1. O documento introduz conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade clássica, frequência relativa e independência. 2. É apresentada a história do desenvolvimento da teoria das probabilidades desde os séculos XVII-XIX. 3. Conceitos como experimento probabilístico, evento, ponto amostral, eventos especiais como impossível e certo são definidos.

1. Probabilidade e
Estatística
ELEMENTOS DE PROBABILIDADE
1

2. Introdução à teoria das
probabilidades
Até meados do século XIX, a estatística baseava-
se, somente, na organização e apresentação dos
dados observados (Estatística Descritiva).
Somente com o desenvolvimento da teoria das
probabilidades que a estatística teve o seu
campo de ação ampliado
 Técnicas de amostragem mais adequadas e
formas de relacionar as amostras com as
populações de onde vieram (Inferência
Estatística).
2

3. Introdução à teoria das
probabilidades
A probabilidade é uma área “nova” da matemática, e tem
como finalidade a modelagem de fenômenos aleatórios.
Dependendo do fenômeno estudado, o modelo matemático
pode ser de dois tipos:
 Modelo Determinístico: Ao conhecer as variáveis de entrada
(condições do experimento), determinam-se as variáveis de
saída (resultados)
 Exemplo: Usando a expressão 𝑠 = 𝑣𝑡, se os valores “v” e “t” são
conhecidos, pode-se determinar o valor de “s”.
3

4. Introdução à teoria das
probabilidades
 Modelo probabilístico (aleatório): Mesmo conhecendo as
condições de experimento, não é possível determinar o seu
resultado. Neste modelo, é introduzido o componente
aleatório e, com isso, só é possível determinar a “chance” de
ocorrência de um resultado.
 Exemplo: Fenômenos da biologia.
 O nascimento de um bebê. Não é possível determinar o sexo do
embrião, somente a sua probabilidade de ocorrência: 0,5 para sexo
feminino e 0,5 para sexo masculino.
A modelagem de um experimento aleatório visa responder
três questões fundamentais:
 Quais as possíveis formas de ocorrência?
 Quais as chances de cada ocorrência?
 De que forma pode-se calcular isso?
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5. Estudo das probabilidades:
História
 Século XVII:
 Pascal e Fermat: resolver problemas relacionados com jogo de
azar.
 Século XVIII:
 Jacques Bernoulli (Arte das conjecturas) e Abraham de Moivre
(Doutrina das mudanças). Primeira dedução da distribuição
normal.
 Século XIX:
 Laplace (Teoria analítica das probabilidades): Estudo da área sobre
a curva normal e prova formal sobre o método dos mínimos
quadrados;
 Carl Friedrich Gauss: Estudo da distribuição dos erros de medida
com base na curva normal
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6. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Experimento probabilístico, ou aleatório:
 É toda experiência cujos resultados podem não ser os mesmo,
ainda que sejam repetidos sob condições idênticas.
Principais características:
 Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob
condições inalteradas;
 Embora não seja possível afirmar qual resultado ocorrerá, é
sempre possível descrever o conjunto de todos os possíveis
resultados;
 Quando um experimento é realizado repetidamente, os
resultados individuais parecem ocorrer de forma acidental;
mas se repetido por muito tempo, surge uma regularidade, ou
configuração definida.
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7. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Espaço amostral (S):
 É o conjunto de todas os possíveis resultados de um
experimento aleatório.
 Cada experimento aleatório está associado à um conjunto de
resultados possíveis.
Exemplos:
 𝑆1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → enumerável e finito;
 𝑆2 = 1, 2, 3, 4, … → enumerável e infinito;
 𝑆3 = 𝑡; 𝑡 ≥ 0 → contínuo e infinito.
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8. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Evento ou ocorrência:
 É todo conjunto particular de resultados d espaço amostral (S).
 Geralmente é designado por uma letra maiúscula (A, B, C).
 A todo evento será possível associas uma probabilidade.
Exemplo:
 Se S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; então, são eventos de S:
 A = 1, 2, 3 ;
 B = Ocorrência de números pares;
 C = {5}.
8

9. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Operações com eventos:
 Como o espaço amostral (S) e os eventos são conjuntos, as
mesmas operações realizadas para conjuntos são válidas para
eventos.
Exemplo:
 Se A e B são eventos de S, então:
 Ocorre A ∪ B, se ocorrer A ou B (ou ambos);
 Ocorre A ∩ B, se ocorrer A e B;
 Ocorre 𝐴, se ocorrer S, mas não ocorrer A;
 Ocorre A − B, se ocorrer A, mas não ocorrer B.
9

10. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Ponto Amostral:
 Qualquer resultado particular de um experimento aleatório.
 Todo espaço amostral e todo evento são constituídos por
pontos amostrais.
10

11. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Eventos especiais:
Evento impossível:
 Evento que nunca irá ocorrer, também conhecido pelo
conjunto vazio (∅).
Evento certo:
 Ocorre toda vez que se realiza o experimento, portanto, ele é o
próprio “S”.
11

12. Estudo das probabilidades:
Conceitos fundamentais
Eventos mutuamente exclusivos
 Dois eventos A e B associados a mesmo espaço amostral “S”,
são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um
impede a ocorrência do outro (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅)
Exemplos:
 Experimento 1: Lançamento de uma moeda.
S = {cara, coroa}. Se definirmos:
A = Ocorrência de cara
B = Ocorrência de coroa;
 Experimento 2: Lançamento de um dado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se definirmos:
A = Ocorrência de número ímpar A = {1, 3, 5}
B = Ocorrência de número maior que 4 B = {5, 6}
12
São mutuamente exclusivos
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Não são
mutuamente
exclusivos
𝐴 ∩ 𝐵 = {5}

13. Conceitos de probabilidade:
Clássico
Seja “E” um experimento aleatório e “S” o espaço amostral
associado, com n pontos amostrais, todos equiprováveis.
Se existe em “S” m pontos favoráveis à realização de um evento
“A”, então a probabilidade de A acontecer, indicada por P(A), será:
𝑃 𝐴 =
𝑚
𝑛
=
#𝐴
#𝑆
Para que essa expressão seja validada, deve-se atender a duas
pressuposições :
 O espaço amostral “S” é enumerável e finito;
 Os elementos de “S” são todos equiprováveis.
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14. Conceitos de probabilidade:
Clássico
Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta, duas vezes, e
observação da face superior.
 O espaço amostral S = {cc, ck, kc, kk}, e todos os seus pontos
amostrais são equiprováveis.
𝑝 𝑐𝑐 = 𝑝 𝑐𝑘 = 𝑝 𝑘𝑐 = 𝑝 𝑘𝑘 =
1
4
Definimos o evento: A = ocorrência de uma cara. Então:
𝐴 = 𝑐𝑘, 𝑘𝑐 𝑒 𝑃 𝐴 =
𝑚
𝑛
=
#𝐴
#𝑆
=
2
4
=
1
2
14

15. Conceitos de probabilidade:
Frequência relativa
Seja “E” um experimento aleatório de um “A” evento.
Se após n realizações do experimento “E” (sendo n
suficientemente grande), forem observados m resultados
favoráveis a “A”, então uma estimativa da probabilidade P(A) é
dada pela frequência relativa:
𝑓 =
𝑚
𝑛
Princípio estático da estabilidade: A medida que o número de
repetições n aumenta, a frequência relativa se aproxima de P(A).
O n deve ser suficientemente grande para que se obtenha um
resultado com a margem de erro razoável: f – P(A) = erro
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16. Conceitos de probabilidade:
Frequência relativa
Exemplo: Em Sobral, observaram-se 6 anos de seca no período de
1901-1966 (66 anos). Qual é a probabilidade de haver seca no
próximo ano?
R.: A frequência relativa “f” será uma estimativa da probabilidade de
ocorrer seca no próximo ano.
𝑓 =
𝑚
𝑛
=
6
66
=
1
11
16

17. Conceitos de probabilidade:
Conceito moderno
Se “A” é um evento do espaço amostral “S”, então o número
real P(A) será denominado probabilidade da ocorrência de “A” se
satisfizer os seguintes axiomas:
 Axioma 1: 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1;
 Axioma 2: 𝑃 𝑆 = 1;
 Axioma 3: Se A e B são eventos mutuamente
exclusivos de S, então:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
Nota-se que A e B são mutuamente exclusivos se, e somente se,
A ∩ 𝐵 = ∅.
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18. Teoremas para o cálculo de
probabilidades
 Teorema 1: Se ∅ é um evento impossível, então:
𝑃 ∅ = 0
 Teorema 2: Se 𝐴 é o complemento de A, então:
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)
 Teorema 3: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
 Teorema 4: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
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19. Probabilidade condicional e
independência
Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espaço
amostral “S”. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (𝐴 ∩
𝐵 = ∅), então A e B poderão ser eventos independentes ou
condicionados.
Para definir os dois tipos de eventos, utilizaremos, como
exemplo, um experimento aleatório.
Experimento: Uma caixa contém cinco bolas de mesmas
dimensões, sendo três azuis e duas brancas. Duas bolas são
retiradas uma a uma e a sua cor é observada. Definimos então
dois eventos:
𝐴1 = 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 é 𝑎𝑧𝑢𝑙
𝐴2 = 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 é 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎
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20. Eventos condicionados
Para esse caso, consideraremos que a primeira bola retirada não
é reposta (retirada sem reposição).
 Sendo o espaço amostral enumerável, finito e equiprovável,
podemos calcular a probabilidade dos eventos pelo conceito
clássico. Deste modo:
𝑃 𝐴1 =
#𝐴1
#𝑆
=
3
5
 Entretanto, a probabilidade do 𝐴2 acontecer vai depender da
ocorrência, ou não, do 𝐴1.
 Se ocorreu 𝐴1, então: 𝑃 𝐴2/𝐴1 =
#𝐴2/#𝐴1
#𝑆
=
2
4
;
 Se não ocorreu 𝐴1, então: 𝑃 𝐴2 =
#𝐴2
#𝑆
=
1
4
.
 A probabilidade condicional de A é denotada por P(A/B) =
probabilidade do evento A ocorrer, dado que já ocorreu o evento
B.
20

21. Eventos independentes
Para esse caso, consideraremos que a primeira bola retirada é
reposta (retirada com reposição).
 Sendo o espaço amostral enumerável, finito e equiprovável,
podemos calcular a probabilidade dos eventos pelo conceito
clássico. Deste modo:
𝑃 𝐴1 =
#𝐴1
#𝑆
=
3
5
 Como a primeira bola foi reposta, independente de ter ocorrido
ou não 𝐴1, a probabilidade de ocorrência de 𝐴2 será a mesma.
 Se ocorreu 𝐴1, então: 𝑃 𝐴2/𝐴1 =
#𝐴2/#𝐴1
#𝑆
=
2
5
;
 Se não ocorreu 𝐴1, então: 𝑃 𝐴2 =
#𝐴2
#𝑆
=
2
5
.
 Dois eventos quaisquer, A e B, são independentes quando a
ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do
outro, ou seja: P(A) = P(A/B) e P(B) = P(B/A)
21

22. Produto das probabilidades
Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵/𝐴 = 𝑃 𝐵 . 𝑃(𝐴/𝐵)
Se A e B são dois eventos independentes, então:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴/𝐵 𝑒 𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐵/𝐴)
Logo:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵
22

23. Exercícios
1 – Em 660 lançamentos de uma moeda (honesta), foram observadas
310 caras. Qual a probabilidade de, num outro lançamento dessa
moeda, obter-se coroa?
2 – Se os registros indicam que 504, das 813 máquinas de lavar
louças automáticas vendidas por uma loja, exigiram reparos dentro
da garantia dentro de um ano, qual é a probabilidade de uma
mesma lavadora dessa loja não exigir reparo dentro da garantia?
3 – Um grupo de pessoas é constituído do 60 homens e 40
mulheres. Sabe-se que 45 desses homens e 30 dessas mulheres
votaram numa determinada eleição. Tomando-se, aleatoriamente,
uma dessas pessoas, calcule a probabilidade de:
a) Ser homem; b) Ser mulher; c)ter votado; d) Ser mulher que
votou; e) Ser homem que não votou
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24. Variáveis aleatórias
Para melhor entendimento, segue o exemplo abaixo:
Lançamento de uma moeda honesta três vezes consecutivas e
observação do resultado em cada momento.
O espaço amostral desse experimento é:
S = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}
Como a moeda é honesta, a probabilidade de ocorrer cara é a
mesma de ocorrer coroa: 𝑃 𝑐 = 𝑃 𝑘 =
1
2
.
Para que ocorra o resultado três caras (ccc):
 É necessário que ocorram esses eventos sucessivamente, ou
seja, deve ocorrer a interseção desses três eventos.
 Como os lançamentos são independentes entre si, a
probabilidade de ocorrer cara é a mesma em todos eles.
24

25. Variáveis aleatórias
Logo, a probabilidade de ocorrer três caras P(ccc), é dada pelo
produto das probabilidades de ocorrer cara em cada lançamento:
𝑃 𝑐𝑐𝑐 = 𝑃 𝑐 . 𝑃 𝑐 . 𝑃 𝑐 =
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
=
1
8
De forma análoga, obtemos as probabilidades de todos os
demais resultados possíveis. Desta forma, podemos dizer que:
P(ccc) = P(cck) = P(ckc) = P(kcc) = P(ckk) = P(kck) = P(kkc) =
P(kkk) =
1
8
Observamos também que ao espaço amostral é formado pela
união dos eventos, que são todos mutuamente exclusivos. Sendo
assim, a probabilidade do espaço amostral, P(S), é dada pela
soma das probabilidades de cada evento.
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26. Análise combinatória
A seguir estão listados os principais assuntos.
 Notação fatorial: O produto dos inteiros positivos de 1 a n é
representado pelo símbolo especial n! (Lê-se “n” fatorial).
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1
0! = 1
8!
6!
=
8 𝑥 7 𝑥 6!
6!
= 8 𝑥 7 = 56
26

27. Análise combinatória
 Técnicas de contagem desenvolvidas para determinar, sem
enumeração direta, o número de elementos de um certo
conjunto, ou o número de resultados possíveis de um certo
experimento.
 Permutações: Grupos que se distinguem somente pela ordem
de seus elementos. A sua representação é dada por:
𝑃𝑛 = 𝑛!
 Arranjos: Grupos que se distinguem pela ordem e natureza de
seus elementos
 Utilizada em casos de retirada sem reposição do que foi retirado.
𝐴 𝑛,𝑥 =
𝑛!
𝑛 − 𝑥 !
(Lê-se: Arranjo de “n” elementos, tomados “x” a “x”)
27

28. Análise combinatória
 Combinação: Grupos que se distinguem somente pela
natureza dos seus elementos.
 Utilizado em situações em que há retirada com reposição do
elemento retirado
𝐶 𝑛,𝑥 =
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
(Lê-se: Combinação de “n” elementos, tomados “x” a “x”)
NOTE QUE, TANTO NO CÁLCULO DE ARRANJO QUANTO NO
CÁLCULO DE COMBINAÇÃO, O VALOR DE “x” SERÁ SEMPRE
MENOR QUE O DE “n”!
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29. Exercícios
1 – De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base
de proteínas, pretende-se fazer um prato com 5 desses itens, de forma
que contenha, ao menos, 2 proteínas. Qual o número máximo de
pratos distintos que se consegue fazer?
2 – Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um
recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e 2 salgados, dos 7
tipos existentes. Quantas são as diferentes possibilidades de se encher
o recipiente?
3 – Oito pessoas irão acampar e levarão 4 barracas. Em cada barraca
dormirão 2 pessoas. Quantas são as opções de distribuição dessas
pessoas?
4 – Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis.
Quantas disposições são possíveis, desde que os calçados do mesmo
tipo fiquem juntos, lado a lado, na sapateira?
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30. Exercícios
5 – Cruzeiro(MG), Flamengo(RJ), Atlético-MG(MG) e São Paulo(SP)
disputam um campeonato.
a) Levando-se em consideração os clubes, de quantas maneiras
diferentes pode terminar o campeonato?
b) E, levando-se em consideração a Unidade da Federação dos
Clubes?
6 – Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas,
não importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes
possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte desse
grupo?
7 – Se enfileirarmos 3 dados iguais e observamos o valor visto da face
superior, obteremos quantos agrupamentos possíveis?
8 – Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas,
frangos e frangas. No entanto, só existe espaço para 10 aves no
poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ficar empoleiradas,
sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?
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31. Exercícios
9 – Quantos anagramas podemos formar com a palavra
CALOUROS, sabendo que sempre haja a sequência OURO, nesta
ordem, e as letras C e S nunca estarão juntas, qualquer que seja a
ordem entre elas?
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