Teoria de Probabilidades-2021.pptx

Gráfico de linhas
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45
1---3 4 ---6 7---9
Series1
 Gráfico de linhas
Economia e Gestão
P
10/03/2023 Dr. Fernando de Oliveira 1

Teoria elementar de
probabilidades
Introdução
Um dos instrumentos fundamentais para a compreensão
da estatística em geral, é o conhecimento e o
manuseamento das PROBABILIDADES.
 O conhecimento das probabilidades, conferem a
capacidade para mergulharmos na análise inferencial
com profundidade, uma vez que a indução assenta no
facto de provarmos se uma probabilidade(P), lida numa
tabela de valores críticos, tal como veremos adiante.
Isto tem por base essencial, o conceito de probabilidade
de THOMAS BAYES.

Continuação
 Desde o século XVII, e com base nos jogos de azar,
desenvolveram-se procedimentos para prever os
resultados desses jogos. A criação da Teoria de
probabilidades fica a dever-se a Pascal (1623-1695),
Fermat (1608-1665) e huygen (1629-1695).
 Posteriormente foi desenvolvido o procedimento de
Cálculo de probabilidades através da contribuição
de Laplace .

Continuação
 No estudo das probabilidades estamos interessados em
estudar o experimento aleatório, isto é, aquele cujo
resultado é incerto, embora o conjunto de resultados
possíveis seja conhecido.
 Por exemplo, lançar um dado ou uma moeda e
observar o resultado obtido constituem um
experimento aleatório. Da mesma forma, sortear uma
bola de um conjunto de bolas numeradas de 1 a 100
também é um experimento aleatório.
 Em termos gerais, a probabilidade determina a
possibilidade de ocorrer um determinado resultado.

Espaço Amostral (Ω)
Espaço Amostral (Ω): é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
 Lançamento de uma moeda: Ω = {c, k} sendo c = cara e k =
coroa
 Lançamento de duas moedas: Ω = { c c, c k, k c, k k }
 Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
 Retirada de uma carta do baralho:
 Ω = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () }
10/03/2023
Dr. Fernando de Oliveira 5

Evento ou Acontecimento
A cada experimento está associado um resultado obtido, não
previsível, chamado evento. Um evento é qualquer subconjunto
de um espaço amostral, sendo representados por letras
maiúsculas A, B, C, D, etc.
Exemplo:
Lançam-se dois dados. Enumerar o espaço amostral e
depois os seguintes eventos:
 A: saída de faces iguais
 B: saída de faces cuja soma seja igual a 10
 C: saída de faces cuja soma seja menor que 2
 D: saída de faces cuja soma seja menor que 15
 E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra
 F: saída de faces desiguais
10/03/2023

 Solução: O espaço amostral desses eventos (todos os
resultados possíveis de serem obtidos no lançamento dos
dois dados) está descrito na tabela a seguir:
 Tabela 1 – espaço amostral ( Ω) no lançamento de
dois dados
D1/D2 1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 ,2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Eventos:
 A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
 B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
 C = { } (evento impossível)
 D = Ω (evento certo)
 E = {(1,2), (2,4), (3,6), (2,1), (4,2), (6,3)}
 F = D – A
 Obs: Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável,
todo subconjunto poderá ser considerado um evento. Pode-se
demonstrar que se  contiver n elementos , existirão exatamente
2n subconjuntos (eventos).

Exemplo:
 Considere um espaço amostral finito:  = {A, B, C, D}.
 Os subconjuntos do espaço amostral são:
 {, {A}, {B}, {C}, {D}, {A,B},{A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D},
{A,B,C}, { A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}, {A,B,C,D}}.
 Observa-se que 24 = 16 é o número de total de eventos
extraídos de .

Tipos de eventos
Evento certo
 É aquele que ocorre em qualquer experimento aleatório
 Exemplo: No lançamento de uma moeda , com certeza sairá
sempre as faces “cara” ou “coroa”.
Evento impossível
 É aquele que nunca ocorrerá em um experimento aleatório
 Exemplo: Sair a face 7 no lançamento de um dado.
Evento complementar
 O evento complementar de A é formado pelos elementos de Ω que
não pertencem a A (representa-se por Ā).

 Exemplo: Se Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = { 1, 3, 5} então Ā =
{2, 4, 6}
 𝐴= { x  Ω | x  A }
A
A

Evento união (  ) ou soma:
 Se A e B são dois eventos , o conjunto união (A  B)
representa a ocorrência do evento A ou do evento B ou de
ambos os eventos.
 Exemplo: Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então
 A  B = {1, 2, 4, 5, 6}.
A  B = { x  Ω | x  A ou x  B}

Evento intersecção (  ) ou produto
Se A e B são dois eventos, o conjunto intersecção ( A  B)
representa a ocorrência de ambos os eventos A e B
simultaneamente.
Exemplo:
Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A  B = {5}.
A  B = { x  Ω | x  A e x  B}
A  B representa a ocorrência do evento A e do evento B
simultaneamente
 Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos
 Quando A  B =  os eventos são mutuamente exclusivos.
 Exemplo:
 Se A = {1, 2, 5, 6} e B = {4, 7} então A  B = { }.

Nota
 Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então
 n(A  B) = n(A) + n(B)
 Se A e B são conjuntos finitos, não disjuntos ou não mutuamente
exclusivos, então
 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
 Exemplo:
 conjunto finito A = { a, b, c }; n(A) = 3
 conjunto finito B = { d, e, f, g }; n(B) = 4 e A  B={}
 n(A  B) = n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7
 conjunto finito A = { 1, 2, 3, 4}; n(A) = 4
 conjunto finito B = {2, 4, 5, 6, 8, 9); n(B) = 6 eA  B={2,4} logo
n(A  B)=2
 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) = 4 + 6 – 2 = 8
 Nesse caso os conjuntos A e B não são disjuntos, pois têm
elementos em comum (2 e 4).

Exemplo
 Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se
uma bola ao acaso e observa-se o número indicado.
Descrever os seguintes conjuntos e dar o número de
elementos de cada um.
a) O espaço amostral Ω
b) O evento A: o número da bola é ímpar
c) O evento B: o número da bola é maior que 6
 Solução:
a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; o número de elementos
desse conjunto é n(Ω) = 10
b) A = { 1, 3, 5, 7, 9) ; n(A) = 5
c) B = { 7, 8, 9, 10} ; n(B) = 4
10/03/2023

Algumas Propriedades das
operações com eventos aleatórios
 Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral
Ω. As seguintes propriedades são válidas:
1. LEIS DE MORGAN
 
  B
A
B
A
B
A
B
A






2. IDEMPOTENTES
A  A = A
A  A = A
3. COMUTATIVAS
A  B = B  A
A  B = B  A

Definição de probabilidade
 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a
probabilidade de ser um “rei de copas”?
R:Nesse caso, a probabilidade é de 1 em 52 ou de 1/52. A
probabilidade de ser retirada ao acaso qualquer uma das outras
51 cartas do baralho é 1/52.
 Considere um experimento aleatório em que cada um dos n
eventos simples do Ω a chance de ocorrência é a mesma.
Nesse caso dizemos que Ω é um espaço equiprovável e que
a probabilidade de cada evento é 1/ n.
 Podemos ampliar essa definição de probabilidade de
um evento simples para probabilidade de um evento
qualquer

Definição clássica
Por definição:
 𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 Sendo n(Ω) o número de elementos do espaço amostral e
n(A) o número de elementos do evento A  .
 A probabilidade deve assumir um valor entre 0 e 1, como
número decimal, fração ou porcentagem:

Definição frequencista
 Define-se como probabiblidade frequencista de um
fenómeno (A), a ocorrência n(A) desse fenómeno em 𝑛(Ω)
tentativas possíveis, multiplicando por uma constante com
valor igual a 𝟏𝟎𝟎% , isto é;
𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏(𝜴)
× 𝟏𝟎𝟎%

Axiomas
 A probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas
 1. Axioma: A probabilidade de ocorrência de um dado fenómeno é
sempre um número real não negativo.
 𝑷(𝑨) > 𝟎
 2. Axioma: A probabilidade de ocorrência de um dado fenómeno
é um número real não negativo, igual ou menor que a unidade
 𝟎 < 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
 3. Axioma: A probabilidade da não ocorrência de um dado
fenómeno insucesso é igual a zero
 𝑷 𝑨 = 𝟎
 4. Axioma: A probabilidade da ocorrência de um dado fenómeno
sucesso é igual a unidade
 𝑷 𝑨 = 𝟏

Exercícios
 No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se
obter
 o número 2
 um número par
 um número múltiplo de 3
 Solução:
 a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, portanto n(Ω) = 6 espaço amostral
 ocorrência do número 2: A = { 2 }, portanto n(A) = 1
 P(A) = n(A) / n(Ω) = 1/ 6 = 0,1666... = 16,66...%
 b) ocorrência do número par: B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3
 P(B) = n(B) / n (Ω ) = 3/ 6 = 1 / 2 = 0,50 = 50%
 C) ocorrência de número múltiplo de 3: C = {3, 6}, logo n( C) = 2
 P(C ) = n(C ) / n (Ω ) = 2 / 6 = 1 / 3 = 0,333 = 33,33%

Extrações com reposição e sem
reposição
 Muitas situações práticas podem ser comparadas com
extrações sucessivas de bolas de uma urna (como
selecionar peças de uma produção ou indivíduos de uma
população). Essas extrações podem ser realizadas com
reposição ou sem reposição:
1. com reposição
 cada bola retirada é devolvida à urna antes da extração
da bola seguinte
2. sem reposição
 uma bola retirada não é devolvida à urna.

Exemplo:
 De um baralho de 52 cartas tiram-se sucessivamente, sem
reposição, duas cartas.
 Determinar:
 a probabilidade de tirar dama na primeira carta
 a probabilidade de tirar dama na segunda carta
 a probabilidade de tirar naipe de ouros na segunda carta
solução
•número de cartas do baralho na 1a extração: n() = 52
número de damas no baralho na 1a extração: n(Q) = 4
P(D1 ) =
52
4
)
(
)
(


n
Q
n

Cont...
•número de cartas do baralho na 2a extração: n() = 51
porque tirou-se a primeira e não fez-se reposição
número de damas no baralho na 2a extração: n(Q) = 3
P(D2 ) =
 se a 1a carta retirada foi de ouros: P() = 12/51
 se a 1a carta retirada não foi de ouros: P() = 13/51
51
3
)
(
)
(


n
Q
n

Leis da Probabilidade
 1. Probabilidade de um evento (A) não
ocorrer
 Se P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, então
 P(Ā) = 1 – P(A)
 Esse evento é o complementar ao evento A .
 Logo P(A) + P(Ā) = Ω = 1
 Exemplo:
 Qual a probabilidade de não se pegar um “A” de um baralho
de 52 cartas.
 P(Ā) = 1 – P(A) = 1 –
4
52
=
48
52
× 100% = 92,3%

 2. Probabilidade de um evento (A) ou outro
evento (B) ocorrer
 Duas situações podem ocorrer:
 Se dois eventos forem mutuamente exclusivos (A e B não
podem ocorrer juntos):
𝑷 𝑨 𝒐𝒖 𝑩 = 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨 + 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)
Ou
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨 + 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)
 Se dois eventos não forem mutuamente exclusivos (A e B
podem ocorrer juntos):
P(A ou B) = P(A  B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Exemplo
 Retirando-se uma carta do baralho, qual a probabilidade
a) que a carta seja de ouros ou de espadas
b) que a carta seja de ouros ou seja um “A”
 Solução:
 Uma carta de ouros e uma carta de espadas não podem
ocorrer ao mesmo tempo. Os eventos são, portanto,
mutuamente exclusivos
 A: retirada de uma carta de ouros
 B: retirada de uma carta de espadas
 P(A) =
13
52
=
1
4
 P(B) =
13
52
=
1
4
⟹P(A ou B) = P(A) + P(B)
 P(A ou B) =
1
4
+
1
4
=
1
2
× 100% = 50%10/03/2023 Dr. Fernando de Oliveira 27

 b)Seja.
 A: retirada de uma carta de ouros
 B: retirada de um “A “
 P(A) = 13/52
 P(B) = 4/52
 Existe uma carta no baralho que é tanto um “A “ quanto
de ouros. Nesse caso, A e B não são mutuamente
exclusivos
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
 P(A ou B) = 13/ 52 + 4/ 52 – 1/ 52 = 16/ 52 = 4/ 13

 3.Probabilidade de um evento (A) e outro
evento (B) ocorrer
 Duas situações podem ocorrer:
i) Se dois eventos forem independentes (a seleção do evento A
não altera a composição do evento B)
𝑷 𝑨 𝒆 𝑩 = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)
ii) Se dois eventos não forem independentes (a seleção do
evento A altera a composição do evento B )
P(A e B) = P(A) * P(B|A) , sendo P(BA) a
probabilidade de B, dado que A ocorreu.

Exemplo:
 Foram retiradas duas cartas do baralho.
a) qual a probabilidade que saiam duas cartas de ouros?
b) Se a primeira carta de ouros foi devolvida, qual a
probabilidade que a segunda seja também de ouros?
Solução:
 Seja A: retirada de uma carta de ouros
 Seja B: retirada da segunda carta de ouro
 a) -A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4
-A segunda carta de ouros tem P(BA) = 12/ 51
- Os eventos não são independentes
Então P(A e B) = P(A) * P(BA) =
1
4
×
12
51
=
12
204
=
3
51
× 100% = 5,9%

 b) -A primeira carta de ouros tem P(A)=13/52= 1/4
-A segunda carta de ouros tem P(B)= 13/52=1/4
- Os eventos são independentes
Então
P(A e B) = P(A) ×P(B) =
𝟏
𝟒
×
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟏𝟔
× 𝟏𝟎𝟎% =
𝟔, 𝟐𝟓%

Probabilidade condicional
 Sendo conhecido o espaço amostral de um experimento
aleatório, suponha que um determinado evento ocorreu. Tal
evento pode modificar o cálculo da probabilidade de um
segundo evento qualquer? Por outro lado, podemos ter
interesse em calcular a probabilidade de um evento não em
relação a todo espaço amostral, mas em relação a um outro
conjunto de condições?
 O estudo da probabilidade desses eventos chamamos de
probabilidade condicional.

Conceito clássico de probabilidade condicional
A probabilidade condicional é um conceito da probabilidade
que envolve dois eventos de forma que estuda a probabilidade
de o evento A ocorrer, sabendo que o evento B já ocorreu.
Considere dois eventos A e B em um espaço amostral Ω , não
vazio. A probabilidade de A condicionada a B, ou seja, a
probabilidade de A ocorrer sabendo que B já ocorreu, é dado
por:
P(A/B)=
𝑃(𝑨∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 Tiramos da definição da probabilidade condicional o
chamado Teorema do Produto:
 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴/𝐵)

Exemplos:
1. Em uma caixa contém 50 bolas de diferentes tamanhos e
cores, conforme a tabela a seguir:
Cor Grande Média Pequena Total
Azul 3 5 7 15
Branca 5 6 8 19
Vermelha 4 9 3 16
Total 12 20 18 50

Achar a probabilidade de ser sorteada uma bola
vermelha, quando se sabe que a bola retirada é
pequena.
Solução:
n(Ω) = 50 n(V) = 16 n(Pe) =v18 n(V  Pe) = 3
   
 
   
 
   
 
  %
67
,
16
1667
,
0
18
3
50
18
50
3
50
3
;
50
18
;
50
16















VlPe
P
n
Pe
V
n
Pe
V
P
n
Pe
n
Pe
P
n
V
n
V
P

Disciplina
Sexo
F Q Total
H 40 60 100
M 70 80 150
Total 110 140 250
2. Considere a tabela a seguir, que relaciona disciplina X sexo de
uma faculdade.
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que
esteja cursando química, dado que é mulher?
Solução:
   
  150
80
250
150
250
80
. 



M
P
M
Q
P
M
Q
P

3.
× 100%
Determinar a probabilidade da jogada de um dado resultar
em um número menor que 4, sabendo-se que o resultado é
um número ímpar.
Solução:
Seja A: “sair um número menor que 4” e B: “sair um
número ímpar”
Então
 
  3
2
6
3
6
2
(
/ 



B
P
B
A
P
B
A
P

Teorema da Probabilidade
Total
Seja 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 eventos que formam uma partição do
espaço amostral. Seja B um evento desse espaço.
Então
𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨𝟏 ∪ 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨𝟐 … 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨𝒏 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷(𝑩 ∩ 𝑨𝒊)
𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑩/𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑷 𝑩/𝑨𝟐 + ⋯ + 𝑷 𝑨𝒏 𝑷 𝑩/𝑨𝒏
=
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷 𝑨𝒏 𝑷 𝑩/𝑨𝒏
...+

Exemplo:
 Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda
urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso,
uma urna e dela retira-se uma bola. Qual a probabilidade de ser
branca?
 𝑃 𝐼 =
1
2
𝑃 𝐵/𝐼 =
3
5
 𝑃 𝐼𝐼 =
1
2
𝑃 𝐵/𝐼𝐼 =
4
6
=
2
3
 𝑷(𝑰) ∗ 𝑷(𝑩 / 𝑰) =
1
2
∗
3
5
=30% e P(II)*P(B/II)=
𝟏
𝟐
.
𝟐
𝟑
=33,3%
 Logo a probabilidade de ser bola branca será:
 P(B) = P(I)*P(B / I) +P(II)*P(B/II)= 𝟑𝟎% + 𝟑𝟑, 𝟑% = 𝟔𝟑, 𝟑%
ou
 P(B) = P(I)*P(B / I) +P(II)*P(B/II)=
𝟏
𝟐
.
𝟑
𝟓
+
𝟏
𝟐
.
𝟐
𝟑
=
𝟏𝟗
𝟑𝟎
× 𝟏𝟎𝟎% = 𝟔𝟑, 𝟑%

Teorema de Bayes
O teorema de Bayes relaciona uma das parcelas
da probabilidade total com a própria
probabilidade total.
Considerando a figura anterior , conhecido P(Aj)
e P(B/Aj) e j = 1,2,...,n
     
   
n
j
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
A
P
j
n
i
j
j
j
j ,...,
2
,
1
,
.
.
1





Exemplo
 Considere duas caixas A e B: A caixa A contém 3 garrafas e 5
de coca cola e a caixa B contém 4 garrafas de sumo e 6 de coca
cola.Escolhe-se uma caixa ao acaso e dela tira-se uma
garrafa.Determine a seguinte probabilidade:
 Ter sido retirada da caixa A, sabendo que é de sumo.
 Resolução: P(A / S)=
P(A).P(S/A )
P(S)
. 𝟏𝟎𝟎%
 Pelo teorema de probabilidades totais:
 P(S)=
31
80
;P(S/A )=
3
8
e P(A )=
1
2
,
 logo: P(A / S)=
1
2
.
3
8
31
80
. 𝟏𝟎𝟎% =
15
31
. 𝟏𝟎𝟎%

Exemplo:
 A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B
contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda, se der
cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa , extrai-se
uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a
probabilidade de ter saído cara no lançamento?
 Solução: Queremos: P(C/V)
 𝑃 𝐶 =
1
2
; 𝑃 𝐾 =
1
2
; 𝑃 𝑉/𝐶 =
3
5
; 𝑃 𝑉/𝐾 =
2
10
 Pelo teorema da probabilidade total:
 P(V) = P(C  V) + P(K  V)
 P(V) = P( C) . P(V/C) + P(K) . P(V/K)=
1
2
.
3
5
+
1
2
.
2
10
=
4
10
 Calculando agora P(C/V)=
𝟑
𝟏𝟎
𝟒
𝟏𝟎
. 𝟏𝟎𝟎% =
3
4
. 100% = 75%

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