Teoria_das_Probabilidades_processos_estocasticos.pptx

Processos Estocásticos:
Elementos da Teoria de Probabilidades
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Prof. Marcelino Silva – marcelino@ufpa.br

Introdução
 O que é probabilidade?
 Segundo o dicionário Aurélio: “Qualidade do que é provável; Indício
que deixa presumir a verdade ou possibilidade de um fato”.
 Segundo Jay Devore: “Em qualquer situação em que ocorrem diversos
resultados, a teoria da probabilidade oferece métodos de quantificação
das chances ou possibilidades de ocorrência associadas aos diversos
resultados”.

Introdução
 Exemplos de aplicação da teoria das probabilidades:
 Sistemas telefônicos:
 Qual a probabilidade de uma ligação ser recusada devido a “rede
estar ocupada”?
 Redes de computadores:
 Qual a probabilidade de um pacote ser recebido com erros?
 Qual a probabilidade de um pacote ser descartado no roteador?
 Sistemas bancários:
 Qual a probabilidade de esperar mais de 10 minutos na fila?
 Supermercado:
 Qual a probabilidade de faltar açúcar?

Definições Básicas
 Experimento (E) - todo processo que nos fornece dados:
 Pode ser a observação de um fenômeno natural (meteorológica,
sísmica, astronômica, etc.);
 Teste para verificar a durabilidade de uma peça;
 Pesquisa de opinião;
 Verificar o resultado de um exame de sangue;
 Jogar na loteria;
 Etc.

 Quando o resultado de diferentes realizações do experimento,
todas sob as mesmas condições, é sempre o mesmo, dizemos que
este é um experimento determinístico:
 Verificar quanto tempo demora para percorrer um distância de 10km a
uma velocidade de 40km/h: Independente de quantas vezes o
experimento é repetido o resultado sempre será 15 minutos.
 Sob CNTP verificar qual o ponto de ebulição da água: sob CNTP o
ponto de ebulição sempre será 100ºC.

 Quando os resultados de diferentes realizações do experimento,
todas sob as mesmas condições, são imprevisíveis, mas podemos
dizer quais são os possíveis resultados, dizemos este é um
experimento aleatório:
 Uma mesma pessoa joga um mesmo dado para cima diversas vezes,
qual face do dado ficará para cima? Não se tem certeza de qual face
ficará para cima, mas se sabe que pode ser a face 1, 2, 3, 4, 5 ou 6;
 De dez cartas tiradas de um baralho aleatoriamente e sem reposição,
quantas serão “reis”? Não se sabe exatamente quantas, mas se sabe
que podem ser nenhuma, 1, 2, 3 ou 4;

 Espaço amostral (S) – corresponde ao conjunto de todos os
possíveis resultados de um experimento:
 Experimento E = jogar um dado para cima e observar qual face fica
para cima. Espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
 Experimento E = jogar uma moeda para cima e observa qual face fica
para cima. Espaço amostral S = {cara, coroa};
 Experimento E = jogar uma moeda para cima três vezes e observar
quantas vezes a face coroa aparece. Espaço amostral S = {0, 1, 2, 3};

 Evento (A) – qualquer subconjunto do espaço amostral S:
 Experimento E = jogar um dado para cima e observar qual face fica
para cima. Espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Uma face par caiu para cima: E1 = {2, 4, 6}
 A face para cima é um número primo: E2 = {2, 3, 5}
 Experimento E = jogar uma moeda para cima três vezes e observar
quantas vezes a face coroa aparece. Espaço amostral S = {0, 1, 2, 3}
 O nº de coroas é maior que o nº de caras: E1 = {2, 3}

 O espaço amostral pode ser:
 Discreto: quando formado por um conjunto finito ou infinito contável;
 Exemplo 1:
E = jogar um dado e verificar a face para cima
S = {s: face do dado} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Exemplo 2:
E = contar a quantidade de jogadas necessárias para uma moeda cair
com a face coroa para cima
S = {s: s Z|s>0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

 O espaço amostral pode ser:
 Contínuo: quando formado por um conjunto infinito incontável;
 Exemplo:
E = observar a temperatura da água em estado líquido e sob CNTP
S = {s: sR | 0ºC < s < 100ºC}

Axiomas da Probabilidade
 Medida de Probabilidade:
 Dado um experimento aleatório E e um espaço amostral S, o objetivo
da probabilidade é atribuir a cada evento A um número P(A),
denominado probabilidade do evento A, o qual fornece uma medida
da chance do evento A ocorrer.
 Esta medida de probabilidade deve seguir os seguintes axiomas
(axiomas de Kolmogorov):
 Axioma 1: para qualquer evento A S, P(A)≥0
 A probabilidade de um evento deve ser não negativa;
 Axioma 2: P(S) = 1
 A probabilidade de ocorrer qualquer evento pertencente ao espaço
amostral é 1 (certeza)

Axiomas da Probabilidade
 Axioma 3: considerando dois eventos A S e B S, se AB=,
então
P(A+B) = P(A) + P(B)
 Se os eventos A e B são formados por conjuntos disjuntos, diz-se que
A e B são mutuamente exclusivos e a probabilidade de ocorrer A ou
B é igual a somas das probabilidades de A e B.
 De forma geral, dado um conjunto de eventos mutuamente exclusivos
A1, A2, A3, ... Ak, então
P(A1  A2  A3 ...  Ak )  P(Ai) k [1,[
i1
k


Propriedades da Probabilidade
 Dos axiomas, tem-se as seguintes propriedades:
 P(A) = 1 – P(A’)
Demonstração:
Como AUA’= S e A e A’ são mutuamente exclusivos, então:
P(AUA’) = P(S) = 1
P(A) + P(A’) = 1
P(A) = 1 – P(A’)
 P() = 0
Demonstração:
Como AU = A e A = , então:
P(AU) = P(A) + P()
P(A) = P(A) + P() , então P() deve ser igual a zero

 0≤P(A)≤1
Demonstração
Como P(A)≥0 e no máximo P(A)=1, quando A=S, então 0≤P(A)≤1
 Dado dois eventos AS e BS, P(B) = P(BA) + P(BA’)
Demonstração:
B = BS = B(AUA’) = (BA)U(BA’)
Então P(B) = P( (BA)U(BA’) ) = P(BA) + P(BA’)

 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Demonstração
Nota-se pelo diagrama de Venn que AUB = AU(A’B), então
P(AUB) = P(A)+P(A’B)
Como P(B) = P(BA) + P(BA’),então
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, então AB= e
P(AB) = 0, então P(AUB) = P(A) + P(B) – 0, o que comprova o axioma
3.

Medindo e Interpretando a Probabilidade
 Considere um experimento que pode ser repetido de forma
indefinida, sempre sob as mesmas condições;
 A freqüência relativa de um evento A, fn(A), será a razão entre o nº
de vezes que o evento A ocorreu, n(A), pelo nº de repetições do
experimento, n;
 A medida que n cresce fn(A) passa a se tornar constante, assim

fn (A) 
n(A)
n
lim
n
fn (A)  P(A)

 Entendendo probabilidade como um processo de contagem:
 Considere um evento A como um conjunto de outros eventos mais
simples Ai, os quais são mutuamente exclusivos e igualmente
prováveis, então
 Exemplo:
A = {a: cair face par do dado}
A1 = {a: cair face 2}; A2 = {a: cair face 4}; A3 = {a: cair face 6}
A = A1 U A2 U A3
P(A)= P(A1) + P(A2) + P(A3)

P(A)  P(Ai)
Ai A


 Considere P(Ai) = p, então P(A) = Np, onde N é nº de eventos simples
de A;
 Considerando que A=S, então P(A) = P(S) = 1 = Np, assim p = 1/N
 Isto quer dizer que quando se tem N eventos equiprováveis, a
probabilidade de cada evento ocorrer é p = 1/N;
 Considerando agora que AS, e que A pode ser divido em N(A)
eventos simples equiprováveis, então
 Isto quer dizer que para calcular a probabilidade de um evento A
ocorrer, dividi-se o espaço amostral S em eventos simples
equiprováveis e calcula-se a razão entre o nº de eventos simples
favoráveis (eventos que compõem A) pelo nº total de eventos simples
(eventos que compõem S)

P(A)  P(Ai)
i1
N(A)
  1
N
i1
N(A)
 
N(A)
N

Interpretando a Probabilidade
 Numericamente, os três são iguais:
N
A
N
A
f
A
P n
n
)
(
)
(
lim
)
( 




Técnicas de Contagem
 Verificamos que se o espaço amostral S é composto por um total
de N eventos simples equiprováveis e se o evento A é o
agrupamento de alguns desses eventos simples, sendo NA o total
de eventos simples que compõem A, então a probabilidade do
evento A ocorrer pode ser calculada como
 Ou seja, para calcular a probabilidade é necessário realizar a
contagem dos eventos;
 Para isto, utilizaremos algumas técnicas de contagem.

P(A)  P(Ai)
i1
NA
  1
N
i1
NA
 
NA
N

 Considere a realização de uma tarefa A que pode ser subdividida
em sub-tarefas A1, A2, ..., An, sendo que primeiro deve ser
realizado A1, depois A2 e assim por diante. Para cada sub-tarefa Ai
existe um número NAi de possibilidades de execução. Então, pode-
se calcular o número máximo de possibilidades de execução da
tarefa A como
NA = NA1 NA2 NA3 ... Nan
 Esta operação é chamada de Regra do Produto.

 Formalmente:
 Defina uma k-tupla como um conjunto ordenado de k elementos.
 Ex: Jogar uma moeda para cima 2 vezes e observar as faces. A observação de
cada resultado (ex. {cara,coroa}, {cara, cara}, etc. ) será uma 2-tupla.
 Regra do Produto: suponha que um conjunto A consiste em vários
elementos cada um uma k-tupla. Para o primeiro elemento da k-tupla
há n1 escolhas possíveis. Para cada escolha do primeiro elemento da
k-tupla há n2 escolhas possíveis para o segundo elemento; para cada
escolha do segundo elemento da k-tupla há n3 escolhas possíveis para
o terceiro elemento; e para cada escolha do (k-1)-ésimo elemento da k-
tupla há nk escolhas possíveis para o k-ésimo elemento. Então o
número de k-tuplas em A é
n1n2n3 ... nk

 EXEMPLO 1:
 Para realizar a reforma de uma casa é necessário contratar um
pedreiro, um encanador e um eletricista. Sabendo estão disponíveis 5
pedreiros, 7 encanadores e 4 eletricistas. Quantas equipes diferentes
podem ser contratadas?

 EXEMPLO 1:
 Para realizar a reforma de uma casa é necessário contratar um
pedreiro, um encanador e um eletricista. Sabendo estão disponíveis 5
pedreiros, 7 encanadores e 4 eletricistas. Quantas equipes diferentes
podem ser contratadas?
 RESP: (5)(7)(4) = 140

 EXEMPLO 2:
 Considere que um dado é jogado para cima 4 vezes e observa-se
como resultado do experimento a combinação das faces que caiu (ex.
{3, 1, 1, 5}, {6, 1, 3, 5}, etc.). Quantos resultados possíveis há para este
experimento?

 EXEMPLO 2:
experimento?
 RESP: (6)(6)(6)(6) = 1296
 E quantos resultados possíveis há para quando considere apenas as
combinações em que a primeira face é um número par?

 EXEMPLO 2:
experimento?
 RESP: (6)(6)(6)(6) = 1296
 E quantos resultados possíveis há para quando considere apenas as
combinações em que a primeira face é um número par?
 RESP: (3)(6)(6)(6) = 648

 Nos exemplos anteriores cada elemento sucessivo da k-tupla era
selecionado de conjuntos diferentes (pedreiro, encanador,
eletricista) ou de um mesmo conjunto, mas com reposição (como
no exemplo dos dados).
 Considere agora problemas onde a k-tupla é formada a partir de
elementos selecionados de um mesmo conjunto, mas sem
reposição, ou seja, cada elemento do conjunto pode aparecer na k-
tupla no máximo uma vez.

 Arranjos:
 Qualquer seqüência ordenada de k objetos distintos selecionados de
um conjunto de n objetos distintos é denominado de arranjo de
tamanho k dos objetos. O número de arranjos possíveis de tamanho k
do total de n objetos possíveis pode ser calculado como

An,k  n(n 1)(n 2)...(n  k 2)(n  k 1)
An,k 
n!
(n  k)!
An,k 
n(n 1)(n 2)...(n  k 2)(n  k 1)(n  k)(n  k 1)...(2)(1)
(n  k)(n  k 1)...(2)(1)

 EXEMPLO 3:
 Escolher três companhias de aviação para fazer o translado Belém,
São Paulo, Rio de Janeiro, Belém, sendo uma companhia para cada
trecho da viagem. Considerando que há um total de 6 empresas e
considerando que desejo viajar cada trecho por uma companhia
diferente, de quantas formas diferentes posso montar minha viagem?

 Considere agora que continuo montando seqüências de k
elementos diferentes de um conjunto de n elementos, sendo que a
ordem em que os elementos aparecem não importa mais.
 Combinação:
 Dado um conjunto de n objetos diferentes, qualquer subconjunto não-
ordenado de tamanho k é denominado combinação. O número de
combinações possíveis de tamanho k do total de n objetos possíveis
pode ser calculado como
n
k






An,k
k!

n!
k!(n  k)!

 O almoxarifado da universidade recebeu 25 novos computadores,
sendo 15 notebooks e 10 desktops. Se aleatoriamente serão
entregues 6 computadores a um determinado departamento, qual
a probabilidade deste departamento receber exatamente 3
notebooks e 3 desktops?

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