Caderno - Matemática Financeira

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Caderno - Matemática Financeira

  1. 1. CADERNOMatemáticaFinanceira 3º semestre Luan Guerra
  2. 2. FACEBOOK Não curtir? Por quê? SUGESTÕES cadernosppt@gmail.com.br
  3. 3. AvisoEsse material foi criado a partir do cadernode um aluno do curso de administração.Sendo assim, não substituirá nenhuma fontedidática como: livros, artigos científicos, etc.ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada alémdisso.
  4. 4. CADERNO +EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
  5. 5. Juros• Juros Simples:INT: $1000 . 5=$1000 . 10% . 5 = 1500 INT: PV . I . N
  6. 6. Calculando o montante (Juros Simples)• FV: PV + INT= PV + PV . I . NFV: PV. (1 + I. N) PV: FV/ (1+ I . N)
  7. 7. Exercícios – Juros Simples• Verifique se os dois capitais são (ou não são) equivalentes na data fiscal e à taxa de juros simples de 10% a.m.Na data fiscal:a) FV1 = PV1(1+ i . n)FV1 = 3635,35 (1+ 0,1 . 1)FV1 = 3635, 35 . 1,1 = $4000
  8. 8. Exercícios – Juros Simplesb) PV2 = FV2 / (1 + i . N)PV2 = 5600 / (1 + i . N)PV2 = 5600 / 1,4 = $4000Resp:São equivalentes na dela 2 à taxa de 10% a. m.
  9. 9. Exercício• O exemplo foi para verificar o valor que seria no futuro.
  10. 10. Exercícios – Juros Simplesa) FV1 = PV1 (1 + i . N)FV1 = 3636, 35 (1 + 0,1 . 5)FV1 = 3636, 35 . 1,5FV1 = 5454, 53 (Aproximadamente)
  11. 11. Exercícios – Juros Simplesb) PV2 = FV2 / (1 + i . N)PV2 = 5600 / (1 + 0,1 . 0)PV2 = 5600 / 1PV2 = $5600
  12. 12. Exercício de Juros Simples• Valor da dívida = FV1 / (1 + i . N)VD = 2000 / (1 + 0,1 . 3)VD = 2000 / 1,3VD = 1538,47 (Aproximadamente)• Valor da dívida = FV2 / (1 + i . N)VD2 = 2500 / (1 + i . N)VD2 = 2500 / 1,8VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
  13. 13. Exercício de Juros Simples• VD1 + VD2 = XVD = 1538,47 (Aproximadamente)+VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)_____________________________$ 2927,36 (Aproximadamente)
  14. 14. Pagamentosx / (1 + 0,1 . 10) + x / (1 + 0,1 . 15) = 2927,35x / 2 + x / 2,5 = 2927,350,5x + 0,4x = 2927,350,9x = 2927, 35 ---- X= $3252,61Resp: O valor $3252,61 será em cada cheque.
  15. 15. Capitalização Composta• Taxas Equivalentes
  16. 16. Exemplo 1• Determine a taxa anual equivalente a 2% a.m.
  17. 17. Modelo Meses
  18. 18. Modelo Anos
  19. 19. ResoluçãoFV 1 = FV 2PV . (1 + 0,02) = PV (1 + i a)1 + i . a = 1,02¹²ia = 1,02¹² - 1 = 0,2682 ou 26,82%
  20. 20. Ou seja...FV 1 = $126, 82FV 2 = $126, 82
  21. 21. Exercício II• Determine a taxa mensal equivalente a 24% a.a.FVCap. Anual: FV 2 = PV (1 + ia)¹Cap. Anual: FV 1 = PV (1 + im)¹²
  22. 22. Cont.FV 1 = FV 2 (1 + im)¹² = (1 + ia)¹ (1 + im)¹²= 1,24¹ im = 1,24 ¹/¹² = 0,0181 ou i = 1,81% a.m.
  23. 23. Equivalência de Capitais a Juros Compostos
  24. 24. Dois capitais, com datas de vencimentosdeterminados, são equivalentes quando,levados para uma mesma data a mesmataxa de juros, tirevem valores gerais.No sistemas de juros compostos, se doiscapitais são equivalentes em determinadodata também o serão em qualquer outrodata.
  25. 25. ExercíciosVerifique se os dois capitaissão equivalentes, a juroscompostos de 10% a.m.
  26. 26. Exemplos
  27. 27. Data Focal
  28. 28. Meses
  29. 29. ResoluçãoData focal:1) FV1 = 2000 . (1 + 0,1)¹ = $ 22002) PV2 = 2662 / (1+0,1)² = $ 2200
  30. 30. RespostaEles são equivalentes ataxa de juros compostosde 10% a.m. (Data Focal)
  31. 31. Data Focal
  32. 32. Nova data focalData focal = 3º Mês• FV 1 = 2000 (1 + 0,1)² = $2420• PV 2 = 2662 / (1 + 0,1)¹ = $2420Resposta: Eles são equivalentes a taxa de 10% a.m. em qualquer data focal.
  33. 33. ExercícioVerificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando-se uma taxa de juros compostos de 10% a.m.
  34. 34. ResoluçãoEscolher uma data focal:
  35. 35. ResoluçãoFV: 2000 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2420 . 1.1¹ + 2662 = $10.648,00FV: 2100 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2300 . 1.1¹ + 2902,40 = $10.648,00Respostas: São Equivalentes...
  36. 36. Equivalência de Capitais e Juros Compostos• Exercício: Em vendas à vista, uma loja dará um desconto de 5%, pagando-se com cheque pré-datado para um mês, “não há cobrança em juros”, com cheque pré- datado para dois meses, há um acréscimo de 3%.
  37. 37. Perguntasa) Qual a melhor forma de pagamento para o cliente, se o rendimento do dinheiro for de 3,5% a.m.? É o pior?b) Determine as taxas de juros cobradas nos cheques pré-datados?
  38. 38. a)• À vista• Cheque p/ 30 dias• Cheque p/ 60 dias
  39. 39. a)• À vista: 0,95 x = $95• 1 Mês: 1 x = $100• 2 Meses: 1,03 x = $103
  40. 40. a)Data focal: 0 mês (à vista)• À vista: 0,95 x = $95
  41. 41. a)• Cheque para 30 dias:FV = PV . (1 + i)nPV = FV / (1 + i)nFV = 1 x / (1,035)¹ = $96,62
  42. 42. a)• Cheque para 60 dias:FV = PV . (1 + i)nPV = FV / (1 + i)nFV = 1,03 x / (1,035)² = $96,15
  43. 43. Convenção Linear
  44. 44. Convenção Linear• Montante no final do 5º ano:FV=1000.(1+0,1)5 = $1610,51• Montante no final do 5º ano e meio:FV=1610,51.(1+0,1.0,5) = $1691,04
  45. 45. Convenção Exponencial• Montante no final do 5º ano:FV = 1000.(1+0,1)5 = $1610,51
  46. 46. Taxa semestral• Equivalente a 10%iq = (1 + it)q/t - 1Iq = (1 + 0,1)1/2 - 1Iq = (1,1)1/2 - 1Iq = 1,0488 – 1 = 0,0488 a.s.Iq = 1,10,5 – 1(1 + i) = 1,10,5
  47. 47. Convenção Exponencial• Montante no final do 5º ano e médio:FV = PV . (1+ isem )¹• FV = 1610,51 . (1+ isem )¹• FV = 1000 . 1,15 1000.1,1 5,5 $1689,12
  48. 48. Capitalização Composta Atividade 6
  49. 49. Exercícios - 4Qual o valor do capital, que aplicado ataxa de 18% ao trimestre durante 181dias, produziu um montante de$5.000,00?
  50. 50. ResoluçãoPV?i = 18 a. t.n = 181 diasFV = $5000
  51. 51. Determine o capital:PV = FV / (1 + i)nPV = $5000 / (1 + 0,18)181/190PV = $5000 / (1,18)2,011PV = $5000 / 1,3950PV = $3584,23
  52. 52. Exercício - 5Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Emque prazo um investidor poderá receber odobro da sua aplicação?FV = 2 PV1 = 0,225% a.d.n = ? dias
  53. 53. Resolução
  54. 54. FV = PV . (1 + i)n(1 + i)n = (FV / PV)n . ln (1 + i) = ln (FV / PV)n = ln (FV / PV) / ln (1 + i)n = ln (2PV / PV) / ln (1 + 0,00225)= ln 2 / ln 1,00225 = 0,6931 / 0,0022= 308,41 dias
  55. 55. Exercício - 6A aplicação de $ 380.000,00 proporcionouum rendimento de $ 240.000,00 no finalde 208 dias. Determinar as taxas diária,mensal, trimestral e anual de juros.
  56. 56. ResoluçãoPV = $380.000INT = $240.000_____________FV = $620.000N = 208 diasi=?
  57. 57. Determine a taxa:FV / PV = (1 + i)n1 + i = (FV / PV)i = (FV / PV)
  58. 58. Taxa diáriai = (620000/380000)1/208 -1= 0,024ou 0,24 a% a.d.
  59. 59. Taxa Mensaln = 203/30 meses = 6,93 mesesi = (620000 / 380000)30/208 – 1= 0,0732ou 7,32% a.m.
  60. 60. Taxa EQUIVALENTEiq = (1+ it)q/t - 1iq = (1+ 0,732160)³ - 1 ³ = 90/30 = 3 trimestres= 0,2359ou 23,59% a.t.
  61. 61. Taxa Anualn = 208/360 ano = 0,5638 anoi = (620000/380000)360/208 – 1= 1,333ou =133,33% a.a.
  62. 62. Taxa Nominal
  63. 63. Poupança• Nominal j = 6% a.a. Capitalização Mensal Taxa i = 0,5% a.m.• Taxa anual equivalente a 0,5%a.m. iq = ( 1 + it)q/t – 1
  64. 64. Como calcular:iq = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617 . 100% EFETIVA = 6,17% a.a
  65. 65. Convenção• A taxa efetiva por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal:j é a taxa nominalk é o número de vezes em que os juros são capitalizados no período que se refere a taxa nominal
  66. 66. Exemplo 112% ao ano: j 12%Taxa efetiva : i= = = 1% ao mês k 12 Taxa efetiva (anual): 12,68% 12 1 i = (1 + 0,01) − 1 = 0,1268
  67. 67. Exemplo 45% ao ano, capitalização semestralmente: Taxa efetiva: i = j / k = 5/2 = 2,5 a.s. iq = (1+ 0,025)2/1 -1 = Iq = 1,0506 – 1 = 0,0506 5,06% a.a.
  68. 68. Cálculo da TAXA EFETIVA a partir da Taxa NominalA taxa efetiva (período referencial)equivalente à taxa nominal j capitalizada kvezes no período referencial é: k  j i = 1 +  − 1  k
  69. 69. Exemplo 5Um banco faz empréstimos à taxa de 5%ao ano, mas adotando a capitalizaçãosemestral do juros.Qual seria o juro pago por umempréstimo de $10.000,00, feito por 1ano?
  70. 70. ResoluçãoJuros = 5% a.a.K = 2 capital a.m.a) FV = $10000INT = ?N = 1 ano
  71. 71. Taxa Efetiva Semestrali = j/ki = 5%/2= 2,5% a.sMontante ao final de 1 ano:FV = PV . (1 + i)NFV = 1000 . (1 + 0,025)² FV: $10506,24
  72. 72. Cont.INT = FV – PVINT = 10506,25 – 10000 INT = $506,25
  73. 73. b) Taxa efetiva anuali = INT/PV = 506,24/10000 = 0,050625 OU 5,0625% a.a.
  74. 74. Outra possibilidade?• Taxa efetiva anualiq = (1+ it)q/t - 1 iq = (1+ it)q/t - 1 = (1+0,025)² - 1 = 0,050625 ou 5,0625% a.a.
  75. 75. Exercício 6Calcular o montante resultante de uminvestimento de $1.200 aplicado por 3anos a juros nominais de 16% a.a.,capitalizados mensalmente
  76. 76. DadosPV = $1200Prazo = 3 anosi = 16% a.a.K= 12 Capitalização Mensal (em 1 ano)FV = ?
  77. 77. Resolução• Montante no FV = $1200(1+ 0,16/12)12.3 final de 3 anos: FV = $1200(1+ 0,16/12)36 FV = $1200(1+ 0,0133)36 FV = $1200(1,0133)36 FV = $1200 . 1,6109 FV = $1933,15
  78. 78. Exercício 7Qual o valor de resgate para um capital de$200 aplicado pelos seguintes prazos etaxas?
  79. 79. Resolução
  80. 80. a)27 dias a 9% a.m., capitalização diáriaFV = $200 (1 + 0,09/30)30 . 27/30FV = $200 (1 + 0,003)27FV = $200 (1,003)27FV = $200 . 1,0842FV = $216,85
  81. 81. b)6 meses a 28% a.a., capitalização mensalFV = $200 (1 + 0,28/12)12 .FV = $200 (1 + 0,023)6FV = $200 (1,023)6FV = $200 . 1,1462FV = $229,23
  82. 82. c)8 meses a 18% a.s., capitalização mensalFV = $200 (1 + 0,18/6)6. 8/6FV = $200 (1 + 0,03)6 . 8/6FV = $200 (1,03)8FV = $200 . 1,12668FV = $253,35
  83. 83. HPFN28 E 12 / i6N200 PVFV
  84. 84. Exercício 8Vamos supor que tenham sido pesquisadas e encontradas as três taxas a seguir:• Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente• Banco B: 15,5% a.a. capitalizados trimestralmente• Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente Qual dessas taxas será a melhor, caso você esteja pensando em abrir uma caderneta de poupança?
  85. 85. ResoluçãoBanco A: 15% a.a. capitalizadosdiariamenteFV = 100 (1 + 0,15/360)360 . 1 anoFV = 100 (1 + 0,0004)360FV = 100 (1,0004)360FV = 100 . 1,1618FV = 116,18
  86. 86. ResoluçãoBanco B: 15,5% a.a. capitalizadostrimestralmenteFV = 100 (1 + 0,155/4)4 . 1 anoFV = 100 (1+ 0,0388)4FV = 100 (1,0388)4FV = 100 . 1,1642FV = $116,42
  87. 87. ResoluçãoBanco C: 16% a.a. capitalizadosanualmenteFV = 100 (1 + 0,16)¹ = 100 . 1,16 = $116
  88. 88. Desconto
  89. 89. Exemplo Uma empresa emitiu uma duplicata de $ 8.000,00 , com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de agosto descontou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário. Determinar o valor de desconto. O desconto bancário segue a regra dos banqueiros.FV = $ 8.000,00i = 2% a.m. = 0,02 a.m.n = 16/08 a 03/11 = 79 dias = 79/30 mesesDB = ?
  90. 90. Como DB = FV * i * n , então: DB = 8000 * 0,02 * ( 79/30 ) DB= $ 421,33
  91. 91. Valor Atual ou Valor de Resgate: PV = FV ( 1 - i * n )
  92. 92. Exemplo• Qual o valor de resgate do título do exemplo anterior ?• PV = FV ( 1 – i * n )• PV = 8.000,00 ( 1- 0,02 * 79/30 )• PV = $ 7.578,67
  93. 93. Capitalização Simples
  94. 94. ResoluçãoINT = $421,33PV . i . N = 421,337578,67 . i . 79/30 = $421,33 i = 2,11% a.m.
  95. 95. Capitalização Compostai = (FV/PV)1/n – 1i = (8000/7578,67)30/79 -1 i = 2,0758% a.m.
  96. 96. Desconto Simples para Séries de Mesmo Valor :Vários títulos de mesmo valor apresentados a um banco, com vencimentos em datas diferentes podem ter seus valores de desconto (total) calculado. Sendo i a taxa de desconto, temos:
  97. 97. DB1 = FV * i * n1 DB2 = FV * i * n2 ........................... DBN = FV * i * nN DBTOTAL = DB1 + DB2 + ..... + DBNDBTOTAL = FV * i * n1 + FV * i * n2 + .... + FV * i * nN DBTOTAL = FV * i * ( n1 + n2 + ... + nN ) DBTOTAL = FV * i * (n1 + nN ) * N/2
  98. 98. Exemplo Quatro duplicatas, no valor de $32.000,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto.FV = $32.000,00 n1=90 dias = 3 mesesiD = 3% a.m. nN=180 dias = 6 mesesN=4Desconto Total: DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 =DBTotal=32.000 .4.0,03.(3+6)/2 = $17.280,00
  99. 99. 1 ResoluçãoD1 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 3 = 2.880,00D2 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 4 = 3.840,00D3 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 5 = 4 800,00D4 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 6 = 5.760,00Dt = $17280,00
  100. 100. 2 ResoluçãoDt = FV . i . (n1 + Nn) . n/2Dt = 32000 . 0,03 . ( 3 + 6 ) . 4/2Dt = 960 . 18 = $17280,00
  101. 101. Exemplo Uma empresa apresenta 6 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do boderô e que o valor líquido creditado a empresa foi de $25.000,00, calcular o valor de cada título.PV = $25.000,00N=6 títulosn1=1 mêsn6=6 mesesiD=2,8% a.m.Pede-se: FV
  102. 102. ResoluçãoPVt = n . FV – Dt25000 = 6 . FV – FV . id . (n1 + n6) . n/225000 = 6 . FV – FV . 0,028 . (1 + 6) . 6/225000 = 6FV – 0,5880FV5,4120FV = 25000 FV = $4619,16
  103. 103. CALCULANDO O PVPV = FV . (1 – i . N)PV = 4619,36 . (1 – 0,028 . 1) PV = $4490,02
  104. 104. PV = $25.000,00N=6 títulosn1=1 mêsn6=6 mesesiD=2,8% a.m.Pede-se: FVPV = N.FV – DBTOTAL25.000 = 6 . FV – DBTOTAL (*)Por outro lado,DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = FV . 6 . 0,028 . (1+6)/2DBTotal=0,5880 FV (**)Substituindo (**) em (*), temos que:25.000 = 6FV – 0,5880FVResolvendo a equação acima, temos: FV= $4.619,36
  105. 105. Desconto Composto PV = FV ( 1 – i )n
  106. 106. Desconto Composto :É o abatimento concedido sobre um títulopor seu resgate antecipado, com oscritérios da capitalização composta. Dcomp = FV – PVsendo FV o valor nominal e PV o valor doresgate do título. PV = FV ( 1 – i )n
  107. 107. Exercício• Desconto CompostoExemplo:FV = $1000Id = 2% am (Em meses para o vencimento)PV = Valor de resgate ou creditado na conta (Valor presente)
  108. 108. Resolução
  109. 109. Exemplo Um duplicata no valor de $25.000,00, com 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.a) De acordo com o conceito de desconto Bancário.b) De acordo com o conceito de desconto composto.
  110. 110. Dados: FV=$25.000,00 N=90 dias = 3 meses Id=2% ao mêsa) Desconto BancárioDB=FV.iD.n = 25.000 . 0,02 . 3 = $1.500,00Valor líquido creditado na conta:PV = FV – DB = 25.000–1.500= $23.500,00b) No desconto Composto, o valor líquido creditado em conta é de:PV = FV.(1 – iD)n = 25.000 . (1-0,02)3= $23.529,80O valor do desconto composto é de:DCOMP = FV – PV = 25.000 – 23.529,80 = $1.470,20.
  111. 111. ANUIDADES OU SÉRIES DEPAGAMENTOS
  112. 112. Valores que são pagos ou recebidos através deuma sucessão de pagamentos ou recebimentos.Chama-se de amortização quando o objetivo desucessivos pagamentos é a liquidação de umadívida.Chama-se de capitalização quando o objetivo desucessivos pagamentos é constituir um capital emdata futura.
  113. 113. Classificação das Séries de PagamentosAs Séries de Pagamentos podem serclassificadas :Quanto ao prazo:Podem ser temporárias (duração limitada)ou perpétuas (duração ilimitada, comoalugueis)
  114. 114. Classificação das Séries de PagamentosQuanto a valor:Podem ser constantes (pagamentos ourecebimentos em valores iguais) ouvariáveis (pagamentos ou recebimentoscom valores diferentes)
  115. 115. Classificação das Séries de PagamentosQuanto a forma:Imediatas: quando o primeiro pagamentoocorre no primeiro período. Subdividem-seem postecipada (primeiro pagamento se dáno final do primeiro período,ou seja, sementrada) e antecipada (primeiro pagamentono início do primeiro período, ou seja, comentrada igual as demais prestações)
  116. 116. Classificação das Séries de PagamentosDiferidas: quando o primeiro pagamentonão ocorre no primeiro período. O períodosem pagamentos é chamado de Período deCarência, e normalmente, nele sãocobrados juros. Também se subdividem empostecipadas e antecipadas.
  117. 117. Classificação das Séries de PagamentosQuanto ao período:Podem ser periódicas (intervalos detempo entre pagamentos iguais) ou nãoperiódicas (intervalos de tempo entrepagamentos diferentes).
  118. 118. Modelo Básico de SérieO modelo básico de Série de Pagamentos que vamos tratar é uma série: • Temporária • Constante • Imediata • Periódica
  119. 119. ExemploDeterminar o montante ao final do 5o. mêsde uma série de 5 pagamentos mensais,iguais e consecutivos de $ 1.000,00 a taxade 1% ao mês, de forma postecipada.
  120. 120. SoluçãoEsquematicamente temos a sérierepresentada pelo Diagrama do Fluxo deCaixa: FV 0 1 2 3 4 5 $1000
  121. 121. ´PASSO A PASSO - SOLUÇÃO1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)4 FV1 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,602a. parcela: FV2 = PV2(1+i)3 FV2 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,303a. parcela: FV3 = PV3(1+i)2 FV3 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,104a. parcela: FV4 = PV4(1+i)1 FV4 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,005a. parcela: FV5 = PV5(1+i)0 FV5 = 1000(1+0,01)0 = $ 1.000,00FVTOTAL= $ 5.101,01
  122. 122. Juros Compostosi = 10% a.m.FV = PV . (1 + i)nFV1 = 1000 . (1 + 0,1)4FV2 = 1000 . (1 + 0,1)3FV3 = 1000 . (1 + 0,1)2FV4 = 1000 . (1 + 0,1)1____________________________FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)
  123. 123. ResultadoFVt = $5101,01
  124. 124. Juros CompostosFVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014) FV = 1000 . 1,010 . 1,015 – 1/ 1,01 - 1
  125. 125. FórmulaFV = PMT . (1 + i)n – 1/ iFazendo com a fórmula:FV = 1000 . (1 + 0,01)5 – 1/ 0,01 FV = $5101,01
  126. 126. Fórmula
  127. 127. 2) Quantas prestações de $4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de $100.516,08 no final de certo prazo? E qual esse prazo?
  128. 128. Exercício IIPMT = $4000i = 7% a.t.FV = $100.516,08n=?
  129. 129. $ 4000
  130. 130. Determinar:FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i(1 + i)n – 1/ i = FV / PMT(1 + i)n – 1= i . FV / PMT(1 + i)n = 1 + i . FV / PMTn. Ln (1+ i) = ln (1 + i . FV / PMT)
  131. 131. FórmulaN = ln (1 + i . FV / PMT) / Ln (1+ i)
  132. 132. Séries de Pagamentos Postecipados
  133. 133. Fórmula
  134. 134. Exercícios• A que taxa devo aplicar $15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de $500.000,00 no final de 10 anos?
  135. 135. Exercícios $5000000 10 $15036,28
  136. 136. ResoluçãoSéries PostecipadaPMT = $15036,28FV = $500.000N = 10 prestações anuaisI = ? A.A
  137. 137. Determinar:(1 + i)n – 1 / i = FV / PMT(1 + i)10 – 1/ i = 500000/15036,38(1 + i)10 – 1/ i = 33,2529i = 25% a.a.
  138. 138. 1 - Exercício• Quanto terei que aplicar mensalmente, à taxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?
  139. 139. Resolução $ 1.000.000 Meses PMT
  140. 140. Série Postecipada - ResoluçãoFV = $ 1.000.000N = 240 prestaçõesi = 1 % a.aPMT = ?
  141. 141. De valor de cada prestação?PMT = FV . i / ( 1 + i)n – 1PMT = 1000000 . 0,01/1,01240 – 1PMT = $ 1010,86
  142. 142. Na HP12CG ENDF FIN1i240 n1000000 FVPMT = -1010,86 (CHS)
  143. 143. AO DIA?G ENDF FIN0,033173 i (i = (1+0,01)1/30 -1)7200 n (240.30 = 7200 ao dia)1000000 FVPMT = -33,53 (CHS)
  144. 144. Outra maneira...• Quanto terei que aplicar mensalmente, à taxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?• E diariamente, à taxa equivalente a 1% ao mês? (ano comercial: 360 dias)
  145. 145. Nova Fórmula
  146. 146. FFC
  147. 147. FVA
  148. 148. FRC (i,n)
  149. 149. ExemploQual é o valor de um empréstimo quepode ser liquidado em 10 prestaçõesmensais (vencidas ou postecipadas), àtaxa de 2% ao mês, sendo as quatroprimeiras prestações de $3.000,00 e as 6últimas de $4.000,00?
  150. 150. Resolução
  151. 151. Série 1ENDPMT = $3000N = 4 prestações mensaisi = 2% a.m.
  152. 152. Valor atualPV = PMT . (1 + i)n – 1 / i . (1 + i)nPV = 3000 . 1,024 – 1 / 0,02 . 1,024 PV = $11.423,1861
  153. 153. Série 2PMT = $4000N = 6 prestações mesesI = 2% a.m
  154. 154. Valor atualPV = 4000 . 1,026 – 1 / 0,02 . 1,026 PV = 22.405,7236
  155. 155. Data ZeroPV = 22405,7236/ 1,024 PV = $20699,4252
  156. 156. Valor do empréstimoX – 11423,1861 + 20699,4252 = $32122,61
  157. 157. Exercícios 1Qual o montante, no final de 20meses, resultante da aplicação de 14parcelas iguais, mensais econsecutivas de $1.800,00 cadauma, sabendo-se que a taxacontratada é de 3,5% ao mês e que aprimeira aplicação é feita “hoje”?
  158. 158. Exercícios 1
  159. 159. Série AntecipadaPMT = $1800N = 14 Prest.I = 3,5% a.m.FV = ?
  160. 160. Montante no final do 14º mêsFV = (1+i) . PMT (1+i)n – 1/iFV = 1,035.1800.1,03514-1/0,035 $32432,23
  161. 161. Montante no final do 20º mês FV = PV . (1+i)n = $32932,23 . 1,035 = $40482,11
  162. 162. HP 12C G beg F fin1800 CHS PMT 3,5 i 14 nFV = 32932,23
  163. 163. HP 12C F FIN32932,23 CHS PV 6n 3,5 i FV $40482,11
  164. 164. Exercício 2
  165. 165. Série AntecipadaFV = $20000N = 12 prestações mensaisI = 3% a.mPMT = ?
  166. 166. Valor de cada prestaçãoPMT = 1/(1+i) . FV . i/(1+i)n – 1PMT = 1/1,03 . 20000 . 0,03/1,0312 – 1PMT = $ 1368,20
  167. 167. HP 12C G BEG F FIN 20000 FV 3I 12 NPMT = -1368,20
  168. 168. Exercício 3Um empréstimo de $50.000,00 deveser liquidado em 12 prestações iguais.Sabendo-se que a primeira vence nofinal do 4o mês e que a taxa de juroscobrada pela instituição financeira éde 5% ao mês, determinar o valor daprestação.
  169. 169. Série AntecipadaPMT = ?PV = $60775,31N = 12I = 5% a.m
  170. 170. Valor de cada prestaçãoPMT = 1/(1+i) . PV . i.(1+i)n/(1+i)n-1PMT = 1/1,05 . 60775,31 . 0,05 . 1,05/1,0512 – 1 PMT = $6530,48
  171. 171. HP12CF fin50000 pv4n5iFV = $-60775,31
  172. 172. Série de Pagamentos AntecipadoExemplo: Um financiamento de $40.000 será pago em oito prestações mensais de $6.413,44. O início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência.
  173. 173. Dados
  174. 174. DadosPMT = $6413,44N = 8 prestações mensaisi = 3% a.m.
  175. 175. Fórmula Valor atualPV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
  176. 176. ResoluçãoPV: 1,03 . 6413,44 . 1,038 – 1 / 0,03 . 1,038 PV: 46370,9859
  177. 177. Período de Carência
  178. 178. HP12C G BEG F FIN 6413,44 CHS PMT 8N 3i PV 46370,9859 F FIN46370,9859 CHS FV 40000 PV 3i N = 5,00
  179. 179. QuestãoExemplo: Um bem cujo valor à vista é de $10.000 será pago por meio de uma entrada de 20% mais 13 prestações antecipadas mensais de $800 cada e mais um pagamento final junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% ao mês e que há um período de carência de três meses, calcular o valor do pagamento final de modo que a dívida seja liquidada.
  180. 180. Dados
  181. 181. DadosSérie antecipadaPMT = $800N = 13 prestações mensaisi = 4% a.m.
  182. 182. Fórmula Valor atual:PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
  183. 183. ResoluçãoPV: 1,04 . 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 . 1,0413 PV: 8308,06 (Mês 3)
  184. 184. Data Zero PV = FV / (1 + i)nPV = 8308,059 / 1,04³PV = $7385,83
  185. 185. Resta uma dívida (data 0)Parcela = 8000 – 7385,83 = $614,1658Data 15X = 614,1658 . 1,0415 X = $1106,08
  186. 186. Solução 2Data 15 FV = 8000 . 1,0415 FV = $14407,5480
  187. 187. ContinuaçãoFV = PMT . (1 + i)n – 1 / iFV = 800 . 1,0413 – 1 / 0,04FV = 13301,47X = 14407,5480 – 13301,47 = $1106,08
  188. 188. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA
  189. 189. Exemplo Uma pessoa tem as seguintes opções para investimento de $800.000,00 :1. Receber $1.000.000,00 em 2 anos.2. Receber 4 pagamentos semestrais de $230.000,00.3. Receber 24 pagamentos mensais de $38.000,00.Qual a melhor alternativa se a taxa de retorno (atratividade) é de 12% aa ?
  190. 190. Solução 1. FV = PV (1+i)n 1.000.000 = PV (1+0,12)2 PV = $ 797.193,88NPV = 797.193,88 – 800.000,00 NPV = - $ 2.806,12
  191. 191. Solução2. Série de pagamentos postecipada, com: PMT = $ 230.000,00 n = 4 parcelas i = 5,83% as Calculando-se PV e NPV, temos PV = $ 800.085,57 NPV = $ 85,75
  192. 192. Solução3. Série de pagamentos postecipada, com: PMT = $ 38.000,00 n = 24 parcelas i = 0,9488793% am Calculando-se PV e NPV, temos: PV = $ 812.182,61 NPV = $ 12.182,61 Portanto a melhor alternativa é a 3.
  193. 193. Se NPV é negativo significa que as despesas são maiores que as receitas.Se NPV é positivo significa que as receitas são maiores que as despesas.Se NPV é igual a zero significa que as receitas e as despesas são iguais
  194. 194. Valor presente líquido VPL ou NPV
  195. 195. Receita AtualizadaVLP = CF1/(1+i)¹ + CF2/(1+i)² + CF2/(1+i)³ + CF2/(1+i)4 - CF0
  196. 196. Taxa Interna de Retorno (IRR)O Método da Taxa Interna de Retorno éaquele que permite encontrar aremuneração do investimentos em termospercentuais.Encontrar a taxa Interna de Retorno éencontrar a taxa de juros que permiteigualar receitas e despesas na data zero.
  197. 197. A Taxa Interna deRetorno é a taxa dedesconto que leva ovalor presente dasentradas de caixa deum projeto a seigualar ao valorpresente das saídasde caixa.Se NPV = 0, então:
  198. 198. Exercício VPL
  199. 199. ExemploUm máquina no valor de $ 10.000,00proporcionará receitas anuais de $3.500,00 , $ 2.800,00 , $ 2.300,00 e $1.700,00 , quando poderá ser revendidapor $ 2.000,00. Imaginado-se uma taxamínima de retorno de 7% aa, oinvestimento deve ser realizado?
  200. 200. Resolução
  201. 201. Resoluçãoi = 2%VLP = 3500/1,07¹ + 2800/1,07² + 2300/1,07³ + 3700/1,74 – 10000 = $416,85Valor ($416,85) > 0Se o valor final for maior que zero, vale a pena!
  202. 202. HP12CF reg10000 CHS g CF03500 g CFj2800 g CFj2300 g CFj3700 g CFj7iF NPV = 416,85
  203. 203. SoluçãoO Fluxo de Caixa desse investimento pode serrepresentado da seguinte forma: $ 3.500 $ 2.800 $ 2.300 $ 3.7000 1 2 3 4 -$ 10.000
  204. 204. Solução – Através do NPVEm primeiro lugar o fluxo deve ser introduzidona calculadora. Para isso é necessário lembrarque os valores (receitas e despesas) devem serintroduzidos em ordem cronológica: f Reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj 7i f NPV
  205. 205. Solução – Através do NPV O resultado do NPV é $ 416,85 , o quesignifica que as estimativas de receitassão maiores que o investimento inicial,valendo a pena ser feito.
  206. 206. Solução – Através da IRRA situação também poderia ser resolvida através da taxa interna de retorno: f Reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj f IRR
  207. 207. Solução – Através da IRRA resposta encontrada para IRR é 8,84%aa, maior que a taxa mínima de retornoexigida (7% aa), o que significa que oinvestimento deve ser feito.
  208. 208. ExercícioUma taxa foi liquidada em quatroprestações anuais de $25331,01,$11200,00, $137250,00, $87500,00respectivamente, vencimento final de cadaano. Sabendo-se que a taxa de juroscobrada for de 30% a.a., calcular o valorda dívida.
  209. 209. Resolução
  210. 210. HP12CF reg0 g CF025331,01 g CFj11200 g CFj137250 g CFj83500 g CFj30 iF NPV = 117.819,84
  211. 211. VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL ou NPV
  212. 212. VPL = SOMAN J = 1 CFJ / (1+i)j - CF0
  213. 213. VPL = CF1/(1+i)1 + CF2/(1+i)2 ...Exemplo Dado o fluxo de caixa de um projeto, avalie a viabilidade, sabendo-se que o investidor pode aplicar no mercado financeira à raxa de 15% ao anos.
  214. 214. Modelo
  215. 215. VPL (15%) = 145/1,15¹ + 184/1,15² + 210/1,15³ + 350/1,154 + 421,5/1,155 = $312,97 milhares de reais > 0 Projeto é viável
  216. 216. NA HP12CF REG500 CHS G CF0145 G CFJ210 G CFJ350 G CFJ421,5 G CFJ15 IF NPV = 312,969
  217. 217. Taxa de Retorno (TIR ou IRR)SOMAN J = 1 = CFj/ (1 + i)j = CF0i = TIRVPL(TIR) = 0
  218. 218. ExemploDetermine a TIR de problema anterior eutilizar o resultado para avaliar aviabilidade do projeto.145/(1+i)¹ + 184/(1+i)² + 210/(1+i)³ +350/(1+i)4 + 421,5/(1+i)5= 500
  219. 219. TIR = 34,37% a.a. > 15% a.a. O PROJETO É VIÁVELF REG500 CHS G CF0145 G CFJ210 G CFJ350 G CFJ421,5 G CFJF IRR = 34,367
  220. 220. Exercício 13 – Lista 4
  221. 221. Dívida na dada 6
  222. 222. ResoluçãoFV = PV . (1 + i)nFV = 185428,78 . (1 + i)6 PVPV = PMT . (1+i)12 – 1/i . (1+i)12185428,78 = (1+i)6 = 25000 (1+i)12/ i.(1+i)12
  223. 223. IRRHP 12CF reg185428,78 CHS g CF00 g CFj6 g NJ25000 g CFJ12 g NJF IRR 4
  224. 224. ExemploUm banco credita $200,16 na carta de umcliente, referente ao desconto de 3duplicatas de valores. R$ 100, R$ 120 eR$ 80 com prazos.42, 63 e 84 dias, respectivamente.Determinar a taxa mensal de juros,cobrada nessa operação,
  225. 225. Exercício – Calculando a IRR
  226. 226. HP12CF REG260,18 CHS G CF00 G CFJ100 G CFJ120 G CFJ80 G CFJF IRR = 4,9% em 21 dias
  227. 227. Taxai = (1+0,05)30/21 – 1 = 7,22% a.m
  228. 228. VPL e TIRExemplo: Considere as seguintes alternativas de investimento mutualmente exclusivas:
  229. 229. ExercícioConsiderando um custo do capital de 10% a.a., pede-se:
  230. 230. A) Calcular o VPL para cada alternativa: VPL(i) = 25/(1+i)¹ + 125/(1+i)² = -100 VPL(10%) = 25/1,1¹ + 25/1,1² = $26,03
  231. 231. HP12C F REG100 CHS g CF0 25 g CFj 125 g CFj 10 i F NPV 26,03
  232. 232. b) Determinar a TIR para cada alternativa:TIR?25/(1,1)¹ + 25/(1,1)² = 100TIRa = 25% a.a.
  233. 233. HP12C F REG100 CHS g CF0 25 g CFj 125 g CFj F IRR 25,00
  234. 234. b) • VPL(i) = 95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = -100 • VPL(10%) = 95/1,1¹ + 45/1,1² = $23,55
  235. 235. b)TIR?95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = 100TIRb = 29,70% a.a.
  236. 236. c) Para cada alternativa (A e B),construa o gráfico de VPL versus custo do capital (i). Represente os dois gráficos num mesmo plano cartesiano.
  237. 237. c)ALTERNATIVA b ALTERNATIVA a
  238. 238. Gráfico
  239. 239. GráficoQuando a reta intercepta o eixo do custo do capital, define a taxa de retorno.
  240. 240. d) Utilize os gráficos para estabelecer qual deve ser aalternativa escolhida. Justifique sua reposta.
  241. 241. d)Considerando o custo do capital de10%a.a., seleciona-se a alternativa A,pois: VPLb (10%) > VPLa (10%)
  242. 242. O valor de cada prestação é compostopor: uma parcela de juros e uma de capital(amortização).
  243. 243. Sistema de AmortizaçãoSistema Francês de Amortização (PRICE)Este sistema consiste em um plano deamortização de uma dívida em prestaçõesperiódicas, iguais e sucessivas, dentro deconceito de termos postecipados.
  244. 244. ExemploUm banco empresta $10000, com taxa de10% a.m., para ser pago em 5 parcelas,sem carência, calculada pela tabelaPRICE.Pede-se: elaborar a planilha definanciamento
  245. 245. Valor de cada prestação?PMT = PV . i.(1+i)n/(1+i)n – 1PMT = 10000. 0,1 . 1,15/1,15 – 1PMT = $2.637,97
  246. 246. 1º Parcela de JurosINT1 = i . PVINT1 = 0,10 . 10000 = $1000
  247. 247. 1º Parcela da ArmotizaçãoA1 = PMT - INT1A1 = 2637,97 – 1000 = $1637,97
  248. 248. Saldo devedor após o pagamento da 1º parcelaPV1 = PV0 - A1 = 10000 – 1637,97 = $8362,03
  249. 249. TABELA
  250. 250. Calculando o Juros:
  251. 251. Calculando Amortização:
  252. 252. Calculando o Saldo devedor:
  253. 253. Saldo devedor, logo após o pagamento da 1º parcela.
  254. 254. PV3PV3 = PMT . (1+i)5-3 -1/i . (1+i)5-3PV3 = 2637,97 1,1² - 1/ 0,1 . 1,1² PV3 = $4578,32
  255. 255. Saldo devedor logo após o pagamento da t-ésima prestaçãoPVt = PMT . (1+i)n-t – 1/i . (1+i)n-t
  256. 256. FórmulaAt = A1 . (1+i) t-1 Cresce exponencialmente
  257. 257. AmortizaçãoA1 = A1 . 1,1²A3 = PV2 - PV3
  258. 258. Verificação de Taxa (Amortização x Taxas)A2 / A1 = 1801,77 / 1637,97 = 1,10 Aumenta 10%
  259. 259. HP12CF finG end10000 CHS PV10 I5NPMT $2637,97 CONTINUANDO....
  260. 260. HP12CPMT $2637,971 f AMORT 1000X y 1637,97RLC PV -8362,03
  261. 261. SAC
  262. 262. Sistema de Amortização Constante (SAC) As amortização periódicas são todas iguais. As prestações são periódicas, sucessivas e descrentes em progressão aritmética (PA). As prestações são pagos no final de cada periódo.
  263. 263. ExemplosUm banco empresta R$ 10000 com taxade 10% a.m., para ser pago em cimaparcelas mensais, sem prazos decarência, calculando pelo sistema deAmortização constante (SAC).Pede-se: Elaborar a planilha definanciamento.
  264. 264. Resolução
  265. 265. Resolução
  266. 266. Tabela
  267. 267. Juros
  268. 268. PMT
  269. 269. Como encontrar alguns valores das prestações?
  270. 270. P.A.As prestações descrevem em P.A. com razão r = i . PV0 / nPMTt = PMT1 – (t – 1) . r
  271. 271. Valor total pago:
  272. 272. Último termo de juros: PMTn = A + R PMTn = PV0 / n + i . PV0 / nINTn = r
  273. 273. Lista 6 – Exercício da Caixa Econômica
  274. 274. Dados12) PV0 = $864.000n = 120 prestações mensaisSACi = 1% a.m.
  275. 275. a)PMT1 = ?PMT103 = ?
  276. 276. Valor da AmortizaçãoA = PV0 / n = 864000 / 120 = $7200
  277. 277. Resolução a)PMT1 = A + INT1PMT1 = A + PV0PMT1 = 7200 + 0,01 . 864000PMT1 = 7200 + 8640 = $15840
  278. 278. PMT103 = PMT1 - 102 . rr = i . PV0 / n = 0,01 . 7200 = 72PMT1 = $15840PMT103 = 15840 - 102 . 72PMT103 = $8496,00
  279. 279. b)Valor total de juros pagos:
  280. 280. Total do valor pago de juros:
  281. 281. Resultado b)
  282. 282. OBS:PRICETodas as parcelas são iguais.Amortização cresce exponencialmenteSACParcelas diferentes. (Decrescente)Amortização todos iguais.
  283. 283. Gráfico
  284. 284. PRICEPMT = VERDEA = ROSA SEMPRE POSTECIPADO
  285. 285. SACPMT = AMARELAA = AZUL
  286. 286. Valor do Financiamentor = i . PV0 / n300 = i . 3000i = 15% a.m.
  287. 287. Curva “Price” x Reta “Seca” SALDOS DEVEDORES 12.000,00 10.000,00SALDOS DEVEDORES 8.000,00 Saldo Devedor Price 6.000,00 Saldo Devedor SAC 4.000,00 2.000,00 0,00 0 1 2 3 4 5 6 NÚMERO DA PARCELA
  288. 288. Amortização Prestações e Amortizações 4.000,00 3.500,00 3.000,00 Amortização PRICEValores em Reais 2.500,00 Prestação PRICE Amortização SAC 2.000,00 Prestação SAC 1.500,00 Amortização SAM Prestação SAM 1.000,00 500,00 0,00 0 20 40 60 80 100 120 140 Núm ero de Ordem das Prestações
  289. 289. Devedor Saldo Devedor 140.000,00 120.000,00 100.000,00Valores em Reais 80.000,00 Saldo Devedor PRICE 60.000,00 Saldo Devedor SAC Saldo Devedor SAM 40.000,00 20.000,00 0,00 0 20 40 60 80 100 120 Núm ero de Ordem das Prestações
  290. 290. Exercício• Um empréstimo de $2000, contratado a juros efetivos de 1% ao mês, de acordo com tabela PRICE. Ele será pago em trÊs prestações mensais com carência de dois meses. Durante a carência os juros efetivos são capitalizados e incorporados ao principal. Construir a planilha de amortização.
  291. 291. HP 12CF FING END2040,20 CHS PV3N1IPMT = 693,71
  292. 292. HP12CPMT 693,711 f AMORT 20,40X y 673,31RLC PV 1366,89
  293. 293. Planilha

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