Probabilidades de eventos em experimentos aleatórios

 Um grupo de amigos, entre os quais Marcos e
Paula, promoveu uma rifa, em que concorreram
25 bilhetes, numerados de 1 a 25.

 No dia do sorteio, Marcos e Paula resolveram
fazer uma aposta particular. Cada um daria um
palpite sobre o número a ser sorteado, e
ganharia a aposta quem mais se aproximasse
dele.

 Marcos pediu para ser o primeiro a opinar, e
escolheu o 18. Paula estranhou o palpite do
amigo e, depois de pensar um pouquinho,
escolheu o número que lhe daria mais chances
de ganhar a aposta.

 Marcos fez uma boa aposta? Que número ele
deveria ter escolhido, já que Paula iria dar o seu
palpite em seguida? Que número Paula
escolheu? Por que ela tem mais chances de
ganhar que Marcos?

 Desde a antiguidade, o homem tem se ocupado
com a análise de problemas que envolvem o
acaso.

 Foi nos jogos de azar, envolvendo principalmen-
te dados e cartas, que teve origem a teoria das
probabilidades.

 O monge italiano Luca Pacioli parece ter sido o
primeiro a dar um tratamento matemático ao
cálculo das probabilidades.

 Pouco mais tarde, o também italiano Girolamo
Cardano apresentou regras básicas para o
cálculo de chances de se obter um certo
resultado no lançamento de dados.

 A sistematização da teoria das probabilidades
ocorreu com Blaise Pascal, Pierre de Fermat e
Christiaan Huygens.

 A teoria das probabilidades se ocupa do estudo
dos experimentos aleatórios.

 São experimentos de resultado imprevisível,
determinado apenas pelo acaso, embora se
conheçam seus possíveis resultados.

 O lançamento de um dado é um experimento
aleatório. Os possíveis resultados são conhecidos
(1, 2, 3, 4, 5 ou 6), mas não podemos prever qual
deles ocorrerá, num certo lançamento.

 O sorteio das seis dezenas da Mega-Sena é um
experimento aleatório. Conhecemos os possíveis
resultados (inteiros de 1 a 60), mas é impossível
prever-se, antecipadamente, quais serão as
dezenas sorteadas.

 A definição do ganhador de uma corrida de 100
metros rasos não é um experimento aleatório.
Apesar de conhecermos os possíveis ganhadores,
o resultado do experimento não é determinado
apenas pelo acaso, mas também pelo preparo e
competência do atleta.

 Estuda os meios de se obter, numericamente ou
percentualmente, a chance (probabilidade) de
ocorrer um determinado resultado, em um
experimento aleatório.

 Chamamos de espaço amostral de um experimento
aleatório o conjunto de todos os resultados
possíveis que ele pode ter.

 Em geral, representamos o espaço amostral de um
experimento aleatório por E, e o número de
elementos do espaço amostral E, por n(E).

Exemplos

 No lançamento de um dado, o espaço amostral
é
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(E) = 6.

 Ao se lançar uma moeda duas vezes, se
indicarmos cara por k e coroa por c, o espaço
amostral é

E = {(k, k), (k, c), (c, k), (c, c)} ⇒ n(E) = 4.

 Dizemos que um espaço amostral é
equiprovável, se todos os seus elementos têm a
mesma chance ou probabilidade de ocorrer.
Caso contrário, dizemos que o espaço amostral é
não-equiprovável.

 Numa urna, há sete bolas, numeradas de 1 a 7. Entre
elas, uma é branca, duas são vermelhas e quatro são
azuis. Achar os espaços amostrais associados aos
experimentos aleatórios a seguir, e classificá-los com
equiprováveis ou não-equiprováveis:

E1 → retirar uma bola e anotar seu número.
E2 → retirar uma bola e anotar sua cor.

 Numa urna, há sete bolas, numeradas de 1 a 7. Entre
elas, uma é branca, duas são vermelhas e quatro são
azuis. Achar os espaços amostrais associados aos
experimentos aleatórios a seguir, e classificá-los com
equiprováveis ou não-equiprováveis:

E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → Espaço amostral
Equiprovável

E2 = {branca, vermelha, azul} → Espaço amostral
não-equiprovável

 Um conjunto qualquer de resultados desejados em
um experimento aleatório é chamado de evento.

 Num dado experimento, o espaço amostral é
único. Podemos associar a ele vários eventos,
dependendo dos resultados que nos interessam,
relativos ao experimento.

 O número de elementos de um evento A qualquer
é indicado por n(A).

 Sorteia-se um inteiro de 1 a 9. Obter o espaço
amostral e os eventos associados a esse espaço
amostral A:”resultado ímpar” e B:”resultado menor
que 4”.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⇒ n(E) = 9.

A = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A) = 5.

B = {1, 2, 3} ⇒ n(B) = 3.

 Anotam-se os dois números obtidos em dois
lançamentos consecutivos de um dado. Achar o
número de elementos do espaço amostral e do
evento A:”soma maior que 9”.

n(E) = 36 → (6x6), veja os seus elementos

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

 Anotam-se os dois números obtidos em dois
lançamentos consecutivos de um dado. Achar o
evento A:”soma maior que 9”.

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

n(A) = 6

 Numa festa, há 9 pessoas, sendo 5 homens e 4
mulheres. Vemos considerar o experimento
“escolher, ao acaso, 4 dessas pessoas” e o evento
A:”exatamente duas das pessoas escolhidas serem
mulheres”. Obter o número de elementos do espaço
amostral e do evento.

A9,4 9.8.7.6
n(E) = C9,4 = = = 126
4! 4.3.2.1

5.4 . 4.3
n(A) = C5,2 . C4,2 = = 60
2 2

 Vamos considerar o experimento “formar um
anagrama da palavra ALUNO” e o evento B:”o
anagrama escolhido começa por consoante”. Obter o
evento.

n(E) = P5 = 5.4.3.2.1 = 120

Cons.

2
P4

n(B) = 2.P4 = 2 . 4.3.2.1 = 48

 Vamos aprender, agora, a calcular a
probabilidade (chance) de ocorrer um evento,
num espaço amostral equiprovável.

 Normalmente uma probabilidade é expressa por
uma fração ou uma porcentagem.

 Considere o experimento “sortear um número
inteiro de 1 a 5” e o evento a ele associado
A:”resultado maior que 3”.

E = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(E) = 5
A = {4, 5} ⇒ n(A) = 2

O evento A tem 2 chances em 5 de ocorrer.

n(A) 2
p(A) = = = 0,4 = 40 %
n(E) 5

 De modo geral, se E é um espaço amostral
equiprovável e A é um evento contido em E, a
probabilidade de ocorrer o evento A é definida
assim:

n(A)
p(A) =
n(E)

 No lançamento de um dado, determinar a
probabilidade de se obter:
o número 5;
um número ímpar.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(E) = 6

A: “obter resultado 5” → A = {5} e n(A) = 1

n(A) 1
p(A) = = = 0,167 = 16,7 %
n(E) 6

 No lançamento de um dado, determinar a
probabilidade de se obter:
o número 5;
um número ímpar.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(E) = 6

B: “um número ímpar” → B = {1, 3, 5} e n(B) = 3

n(B) 3
p(B) = = = 0,5 = 50 %
n(E) 6

 Marcos apostou com um colega que, ao jogar uma
moeda 3 vezes, sairia cara 2 vezes. Ele fez uma
boa aposta?
E = {kkk, kkc, kck, kcc, ckk, ckc, cck, ccc}
→ n(E) = 8

A: “sair cara duas vezes” ⇒ A = {kkc, kck, ckk}

→

n(A) 3
p(A) = = = 0,375 =
n(E) 8

 Uma sala de aula tem 48 estudantes, sendo 27 do
sexo feminino. Será sorteado, ao acaso, um dos
estudantes para representar a sala numa reunião
com a diretoria. Qual é a probabilidade de ser
sorteado um homem?
n(E) = 48

A: “sortear um homem” ⇒ n(A) = 21

n(A) 21
p(A) = = = 0,4375 = 43,75 %
n(E) 48

 Um pequeno partido político deve escolher, entre 6
mulheres e 4 homens, quatro pessoas para se
candidatarem ao cargo de deputado federal nas
próximas eleições. Se todos têm a mesma chance,
qual é a probabilidade de os escolhidos serem 3
mulheres e 1 homem?
10.9.8.7
n(E) = C10,4 = = 210
4.3.2.1
6.5.4 .
n(A) = C6,3 . C4,1 = 4 = 80
3.2.1

n(A) 80
p(A) = = = 0,381 = 38,1 %
n(E) 210

 Utilizando-se apenas os algarismos 2, 4, 5, 6 e 8,
formam-se todos os números possíveis de 4
algarismos distintos. Escolhendo-se um deles ao
acaso, qual é a probabilidade de o escolhido ser
um número ímpar e maior que 6 000?
n(E) = A5,4 = 5.4.3.2 = 120

6 ou 8 5 n(B) = 2.3.2 = 12
2 3 2

n(B) 12
p(B) = = = 0,1 = 10 %
n(E) 120

 Vamos considerar o experimento aleatório
“lançamento de um dado”. Vamos considerar os
eventos A:”resultado maior que 6” e o evento
B:”resultado menor que 7”.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(E) = 6

A: “resultado maior que 6” → A = ∅ e n(A) = 0

n(A) 0
p(A) = = =0
n(E) 6

 Dizemos que A é um evento impossível

 Vamos considerar o experimento aleatório
“lançamento de um dado”. Vamos considerar os
eventos A:”resultado maior que 6” e o evento
B:”resultado menor que 7”.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(E) = 6

B: “resultado menor que 7” → B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(B) = 6
n(B) 6
p(B) = = = 1 = 100 %
n(E) 6

 Dizemos que B é um evento certo

 A probabilidade de ocorrer um evento não pode
ser um número real qualquer. Ela pode variar de
um mínimo igual a zero (caso do evento
impossível) até um máximo igual a 1 (caso do
evento certo).

0 ≤ p(A) ≤ 1 ou 0 ≤ p(A) ≤ 100%

 A soma das probabilidades de todos os eventos unitá-
rios distintos de um espaço amostral (equiprovável ou
não) é igual a 1.

 Sorteia-se um número inteiro de 1 a 4. Qual é a
probabilidade para cada possível resultado?

O espaço amostral é equiprovável. E = {1, 2, 3, 4}

Se x é a probabilidade de ocorrer cada um dos
eventos unitários, temos

x+x+x+x=1 ⇒ 4x = 1 ⇒ x = 1/4

⇒ x = 0,25 ou 25%

 Imagine um dado viciado, em cujo lançamento a
chance de o resultado ser 2 é o triplo da chance de
sair qualquer dos outros resultados. Qual é a
probabilidade para cada número?

O espaço amostral é E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ele é não
equiprovável

Se a probabilidade para os resultados 1, 3, 4, 5 e 6
é x, a probabilidade para o resultado 2 é 3x.

x + 3x + x + x + x + x = 1 ⇒ 8x = 1

⇒ x = 1/8 ⇒ x = 0,125 ou 12,5%
⇒ 3x = 37,5%

 Chama-se evento complementar de A (Ᾱ ), o
evento definido por Ᾱ = E – A.

E
A
Ᾱ Ᾱ =E–A

p(A) + p(Ᾱ ) = 1 ⇒ p(Ᾱ ) = 1 – p(A)

 Na prática Ᾱ é a negação do evento A.

 No sorteio de um número de 1 a 5, suponhamos o
evento A:”resultado par”. Determinar Ᾱ, evento
complementar de A.

O espaço amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5}

Evento ”resultado par”: A = {2, 4}

Evento complementar “resultado ímpar”:

Ᾱ =E–A

Ᾱ = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4} = {1, 3, 5}

 Se a probabilidade de ocorrer um evento A é de
42%, então a probabilidade de ele não ocorrer é
de 100% – 42% = 58%.

 De acordo com as estatísticas do atual campeonato
brasileiro de futebol, a probabilidade de o time A
ganhar do time B é de 37%. Logo, a probabilidade
de ocorrer empate ou B ganhar de A é de 100% –
37% = 63%.

 Em certas situações práticas, queremos obter a
probabilidade de ocorrer um evento A, sabendo
antecipadamente que ocorreu um outro evento
B. Trata-se da probabilidade condicional.

 Nesse caso, calculamos a probabilidade de A
ocorrer, considerando o evento B, que já
ocorreu, como sendo o espaço amostral.

 Retirei ao acaso uma carta de um baralho, e
constatei que ela era de paus. Qual a
probabilidade de ela ser uma figura (J, Q ou K)?

O espaço amostral E:“cartas de paus” → n(E) = 13

Evento A:“retirar uma figura” → n(A) = 3

n(A) 3
p(A) = =
n(E) 13

 O número de crianças adolescentes e adultas
numa festa é definido pelo quadro a seguir. Uma
das pessoas foi sorteada, ao acaso, para receber
um prêmio, e constatou que era mulher. Qual a
probabilidade de ela não ser criança?
Crianças Adoslec. Adultos

Homens 6 9 8

Mulheres 8 7 10

Evento A:“sorteado adolesc. ou adulto” → n(A) = 17

n(A) 17
p(A) = =
n(E) 25

 Vamos considerar o experimento “lançamento
de um dado” e os eventos A:”resultado par” e
B:”resultado maior que 4”.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

Definem-se os eventos A ∪ B e A ∩ B.

A ∪ B = {2, 4, 5, 6} e A ∩ B = {6}

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

 Vamos considerar o experimento “lançamento
de um dado” e os eventos A:”resultado par” e
B:”resultado maior que 4”.

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) : n(E)

n(A∪B) n(A) n(B) n(A∩B)
= + –
n(E) n(E) n(E) n(E)

P(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)

 Se A ∩ B = ∅. Então, p(A∪B) = p(A) + p(B)

 Sorteia-se um número de 1 a 9. Qual é a
probabilidade de o número sorteado ser ímpar ou
múltiplo de 4?
E = {1, 2, ..., 9} → n(E) = 9

“número sorteado ímpar” A = {1, 3, 5, 7, 9} → n(A) = 5

“número sorteado M(4)” B = {4, 8} → n(B) = 2

A∩ B=∅ → n(A ∩ B) = 0

5 2 7
P(A∪B) = p(A) + p(B) = + =
9 9 9

 Numa urna, há 9 bolas pesadas, sendo 6
vermelhas e 3 azuis, e 11 bolas leves, sendo 2
vermelhas e 9 azuis. Retirando-se uma das bolas
ao acaso da urna, qual é a probabilidade de ela ser
leve ou azul?
E = conjunto de todas as bolas → n(E) = 20
A:“retirar bola leve” → n(A) = 11
B:“retirar bola azul” → n(B) = 12
A ∩ B:”retirar bola leve e azul” → n(A ∩ B) = 9

11 12 9 14
P(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) = + – =
20 20 20 20

 De um grupo de 7 estudantes, entre os quais Vera
e Edu, deve-se escolher, aleatoriamente, uma
comissão de 4 pessoas, para representar um
trabalho de sala. Qual é a probabilidade de Vera ou
Edu participarem da comissão?
7.6.5.4
n(E) = C7,4 = = 35
4.3.2.1

A:“Vera participar da comissão”

6.5.4 20
n(A) = C6,3 = = 20 → P(A) =
3.2.1 35


7.6.5.4
n(E) = C7,4 = = 35
4.3.2.1

B:“Edu participar da comissão”

6.5.4 20
n(B) = C6,3 = = 20 → P(B) =
3.2.1 35


7.6.5.4
n(E) = C7,4 = = 35
4.3.2.1

A∩B:“Vera e Edu participarem da comissão”

5.4 10
n(A ∩ B) = C5,2 = = 10 → P(A∩B) =
2.1 35


7.6.5.4
n(E) = C7,4 = = 35
4.3.2.1

A∪B:“Vera ou Edu participarem da comissão”

20 20 10 30
P(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) = + – =
35 35 35 35

 Um grupo de amigos, composto de 5 homens e 4
mulheres, ganhou três passagens para uma viagem.
As passagens serão sorteadas entre os membros do
grupo. Qual é a probabilidade de os sorteados serem
todos do mesmo sexo?
9.8.7
n(E) = C9,3 = = 84
3.2.1

A:“sortear só homens”

5.4.3 10
n(A) = C5,3 = = 10 → P(A) =
3.2.1 84


9.8.7
n(E) = C9,3 = = 84
3.2.1

B:“sortear só mulheres”

4.3.2 4
n(B) = C4,3 = =4 → P(A) =
3.2.1 84


9.8.7
n(E) = C9,3 = = 84
3.2.1

A∪B:“sortear só homens ou só mulheres” (A ∩ B = ∅)

10 4 14 1
P(A∪B) = p(A) + p(B) = + = =
84 84 84 6

 Em certos problemas, queremos obter a
probabilidade de ocorrerem, sucessivamente, dois
ou mais eventos.

 Quando dois eventos A e B são independentes, a
probabilidade de que eles ocorram sucessivamente
é o produto das probabilidades de cada um.

P(A e B) = p(A) . p(B)

 Pode-se generalizar essa regra para o caso de três ou
mais eventos.

 Numa sacola, há 20 fichas numeradas de 1 a 20. Em
outra sacola, há 23 fichas. Cada ficha contém uma
letra diferente do nosso alfabeto. Retira-se uma ficha
de cada sacola. Qual é a probabilidade de sair um
número maior que 15 e uma vogal?
5 1
A:“número retirado maior que 15” → p(A) = =
20 4
5
B:“retirar uma vogal → p(B) =
23

1 . 5 5
P(A e B) = p(A) . p(B) = =
4 23 92

 Numa caixa, há 4 bolas azuis e 6 bolas verdes.
Retira-se aleatoriamente uma das bolas e anota-se
sua cor. Essa bola é reposta na caixa. Em seguida,
retira-se outra bola e anota-se sua cor. Qual é a
probabilidade de a primeira bola ser azul e a
segunda, verde?
4 2
A:“tirar uma bola azul” → p(A) = =
10 5
6 3
B:“tirar uma bola verde → p(B) = =
10 5

2 . 3 6
P(A e B) = p(A) . p(B) = = = 24 %
5 5 25

 Numa caixa, há 4 bolas azuis e 6 bolas verdes.
Retira-se aleatoriamente uma das bolas e anota-se
sua cor. Em seguida, retira-se outra bola sem repor a
primeira bola, e anota-se sua cor. Qual é a
probabilidade de a primeira bola ser azul e a
segunda, verde?
4 2
A:“tirar uma bola azul” → p(A) = =
10 5
6 2
B:“tirar uma bola verde → p(B) = =
9 3

2 . 2 4
P(A e B) = p(A) . p(B) = = = 27 %
5 3 15

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