O documento descreve experimentos aleatórios e conceitos probabilísticos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, probabilidade condicional e independência. É apresentado um exemplo numérico sobre distribuição de sexo e alfabetização para ilustrar cálculos de probabilidade.

1. Prof.Dr. Nilo Sampaio

2. Experimento Aleatório: procedimento que, ao
ser repetido sob as mesmas condições, pode
fornecer resultados diferentes
Exemplos:
1. Resultado no lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado
em sala de aula;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao
acaso.

3. Espaço Amostral (): conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
1. Lançamento de um dado.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .
 = {A, B, AB, O}
3. Hábito de fumar.
 = {Fumante, Não fumante}
4. Tempo de duração de uma lâmpada.
 = {t: t  0}

4. Eventos: subconjuntos do espaço amostral 
Notação: A, B, C ...
 (conjunto vazio): evento impossível
: evento certo
Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Alguns eventos:
A: sair face par
 A = {2, 4, 6}  
B: sair face maior que 3  B = {4, 5, 6}  
 C = {1}  
C: sair face 1

5. Operações com eventos
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.
A  B: união dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos
eventos, A ou B.
A  B: interseção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A
e B.

6. • A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos
quando não têm elementos em comum, isto é,
AB=
• A e B são complementares se sua interseção é
vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,
AB= e AB=
c
O complementar de A é representado por A .

7. Exemplo: Lançamento de um dado
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
• sair uma face par e maior que 3
A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6}
• sair uma face par e face 1
A  C = {2, 4, 6}  {1} = 
• sair uma face par ou maior que 3
A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
•sair uma face par ou face 1
A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6}
• não sair face par
AC = {1, 3, 5}

8. Probabilidade
• Medida da incerteza associada aos resultados
do experimento aleatório
• Deve fornecer a informação de quão verossímil
é a ocorrência de um particular evento
Como atribuir probabilidade aos
elementos do espaço amostral?
Duas abordagens possíveis:
1. Freqüências de ocorrências
2. Suposições teóricas.

9. Probabilidade
Atribuição da probabilidade:
1. Através das freqüências de ocorrências.
• O experimento aleatório é repetido n vezes
• Calcula-se a freqüência relativa com que cada
resultado ocorre.
 Para um número grande de realizações, a
freqüência relativa aproxima-se da probabilidade.
2. Através de suposições teóricas.
Exemplo: Lançamento de um dado
 Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado
P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.

10. No caso discreto, todo experimento aleatório
tem seu modelo probabilístico especificado
quando estabelecemos:
•O espaço amostral
 = {w1,w2, ... }
•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral
de tal forma que:
0  P(w i )  1 e

P ()  P ({w1, w 2 , ...})   P(w i )  1.
i1

11. Ainda no caso discreto,
• Se A é um evento, então P (A) 
 P (w )
j
w j A
• Se
Ω  {w 1 , w 2 , ..., w N }
e
1
P (w i )  (pontos equiprováveis), então
N
nº. de elementos de A
P (A) 
nº. de elementos de Ω

12. Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados
relativos à distribuição de sexo e alfabetização em
habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos.
Masc.
Fem.
Alfabetizado
Sim
Não
39.577
8.672
46.304
7.297
Total
85.881
Sexo
Total
48.249
56.601
15.969 101.850
Fonte: IBGE- Censo 1991
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso
em Sergipe.

13.  : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com
idade entre 20 e 24 anos.
Definimos os eventos
M: jovem sorteado é do sexo masculino;
F : jovem sorteado é do sexo feminino;
S : jovem sorteado é alfabetizado;
N : jovem sorteado não é alfabetizado.
Temos
48.249
 0,474
P(M) 
101.850
85.881

 0,843
P(S)
101.850
ir para a tabela
56.601
 0,526
P(F) 
101.850
15.969

 0,157
P(N)
101.850

14. • Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado e ser do sexo masculino?
S
nº. de elementos em M  L
39577
P(M  L) 

 0,389
S)
nº. de elementos em 
101850
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado ou ser do sexo masculino?
M  S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino
S
nº. de elementos em M  L
S)
P(M  L) 
nº. de elementos em 
85881  48249 - 39577

 0,928
101850

15. Regra da adição de probabilidades
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Conseqüências:
• Se A e B forem eventos disjuntos, então
P(A  B) = P(A) + P(B).
• Para qualquer evento A de ,
c
P(A) = 1 - P(A ).

16. PROBABILIDADE CONDICIONAL E
INDEPENDÊNCIA
P(A | B) 
P(A  B)
P(B)
,
P(B)  0 .
Da definição de probabilidade condicional,
obtemos a regra do produto de probabilidades
P(A  B)  P(B)  P(A | B).
Analogamente, se P(A) >0,
P(A  B)  P(A)  P(B | A) .

17. • Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?
Diretamente da tabela
Sexo
Alfabetizada
Total
Sim
Não
Masc.
39.577
8.672
48.249
Fem.
46.304
7.297
56.601
Total
85.881 15.969 101.850
temos P(S | M) = 39.577 / 48.249 = 0,82.
Pela definição,
P(S  M)

P(S | M) 
P(M)
39.577
101.850  0,82.
48.249
101.850

18. Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2
brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são
sorteadas sucessivamente, sem reposição.
A: 2ª bola sorteada é branca
C: 1ª bola sorteada é branca
P(A) = ???
Para representar todas as possibilidades,
utilizamos, um diagrama conhecido como
diagrama de árvores ou árvore de
probabilidades.

19. 14
B
Resultados
2 5
B
2 1

5 4
2 3

5 4
3 2

5 4
3 2

5 4
BB
3 4
2 4
3 5
Probabilidades
V
B
BV
VB
VV
V
Total
2 4
1
V
Temos
2
6
2
P( A) 


20 20 5
1
P( A | C) 
.
4
2
20
6

20
6

20
6

20

e

20. Considere agora que as extrações são feitas
com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é
reposta na urna antes da 2a extração. Nesta
situação, temos
2 5
B
Resultados
VB
2 2
4
 
5 5 25
2 3
6
 
5 5 25
3 2
6
 
5 5 25
VV
3 3
9
 
5 5 25
BB
2 5
3 5
B
3 5
2 5
BV
V
B
V
Total
3 5
Probabilidade
V
1

21. Neste caso,
4
6 2
P(A) = P(branca na 2ª) =


25 25 5
e
2
 P( A)
P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) =
5
2
 P( A)
P(A | C ) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =
5
c
ou seja, o resultado na 2a extração independe
do que ocorre na 1a extração.

22. Independência de eventos: Dois eventos A e
B são independentes se a informação da
ocorrência (ou não) de B não altera a
probabilidade de ocorrência de A, isto é,
P(A | B)  P(A),
P(B)  0.
Temos a seguinte forma equivalente:
P(A  B)  P(A)  P(B).

23. Exemplo: A probabilidade de Jonas ser
aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena
é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos
serem aprovados?
A: Jonas é aprovado
B: Madalena é aprovada
P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9
 Qual foi a suposição feita?

25. Prof. Dr. Nilo Sampaio

26. 
É distribuição discreta de
probabilidade. Ela está associada
a um experimento de múltiplas
etapas.

27. 



O experimento consiste de uma seqüência de
n ensaios idênticos;
Dois resultados são possíveis em cada
ensaio: sucesso e fracasso;
P(sucesso)=p
P(fracasso)= 1-p = q
p+ q=1
Os ensaios são independentes.

28. 




O experimento consiste em 8 jogadas do
dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou
fracasso(não sair 6);
P(sucesso)= P(sair 6)=1/6
P(fracasso)= P(não sair 6)=5/6
Os ensaios são independentes.

29. Ensaios
1
2 3
4
5 6 7 8
Resultados
s
s s
s
f
f
f
f f
Probabilidade 1/6 1/6 1/6 5/6 5/6 5/6
5/6 5/6 3
5
3
5
1 5
   .   0,17 .0,83
6 6
 0,0049.0,3939  0,0019

30. 



Se os 3 sucessos cairem em qualquer um
dos 8 ensaios, deve-se calcular tadas as
combinações possíveis de se obter 3 faces
6, em 8 jogadas.
Ensaios
1
2 3
4
5 6 7 8
Resultados s
f s
f
s
f f f
Resultados s
f f
f
s
s f f

31. 
O que resulta em uma Combinação de 8, 3 a
3;
8!
8.7.6.5.4.3.2.1
 

 
 3  3!.(8  3)! 3.2.1.5.4.3.2.1
8.7.6

 56
3.2.1
8

32. 
E unindo as duas partes da fórmula
teremos:
 1
 . 
36
8
3
5
5
.   56.0,0019  0,1064
6

33. 
Probabilidade de x sucessos em n ensaios é
x
n x
 
 . p  .1  p 
x
onde
n
n!
 
 
 x  x!.(n  x)!
n

34.  E(X)=
n.p
Variância da Binomial
• Var(X)= n.p.(1-p)

36. AULA:
Principais Modelos Discretos

37. Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1.
Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2.
O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo
ou negativa.
3.
Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4.
No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5.
No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Situações com alternativos dicotômicas, podem
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
ser
representadas
Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.

38. 1.2 Aleatória De Bernoulli
É uma variável aleatória X que apenas assume
apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se
ocorrer fracasso (F), e, sendo p a probabilidade de
sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a
 p x (1  p)1 x ; x  0,1
0
1
x
f ( x)  P(
x)  
distribuição de probabilidadeXédado por:
0;
c.c

P(X=x)
1-p
p
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio
Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.
de

39. 2. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi
é uma variável aleatória Bernoulli
(i=1,2,3). Então a variável
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.

FFF
FFS
FSF
SFF
FSS
SFS
SSF
SSS
Probabilidade
(1-p)3
(1-p)2p
(1-p)2p
(1-p)2p
(1-p)p2
(1-p)p2
(1-p)p2
P3
X1
0
0
0
1
0
1
1
1
X2
0
0
1
0
1
0
1
1
X3
0
1
0
0
1
1
0
1
X=X1+X2+X3
0
1
1
1
2
2
2
3

40. Daí temos que:
P( X  0)  P ({FFF })  (1  p ) 3
P( X  1)  P({FFS , FSF , SFF })  3 p(1  p ) 2
P( X  2)  P({FSS , SFS , SSF })  3 p 2 (1  p )
P( X  3)  P({SSS })  p 3
A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por:
x
f ( x)  P( X  x)
0
(1  p) 3
1
2
3
3 p(1  p) 2
3 p 2 (1  p)
p3
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
 3  x
  p (1  p ) 3 x ,
f ( x)   x 
 

0,

 3
3!
onde   
 x  x!(3  x)!
 
x  0,1,2,3
c.c

41. Definição[Distribuição Binomial]
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com
a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o
número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de
probabilidade é dado por:
 n  x
  p (1  p) n  x , x  0,1,  , n
f ( x)   x 
 

0,
c.c

n
n!
onde   
 x  x!(n  x)! , representa o coeficient e Binomial.
 
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
Se X~B(n,p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).

42. Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
2
4
6
0.00
P(X=x)
0.2
0.0
P(X=x)
0
0.20
p=0,3
0.4
p=0,1
8
0
2
4
6
2
4
6
x
8
0.00
0.15
0.00
0
0.20
p=0,8
P(X=x)
x
p=0,5
P(X=x)
x
8
0
2
4
6
x
8

43. Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
0
5
0.00
0.15
p=0,3
P(X=x)
0.20
0.00
P(X=x)
p=0,1
10 15 20
0
5
10 15 20
5
10 15 20
x
0.00
0.00 0.10
0
0.15
p=0,8
P(X=x)
x
p=0,5
P(X=x)
x
0
5
10 15 20
x

44. Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
0
10
20
0.10
0.00
0.15
P(X=x)
p=0,3
0.00
P(X=x)
p=0,1
30
0
10
20
10
20
x
30
0.00
P(X=x)
0.00
0
0.15
p=0,8
0.10
x
p=0,5
P(X=x)
x
30
0
10
20
x
30

45. Exemplo 2.
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla
escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada
questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova
não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente).
O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao
menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos
aprovaram a disciplina?.
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
S: “questão respondida corretamente”
10  1  x  4 10 x
 
, x  0,1, ,10
f ( x)   x  5   5 
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).
    

0,
c.c
A probabilidade de aprovar a prova um aluno 
F:”questão respondida incorretamente”
é:
P( X  6)  1  P( X  6)  1  F (5)  1  0,9936306  0,000637
Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637)2, alunos

46. x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
0,107374
0,268435
0,301990
0,201327
0,088080
0,026424
0,005505
0,000786
0,000074
0,000004
0,000000
F(x)
0,10737
0,37581
0,67780
0,87913
0,96721
0,99363
0,99914
0,99992
1,00000
1,00000
1,00000

47. 0.00
0.10
0.20
P(X=x)
0.30
B(10,p=0,20)
0
2
4
6
x
8
10

48. Distribuição de Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1. Número de consultas a uma base de dados em um
minuto.
2. Número de acidentes de trabalho por semana em
uma empresa industrial.
3.
Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
4.
Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma
empresa num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0).
5.
Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
6.
Número de microorganismos por cm cúbico de água contaminada.

49. Suposições básicas:
Considere que o intervalo pode ser dividido em
subintervalos com comprimento suficientemente
pequeno tal
• a probabilidade de mais uma contagem em um
subintervalo seja zero,
• a probabilidade de uma contagem em um
subintervalo seja a mesma para todos os
subintervalos e proporcional ao comprimento de
subintervalo e
•a
contagem
em
cada
subintervalo
seja

50. Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição
de Poisson com parâmetro  se sua função de probabilidade é dada por:
 e   x

f ( x)   x!
 0;

x  0,1,2, 
c.c.
Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,
: media de eventos discretos em uma unidade de medida,
t: unidade de medida
=  t: media de eventos discretos em t unidades de medida
Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com
parâmetro .

51. P(X=x)
0.10
0.20
0
0
5
5
10
10
15
15
x
20
20
25
25
30
0.00 0.04 0.08 0.12
0.00
P(X=x)
0.00
0.0
0.3
0.20
P(X=x)
0.2
0.10
0.1
P(X=x)
P(1)
P(2)
30
0
0
5
5
10
10
15
x
x
P(4)
P(8)
15
x
20
25
30
20
25
30

52. P(X=x)
0.10
0.20
0
0
5
5
10
10
15
15
x
20
20
25
25
30
0.00 0.04 0.08 0.12
0.00
P(X=x)
0.00
0.0
0.3
0.20
P(X=x)
0.2
0.10
0.1
P(X=x)
P(1)
P(2)
30
0
0
5
5
10
10
15
x
x
P(4)
P(8)
15
x
20
25
30
20
25
30

53. Exemplo 1.
As consultas num banco de dados ocorrem de forma
independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a
média de consultas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que banco
de dados seja consultado no máximo 2 em um intervalo de 2 minutos?
Se X: número de consultas num banco de dados em 2 minutos,
então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja
X~P(1,5)
e 1,5 1,5 x
f ( x) 
, x  0,1,2,3....
x!

55. e 1,5 1,5 x
f ( x) 
, x  0,1,2,3....
x!
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P ( X  2)  e
1, 5
1,52
[1  1,5 
]  0,808847 .
2
Exemplo 2: O número de pedidos de empréstimos
que um banco recebe por dia é uma variável
aleatória com distribuição de Poisson com
=7,5. Determine as probabilidades de que, em
um dia qualquer, o banco receba
(a) Exatamente 2 pedidos de empréstimo;
(b) No máximo 4 pedidos de empréstimo;
(c) No mínimo oito pedidos de empréstimo.

56. X: número de pedidos de empréstimos que um
banco recebe por dia
X~P(7,5)
e 7 ,5 7,5 x
f ( x) 
, x  0,1,2,
x!

57. 0.00
0.05
P(X=x)
0.10
0.15
P(7,5)
0
5
10
15
x
20
25
30

58. x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
f(x)=P(X=x)
0,000553
0,004148
0,015555
0,038889
0,072916
0,109375
0,136718
0,146484
0,137329
0,114440
0,085830
0,058521
0,036575
0,021101
0,011304
0,005652
0,002649
0,001169
0,000487
0,000192
0,000072
0,000026
0,000009
0,000003
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000

59. e 7 ,5 (7,5) 2
(a) P( X  2) 
 0,015555
2
(b) P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2) 
 0,000553  0,004148  0,015555  0,0202567
7
(d ) P( X  8)  1  P( X  8)  1   P( X  x) 
x 0
 1  [0,000553   0,136718]
 1 - 0,37815  0,62185.

61. PROPRIEDADES
POISSON
DA
DISTRIBUIÇÃO
Se X ~P(), então.
(i) A função de distribuição acumulada é
dada por:
0

  x  e  x
F ( x)  P( X  x)  
 x!
 k 0
(ii) E(X)=, Var(X)= .
x0
x0
DE

63. x
0
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
P(X=x)
0,000553
0,004148
0,015555
0,038889
0,072916
0,109375
0,136718
0,146484
0,137329
0,114440
0,085830
0,058521
0,036575
0,021101
0,011304
0,005652
0,002649
0,001169
0,000487
0,000192
0,000072
0,000026
0,000009
0,000003
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
P(Xx)
0,00055
0,00470
0,02026
0,05915
0,13206
0,24144
0,37815
0,52464
0,66197
0,77641
0,86224
0,92076
0,95733
0,97844
0,98974
0,99539
0,99804
0,99921
0,99970
0,99989
0,99996
0,99999
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
X~P(7,5)

64. Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2,
0

 x  7 ,5

x
F ( x)  P ( X  x)   e 7,5

x!
 k 0
x0
x0
(a) P( X  2)  F (3)  F (2)  0,02026- 0,00470  0,1556
(b) P( X  2)  F (2)  0,02026
(c) P( X  8)  1  P( X  8)  1  P( X  7) 
 1  F (7)  1  0,37815  0,62185.

65. Exemplo 3.
Contaminação é um problema de fabricação de discos
ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que
ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número
médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área do
disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a probabilidade de
que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo.
Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo,
então, X ~P(). Aqui t=100 e =0,1, então =(100)(0,1)=10. Ou seja
X~P(10)
10
x
e 10
f ( x) 
, x  0,1,2, 
x!
e 10 (10 )12
P( X  12 ) 
 0,095
12

66. A Distribuição Poisson Como Aproximação da
Distribuição Binomial
A distribuição Binomial para x sucessos em n
ensaios de Bernoulli ´e dada por:
 n x
P( X  x)    p (1  p) n x , x  0,, n.
 x
 
Se =np, p=/n, substituindo p na função
probabilidade temos
n
 

x
n x
x 1 
n      

 1  2   x  1    n 
P( X  x)     1    1  1   1 

 x n
n
n  n  
n  x!    x

   
1  
 n
Fazendo n  , temos P( X  x) 
e
x

x!

69. Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular
na superfície da asa de uma aeronave seja
defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a
probabilidade de que seja instalados não mais de
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,
X~B(400,0,001) defeituosos?
seis rebites
 4000 
P( X  6)   
0,001 0,999
 x 
6
x
x 0
400 x
 0,8894.
Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)
e 4 4 x
P ( X  6)  
 0,889 .
x!
x 0
6

70. Teorema: Se X ,, X são variáveis aleatórias independentes, com
distribuição de Poisson com parâmetros,  ,,  , spectivamente,
então a variável aleatória,
1
n
1
Y  X X
1
n
n
tem distribuição de Poisson com parâmetro,      .
1
n
Exemplo 6.
Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média
de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira
semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um
processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas
três semanas?
Seja a variável aleatória, X : número de acidentes na i-ésima
i
semana, i=1,2,3.
a v.a. , Y  X  X  X
X ~ P( ) , então,
distribuição de Poisson com parâmetro,   2,5  2  1,5  6 .
i
i
1
4
6
6e
P( X  4) 
 0,1339
4!
2
3
tem

72. O modelo multinomial é uma generalização do binomial:




São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados
possíveis e excludentes (k resultados).
A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1,
2, ...) em todos os experimentos é constante.
A variável aleatória de interesse é o número de sim em
cada categoria.

73. n!
p1x1 p2x2 ...pkxk
P(X=x1, x2, ..., xk) =
x1! x2!... xk!
n = x1 + x2 + ... + xk

74. 
Considere o experimento: retiram-se bolas
da urna (com reposição), até que se consiga
uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X
cujos valores representam o número total de
bolas azuis (fracassos) retiradas da urna até
obter uma bola vermelha (sucesso).
O experimento envolve de 1 a infinitos eventos
independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7
P(azul) = 2/7

75. Considere o experimento: retiram-se bolas
da urna (com reposição), até que se
consiga uma bola vermelha. Define-se
Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas
azuis (fracassos) retiradas da urna até
obter uma bola vermelha (sucesso).

76. 3
2 2 2 5  2  5
40
    
P( X  3) 
 0,017
7 7 7 7  7   7  2401
P( X  0) 
5
 0,714
7
P( X  1) 
2 5 10
 0,204

7 7 49
2
2 2 5  2   5  20

P( X  2) 

 0,058
7 7 7  7   7  343
   
pq x

77. 
E ( X )   xP( X  x )
x 0

f ( x )  pq x
E ( X )   xpq x
x 0

E ( X )  pq  xq x 1
x 1

E( X )  ?
Var ( X )  ?
d  q 
dq  1  q   1


p2
1
E ( X )  pq 2
p
E ( X )  pq
dq x
E ( X )  pq 
x 1 dq
dq x

dq
d  x
q
E ( X )  pq  q

dq x 1
1 q
E( X ) 
q
p

78. Considere o experimento: retiram-se
bolas da urna (com reposição), até que
se consiga uma bola vermelha. Definese uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas
X: {0, 1, 2,
azuis (fracassos) retiradas da urna até
..., }
obter uma bola vermelha (sucesso).
f ( x )  pq x
Var ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2

E ( X )   x 2 P( X  x )
2
E( X ) 
q
p
x 0

E ( X )   x 2 pq x
2
E( X 2 ) 
q q
p2
2
x 0

79. X: {0, 1, 2,
..., }
f ( x )  pq x
Var ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
q2  q q2
Var ( X ) 
 2
p2
p
Var ( X ) 
E( X ) 
q
p
q
p2

80. p=
5/7
q=
2/7
5 2
f ( x )  pq   
 
77
x
x
E( X ) 
q 27 2

  0,4
p 75 5
Var ( X ) 
q
2 49 14


 0,56
p 2 7 25 25

82. 

As probabilidades não podem mais ser
calculadas através de equações do tipo
P(X=k) = FÓRMULA.
Para identificar uma distribuição contínua,
existe a função densidade de probabilidade,
que é uma equação do tipo y=f(x).

83. 
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas
da urna (sem reposição). Define-se uma v.a.
X cujos valores representam o número total
de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.

84. número de bolas vermelhas na urna
número total de bolas na urna
número de bolas retiradas da urna
X: {1, 2, 3}
P( X  0) 
210
0
765
2 1
3! 5 2 1

3
P( X  1) 
42 7
1!2! 7 6 5
P( X  2) 
8 4
3! 5 4 2

3
42 7
2!1! 7 6 5
P( X  3) 
5 4 3 12 2


7 6 5 42 7
K!
( M  K )!
n!
( K  x)! [( M  K )  (n  x)]!
M!
x !(n  x)!
( M  n)!
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 

85. Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas vermelhas dentre as
3 escolhidas.
E( X )  n
X: {1, 2, 3}
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
E( X )  ?
Var ( X )  ?
K
M
Var ( X )  n
K M K M n
M M M 1
OBS: se M for muito grande:
K
p
(probabilidade de sucesso)
M
M K
q
(probabilidade de fracasso)
M
M n
 1  E ( X )  np Var( X )  npq
M 1
Hipergeométrica  Binomial

86. Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas vermelhas dentre as
3 escolhidas.
M=
7
K=
5
n=3
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
E( X )  n
 5 2 
 x3 x
 

7
 3
 
X: {?, ..., 
X :{max(0, n?} M  K ),..., min(n, K )}
X: {1, 2, 3}
K
5
 3  2,143
M
7
Var ( X )  n
K M K M n
5 2 4 120
3

 0,408
M M M 1
7 7 6 294

88. 1
f ( x) 
 2
 - média
 - desvio padrão
1 x 2
 (
)
e 2 

89. f(x)
1
f ( x) 
 2

X
1 x 2
 (
)
e 2 

90. 
Variável
identificada
pela média e
pelo desvio
padrão.


X

91. Média e
Desvio Padrão
=1
=2
=3
=4

X

92. Média e
Desvio Padrão
=3
1
2
3
X

93. 
Simetria
em
relação à
média.
50%

X

94. 

A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a
média e aquele ponto.
Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância
dividida pelo desvio padrão).

95. área = 68,3%
-

+

96. área = 95,4%
-2

+2

97. área = 99,7%
-3

+3

98. As áreas referem-se a probabilidades.
P(X<a)
 a
X

99. 

O cálculo de áreas sob a curva normal é
consideravelmente complexo.
Por isso, é conveniente trabalhar com valores
padronizados.

100. 
Para padronizar uma variável normal, tomase a média como ponto de referência e o
desvio padrão como medida de afastamento.

101. X-
Z=

Z - variável normal padronizada
X - variável normal
 - média
 - desvio padrão

102. = 1
= 0
Z

103. 
-2 -  + +2
-2
-1
0
1
2
X
Z

104. 

O peso de uma peça é normalmente
distribuído com média de 500 gramas e
desvio padrão de 5 gramas.
Encontrar os valores padronizados relativos
aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g,
510g e 515g.

105. 
X = 510 g
X-
Z=

510 - 500
=
=
5
10
5
=2

106. = 5

X
485 490 495 500
-3
-2
-1
0
505 510 515
1
2
3
Z

107. P(X<510) = P(Z<2)
= 5
X
500
0
510
2
Z

108. 
Com base na tabela da normal padronizada,
calcular:
a) P(Z < -1)
0,158655
-1
0
Z

109. b) P(Z > 1)
0,158655
0
+1
Z

110. c) P(Z < 1)
0,841345
0
1
Z

111. c) P(-1 < Z < 1)
1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269
-1
0
1
Z

112. c) P(-2 < Z < 2)
1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545
-2
0
2
Z

113. c) P(-3 < Z < 3)
1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973
-3
0
3
Z

114. 
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
a) menos de 49.000 Km?
0,158655

115. 
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
b) mais de 51.000 Km?
0,158655

116. 
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?
0,68269

117. 
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?
0,9545

118. 
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?
0,9973