[1] O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo definições de fenômenos determinísticos e aleatórios, variáveis aleatórias discretas e contínuas, e funções de probabilidade. [2] Também discute conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidade condicional, teoremas da probabilidade total e de Bayes. [3] Por fim, exemplifica cálculos de probabilidade para lançamento de dados.

1. Profª. Janine Pereira Jacinto
2º semestre de 2010
Disciplina:
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

2. CONCEITOS BÁSICOS
Fenômenos determinísticos: são aqueles que
independentemente do número de ocorrências, o
resultado será sempre o mesmo.
Exemplo: água passar do estado líquido para
gasoso após determinada temperatura.
Fenômenos aleatórios: são aqueles em que os
resultados não são previsíveis, mesmo quando temos um
número excessivo de repetições.
Exemplo: lançamento de uma moeda honesta.

3. CONCEITOS BÁSICOS
LEI DE MURPHY
 A fila do lado sempre anda mais rápido.
 A probabilidade do pão cair com o lado da manteiga virado
para baixo é proporcional ao valor do carpete.
 Se você está se sentindo bem, não se preocupe. Isso
passa.
 Quando te ligam:
a) se você tem caneta, não tem papel.
b) se tem papel não tem caneta.
c) se tem ambos ninguém liga.

4. CONCEITOS BÁSICOS
Ou seja:
Se um evento pode ocorrer, por mais improvável que seja,
essa chance cresce com a repetição do experimento.
Em cada repetição não é possível prever o resultado que
será obtido.
Os fenômenos aleatórios são caracterizados pela sua
imprevisibilidade e pela sua regularidade estatística.

5. CONCEITOS BÁSICOS
Imprevisivibilidade: fenômeno não determinístico.
Regularidade Estatística: observando o fenômeno um
grande número de vezes, nas mesmas condições, a
frequência relativa de cada resultado possível tende a
estabilizar aproximando de um valor constante.
Sendo assim, num fenômeno aleatório não se pode prever
o resultado da próxima prova, mas podemos fazer uma
previsão do resultado em média.

6. CONCEITOS BÁSICOS
Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados
possíveis do experimento, definido por S.
Evento: os resultados são constituídos de alguns
elementos, ou seja, qualquer subconjunto do espaço
amostral.
Exemplo: Considere o lançamento de um dado
Espaço Amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A={1, 3}, B={2, 4, 6}, C={3, 5, 6}

7. S
A ∪ B
A B
- Evento União: A ∪B
CONCEITOS BÁSICOS

8. - Evento de Interseção: A ∩ B
S
A ∩ B
A B
CONCEITOS BÁSICOS

9. Evento Complementar: O evento complementar de A
contém todos os elementos do espaço amostral que não
pertencem a A. É usualmente indicado por
Evento mutuamente excludente : Os dois eventos não
têm nenhum elemento do espaço amostral em comum,
isto é,
A
SA ∩ B = ∅
A
B
CONCEITOS BÁSICOS

10. Eventos – Teoria de conjuntos
1 2
3 4
5 6
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
B = {1, 3, 5}
C = Ø
D = S
⇔ P(A) = 0,5
⇔ P(B) = 0,5
⇔ P(C) = 0
⇔ P(D) = 1
⇔ P(S) = 1
#
P
#
eventos favoráveis
eventos possíveis
=
0 ≤ P(evento qualquer) ≤ 1
CONCEITOS BÁSICOS

11. Diagrama de Venn
S
B
A
A B∪
A B∩
A
A B∩
A B∪ A B= ∩
A B∩ A B= ∪
CONCEITOS BÁSICOS

12. Diagrama de Venn
A B∪
A B∩
A
ocorre A ou B ?
ocorrem A e B
simultaneamente?
não ocorre A?
CONCEITOS BÁSICOS

13. Diagrama de Venn
A B∩
A B∪ A B= ∩
A B∩ A B= ∪
ocorre somente A ?
não ocorre nem A e
nem B ?
não ocorrem A e B
simultaneamente?
CONCEITOS BÁSICOS

14. ( ) ?
( ) ?
( ) ?
P A B
P A B
P A
∪ =
∩ =
=
CONCEITOS BÁSICOS

15. Espaço Amostral Equiprovável: é quando todos os
elementos do espaço têm a mesma chance de ocorrer.
Diagrama da Árvores: forma de encontrar todos os
possíveis eventos de um espaço amostral.
Exemplo:
Lançamento de uma moeda:
(21
)
Lançamento de duas moedas:
(22
)
CONCEITOS BÁSICOS
c
k
c
k
c
k
c
k

16. A PROBABILIDADE de realização de um dado evento é
igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a
realização desse evento e o número total de casos
possíveis, desde que todos os casos sejam igualmente
prováveis.
O QUE É PROBABILIDADE?
possíveiscasosdetotalnúmero
favoráveiscasosdenúmero
P(evento) =

17. É interpretada como a frequência limite, isto é, quando n
é grande, tem-se:
Dado um fenômeno aleatório ou uma experiência
aleatória, seja S o espaço amostral associado. Chama-se
probabilidade P a uma aplicação que a cada evento
associa um número real satisfazendo as seguintes
propriedades:
O QUE É PROBABILIDADE?
)()( APAfn ≈

18. 1. , para qualquer evento A.1)(0 ≤≤ AP
2. , onde S é o espaço amostral.1)( =SP
3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então
)()()( BPAPBAP +=∪
4. Se A e B não são eventos mutuamente excludentes, então
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
PROPRIEDADES

19. - Em muitas situações existe interesse de calcular a
probabilidade de um evento restrito a determinada
condição.
-Vejamos os exemplos:
n(A): número de pessoas com astigmatismo.
n(B): número de pessoas com miopia.
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=
3 2 13
32
S
B
A
)(
)(
)(
Sn
An
AP =
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/(
Sn
Bn
Sn
BAn
BP
BAP
BAP
∩
=
∩
=
PROBABILIDADE CONDICIONAL

20. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Seja o espaço amostral S = {cc, ck, kc, kk}.
A = {cc, ck, kc} = {ocorrer pelo menos uma coroa}
B = {kc, kk} = {ocorrer cara no 1º lançamento}.
Qual a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu?
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP
∩
=
4
1
)()( ==∩ kcPBAP
3
1
4
3
4
1
)/( ==ABP

21. ( ) ( | ). ( )P A B P A B P B∩ =
Resumindo:
EVENTOS DEPENDENTES:
EVENTOS INDEPENDENTES:
( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ =
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS

22. Exemplo:
Uma cadeia de lojas vende três marcas diferentes de DVD’s.
Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata), 30% são
da marca 2 e 20% da marca 3. Cada fabricante oferece um ano
de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que 25% dos
DVD’s da marca 1 necessitam de reparos de garantia,
enquanto os percentuais para as marcas 2 e 3 são 20% e 10%,
respectivamente.
Consideremos o evento Ai = {compra da marca i} e
B = {precisa de reparo}
= B’ {não precisa de reparo}, então:
PROBABILIDADE CONDICIONAL
B

23. Continuação Exemplo:
a) A probabilidade de que um comprador selecionado
aleatoriamente compre um DVD da marca 1 que precise de
reparo durante a garantia?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
100
200
250
3
2
1
,)/(
,)/(
,)/(
=
=
=
ABP
ABP
ABP

24. Continuação Exemplo:
b) A probabilidade de que um comprador selecionado
aleatoriamente possua um DVD que necessite de reparos
durante a garantia?
PROBABILIDADE TOTALP(A
1)=0,50
Marca1
P(A 2)=0,30
Marca 2
P(A
3)=0,20
Marca3
P(B/A
1)=0,25
Reparo
P(B/A
2)=0,20
Reparo
P(B/A
3=0,10
Reparo
P(B’/A 1)=0,75
SemReparo
P(B’/A 3)=0,90
NãoReparo
P(B’/A 2)=0,80
NãoReparo
P(B/A1).P(A1)= P(B∩A1)=0,125
P(B/A2).P(A2)= P(B∩A2)=0,060
P(B/A3).P(A3)= P(B∩A3)=0,020
P(B) = 0,205

25. Resumindo:
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:
TEOREMAS IMPORTANTES
∑
n
i
ii APABPBP
1=
)()./(=)(

26. Continuação Exemplo:
c) Se um cliente voltar à loja com um DVD que precise de
reparos se garantia, qual probabilidade de ser da marca 1? E
da marca 2? E da marca 3?
TEOREMA DE BAYES
?=)/(:3
?=)/(:2
61,0=
205,0
125,0
=
)(
)(
=)/(:1
3
2
1
1
BAPmarca
BAPmarca
BP
BAP
BAPmarca
∩

27. Resumindo:
TEOREMA DE BAYES:
TEOREMAS IMPORTANTES
nj
ABPAP
ABPAP
BAP n
i
ii
jj
i ,...,
)/().(
)/().(
)/( 1
1
==
∑=

28. CONCEITOS BÁSICOS
Uma experiência aleatória é um procedimento que nos
leva a obtenção de um ou vários resultados sujeitos ao
acaso.
Consideremos, por exemplo, o espaço associado de
resultados associado ao lançamento sucessivo de uma
moeda três vezes.
S = {kkk, kkc, kck, ckk, kcc,ckc,cck,ccc}

29. CONCEITOS BÁSICOS
Analisemos: o número de caras que saem.
Assim, passamos a associar a cada elemento do espaço
amostral um número de caras observadas.
Representamos então, o espaço amostral por valores
numéricos que correspondem a cada resultado possível
descrito.

30. CONCEITOS BÁSICOS
Estes são os valores assumidos pela variável em análise.
X

31. CONCEITOS BÁSICOS
Variável Aleatória: costuma ser representada por X, a
uma função cujo valor é um número real determinado
pelo resultado de uma experiência, isto é:
X: S R
No exemplo temos:
• X=0, então pode ocorrer o evento que ocorre é {ccc};
• X=1, então pode ocorrer os eventos: {kcc, ckc, cck};
• X=2, então pode ocorrer os eventos: {ckk, kck, kkc};
• X=3, então pode ocorrer o evento que ocorre é {kkk};

32. CONCEITOS BÁSICOS
Função de Probabilidade: função que associa a cada
valor assumido pela variável, a probabilidade do evento
correspondente, isto é: P(X=xi) = P(Ai), i=1, 2, 3,..., n.
P(X=0) = P(A1) =
P(X=1) = P(A2) =
P(X=2) = P(A3) =
P(X=3) = P(A4) =
8
1
8
3
8
3
8
1

33. CONCEITOS BÁSICOS
Ou seja:
Esquematicamente: Graficamente:
X P(X)
0
1
2
3
1
8
3
8
1
8
3
8
1

34. CONCEITOS BÁSICOS
Ao conjunto {(xi,p(xi)), i= 1, 2, ..., n} damos o nome de
Função de Distribuição Acumulada da variável X, que
representamos por F(.) ou Fx(.).
É importante verificar que para haja uma distribuição de
probabilidades de uma variável aleatória X é necessário
que :
∑=
=
n
i
ixp
1
1)(

35. CONCEITOS BÁSICOS
Ou seja, assim definida:
Calculando: Graficamente:











≥
<≤
<≤
<≤
<
=
.3,1
;32,
8
7
;21,
8
4
;00,
8
1
;0,0
(.)
x
x
x
x
x
Fx
}{ 1,0: →RF )()( xXPxF ==

36. CONCEITOS BÁSICOS
Exemplo:
Lançam-se dois dados. Seja X: soma das faces.
1) Determinar a distribuição de probabilidade de X.
2) Calcular:
a) P(X ser par)
b) P(X ≥ 3)
c) P(X ser múltiplo de 3).

37. Dois Tipos de Variável Aleatória
Assim como definido antes os tipos de variáveis
numéricas, as v.a.’s podem ser discretas e
contínuas.
V.A. DISCRETA: é uma variável cujos valores
possíveis constituem um conjunto finito ou podem ser
relacionados em uma sequência infinita na qual haja
um 1º elemento, um 2º e assim por diante.
CONCEITOS BÁSICOS

38. Por exemplo:
Seja X: número de partículas observadas em um
a fonte radioativa durante determinado tempo.
Quais os possíveis valores de X?
Nesse intervalo finito de tempo, X pode assumir
valores de x = 1,2, ..., N, considerando N um número
inteiro muito grande.
CONCEITOS BÁSICOS

39. V.A. CONTÍNUA: uma variável aleatória é contínua se seu
conjunto de valores possíveis consiste em um intervalo
completo da reta de números.
Por exemplo:
Se um composto químico for selecionado
aleatoriamente e determinarmos seu pH X, então X é
uma valor de pH entre 0 e 14 é possível.
CONCEITOS BÁSICOS

40. Para estudar as propriedades básicas da v.a.
discreta são necessários conhecimentos básicos
da matemática discreta: soma e subtração.
No caso da v.a. contínua, a base é dada pela
matemática contínua do cálculo: integrais e
derivadas.
CONCEITOS BÁSICOS

41. Uma distribuição de probabilidade pode ser
representada por características numéricas as quais
chamamos parâmetros.
Um primeiro parâmetro a ser apresentado é o Valor
Esperado ou Esperança Matemática (ou
simplesmente média).
VALOR ESPERADO
xii μxpxXE =)(.=)( ∑

42. Exemplo:
Uma loja de computadores comprou três computadores de certo tipo
a US$ 500 cada. Eles serão vendidos a US$ 1.000 cada.
Fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadores
não vendido, após um período especificado, por US$ 200 cada. Seja
X o número de computadores vendidos e suponha que p(0) = 0,1,
p(1) = 0,2, p(2) = 0,3 e p(3)= 0,4. Definindo como h(X) o lucro
associado á venda de X unidades, as informações fornecidas
implicam que,
h(X) = receita – custo = 1000X+200.(3 - X) -1500 = 800X-900.
Qual é o lucro esperado, ou seja, qual o valor de E[h(X)]?
VALOR ESPERADO

43. h(x) = 800x-900 x={0, 1, 2, 3}
h(0) =-9 00
h(1) = -100
h(2) = 700
h(3) = 1500
X= 0 1 3
h(x)=y= -900 -100 700 1500
P 0,1 0,2 0,3 0,4
E[y] = -900.0,1+(-100).0,2+700.0,3+1500.0,4
E[y] = 700
VALOR ESPERADO

44. E[x] = 0.0,1+1.0,2+2.0,3+3.0,4
E[x]=2
E(h(x)) = 800 . E(x) – 900
E(h(x)) = 800 . 2 – 900
E(h(x)) = 700
VALOR ESPERADO

45. Proposição
Se a v.a. X tiver um conjunto de valores possíveis D e uma
função de distribuição de probabilidades p(x), o valor
esperado de qualquer função h(x), expresso por E[h(x)] é
calculado por :
( )[ ] ∑∈
=
Dx
xpxhxhE )().(
VALOR ESPERADO

46. Propriedades do valor esperado
1.
2.
3.
bXEabaXE +)(=)+( .
bXEbXE +=+ )()(
)(=)( XEaaXE .
VALOR ESPERADO

47. VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO
)(.)(=)( 2
∑ ixi xpμxXVar -
)(=)( XVarXDP
A medida que dá o grau de dispersão de
probabilidades em torno da média é a Variância.
OU
O Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância.
[ ]22
)()(=)( XEXEXVar -

48. Exemplo
Calcular a variância e desvio padrão de X e de h(X) no
problema da venda de computadores.
[ ]22
)()()( XEXEXV −=
E(x²)=0².0,1+1².0,2+2².0,3+3².0,4
E(x²) = 5
[E(x)]²=2²=4
V(x) = 5-4 = 1
)(XVX =σ 1=xσ
VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO

49. A partir da distribuição de probabilidade de uma
variável aleatória é possível conhecer o que
acontece em média com essa variável.
Para cada distribuição de probabilidade que
conheceremos adiante, conheceremos o Valor
Esperado e a Variância da v.a. (discreta ou
contínua).
VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA

50. 1) A função de distribuição de probabilidade de X =
número de defeitos graves em um eletrodoméstico
selecionado aleatoriamente é
Calcule os dados a seguir?
a) E(X);
b) V(X);
c) O desvio padrão de X.
Exercício:
x 0 1 2 3 4
p(x) 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05