As três frases resumem o documento da seguinte forma: 1) O documento apresenta resoluções comentadas de problemas de probabilidade, incluindo cálculos para lançamento de dados, urnas com bolas de diferentes cores e assinantes de jornais. 2) São explicados conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidades condicionais e probabilidades compostas para problemas que envolvem mais de uma etapa. 3) São também apresentados exercícios resolvidos de vestibulares com diferentes situações probabilísticas como baralhos de cartas

1. AULA 04 – PROBABILIDADES
5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as
RESOLUÇÃO COMENTADA probabilidades de:
a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) Sair o número 3. Solução. Lembrando a fórmula: P(V ∩ B) = ).P(B / V ) , temos:
P(V
Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a 5
P(V ) = (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha
1 7
probabilidade procurada será igual a P(A) =
6 2 1
na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então P(B / V= =
)
b) Sair um número par. 6 3
Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade 5 1 5
Substituindo na fórmula temos: P(V ∩ B) P(V ).P(B / V )
= = . =
3 1 7 3 21
procurada será P(A) = = b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
6 2
vermelha e depois uma bola branca.
c) Sair um múltiplo de 3. Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam
Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade será P(A) = independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como:
2 1 5 2 10
= P(V ∩ B= P(V ).P(B= . =
) )
6 3 7 7 49
2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma
a) Sair a soma 8 dama?
Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e
ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas,
que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 4 1
paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é: P(D)
= =
52 13
6. O mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o 7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra
caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira
evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a
probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?
5
P(A) =
36 Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais
b) Sair a soma 12. sejam:
Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a
1 * Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.
probabilidade procurada será igual a P(A) =
36 1ª possibilidade: a bola transferida é verde.
3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-
4 2
se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: Probabilidade de que a bola transferida seja verde: P(V=
) = (4 bolas
a) Sair bola azul. 6 3
6 3 verdes em 6).
Solução. P(= = = 0,30 30%
A) =
20 10 Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que
b) Sair bola vermelha.
10 1 4
Solução. P(A= ) = = 0,50 50%
= a bola transferida é de cor VERDE, será igual a: P(V / V ') = (a segunda caixa
20 2 5
c) Sair bola amarela. possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,
4 1
Solução. P(A= ) = = 0,20 20%
= portanto, 4 bolas verdes em 5).
20 5
4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 Pela regra da probabilidade condicional, vem:
pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes
2 4 8
de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa P(V ∩ V ')= P(V ).P(V / V ')= . =
escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? 3 5 15
2ª possibilidade: a bola transferida é preta.
Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou 2 1
Probabilidade de que a bola transferida seja preta: P(P=
) = (2 bolas
seja, nosso espaço amostral. Teremos: 6 3
pretas e 4 verdes).
n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
 Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola
n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800
3
n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 transferida é de cor PRETA, será igual a: P(V / P) = (2ª caixa = 1 bola preta +
5
n(E) = 8600
3 bolas verdes + 1 bola preta).
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
1 3 1
Daí, vem: P(V ∩ P) P(P).P(V / P)
= = . =
P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. 3 5 5
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. Finalmente vem:
OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma
8 1 8 3 11
P[(V ∩ V ') ∪ (V ∩ P)] = P(V ∩ V ') + P(V ∩ P) = + = + =
pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os 15 5 15 15 15
jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).
-1-

2. AULA 04 – PROBABILIDADES
8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui 13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca.
duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna.
transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem
segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja registradas três cores distintas?
da cor vermelha é: Solução:
1 verde, 1 azul, 1 branca
18 n(E) = 3.3.3 = 27
a) A: Saírem 3 cores diferentes.
75 Solução.
a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou n(A) = 3.2.1 = 6
19
b) 3 3 9 6 2
45 vermelha na segunda caixa: P(V/V’) = . = P(A) = =
8 6 48 27 9
19 b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou 14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos
c)
48 5 2 10 pontos obtidos seja 4 ou 5?
vermelha na segunda caixa: P(V/B) = . = n(E) = 36
8 6 48
18 A: A soma dos resultados é 4.
d) ´ 9 10 19
45 Finalize somando os resultados: + = Letra C. A={(1;3),(2;2),(3;1)}
48 48 48
3
19 n(A) = 3 P(A) =
e) 36
75
B: A soma dos resultados é 5.
9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando- B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)}
se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 4
n(B) = 4 P(B) =
parafusos sejam defeituosos. 36
50! 3 4 7
C 350
Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de = = 19600 P(AUB) = + =
3!47! 36 36 36
5! 15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas
C 35
formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de = = 1 formas.
3!2! uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-
10 se que a primeira é um ás?
Logo, P(D)
= ≅ 0,05%
19600 n(E) = 12
10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 3
Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P =
bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e 11
a terceira vermelha? 16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são
Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de:
urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela. a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar?
1ª retirada 2ª retirada 3ª retirada n(E) = 36
preta preta vermelha A: o produto seja ímpar.
10 9 8
total 18 17 16
{
A= (1;1)(1;3)(1;5)( 3;1)( 3;3)( 3;5)( 5;1)( 5;3)( 5;5) }
10 9 8 720 5 9 1
Logo P(P ∩ P ∩ V )= P(P).P(P).P(V )= . . = = ≅ 14,7% n(A) = 9 P = =
18 17 16 4896 34 36 4
b) serem obtidos números cujo produto seja par?
n(E) = 36
11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas
duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor A: o produto seja par.
preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha? { }
A= (1;2 )(1;4 )(1;6 )( 2;1)( 2;2 )( 2;3)...( 5;2 )...( 6;6 )
Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma
27 3
composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a n(B) = 27 P = =
36 4
primeira ser preta e segunda ser vermelha?”, a solução seria: 17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o
experimento retirada de uma bola. Considere os eventos:
4 5 20 5 A: “a bola retirada possui um número múltiplo de 2.”
P(P ∩ V ) = P(P).P(V ) = . = = No entanto, o evento “primeira preta” não
9 8 72 18 B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.”
é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo. Determine a probabilidade do evento A ∪ B.
n(E) = 20
5 A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2.
Logo P(V ) =
8
A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20}
 Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla
12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro 10
todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num n(A) = 10 P(A) =
20
determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um
jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra
B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5.
face, mostrada ao jogador ser amarela.
B = {5, 10, 15, 20}
1 n(B) = 4
Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é P(AV ) = Uma
3 4
P(B) =
20
1
vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha P(V ) =
2
2
A  B = {10, 20} n(A  B) = 2 P(A  B) =
Logo a probabilidade de ocorrerem essas duas situações é: 20
10 4 2 12 3
1 1 1 P(A  B) = + − = =
P(AV ∩ V ) P(AV ).P(V / AV )
= = . = 20 20 20 20 5
3 2 6
-2-

3. AULA 04 – PROBABILIDADES
n(E) = C15,5 = 3003
18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a n(A) = C13,3 = 286
probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6. 286 2
n(E) = 36 P(A) = simplificando por 143 ⇒ P(A) =
3003 21
A: A soma seja 6. 27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores
{
A= (1;5)( 2;4 )( 3;3)( 4;2 )( 5;1)} positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo.
E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
5
n(A) = 5 P(A) = n(E) 12
36
19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três A: O número escolhido é primo.
lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de A = {2,3,5}
apenas uma das escolhidas estar queimada? 3 1
n(A) = 3 P(A) = =
n(E) = C12,3 = 220 12 4
A: Um das lâmpadas estar queimada. 28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e
n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112 uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul
112 28 ou amarela é?
P(A) = = .
220 55
n(E)= 15 
20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 
2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma A: sai bola azul. 
dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100. 3 
n(A) = 3 P(A) = 
n(E) = C100,2 = 4950 15  3 2 5 1
 P(A  B) = + = =
n(A)= {(1;99 )(2;98 )( 48;52)...( 49;51)} B: sair bola amarela.


15 15 15 3
n(A)=49 
2
49 n(B) = 2 P(B) =
P(A) = 15 

4950
21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores
positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo.
B: O número é primo.
E={1,2,3,5,6,10,15,30} B={2,3,5}
n(E) = 8 3
A: O número é par. n(B) = 3 P(B) =
8
A={2,6,10,30}
4 1
n(A)= 4 P(A) = A  B = {2} n(A  B) = 1 P(A  B) =
8 8
4 3 1 3
+ − =
P(A  B)=
8 8 8 4
22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma
única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 vermelhas e 5 azuis, é?
n(E) = 12
A: Sair bola branca.
n(A) = 4
4 1
P(A) = =
12 3
23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola
é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7?
an = a1 +(n-1).r
994 = 7 +(n-1).7
n = 142
142 71
P(A)
= =
1000 500
24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso
para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a
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probabilidade de que ambos sejam selecionados?
25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a
probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita?
A: Peças perfeitas.
A: Peças defeituosas.
P(A) + P(A) = 1
P(A) = 1 - P(A)
6 17
P(A) = 1 - ⇒ P(A) =
40 20
26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-
se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado?
-3-