n6=6 meses iD=2,8% a.m. Pede-se: FV PV = N.FV – DBTOTAL 25.000 = 6 . FV – DBTOTAL (*) Por outro lado, DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = FV . 6 . 0,028 . (1+6)/2 DBTotal=0,5880 FV (**) Substituindo (**) em (*), temos que: 25.000 = 6FV – 0,5880FV Resolvendo a equação acima, temos: FV= $4.619,36
  • 106. Desconto Composto PV = FV ( 1 – i )n
  • 107. Desconto Composto : É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, com os critérios da capitalização composta. Dcomp = FV – PV sendo FV o valor nominal e PV o valor do resgate do título. PV = FV ( 1 – i )n
  • 108. Exercício • Desconto Composto Exemplo: FV = $1000 Id = 2% am (Em meses para o vencimento) PV = Valor de resgate ou creditado na conta (Valor presente)
  • 110. Exemplo Um duplicata no valor de $25.000,00, com 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. a) De acordo com o conceito de desconto Bancário. b) De acordo com o conceito de desconto composto.
  • 111. Dados: FV=$25.000,00 N=90 dias = 3 meses Id=2% ao mês a) Desconto Bancário DB=FV.iD.n = 25.000 . 0,02 . 3 = $1.500,00 Valor líquido creditado na conta: PV = FV – DB = 25.000–1.500= $23.500,00 b) No desconto Composto, o valor líquido creditado em conta é de: PV = FV.(1 – iD)n = 25.000 . (1-0,02)3= $23.529,80 O valor do desconto composto é de: DCOMP = FV – PV = 25.000 – 23.529,80 = $1.470,20.
  • 112. ANUIDADES OU SÉRIES DE PAGAMENTOS
  • 113. Valores que são pagos ou recebidos através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. Chama-se de amortização quando o objetivo de sucessivos pagamentos é a liquidação de uma dívida. Chama-se de capitalização quando o objetivo de sucessivos pagamentos é constituir um capital em data futura.
  • 114. Classificação das Séries de Pagamentos As Séries de Pagamentos podem ser classificadas : Quanto ao prazo: Podem ser temporárias (duração limitada) ou perpétuas (duração ilimitada, como alugueis)
  • 115. Classificação das Séries de Pagamentos Quanto a valor: Podem ser constantes (pagamentos ou recebimentos em valores iguais) ou variáveis (pagamentos ou recebimentos com valores diferentes)
  • 116. Classificação das Séries de Pagamentos Quanto a forma: Imediatas: quando o primeiro pagamento ocorre no primeiro período. Subdividem-se em postecipada (primeiro pagamento se dá no final do primeiro período,ou seja, sem entrada) e antecipada (primeiro pagamento no início do primeiro período, ou seja, com entrada igual as demais prestações)
  • 117. Classificação das Séries de Pagamentos Diferidas: quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período. O período sem pagamentos é chamado de Período de Carência, e normalmente, nele são cobrados juros. Também se subdividem em postecipadas e antecipadas.
  • 118. Classificação das Séries de Pagamentos Quanto ao período: Podem ser periódicas (intervalos de tempo entre pagamentos iguais) ou não periódicas (intervalos de tempo entre pagamentos diferentes).
  • 119. Modelo Básico de Série O modelo básico de Série de Pagamentos que vamos tratar é uma série: • Temporária • Constante • Imediata • Periódica
  • 120. Exemplo Determinar o montante ao final do 5o. mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 1.000,00 a taxa de 1% ao mês, de forma postecipada.
  • 121. Solução Esquematicamente temos a série representada pelo Diagrama do Fluxo de Caixa: FV 0 1 2 3 4 5 $1000
  • 122. ´PASSO A PASSO - SOLUÇÃO 1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)4 FV1 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,60 2a. parcela: FV2 = PV2(1+i)3 FV2 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,30 3a. parcela: FV3 = PV3(1+i)2 FV3 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,10 4a. parcela: FV4 = PV4(1+i)1 FV4 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,00 5a. parcela: FV5 = PV5(1+i)0 FV5 = 1000(1+0,01)0 = $ 1.000,00 FVTOTAL= $ 5.101,01
  • 123. Juros Compostos i = 10% a.m. FV = PV . (1 + i)n FV1 = 1000 . (1 + 0,1)4 FV2 = 1000 . (1 + 0,1)3 FV3 = 1000 . (1 + 0,1)2 FV4 = 1000 . (1 + 0,1)1 ____________________________ FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)
  • 125. Juros Compostos FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014) FV = 1000 . 1,010 . 1,015 – 1/ 1,01 - 1
  • 126. Fórmula FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i Fazendo com a fórmula: FV = 1000 . (1 + 0,01)5 – 1/ 0,01 FV = $5101,01
  • 128. 2) Quantas prestações de $4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de $100.516,08 no final de certo prazo? E qual esse prazo?
  • 129. Exercício II PMT = $4000 i = 7% a.t. FV = $100.516,08 n=?
  • 130. $ 4000
  • 131. Determinar: FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i (1 + i)n – 1/ i = FV / PMT (1 + i)n – 1= i . FV / PMT (1 + i)n = 1 + i . FV / PMT n. Ln (1+ i) = ln (1 + i . FV / PMT)
  • 132. Fórmula N = ln (1 + i . FV / PMT) / Ln (1+ i)
  • 133. Séries de Pagamentos Postecipados
  • 135. Exercícios • A que taxa devo aplicar $15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de $500.000,00 no final de 10 anos?
  • 136. Exercícios $5000000 10 $15036,28
  • 137. Resolução Séries Postecipada PMT = $15036,28 FV = $500.000 N = 10 prestações anuais I = ? A.A
  • 138. Determinar: (1 + i)n – 1 / i = FV / PMT (1 + i)10 – 1/ i = 500000/15036,38 (1 + i)10 – 1/ i = 33,2529 i = 25% a.a.
  • 139. 1 - Exercício • Quanto terei que aplicar mensalmente, à taxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?
  • 140. Resolução $ 1.000.000 Meses PMT
  • 141. Série Postecipada - Resolução FV = $ 1.000.000 N = 240 prestações i = 1 % a.a PMT = ?
  • 142. De valor de cada prestação? PMT = FV . i / ( 1 + i)n – 1 PMT = 1000000 . 0,01/1,01240 – 1 PMT = $ 1010,86
  • 143. Na HP12C G END F FIN 1i 240 n 1000000 FV PMT = -1010,86 (CHS)
  • 144. AO DIA? G END F FIN 0,033173 i (i = (1+0,01)1/30 -1) 7200 n (240.30 = 7200 ao dia) 1000000 FV PMT = -33,53 (CHS)
  • 145. Outra maneira... • Quanto terei que aplicar mensalmente, à taxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados? • E diariamente, à taxa equivalente a 1% ao mês? (ano comercial: 360 dias)
  • 147. FFC
  • 148. FVA
  • 150. Exemplo Qual é o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais (vencidas ou postecipadas), à taxa de 2% ao mês, sendo as quatro primeiras prestações de $3.000,00 e as 6 últimas de $4.000,00?
  • 152. Série 1 END PMT = $3000 N = 4 prestações mensais i = 2% a.m.
  • 153. Valor atual PV = PMT . (1 + i)n – 1 / i . (1 + i)n PV = 3000 . 1,024 – 1 / 0,02 . 1,024 PV = $11.423,1861
  • 154. Série 2 PMT = $4000 N = 6 prestações meses I = 2% a.m
  • 155. Valor atual PV = 4000 . 1,026 – 1 / 0,02 . 1,026 PV = 22.405,7236
  • 156. Data Zero PV = 22405,7236/ 1,024 PV = $20699,4252
  • 157. Valor do empréstimo X – 11423,1861 + 20699,4252 = $32122,61
  • 158. Exercícios 1 Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais, mensais e consecutivas de $1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a primeira aplicação é feita “hoje”?
  • 160. Série Antecipada PMT = $1800 N = 14 Prest. I = 3,5% a.m. FV = ?
  • 161. Montante no final do 14º mês FV = (1+i) . PMT (1+i)n – 1/i FV = 1,035.1800.1,03514-1/0,035 $32432,23
  • 162. Montante no final do 20º mês FV = PV . (1+i)n = $32932,23 . 1,035 = $40482,11
  • 163. HP 12C G beg F fin 1800 CHS PMT 3,5 i 14 n FV = 32932,23
  • 164. HP 12C F FIN 32932,23 CHS PV 6n 3,5 i FV $40482,11
  • 166. Série Antecipada FV = $20000 N = 12 prestações mensais I = 3% a.m PMT = ?
  • 167. Valor de cada prestação PMT = 1/(1+i) . FV . i/(1+i)n – 1 PMT = 1/1,03 . 20000 . 0,03/1,0312 – 1 PMT = $ 1368,20
  • 168. HP 12C G BEG F FIN 20000 FV 3I 12 N PMT = -1368,20
  • 169. Exercício 3 Um empréstimo de $50.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações iguais. Sabendo-se que a primeira vence no final do 4o mês e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 5% ao mês, determinar o valor da prestação.
  • 170.
  • 171. Série Antecipada PMT = ? PV = $60775,31 N = 12 I = 5% a.m
  • 172. Valor de cada prestação PMT = 1/(1+i) . PV . i.(1+i)n/(1+i)n-1 PMT = 1/1,05 . 60775,31 . 0,05 . 1,05/1,0512 – 1 PMT = $6530,48
  • 174. Série de Pagamentos Antecipado Exemplo: Um financiamento de $40.000 será pago em oito prestações mensais de $6.413,44. O início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência.
  • 175. Dados
  • 176. Dados PMT = $6413,44 N = 8 prestações mensais i = 3% a.m.
  • 177. Fórmula Valor atual PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
  • 178. Resolução PV: 1,03 . 6413,44 . 1,038 – 1 / 0,03 . 1,038 PV: 46370,9859
  • 180. HP12C G BEG F FIN 6413,44 CHS PMT 8N 3i PV 46370,9859 F FIN 46370,9859 CHS FV 40000 PV 3i N = 5,00
  • 181. Questão Exemplo: Um bem cujo valor à vista é de $10.000 será pago por meio de uma entrada de 20% mais 13 prestações antecipadas mensais de $800 cada e mais um pagamento final junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% ao mês e que há um período de carência de três meses, calcular o valor do pagamento final de modo que a dívida seja liquidada.
  • 182. Dados
  • 183. Dados Série antecipada PMT = $800 N = 13 prestações mensais i = 4% a.m.
  • 184. Fórmula Valor atual: PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
  • 185. Resolução PV: 1,04 . 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 . 1,0413 PV: 8308,06 (Mês 3)
  • 186. Data Zero PV = FV / (1 + i)n PV = 8308,059 / 1,04³ PV = $7385,83
  • 187. Resta uma dívida (data 0) Parcela = 8000 – 7385,83 = $614,1658 Data 15 X = 614,1658 . 1,0415 X = $1106,08
  • 188. Solução 2 Data 15 FV = 8000 . 1,0415 FV = $14407,5480
  • 189. Continuação FV = PMT . (1 + i)n – 1 / i FV = 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 FV = 13301,47 X = 14407,5480 – 13301,47 = $1106,08
  • 190. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA
  • 191. Exemplo Uma pessoa tem as seguintes opções para investimento de $800.000,00 : 1. Receber $1.000.000,00 em 2 anos. 2. Receber 4 pagamentos semestrais de $230.000,00. 3. Receber 24 pagamentos mensais de $38.000,00. Qual a melhor alternativa se a taxa de retorno (atratividade) é de 12% aa ?
  • 192. Solução 1. FV = PV (1+i)n 1.000.000 = PV (1+0,12)2 PV = $ 797.193,88 NPV = 797.193,88 – 800.000,00 NPV = - $ 2.806,12
  • 193. Solução 2. Série de pagamentos postecipada, com: PMT = $ 230.000,00 n = 4 parcelas i = 5,83% as Calculando-se PV e NPV, temos PV = $ 800.085,57 NPV = $ 85,75
  • 194. Solução 3. Série de pagamentos postecipada, com: PMT = $ 38.000,00 n = 24 parcelas i = 0,9488793% am Calculando-se PV e NPV, temos: PV = $ 812.182,61 NPV = $ 12.182,61 Portanto a melhor alternativa é a 3.
  • 195. Se NPV é negativo significa que as despesas são maiores que as receitas. Se NPV é positivo significa que as receitas são maiores que as despesas. Se NPV é igual a zero significa que as receitas e as despesas são iguais
  • 196. Valor presente líquido VPL ou NPV
  • 197. Receita Atualizada VLP = CF1/(1+i)¹ + CF2/(1+i)² + CF2/(1+i)³ + CF2/(1+i)4 - CF0
  • 198. Taxa Interna de Retorno (IRR) O Método da Taxa Interna de Retorno é aquele que permite encontrar a remuneração do investimentos em termos percentuais. Encontrar a taxa Interna de Retorno é encontrar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas na data zero.
  • 199. A Taxa Interna de Retorno é a taxa de desconto que leva o valor presente das entradas de caixa de um projeto a se igualar ao valor presente das saídas de caixa. Se NPV = 0, então:
  • 201. Exemplo Um máquina no valor de $ 10.000,00 proporcionará receitas anuais de $ 3.500,00 , $ 2.800,00 , $ 2.300,00 e $ 1.700,00 , quando poderá ser revendida por $ 2.000,00. Imaginado-se uma taxa mínima de retorno de 7% aa, o investimento deve ser realizado?
  • 203. Resolução i = 2% VLP = 3500/1,07¹ + 2800/1,07² + 2300/1,07³ + 3700/1,74 – 10000 = $416,85 Valor ($416,85) > 0 Se o valor final for maior que zero, vale a pena!
  • 204. HP12C F reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj 7i F NPV = 416,85
  • 205. Solução O Fluxo de Caixa desse investimento pode ser representado da seguinte forma: $ 3.500 $ 2.800 $ 2.300 $ 3.700 0 1 2 3 4 -$ 10.000
  • 206. Solução – Através do NPV Em primeiro lugar o fluxo deve ser introduzido na calculadora. Para isso é necessário lembrar que os valores (receitas e despesas) devem ser introduzidos em ordem cronológica: f Reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj 7i f NPV
  • 207. Solução – Através do NPV O resultado do NPV é $ 416,85 , o que significa que as estimativas de receitas são maiores que o investimento inicial, valendo a pena ser feito.
  • 208. Solução – Através da IRR A situação também poderia ser resolvida através da taxa interna de retorno: f Reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj f IRR
  • 209. Solução – Através da IRR A resposta encontrada para IRR é 8,84% aa, maior que a taxa mínima de retorno exigida (7% aa), o que significa que o investimento deve ser feito.
  • 210. Exercício Uma taxa foi liquidada em quatro prestações anuais de $25331,01, $11200,00, $137250,00, $87500,00 respectivamente, vencimento final de cada ano. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada for de 30% a.a., calcular o valor da dívida.
  • 212. HP12C F reg 0 g CF0 25331,01 g CFj 11200 g CFj 137250 g CFj 83500 g CFj 30 i F NPV = 117.819,84
  • 213. VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL ou NPV
  • 214. VPL = SOMAN J = 1 CFJ / (1+i)j - CF0
  • 215. VPL = CF1/(1+i)1 + CF2/(1+i)2 ... Exemplo Dado o fluxo de caixa de um projeto, avalie a viabilidade, sabendo-se que o investidor pode aplicar no mercado financeira à raxa de 15% ao anos.
  • 216. Modelo
  • 217. VPL (15%) = 145/1,15¹ + 184/1,15² + 210/1,15³ + 350/1,154 + 421,5/1,155 = $312,97 milhares de reais > 0 Projeto é viável
  • 218. NA HP12C F REG 500 CHS G CF0 145 G CFJ 210 G CFJ 350 G CFJ 421,5 G CFJ 15 I F NPV = 312,969
  • 219. Taxa de Retorno (TIR ou IRR) SOMAN J = 1 = CFj/ (1 + i)j = CF0 i = TIR VPL(TIR) = 0
  • 220. Exemplo Determine a TIR de problema anterior e utilizar o resultado para avaliar a viabilidade do projeto. 145/(1+i)¹ + 184/(1+i)² + 210/(1+i)³ + 350/(1+i)4 + 421,5/(1+i)5 = 500
  • 221. TIR = 34,37% a.a. > 15% a.a. O PROJETO É VIÁVEL F REG 500 CHS G CF0 145 G CFJ 210 G CFJ 350 G CFJ 421,5 G CFJ F IRR = 34,367
  • 222. Exercício 13 – Lista 4
  • 224. Resolução FV = PV . (1 + i)n FV = 185428,78 . (1 + i)6 PV PV = PMT . (1+i)12 – 1/i . (1+i)12 185428,78 = (1+i)6 = 25000 (1+i)12/ i.(1+i)12
  • 225. IRR HP 12C F reg 185428,78 CHS g CF0 0 g CFj 6 g NJ 25000 g CFJ 12 g NJ F IRR 4
  • 226. Exemplo Um banco credita $200,16 na carta de um cliente, referente ao desconto de 3 duplicatas de valores. R$ 100, R$ 120 e R$ 80 com prazos. 42, 63 e 84 dias, respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros, cobrada nessa operação,
  • 228. HP12C F REG 260,18 CHS G CF0 0 G CFJ 100 G CFJ 120 G CFJ 80 G CFJ F IRR = 4,9% em 21 dias
  • 229. Taxa i = (1+0,05)30/21 – 1 = 7,22% a.m
  • 230. VPL e TIR Exemplo: Considere as seguintes alternativas de investimento mutualmente exclusivas:
  • 231. Exercício Considerando um custo do capital de 10% a.a., pede-se:
  • 232. A) Calcular o VPL para cada alternativa: VPL(i) = 25/(1+i)¹ + 125/(1+i)² = -100 VPL(10%) = 25/1,1¹ + 25/1,1² = $26,03
  • 233. HP12C F REG 100 CHS g CF0 25 g CFj 125 g CFj 10 i F NPV 26,03
  • 234. b) Determinar a TIR para cada alternativa: TIR? 25/(1,1)¹ + 25/(1,1)² = 100 TIRa = 25% a.a.
  • 235. HP12C F REG 100 CHS g CF0 25 g CFj 125 g CFj F IRR 25,00
  • 236. b) • VPL(i) = 95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = -100 • VPL(10%) = 95/1,1¹ + 45/1,1² = $23,55
  • 237. b) TIR? 95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = 100 TIRb = 29,70% a.a.
  • 238. c) Para cada alternativa (A e B), construa o gráfico de VPL versus custo do capital (i). Represente os dois gráficos num mesmo plano cartesiano.
  • 239. c) ALTERNATIVA b ALTERNATIVA a
  • 241. Gráfico Quando a reta intercepta o eixo do custo do capital, define a taxa de retorno.
  • 242. d) Utilize os gráficos para estabelecer qual deve ser a alternativa escolhida. Justifique sua reposta.
  • 243. d) Considerando o custo do capital de 10%a.a., seleciona-se a alternativa A, pois: VPLb (10%) > VPLa (10%)
  • 244. O valor de cada prestação é composto por: uma parcela de juros e uma de capital (amortização).
  • 245. Sistema de Amortização Sistema Francês de Amortização (PRICE) Este sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro de conceito de termos postecipados.
  • 246. Exemplo Um banco empresta $10000, com taxa de 10% a.m., para ser pago em 5 parcelas, sem carência, calculada pela tabela PRICE. Pede-se: elaborar a planilha de financiamento
  • 247. Valor de cada prestação? PMT = PV . i.(1+i)n/(1+i)n – 1 PMT = 10000. 0,1 . 1,15/1,15 – 1 PMT = $2.637,97
  • 248. 1º Parcela de Juros INT1 = i . PV INT1 = 0,10 . 10000 = $1000
  • 249. 1º Parcela da Armotização A1 = PMT - INT1 A1 = 2637,97 – 1000 = $1637,97
  • 250. Saldo devedor após o pagamento da 1º parcela PV1 = PV0 - A1 = 10000 – 1637,97 = $8362,03
  • 251. TABELA
  • 254. Calculando o Saldo devedor:
  • 255. Saldo devedor, logo após o pagamento da 1º parcela.
  • 256. PV3 PV3 = PMT . (1+i)5-3 -1/i . (1+i)5-3 PV3 = 2637,97 1,1² - 1/ 0,1 . 1,1² PV3 = $4578,32
  • 257. Saldo devedor logo após o pagamento da t-ésima prestação PVt = PMT . (1+i)n-t – 1/i . (1+i)n-t
  • 258. Fórmula At = A1 . (1+i) t-1 Cresce exponencialmente
  • 259. Amortização A1 = A1 . 1,1² A3 = PV2 - PV3
  • 260. Verificação de Taxa (Amortização x Taxas) A2 / A1 = 1801,77 / 1637,97 = 1,10 Aumenta 10%
  • 261. HP12C F fin G end 10000 CHS PV 10 I 5N PMT $2637,97 CONTINUANDO....
  • 262. HP12C PMT $2637,97 1 f AMORT 1000 X y 1637,97 RLC PV -8362,03
  • 263. SAC
  • 264. Sistema de Amortização Constante (SAC) As amortização periódicas são todas iguais. As prestações são periódicas, sucessivas e descrentes em progressão aritmética (PA). As prestações são pagos no final de cada periódo.
  • 265. Exemplos Um banco empresta R$ 10000 com taxa de 10% a.m., para ser pago em cima parcelas mensais, sem prazos de carência, calculando pelo sistema de Amortização constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
  • 268. Tabela
  • 269. Juros
  • 270. PMT
  • 271. Como encontrar alguns valores das prestações?
  • 272. P.A. As prestações descrevem em P.A. com razão r = i . PV0 / n PMTt = PMT1 – (t – 1) . r
  • 274. Último termo de juros: PMTn = A + R PMTn = PV0 / n + i . PV0 / n INTn = r
  • 275. Lista 6 – Exercício da Caixa Econômica
  • 276. Dados 12) PV0 = $864.000 n = 120 prestações mensais SAC i = 1% a.m.
  • 278. Valor da Amortização A = PV0 / n = 864000 / 120 = $7200
  • 279. Resolução a) PMT1 = A + INT1 PMT1 = A + PV0 PMT1 = 7200 + 0,01 . 864000 PMT1 = 7200 + 8640 = $15840
  • 280. PMT103 = PMT1 - 102 . r r = i . PV0 / n = 0,01 . 7200 = 72 PMT1 = $15840 PMT103 = 15840 - 102 . 72 PMT103 = $8496,00
  • 281. b) Valor total de juros pagos:
  • 282. Total do valor pago de juros:
  • 284. OBS: PRICE Todas as parcelas são iguais. Amortização cresce exponencialmente SAC Parcelas diferentes. (Decrescente) Amortização todos iguais.
  • 286. PRICE PMT = VERDE A = ROSA SEMPRE POSTECIPADO
  • 288. Valor do Financiamento r = i . PV0 / n 300 = i . 3000 i = 15% a.m.
  • 289. Curva “Price” x Reta “Seca” SALDOS DEVEDORES 12.000,00 10.000,00 SALDOS DEVEDORES 8.000,00 Saldo Devedor Price 6.000,00 Saldo Devedor SAC 4.000,00 2.000,00 0,00 0 1 2 3 4 5 6 NÚMERO DA PARCELA
  • 290. Amortização Prestações e Amortizações 4.000,00 3.500,00 3.000,00 Amortização PRICE Valores em Reais 2.500,00 Prestação PRICE Amortização SAC 2.000,00 Prestação SAC 1.500,00 Amortização SAM Prestação SAM 1.000,00 500,00 0,00 0 20 40 60 80 100 120 140 Núm ero de Ordem das Prestações
  • 291. Devedor Saldo Devedor 140.000,00 120.000,00 100.000,00 Valores em Reais 80.000,00 Saldo Devedor PRICE 60.000,00 Saldo Devedor SAC Saldo Devedor SAM 40.000,00 20.000,00 0,00 0 20 40 60 80 100 120 Núm ero de Ordem das Prestações
  • 292. Exercício • Um empréstimo de $2000, contratado a juros efetivos de 1% ao mês, de acordo com tabela PRICE. Ele será pago em trÊs prestações mensais com carência de dois meses. Durante a carência os juros efetivos são capitalizados e incorporados ao principal. Construir a planilha de amortização.
  • 293. HP 12C F FIN G END 2040,20 CHS PV 3N 1I PMT = 693,71
  • 294. HP12C PMT 693,71 1 f AMORT 20,40 X y 673,31 RLC PV 1366,89