MATEMÁTICA

1. PROBABILIDADE
Introdução
No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense,
Chevalier de Mère, propôs a Blaise Pascal (1623 – 1662)
algumas questões sobre possibilidades de vencer em
jogos.
Uma questões foi: “Um jogo de dados entre dois
adversários chega ao fim quando um dos jogadores
vence três partidas em primeiro lugar.
Se esse jogo for interrompido antes do final,
de que maneira cada um dos adversários deve ser
indenizado?”.
Pascal escreveu a Pierre de Fermat (1601 – 1665)
sobre esse problema, e a correspondência entre eles deu
subsídios à teoria das probabilidades.

2. Noções iniciais
• Na teoria das probabilidades, estudamos os
experimentos aleatórios equiprováveis
, isto é, experimento onde qualquer resultado
pode ocorrer com a
mesma chance.
• Exemplo:
• No lançamento de uma moeda, a probabilidade
de ocorrer
• cara ou coroa é a mesma.

3. Espaço amostral ou conjunto
universo
É o conjunto U de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório equiprovável.
O número de elementos
desse conjunto é indicado por n(U).
EXEMPLO :
Lançar uma moeda duas vezes e observar a
seqüência de caras e coroas
U = {(K,K) ,(K,C),(C,K),(C,C)}

4. Evento
• É qualquer subconjunto do espaço amostral U.
• Exemplo:
• No lançamento de um dado, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e
n(U) = 6
• sendo A = {2, 4, 6} o evento obter um número par e
• = {1, 3, 5} o evento obter um número ímpar, temos
• :
• = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U e = Ø, logo
• e A são eventos complementares
AA∪ AA ∩
A
A

5. Probabilidade de um evento
• É dada pelo quociente da divisão do número de
casos favoráveis pelo número de casos possíveis.
• - A probabilidade de um evento é sempre um
número de 0 (probabilidade do evento impossível)
• a 1 (probabilidade do evento certo).

6. Exemplos:
• a) Considerando o lançamento de um dado e o
evento obter um número primo , temos:
• U = {1, 2, 3, 4 5, 6}, n(U) = 6,
• A = {2, 3, 5} e n(A) = 3

7. • b) O lançamento de 2 moedas e o evento ocorrer cara
• pelo menos 1 vez, e representando cara por C e coroa por D,
• temos:
• U = {(C, C), (C, D), (D, C), (D, D)}; n(U) = 4
• A = {(C, C), (C, D), (D, C)}; n(A) = 3

8. 01.
EXERCÍCIOS
(UCSAL / 2004) Uma caixa contém 10 bolas
idênticas numeradas de 1 a 10.
Retirando-se 2 bolas, simultaneamente,
ao acaso, a probabilidade de que os números
marcados sejam consecutivos é:
a) 8%
b) 10%
c) 16%
d) 20%
e) 24%

9. 02. (FRB/2006) As pastas de um arquivo, numeradas de 1
a
6, foram colocadas lado a lado em uma estante de forma
aleatória. A probabilidade de essas pastas terem
sido colocadas na ordem crescente 1, 2..., 6 é igual a

10. • 03. (FBDC / 2005) Em um grupo de vinte
rapazes e trinta moças, metade dos rapazes
• e a quinta parte das moças cursam Medicina
• . Escolhendo-se uma pessoa desse grupo,
• ao acaso, a probabilidade de que seja um rapaz
ou estudante de Medicina é:
• a) 52%.
• b) 60%.
• c) 66%.
• d) 70%.
• e) 72%.

11. • 4. (HÉLIO ROCHA/2005.2) Imaginemos uma pessoa, fazendo
• um concurso cuja prova é do tipo VERDADEIRO OU
• FALSO”. Imaginemos, ainda, que ela, estando desesperada,
• responde as 20 questões na base do “chute”. A probabilidade
• de essa pessoa acertar toda a prova é igual a:

12. • 5.De um baralho com 52 cartas tiram-
se ,sucessivamente ,sem reposição ,duas
cartas .Determinar a probabilidade dos
eventos :
• a) as duas cartas são damas
• b) as duas cartas são de ouro

13. RESOLUÇÃO
CALCULO DO NÚMERO DE
ELEMENTOS DO ESPAÇO
AMOSTRAL
1ª POSSIBILIDADE
52
Cálculo do número de
elementos do evento A:
duas Damas
2ª POSSIBILIDADE
51
n(U)=52.51=2652
Temos 4 damas ,portanto
n(A) =A4,2=12
→
2652
12
)(
)(
)( ==
Un
An
AP

14. • 6.Considere um conjunto de 10 frutas em
que 3 estão estragadas .Escolhendo-se
ao acaso 2 frutas desse conjunto ,
determinar a probabilidade de :
• a) ambas não serem estragadas
• b) pelo menos uma estar estragada

15. • 7.Com os dígitos 1, 2, 3,4,5 são formados
números de 4 algarismos distintos .Um
deles é escolhido ao acaso .qual é a
probabilidade dele ser :
• a) par ?
• b) ímpar ?

16. RESOLUÇÃO
• Seja U o conjunto dos números de quatro algarismos
distintos formados com os dígitos 1,2,3,4,5, .Então :
• n(U) = A5,4= 120
• Seja B o evento , o número escolhido é par .Então :
• → A4,3=24
• assim ,n(B) = 48 Logo
• →A4,3=24
•
4
2
120
48
)( =AP

17. • 8.Você faz parte de um grupo de 10
pessoas ,para três das quais serão
distribuídos prêmios iguais . A
probabilidade de que você seja um dos
premiados é :
• a) 0,1
• b) 0,2
• c) 0,4
• d) 1/5
• e) 2/5

18. Resolução
• Neste experimento são sorteadas 3 pessoas .Assim ,o
espaço amostral é constituído por todos os subconjuntos de 3
pessoas que se podem formar entre as 10 pessoas .Logo ,o
número de elementos do espaço amostral é:
• n(U) = C10,3=120
• O evento considerado é formado por aqueles subconjuntos
de que você faz parte ,juntamente com mais duas outras
pessoas , que são escolhidas entre as 9 restantes .Assim :
• n(A) = C9,2=36
• Portanto :
• P(A)= e a alternativa correta é a letra c10
3
120
36
=

19. • 9)Em uma loteria com 30 bilhetes , 4 são
premiados .Comprando-se 3 bilhetes ,
qual a probabilidade de :
• a) nenhum estar premiado ?
• b) apenas um ser premiado ?

20. Resolução
• a) Seja o universo n(U) = C30,3 = 4.060
• e seja o evento A: nenhum dos bilhetes é
premiado .
• Como dos 30 bilhetes 4 são premiados temos
que 26 não são premiados logo:
• n(A) = C26,3 =2.600 portanto
•
• P(A) =
203
130
4060
2600
)(
)(
==
UN
An

21. • b)
• Para termos um premiado , 2 devem ser não
premiados , logo :
• n(B) = C4,1.C26,2= 1300 , logo :
• P(B) =
203
65
4060
1300
)(
)(
==
Un
Bn

22. • 10) Uma moeda é viciada , de tal modo
que a probabilidade de sair cara é duas
vezes maior que a de sair coroa . Calcule
a probabilidade de ocorrer cara no
lançamento dessa moeda .

23. Resolução
• O espaço amostral é :
• U = { cara , coroa }
• Evento A : ocorrer cara tem probabilidade PA = 2x
• Evento B : ocorrer coroa tem probabilidade PB = x
como o evento B é o complementar de A , temos :
• P(A) + P(B) = 1 temos 2x + x =1 , logo x = ,
então P(A) =2/3 e P(B) =1/3
• Resposta : 2/3
3
1

24. Probabilidade de união de eventos
AA
BB
A∩BA∩B
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

25. Demonstração
• Sejam A e B eventos de um mesmo espaço
amostral U .Sabemos que :
• n(A U B )=n(A) + n(B) – n(A∩B).
• Se todos forem divididos por n(U) teremos:
• Logo temos :
• P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
Un
BAn
Un
Bn
Un
An
Un
AUBn ∩
−+=

26. Exercícios
• 1.De um baralho de 52 cartas deseja-se sortear
uma carta .Qual a probabilidade de que seja um
rei ou uma carta de ouros ?

27. • 2.Em um grupo de 500 estudantes ,80 estudam
Engenharia ,150 estudam Economia e 10
estudam Engenharia e Economia .Se um aluno
é escolhido ao acaso .Qual a probabilidade de
que :
• a) ele estude Economia e Engenharia?
• b) ele estude somente Engenharia?
• c) ele estude somente Economia?
• d) ele estude Engenharia ou Economia?
• e) ele não estude Engenharia ,nem Economia

28. Eventos mutuamente exclusivos
• Sabemos que :P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)
• Se n(A∩B) = ø , os eventos A e B dizem-se
mutuamente exclusivos .Isso significa que
eles não podem ocorrer simultaneamente .
• Como neste caso P(AUB) = 0 temos:
P(AUB)=P(A)+P(B)
Esta relação é conhecida como :
Regra da soma .

29. Evento complementar
• Indiquemos por o evento
complementar de A em relação ao
espaço amostral .Este é um caso de
eventos mutuamente exclusivos , pois :
A ∩ = ø
Assim :
P(AUB)=P(A)+P( )
e como AU = U ,temos P(AU )=P(E)=1
Daí resulta que :P(A) + P( ) = 1
U
A
A
A
A
A
A A
A

30. Exercícios
• 1.Escolhendo-se ao acaso um número de
1 a 40 , qual é a probabilidade de que ele
não seja múltiplo de 3 ?

31. Resolução
• Se A é o evento sair múltiplo de 3 ,então o
evento não sair múltiplo de 3 é o complementar
.
• De 1 a 40 existem 13 múltiplos de 3 : logo :
• N(A)=13
• Assim :
• P( ) = 1 – P(A) =1-13/40=27/40
A
A

32. • 2.Uma urna contém 5 bolas brancas e
três vermelhas .Sorteando-se três delas
qual é a probabilidade de que pelo menos
uma seja vermelha ?

33. Resolução
• O espaço amostral é constituído de pelos grupos de 3
bolas formados com as 8 bolas da urna.
• temos :
• N(U) = C8,3=56
• O evento A que nos interessa é formado pelos grupos
em que pelo menos uma bola é vermelha . Assim ,
será formado pelos grupos em que nenhuma das tres
bolas é vermelha .Em outras palavras , é formada
pelos grupos de 3 bolas brancas .temos :n( ) = C5,3= 10 e
P( )= 10/56
• E , então P(A) = 1 – P( ) = 1 – 10/56 = 23/28
A
A
A

34. Probabilidade condidional
• Seja B ≠ ø um evento do espaço amostral U e
considere Também outro evento A desse espaço
amostral .
• Chamamos probabilidade condicional de A em B ,a
probabilidade de ocorrer o evento A , supondo que B
ocorreu.Note que “supor que B ocorreu “ equivale a
considerar B como sendo o novo espaço amostral (pois
os resultados fora de B deixaram de ser resultados
possiveis).Além disso do evento A só são possiveis
aqueles resultados que estão dentro de B,isto é os
resultados que formam a intersecção A∩B
P[ A|B] = ][
][
Bn
BAn ∩

35. Exercícios
• 1.No lançamento de um par de dados ,
verificou-se que resultou soma 8 .Qual é a
probabilidade de um dos dados
apresentar o número 3?

36. Resolução
É dado que resultou soma 8 ,esse é o evento B :
B= {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2)}
Que tem n(B) = 5 elementos .
O evento A∩B , dado por “ dar a soma 8 e apresentar o numero
3 “ é
A∩B = {(3,5),(5,3)}
e tem-se que : n(A∩B) =2
Assim : P[ A|B] = = 2/5
][
][
Bn
BAn ∩

37. Regra do produto
• A probabilidade condicional do evento B , dado A é obtida
por
P[B|A] =
Donde :
P[A∩B] = P[A].P[B|A]
Essa ultima relacão justifica umprincipio analogo à ”regra do
produto” que vimos na analise onbinatória .Vejamos atraves
dos exercicios , como a regra pode ser usada .
][
][
Bn
BAn ∩

38. Exercícios
• 1.De uma urna contendo-se 5 bolas brancas e 3 bolas
verdes , retiramos ao acaso duas bolas
sucessivamente , sem repor a primeira bola para retirar
a segunda . Qual é a probabilidade de ambas serem
brancas ?
• Resposta :
• 5/8.4/7=5/14

39. • 2. Resolva o exercício anterior ,supondo
que a primeira bola é necessariamente
recolocada na urna antes de ser sorteada
a segunda .
• Resposta
• 5/8.5/8=25/64

40. • 3.Retiramos uma carta de um baralho .
Em seguida (sem repor a primeira )
retiramos uma segunda carta . Qual a
probabilidade de a primeira ser um ás e a
segunda um rei?
• Resposta
• 4/52.4/51= 4/663
•