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Aula 2 : Bioestatística
Caroline Godoy
Turma: Graduação em Educação Física
Última aula
• O que é estatística/bioestatística?

• Tipos de variáveis: Quantitativas e Qualitativas;

• Apresentação dos dados: Gráficos para diferentes tipos de
  variáveis, tabelas;

• Tipos de frequências (absoluta e relativa);

• Medidas de tendência central: Média, Moda, Mediana;

• Medidas de variabilidade (dispersão): Desvio padrão,
  Variância, Coeficiente de Variação, Quantis;
Noções de Cálculo de Probabilidades
• Curiosidade: A palavra probabilidade deriva do
  Latim probare que significa provar ou testar;

• Outras palavras estão associadas à palavra
  probabilidade tais como:
 ▫   Sorte;
 ▫   Risco;
 ▫   Incerteza;
 ▫   Duvidoso...
Noções de Cálculo de Probabilidades




1) Espaço Amostral
• Considerando que se deseja realizar um
  experimento com n possíveis resultados, cada
  valor de n é chamado ponto amostral e S é o
  conjunto de todos os resultados possíveis
  chamado de espaço amostral da experiência.
                    ... (n)




                              S
Noções de Cálculo de Probabilidades




1) Espaço Amostral
• Exemplo 1: Lançamento de uma moeda
             S={“cara”; “coroa”}

                                     S

• Exemplo 2: Lançamento de um dado:
                S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
                 1       3       5
                     2       4       6   S
Noções de Cálculo de Probabilidades




2) Evento
• Evento é qualquer subconjunto do espaço
  amostral de S, como por exemplo o evento A do
  espaço amostral de S:
                     ... (n)




                               A
                                   S
• onde A está contido em S.
Noções de Cálculo de Probabilidades




2) Evento
• Evento é qualquer subconjunto do espaço
  amostral de S, como por exemplo o evento A do
  espaço amostral de S:
                     ... (n)
                                   B

                               A
                                       S
• onde A e B estão contido em S.
Noções de Cálculo de Probabilidades




2) Evento
• Exemplo 3: Considerando o espaço amostral do
  lançamento de um dado tem-se o evento
  “número ímpar”:
               S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
                                    A
               1        3       5
                   2        4       6   S

                       A={1, 3, 5}
Noções de Cálculo de Probabilidades




2.1) Evento Impossível
•   O conjunto vazio também é um subconjunto de
    S, portanto, também é um evento;
•   O conjunto vazio é chamado evento impossível,
    pois nunca ocorre.
•   Exemplo 4: Sair o número 7 no lançamento de
    um dado é um evento impossível.

            S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
            A         ou A
Noções de Cálculo de Probabilidades




2.2) Evento Certo
• O conjunto S é subconjunto de si próprio,
  portanto S também é um evento; S é chamado de
  evento certo, pois sempre acontece.
• Exemplo 5: Sair o número 1 a 6 no lançamento
  de um dado é um evento certo.

           S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
           A {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Noções de Cálculo de Probabilidades




2.3) Evento Complementar
• Evento complementar ou A é tal que
                    A = S–A

• Exemplo 6: No lançamento de um dado, o
  evento complementar do evento “número ímpar”
  é o evento “número par”.

                   A = { 1, 3, 5}
                   A = {2, 4, 6}
Noções de Cálculo de Probabilidades




2.4) Evento Mutuamente Exclusivo
  Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos
  quando A B
  (lê - se : A e B igual a conjunto vazio)
• Exemplo 7: No lançamento de um dado:
              A: Sair número par.
              B: Sair número ímpar.
      A B
      Pois se sair um número par não há como
      sair um número ímpar e vice - versa.
Noções de Cálculo de Probabilidades




3) Probabilidade de um Evento
• Considerando S o espaço amostral e A um
  evento qualquer, a probabilidade de um evento é
  dada por:
                        n( A )
              P( A)
                        n(S )
Noções de Cálculo de Probabilidades




Exercícios
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3,
   4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

a) A: um número primo.
b) B: um número múltiplo de 3.

2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18.
   Retirando-se uma bola ao acaso, qual a
   probabilidade de obter um múltiplo de 3?
Noções de Cálculo de Probabilidades




4) Soma de Probabilidades
• É calculada pela fórmula:

 P ( A B)           P( A)      P(B) P( A                    B)
           ou
Onde :
P( A     B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou B
P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A
P(B) é a probabilidade de ocorrer o evento B
P(A    B) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B

             e
Noções de Cálculo de Probabilidades




Exercícios
3. Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
   qual é a probabilidade de se obter um número par
   ou múltiplo de 3?
Noções de Cálculo de Probabilidades




5) Probabilidade condicional e
independente
• Para dois eventos quaisquer A e B de um espaço amostral S,
  sendo P(B)>0, definimos a probabilidade condicional de A
  dado B, P(A|B), como sendo
            P( A B)
P( A | B)                OU     P ( A B)        P( B) P( A / B)
              P( B)
• A e B são ditos independentes se a probabilidade de um
  deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer.
• Se A independe de B, então:


               P ( A B)       P( B) P( A)
Noções de Cálculo de Probabilidades




5) Probabilidade condicional e
independente
• Teorema de Bayes

                     P( A B)   P( A).P( B | A)
        P( A | B)
                       P( B)       P( B)
Noções de Cálculo de Probabilidades




Exercício
4. Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.
   Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2
   bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.

5. Suponhamos que 10.000 bilhetes sejam vendidos em uma
   loteria e 5.000 em outra. Cada um tendo apenas um
   ganhador. Um homem tem 100 bilhetes em cada. Qual a
   probabilidade de que ele ganhe alguma coisa?
Aula 2   educação física
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos
•   Vimos variáveis quantitativas e qualitativas;
•   Os conceitos para variáveis quantitativas são muito mais
    ricos do que para variáveis qualitativas;
•   O conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis
    quantitativas é muito importante e as variáveis para as
    quais iremos construir modelos serão chamadas variáveis
    aleatórias (v.a.);
•   As aulas que seguirão serão dedicadas para variáveis
    quantitativas.
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos



                          Variável Aleatória Discreta
Variáveis quantitativas
                          Variável Aleatória Contínua
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
•   Variável aleatória discreta é aquela em que podemos
    contar os valores;
•   Exemplo 1: O lançamento de um dado nos dá valores de 1 a
    6 e nunca 2,444 por exemplo
                                       v.a. discreta finita


•   Exemplo 2: Número de carros que chegam num pedágio.
    Não sabemos a quantidade mas não pode chegar 0,5 carro.

                                        v.a. discreta infinita
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
•   Mais exemplos:
- número de acidentes numa semana;
- número de caras em cinco lançamento de moeda;
- número de defeitos em sapatos;
- número de falhas numa safra;
-número de terremotos;
- número de jogos empatados;
- número de livros numa estante.
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos (f.p.) V. A. D.
•   Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a
    cada possível resultado do espaço amostral
•   A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada
    valor de   xi associa sua probabilidade
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos (f.d.a.) V. A. D.
•   A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x
    por:

                  F ( x)      P( X           x)

•   Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de
    que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou
    igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x,
    a função F assumirá um valor diferente.
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos (exemplo) V. A. D.
•   Exemplo:
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos V. A. D.
• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de
  falarmos sobre distribuições discretas;

1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é
   soma dos produtos dos valores assumidos pela variável
   pelas respectivas probabilidades da variável assumir
   tais valores
Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn,
então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x é
definido por:
                                                        n
E( X )   x1P( X 1   x1 )  xn P( X n       xn )              xi P( X i         xi )
                                                       i 1
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




 Conceitos V. A. D.
  Exemplo: Suponha que tem-se interesse em estudar a
  composição de famílias de esportistas com três filhos,
  quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de
  probabilidades:
  X= número de meninos
              x         0           1             2                  3
           P(X=x)      1/8         3/8           3/8                1/9

E( X )   x1 P( X   x1 ) x2 P( X    x2 ) x3 P( X            x3 ) x4 P( X                 x4 )
   1   3   3   1                  12     3
 0   1   2   3
   8   8   8   8                   8     4
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos V. A. D.
2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados
   variam em relação a média.
Assim, se X for uma v.a que assume valores x1,                                      ,xn,
então a variância da v.a. X é dada por:

                                   por definição

Var ( X )   E( X      X )2
( x1    X ) 2 P( X   x1 )  ( xn               X ) 2 P( X             xn )
                             n                 2

                 Var( X )           xi     X       P( X       x)
                             i 0
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos V. A. D.
Exemplo cont.: Suponha que tem-se interesse em estudar a
composição de famílias de esportistas com três filhos,
quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de
probabilidades:                                 3
                                                                     E( X )
X= número de meninos                                                                 4
             x            0                1           2                  3
          P(X=x)         1/8              3/8         3/8                1/9
                3              2

   Var ( X )         X     X       P( X    x)
               i 0

           3 2 1    3 2 3                       3 2 3    3 2 1                       3
     (0      )   (1   )   (2                      )   (3   )
           2   8    2   8                       2   8    2   8                       4
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
• Modelo de distribuição Bernoulli
• Características:
     ▫ Permitem apenas 2 resultados tipo sucesso (1) ou
       fracasso (0);
     ▫ p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1
 ▫        Exemplos:
     1.    Um artigo esportivo é classificada como boa ou defeituosa;
     2.    O resultado de um exame médico de um atleta do esporte para
           detecção de uma doença é positivo ou negativa.
     3.    Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
     4.    No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
     5.    No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




  Variável Aleatória Discreta
   • Modelo de distribuição Bernoulli
   • Mais Características:
    x            0     1                                        p x (1 p)1 x ; x 0,1
                                    f ( x)   P( X     x)
  P(X=x)         1-p    p                                             0;        c.c


Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.


Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p                                                   0,         se x      0
Var(X)=p-p2=p(1-p)                           F ( x)      1 p se 0 x 1
                                                         1   se x 1
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
• Modelo de distribuição Bernoulli
• Mais Características:
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
• Modelo de distribuição Bernoulli
• Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20
  verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja

X: nº de bolas verdes

 Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X)
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
 • Modelo de distribuição Binomial
 • Características:
   ▫ “n” repetições independentes de ensaios de Bernoulli geram uma
     Binomial;
   ▫ Teríamos de 0 a n sucessos, onde
   ▫ Então a função de probabilidade é:
                                n nº total de repetiçõesdo experim ento
                                y nº de sucessos ocorridosem n repetições
          n y
P(Y y )      p (1 p) n y , onde y 0,1,2,3,...,n
           y
                                 n        n!
                                 y    y!(n y )!
E (Y )   np
V (Y )   np(1 p)
     ▫ Y = nº de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do
       experimento do tipo Bernoulli.
                                                                             Y~Bin(n,p)
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
• Modelo de distribuição Binomial
• Características:
                               p=0,1                                                        p=0,3
• N=10 e




                              0.4
p variando




                                                                             0.20
                     P(X=x)




                                                                    P(X=x)
                              0.2




                                                                             0.00
                              0.0
                                     0   2   4       6   8                          0   2   4       6   8

                                                 x                                              x



                                             p=0,5                                          p=0,8




                                                                             0.20
                     P(X=x)




                                                                    P(X=x)
                              0.15
                              0.00




                                                                             0.00
                                     0   2   4       6   8                          0   2   4       6   8

                                                 x                                              x
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
• Modelo de distribuição Binomial
• Características:
                                                       p=0,1                                       p=0,3
• N=20 e
p variando




                                                                                    0.15
                                   0.20
                          P(X=x)




                                                                           P(X=x)
                                   0.00




                                                                                    0.00
                                               0   5    10 15 20                           0   5    10 15 20

                                                         x                                           x



                                                       p=0,5                                       p=0,8




                                                                                    0.15
                          P(X=x)




                                                                           P(X=x)
                                   0.00 0.10




                                                                                    0.00
                                               0   5    10 15 20                           0   5    10 15 20

                                                         x                                           x
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta
• Exemplo Binomial: Suponha que nascimento de menino
  e menina dos atletas seja igualmente prováveis e que o
  nascimento de qualquer criança não afeta a
  probabilidade do sexo do próximo nascimento.
  Determine a probabilidade de nascer :
• a)Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos.
• b)Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos .
• c)No máximo um menino em 10 nascimentos.
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Discreta

• Outras distribuições:


  ▫ Distribuição Hipergeométrica
  ▫ Distribuição Poisson
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Contínua
• Variável aleatória contínua é aquela em que os valores
  pertencem a um intervalo de números reais;
• Uma característica importante é que o valor é resultado
  de uma mensuração, então pode ser pensado como
  pertencendo a um intervalo ao redor do valor
  efetivamente observado;
• Exemplo 1: quando dizemos que a altura de uma pessoa
  é 175 cm, estamos medindo sua altura usando como
  unidade de medida e portanto o valor é, na realidade, um
  valor entre 174,5 cm e 175,5 cm;



                                                    Morettin e Bussab, 2006
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos V. A. C.
• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de
  falarmos sobre distribuições contínuas;

1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é a
   integral dos produtos dos valores assumidos pela
   variável por uma função de x

Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn,
então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x é
definido por:

                  E( X )     xf ( x)dx
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos V. A. C.
2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados
   variam em relação a média.
Assim, se X for uma v.a que assume valores x1,                 ,xn, então
a variância da v.a. X é dada por:


       Var( X )         ( x E ( X ))2 f ( x)dx
                          2                     2
       Var( X )     E ( X ) [ E ( X )]
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos V. A. C.
•   Resumo


             E( X )      (X )
                           2
             Var ( X )
             DP( X )      (X )
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos (f.p.) V.A.C.
•   Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a
    cada possível resultado do espaço amostral
•   A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada
    valor de   xi associa sua probabilidade
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos (f.d.a.) V.A.C.
•   A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x
    por:

                  F ( x)      P( X           x)

•   Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de
    que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou
    igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x,
    a função F assumirá um valor diferente.
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Conceitos (exemplo) V.A.C.
•   Exemplo:
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Contínua
• Modelo da Distribuição Normal
• Características:
  ▫ Permite resultados dentro de um intervalo;
 ▫        Exemplos:
     1.     Valores de depósitos em um banco;
     2. Valores das alturas de indivíduos de uma escola.
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Contínua
• Modelo da Distribuição Normal
• Características:
  ▫ Dizemos que uma variável aleatória tem
    distribuição Normal com parâmetros e                                             se sua
                                                                                 2


    densidade for dada por

           2           1      (x   )2 / 2   2
f ( x; ;       )          e
                        2
                                                                                      2
onde               x          ;                                   e 0
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Contínua
• Modelo da Distribuição Normal
• Características:
        ▫ Curva Normal Simétrica:

       0,4
                                                       Parâmetros:

                                                       E( X )
                                                                                 2
                                                      Var ( X )
f(x)




                                                      DP( X )
                                                                                 2
       0,0
                                                       X ~ N( ,                      )
              -2      0       2
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades




Variável Aleatória Contínua
• Modelo da Distribuição Normal
• Características:
        ▫ Quando a média é zero e a variância é 1 temos uma
          distribuição Normal Padrão:
                                                        Parâmetros:
       0,4


                                                        E( X ) 0
                                                        Var( X ) 1
f(x)




                                                        Z ~ N (0,1)
       0,0
              -2       0       2
               1       0       1
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  • 1. Aula 2 : Bioestatística Caroline Godoy Turma: Graduação em Educação Física
  • 2. Última aula • O que é estatística/bioestatística? • Tipos de variáveis: Quantitativas e Qualitativas; • Apresentação dos dados: Gráficos para diferentes tipos de variáveis, tabelas; • Tipos de frequências (absoluta e relativa); • Medidas de tendência central: Média, Moda, Mediana; • Medidas de variabilidade (dispersão): Desvio padrão, Variância, Coeficiente de Variação, Quantis;
  • 3. Noções de Cálculo de Probabilidades • Curiosidade: A palavra probabilidade deriva do Latim probare que significa provar ou testar; • Outras palavras estão associadas à palavra probabilidade tais como: ▫ Sorte; ▫ Risco; ▫ Incerteza; ▫ Duvidoso...
  • 4. Noções de Cálculo de Probabilidades 1) Espaço Amostral • Considerando que se deseja realizar um experimento com n possíveis resultados, cada valor de n é chamado ponto amostral e S é o conjunto de todos os resultados possíveis chamado de espaço amostral da experiência. ... (n) S
  • 5. Noções de Cálculo de Probabilidades 1) Espaço Amostral • Exemplo 1: Lançamento de uma moeda S={“cara”; “coroa”} S • Exemplo 2: Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 3 5 2 4 6 S
  • 6. Noções de Cálculo de Probabilidades 2) Evento • Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de S, como por exemplo o evento A do espaço amostral de S: ... (n) A S • onde A está contido em S.
  • 7. Noções de Cálculo de Probabilidades 2) Evento • Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de S, como por exemplo o evento A do espaço amostral de S: ... (n) B A S • onde A e B estão contido em S.
  • 8. Noções de Cálculo de Probabilidades 2) Evento • Exemplo 3: Considerando o espaço amostral do lançamento de um dado tem-se o evento “número ímpar”: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} A 1 3 5 2 4 6 S A={1, 3, 5}
  • 9. Noções de Cálculo de Probabilidades 2.1) Evento Impossível • O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento; • O conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre. • Exemplo 4: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível. S {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ou A
  • 10. Noções de Cálculo de Probabilidades 2.2) Evento Certo • O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece. • Exemplo 5: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo. S {1, 2, 3, 4, 5, 6} A {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • 11. Noções de Cálculo de Probabilidades 2.3) Evento Complementar • Evento complementar ou A é tal que A = S–A • Exemplo 6: No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”. A = { 1, 3, 5} A = {2, 4, 6}
  • 12. Noções de Cálculo de Probabilidades 2.4) Evento Mutuamente Exclusivo Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando A B (lê - se : A e B igual a conjunto vazio) • Exemplo 7: No lançamento de um dado: A: Sair número par. B: Sair número ímpar. A B Pois se sair um número par não há como sair um número ímpar e vice - versa.
  • 13. Noções de Cálculo de Probabilidades 3) Probabilidade de um Evento • Considerando S o espaço amostral e A um evento qualquer, a probabilidade de um evento é dada por: n( A ) P( A) n(S )
  • 14. Noções de Cálculo de Probabilidades Exercícios 1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer: a) A: um número primo. b) B: um número múltiplo de 3. 2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?
  • 15. Noções de Cálculo de Probabilidades 4) Soma de Probabilidades • É calculada pela fórmula: P ( A B) P( A) P(B) P( A B) ou Onde : P( A B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou B P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A P(B) é a probabilidade de ocorrer o evento B P(A B) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B e
  • 16. Noções de Cálculo de Probabilidades Exercícios 3. Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3?
  • 17. Noções de Cálculo de Probabilidades 5) Probabilidade condicional e independente • Para dois eventos quaisquer A e B de um espaço amostral S, sendo P(B)>0, definimos a probabilidade condicional de A dado B, P(A|B), como sendo P( A B) P( A | B) OU P ( A B) P( B) P( A / B) P( B) • A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer. • Se A independe de B, então: P ( A B) P( B) P( A)
  • 18. Noções de Cálculo de Probabilidades 5) Probabilidade condicional e independente • Teorema de Bayes P( A B) P( A).P( B | A) P( A | B) P( B) P( B)
  • 19. Noções de Cálculo de Probabilidades Exercício 4. Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca. 5. Suponhamos que 10.000 bilhetes sejam vendidos em uma loteria e 5.000 em outra. Cada um tendo apenas um ganhador. Um homem tem 100 bilhetes em cada. Qual a probabilidade de que ele ganhe alguma coisa?
  • 21. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos • Vimos variáveis quantitativas e qualitativas; • Os conceitos para variáveis quantitativas são muito mais ricos do que para variáveis qualitativas; • O conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis quantitativas é muito importante e as variáveis para as quais iremos construir modelos serão chamadas variáveis aleatórias (v.a.); • As aulas que seguirão serão dedicadas para variáveis quantitativas.
  • 22. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos Variável Aleatória Discreta Variáveis quantitativas Variável Aleatória Contínua
  • 23. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Variável aleatória discreta é aquela em que podemos contar os valores; • Exemplo 1: O lançamento de um dado nos dá valores de 1 a 6 e nunca 2,444 por exemplo v.a. discreta finita • Exemplo 2: Número de carros que chegam num pedágio. Não sabemos a quantidade mas não pode chegar 0,5 carro. v.a. discreta infinita
  • 24. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Mais exemplos: - número de acidentes numa semana; - número de caras em cinco lançamento de moeda; - número de defeitos em sapatos; - número de falhas numa safra; -número de terremotos; - número de jogos empatados; - número de livros numa estante.
  • 25. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos (f.p.) V. A. D. • Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a cada possível resultado do espaço amostral • A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada valor de xi associa sua probabilidade
  • 26. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos (f.d.a.) V. A. D. • A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x por: F ( x) P( X x) • Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x, a função F assumirá um valor diferente.
  • 27. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos (exemplo) V. A. D. • Exemplo:
  • 28. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. D. • Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de falarmos sobre distribuições discretas; 1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é soma dos produtos dos valores assumidos pela variável pelas respectivas probabilidades da variável assumir tais valores Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn, então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x é definido por: n E( X ) x1P( X 1 x1 )  xn P( X n xn ) xi P( X i xi ) i 1
  • 29. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. D. Exemplo: Suponha que tem-se interesse em estudar a composição de famílias de esportistas com três filhos, quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de probabilidades: X= número de meninos x 0 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/9 E( X ) x1 P( X x1 ) x2 P( X x2 ) x3 P( X x3 ) x4 P( X x4 ) 1 3 3 1 12 3 0 1 2 3 8 8 8 8 8 4
  • 30. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. D. 2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados variam em relação a média. Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn, então a variância da v.a. X é dada por: por definição Var ( X ) E( X X )2 ( x1 X ) 2 P( X x1 )  ( xn X ) 2 P( X xn ) n 2 Var( X ) xi X P( X x) i 0
  • 31. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. D. Exemplo cont.: Suponha que tem-se interesse em estudar a composição de famílias de esportistas com três filhos, quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de probabilidades: 3 E( X ) X= número de meninos 4 x 0 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/9 3 2 Var ( X ) X X P( X x) i 0 3 2 1 3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 (0 ) (1 ) (2 ) (3 ) 2 8 2 8 2 8 2 8 4
  • 32. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Bernoulli • Características: ▫ Permitem apenas 2 resultados tipo sucesso (1) ou fracasso (0); ▫ p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1 ▫ Exemplos: 1. Um artigo esportivo é classificada como boa ou defeituosa; 2. O resultado de um exame médico de um atleta do esporte para detecção de uma doença é positivo ou negativa. 3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6; 5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa
  • 33. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Bernoulli • Mais Características: x 0 1 p x (1 p)1 x ; x 0,1 f ( x) P( X x) P(X=x) 1-p p 0; c.c Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli. Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=p 0, se x 0 Var(X)=p-p2=p(1-p) F ( x) 1 p se 0 x 1 1 se x 1
  • 34. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Bernoulli • Mais Características:
  • 35. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Bernoulli • Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X)
  • 36. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Binomial • Características: ▫ “n” repetições independentes de ensaios de Bernoulli geram uma Binomial; ▫ Teríamos de 0 a n sucessos, onde ▫ Então a função de probabilidade é: n nº total de repetiçõesdo experim ento y nº de sucessos ocorridosem n repetições n y P(Y y ) p (1 p) n y , onde y 0,1,2,3,...,n y n n! y y!(n y )! E (Y ) np V (Y ) np(1 p) ▫ Y = nº de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do experimento do tipo Bernoulli. Y~Bin(n,p)
  • 37. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Binomial • Características: p=0,1 p=0,3 • N=10 e 0.4 p variando 0.20 P(X=x) P(X=x) 0.2 0.00 0.0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 x x p=0,5 p=0,8 0.20 P(X=x) P(X=x) 0.15 0.00 0.00 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 x x
  • 38. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Modelo de distribuição Binomial • Características: p=0,1 p=0,3 • N=20 e p variando 0.15 0.20 P(X=x) P(X=x) 0.00 0.00 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 x x p=0,5 p=0,8 0.15 P(X=x) P(X=x) 0.00 0.10 0.00 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 x x
  • 39. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Exemplo Binomial: Suponha que nascimento de menino e menina dos atletas seja igualmente prováveis e que o nascimento de qualquer criança não afeta a probabilidade do sexo do próximo nascimento. Determine a probabilidade de nascer : • a)Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos. • b)Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos . • c)No máximo um menino em 10 nascimentos.
  • 40. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Discreta • Outras distribuições: ▫ Distribuição Hipergeométrica ▫ Distribuição Poisson
  • 41. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Contínua • Variável aleatória contínua é aquela em que os valores pertencem a um intervalo de números reais; • Uma característica importante é que o valor é resultado de uma mensuração, então pode ser pensado como pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente observado; • Exemplo 1: quando dizemos que a altura de uma pessoa é 175 cm, estamos medindo sua altura usando como unidade de medida e portanto o valor é, na realidade, um valor entre 174,5 cm e 175,5 cm; Morettin e Bussab, 2006
  • 42. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. C. • Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de falarmos sobre distribuições contínuas; 1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é a integral dos produtos dos valores assumidos pela variável por uma função de x Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn, então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x é definido por: E( X ) xf ( x)dx
  • 43. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. C. 2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados variam em relação a média. Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn, então a variância da v.a. X é dada por: Var( X ) ( x E ( X ))2 f ( x)dx 2 2 Var( X ) E ( X ) [ E ( X )]
  • 44. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos V. A. C. • Resumo E( X ) (X ) 2 Var ( X ) DP( X ) (X )
  • 45. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos (f.p.) V.A.C. • Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a cada possível resultado do espaço amostral • A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada valor de xi associa sua probabilidade
  • 46. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos (f.d.a.) V.A.C. • A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x por: F ( x) P( X x) • Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x, a função F assumirá um valor diferente.
  • 47. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Conceitos (exemplo) V.A.C. • Exemplo:
  • 48. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Contínua • Modelo da Distribuição Normal • Características: ▫ Permite resultados dentro de um intervalo; ▫ Exemplos: 1. Valores de depósitos em um banco; 2. Valores das alturas de indivíduos de uma escola.
  • 49. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Contínua • Modelo da Distribuição Normal • Características: ▫ Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Normal com parâmetros e se sua 2 densidade for dada por 2 1 (x )2 / 2 2 f ( x; ; ) e 2 2 onde x ; e 0
  • 50. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Contínua • Modelo da Distribuição Normal • Características: ▫ Curva Normal Simétrica: 0,4 Parâmetros: E( X ) 2 Var ( X ) f(x) DP( X ) 2 0,0 X ~ N( , ) -2 0 2
  • 51. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Variável Aleatória Contínua • Modelo da Distribuição Normal • Características: ▫ Quando a média é zero e a variância é 1 temos uma distribuição Normal Padrão: Parâmetros: 0,4 E( X ) 0 Var( X ) 1 f(x) Z ~ N (0,1) 0,0 -2 0 2 1 0 1
  • 52. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades Próxima Aula • Amostragem; • Exercícios; • Início de Estimação de Parâmetros.