SlideShare uma empresa Scribd logo
Apostila de Matemática Aplicada

   Volume 1 – Edição 2004


 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna




                                  1
Capítulo 1 - Revisão

Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns exercícios,
dos principais tópicos já estudados.

Os tópicos selecionados para esta revisão são:

Cálculo Numérico;
Cálculo com Números percentuais;
Cálculo algébrico;
Equações e Sistemas do 1o grau;
Equações e Sistemas do 2o grau.

1.1 Cálculo Numérico

Operações com frações

Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum.

1 3 1 15 + 18 − 5 28 14
 + − =           =   =
2 5 6     30       30 15

Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerdor o
produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos
denominadores.

3 2 6   3
 × =  =
4 5 20 10

Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da
primeira fração pelo inverso da segunda fração.

1 3 1 4 4 2
 ÷ = × = =
2 4 2 3 6 3

Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos
sinais indicativos e das operações matemáticas.

          Prioridade dos Sinais        Prioridade das Operações
          1          ( )           1   Exponenciação e Logaritmação
          2          [ ]           2   Potenciação e Radiciação
          3         { }            3   Multiplicação e Divisão
                                   4   Adição e Subtração


                                                                               2
Calcule o valor numérico das expressões:

a) 2 + {5[3 − (5 − 10) + 1] + 4} − 3




                                                           R: 48
     4 71 4 1
b)    +  + −
     3 52 9 5




                                               R: 221/90 ou 2,46
    43 1   17 2 
c)  +  ×  − 
    11 10   8 5 




                                           R: 30429/4400 ou 6,92
   47 
     − 1
   53 
d)  2
      −3
    9



                                             R: -48/125 ou - 0,38
                                                                3
                   1  
e) 3− 1 + 12  − 13 + 41 −  − 1 − 1
                        3  




                                                                               R: -414
Potenciação

Potenciação de expoente inteiro: Seja a um número real e m e n números
inteiros positivos. Então:

a n = a.a.a.a.....a (n vezes)             a n ⋅ a m = a m+ n
a0 =1                            a n ÷ ⋅a m = a m − n → a ≠ 0
a1 = a                           (a )
                                   m n
                                          = a m ⋅n
            1                    a
                                      n
                                      an
a −n =        →a ≠0                = n →b≠0
            a                    b  b

     1
a)     + 5 3 − 2 −4
     4




                                                                R: 2003/16 ou 125,1875
       −3             −5
b) 2        + ( −4)




                                                                          R: 127/1024
                                                                                     4
c) 14 + (−2)4 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 ⋅ 2




                                                                         R: 42
                            −2
   4 1                                      1
d)  − + 1                      +
                                     1 + 3 2 − (4 − 5)
                                                     −2
   5 2 




                                                                   R: 1069/1521
Potenciação de expoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de
potência.

            1
n
     a =a       n

                m
n
     am = a         n



Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real:
     − 25 ∉ R

a) − ( −2) + ( −1) − 25 − 3 − 5 ÷ 25
          3       0        2   3




                                                                          R: 0
     − (−2) − 272       3
b)
      (−3 + 5)0 − 2



                                                                          R: 7

                                                                              5
Exercícios
1) Calcule o valor das expressões:

         2                3
   1 4 2 2
a)   × + ÷  
   4 5 5 3




                                       R: 7/5
    1         1
   1 − 
    2         5
b)        +        2
      3      4
      4     1 − 
             5




                                      R: 17/3
     1                          1
c)     + 0,19 ÷  4 − 0,8 ÷ 0,5 − 
     4                          2




                                      R: 7/20
     0,1 − 0,01
d)
     0,2 − 0,02




                                       R: 1/2

                                            6
2) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões:

     256 ⋅ 4 9                                 9 3 ⋅ 27 4 ⋅ 3 −7
a)                                          b)
         87                                       1
                                                     ⋅ 243 2
                                                  3




     125 6 ⋅ 25 −3                               12 ⋅10 −3 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 9
c)                                          d)
     (5 )2 −3
                ⋅ 25 7                                    3 ⋅10 −1 ⋅ 10 4




Respostas: a) 2 5 = 32   b) 32 = 9   c) 54 = 625 d) 0,4

3) Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma
potência de 10:

a) 0,3 =                 b) 3000 =                        c) 0,005 =



d) 0,0625 =              e) 3,45 =                        f) 8000000 =



4) Calcule o valor de:

     6                                           4
a)       64 =                               b)       81=



         1                                           1
c) 25 2 =                                   d) 8      3




                                                                            7
5) Calcule o valor das expressões:

                1                     1                                               −2
a) − 3 8 + 16       4   − (−2) + 27       3                 b) 4 ⋅ 0,5 4 + 0,25 + 8        3




R: a) 5 b) 1

6) Simplifique os radicais:

                                                   3
a)   2352                                     b)       32                       c) 5 1024




R: a) 28 3          b) 23 4 c) 4

7) Racionalize os denominadores das expressões:

     1                                                 5                                1
a)                                            b)                                c)    3
     3                                             2 5                                   2




         1                                                         2
d)                                                          e)
     5−2                                                         2+ 3




                                                                                               8
8) Efetue:

     2+ 3        2− 3                         1    1    1
a)           +                           b)      +    −
     1− 5        1+ 5                          2   18    8




                  − 2 − 15                          5 2
Respostas: a)                                  b)
                      2                              12


1.2 Cálculo com Números Percentuais

Os números percentuais são identificados pela notação % e aparecem com muita
freqüência.

Para transformar um número percentual em um número real, devemos dividi-lo
por 100.

70 % = 70 / 100 = 0,7
5 % = 5 / 100 = 0,05
200 % = 200 / 100 = 2

Para transformar um número real em um número percentual, devemos
multiplica-lo por 100.

0,43 => 0,43 x 100 = 43 %
1 => 1 x 100 = 100 %

Exercícios:
a) Calcular 20 % de R$ 1.700,00




                                                               R: R$ 340,00
                                                                             9
b) Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00.
Determine a taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o
preço de venda.
       p
Utilize = i , onde p é a parte; P é o todo (ou principal) e i é a taxa na forma
       Ρ
real




                                                     R: a) 60 % b) 37,5 %
c) Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o
novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00.




                                                                    R: R$ 73,50
d) Um vestido estava exposto em uma loja com preço de etiqueta de R$ 210,00.
Um cliente, alegando que faria pagamento à vista, solicitou um desconto de 15
% e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido ?




                                                                  R: R$ 178,50
e) Um funcionário recebe um salário base de R$ 800,00. Recebe um adicional
de 5 % por tempo de serviço sobre o salário base. Recebe também uma
gratificação de chefia de 30 % sobre o salário base. Desconta-se 10 % de INSS
sobre o salário total. Quanto recebe esse funcionário ?




                                                                     R: R$ 972,00
                                                                                  10
f) Uma pessoa recebe mensalmente R$ 2.500,00 de salário de uma empresa.
Recebe R$ 1.500,00 de aluguel de um ponto comercial e R$ 1.000,00 de
rendimento de aplicações financeiras. Qual a participação percentual de cada
fonte em sua renda total ?




                                                       R: 50 % , 30 % , 20 %

1.3 Cálculo algébrico.

1) Calcule os valor numérico das expressões:

a) a 3 + b3 − 2a 2 + 4ab + 1 , para a = 2 e b = -3




   xy − x 2               1       1
b)          , para x = −    e y=
       y                 10      100




                             11
Resposta: a) 29      b) −
                            100

2) Simplifique as expressões reduzindo-as ao máximo:

    (          ) (                ) (
a) 3 a 2 + a + 1 + 2 a 2 + 2a − 2 − a 2 + 3a − 3 )



                                                                          11
b) a (a + b − c) + b(b + c − a ) + c(a − b + c)




Respostas: a) 4a 2 + 4a + 2          b) a 2 + b 2 + c 2

Produtos notáveis:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2

3) Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

a) (2x + 3)                                               b) (3x − y )
               2                                                     2




c) (5x + 1)⋅ (5x − 1)                                        (           )(
                                                          d) 2a 2 + 3b ⋅ 2a 2 − 3b   )
4) Simplifique as expressões:

a) (x − 2) + x 2 − 2(x − 1)
           2                     2




b) (m − 1) − (m + 1)⋅ (m − 1)
           2




   3x 4 − 10x 2
c)
    x5 − x2


                                                                                         12
x 2 − 16
d)
      x+4




e)
     (x + 3)2
     x2 − 9




   xy 2 − x 2 y
f)
      2 xy




   x 2 + 10x + 25
g)
        x+5




     x 2 + 6x + 9
h)
        2x + 6




   y − z y2 − z2
i)      ÷
   x + w x2 − w2




                                      3x 2 − 10                 x+3    y−x
Respostas: a) 2         b) -2m+2   c)           d) x − 4   e)       f)
                                       x3 −1                    x−3     2
                     x+3    x−w
g) x+5          h)       i)
                      2     y+z
                                                                             13
5) Efetue as operações indicadas:


a)
    x+3
           ⋅
               (x + 1)  2


   2(x + 1) (x + 3)⋅ (x − 3)




              1− x
     1− x +
b)            1+ x
      1        1
         +
     1− x 1− x 2




                  x +1
                            b) (1 − x )
                                      2
Respostas: a)
                 2(x − 3)

1.3 Equações e sistemas do 1o grau.

1) Resolva as equações:

     x − 2 2x + 8
a)        +       =5
       4     5




                                          14
x +1 x − 2   17
b)       −      = 2
      x    x +1 x + x




Respostas: a) x = 6     b) x = 4

2) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo,
resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto?




                                                                      R: 500

3) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se que
uma possui o dobro da outra?




                                                                  R: 45 e 90

4) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de
seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento
corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento. R$ 300,00. Qual o
valor da dívida, se o último pagamento era de 20 % da dívida original?




                                                                    R: 1000




                                                                          15
5) Resolva os sistemas de equações do 1o grau

   x + y = 5
a) 
    3x − y = 11




   2 x + 3 y = 8
b) 
    5x − 2 y = 1




   2x − 9 y = −47
c) 
     − x + 20 y = 101




Respostas: a) 4 , 1     b) 1 , 2     c) -1 , 5


6) A soma de dois números é 21 e a sua diferença é 51. Calcule os dois números.




Resposta: -15 e 36

                                                                             16
7) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por
exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios
ele acertou?




Resposta: 35

8) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos, a
mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma?




                                                                R: 28 e 13 anos


1.4 Equações e sistemas do 2o grau.

1) Resolva as equações:

a) 2x 2 − 50 = 0                                 b) (2x + 1) − 5(x + 1) + 4 = 0
                                                            2




     x −3            1
c)           +1 =                                d) 5x 2 + 6x + 1 = 0
     x2 −4          x−2




Resposta: a) -5, 5 b) 0, 3/2   c) -3, 3    d) -1, -1/5

                                                                                  17
2) Resolva os seguintes sistemas de equações:

   x + y = 2
a)  2
    x + y 2 = 10




   x + y = 9
b)  2
    x + y 2 − 2x − 2 y = 23




Respostas: a) (-1;3),(3;-1)       b) (4;5) , (5;4)

3) Resolva:

a) x 4 + x 2 − 2 = 0




b)   x 2 − 5x − 20 = 2




c)   2x 2 + x − 6 = x + 2



Respostas: a) -1, 1         b) -3, 8     c) -2, 5

                                                     18
4) Um jardim de forma retangular tem 96 m2 de área. Se aumentarmos o
comprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a
ter 150 m2. Calcule as dimensões originais do jardim.




Resposta: c = 12 m e l = 8 m




                                                                          19
Capítulo 2 - Funções

2.1 Definição

Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas
duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja,
garante que y seja único para um valor específico de x. Em outras palavras, o
valor de y depende do valor de x.

Exemplo: a área de um quadrado é função do comprimento do seu lado; o
salário é função das horas trabalhadas; o número de unidades de certo produto
demandadas pelos consumidores depende de seu preço; etc.

2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal

É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. O eixo x
é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos
dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

                                     y

                2o Quadrante                    1o Quadrante
                                      b            P(a,b)

                                                  a              x


                3o Quadrante                    4o Quadrante



Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a,b)
indicado na figura tem abscissa a e ordenada b. (a,b) é denominado par
ordenado e representam as coordenadas do ponto P.




                                                                                20
2.3 Função Polinomial do 1o grau

Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax+b ou y = ax+b,
definida para todo a,b e x reais e com a diferente de zero, é denominada função
do 1o grau.

Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função:

y = 2x-1

x          -2        -1         0          1          2          3
y


                                      y




                                                                x




Observação:

1) para a > 0 a função do 1o grau é crescente, e para a < 0 ela é decrescente.

2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax+b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x)=0

Exercício: Calcule a raiz da função do exemplo acima:


2.4 Função Polinomial do 2o grau

Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax2+bx+c ou
y = ax2+bx+c, definida para todo a,b,c e x reais e com a diferente de zero, é
denominada função do 2o grau ou função quadrática.


                                                                                 21
Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função:

a) y = x2 - 2x - 3

X          -2          -1      0          1         2          3        4
Y

                                    y




                                                              x




b) y = - x2 + 2x + 3

X          -2          -1      0          1         2          3        4
Y

                                    y




                                                              x




                                                                            22
Observação:

1) para a > 0 o gráfico da função do 2o grau é uma parábola com concavidade
voltada para cima, e para a < 0 ela é uma parábola com concavidade voltada
para baixo.

2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax2 + bx + c o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x)=0

3) no cálculo das raízes tem-se:
Se ∆ >0 a função tem duas raízes (zeros) diferentes
Se ∆ =0 a função tem uma raiz (zero)
Se ∆ <0 a função não tem raízes (zeros)

                                                           b     ∆
4) o vértice da parábola é um ponto que é determinado por  − ,− 
                                                           2a 4a 
5) quando a > 0 (concavidade para cima), o vértice é o ponto de mínimo da
função. Quando a < 0 (concavidade para baixo), o vértice é o ponto de máximo
da função.

Exercícios: Construa no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções e
determine os pontos de máximo ou de mínimo, conforme o caso:

a) y = - x2 + 2x - 4

X          -1          0        1         2           3
Y
                            y
                                                          x




                                                                              23
b) y = 2x2

X            -2     -1        0       1        2
Y
                                  y




                                                       x



Capítulo 3 - Estudo da Reta

3.1 Condição de alinhamento de 3 pontos

Se três pontos estão alinhados, ou seja, pertencem a mesma reta, deve-se
satisfazer a seguinte condição:

y 2 − y1 y3 − y1
        =
x 2 − x1 x 3 − x1

                     y
                    y3                C
                    y2            B

                     y1       A

                              x1 x2 x3             x



                                                                      24
Exercício: Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados:

a) A(-2,6) B(4,8) C(1,7)                               b) A(0,2) B(-3,1) C(4,5)




3.2 Coeficiente angular ou inclinação de uma reta (m).

É o valor que expressa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação da
reta.

                                     y 2 − y1
                                    m=
                                     x 2 − x1
Obs: Duas retas são paralelas quando seus respectivos valores de m forem
                                              1
iguais. Quando forem perpendiculares m1 = −
                                              m2

 y                          y                              y



              m>0                           m=0                       m<0

                      x                                x                      x

Observação: quando a reta ficar na vertical, todos os seus pontos possuem a
mesma abscissa (x1 = x2), e o valor de m tende ao infinito.

3.3 Equação geral e reduzida de uma reta.

A equação geral é do seguinte formato:

                                (y − y1 ) = m(x − x1 ) ,
resultando em:
                                   ax + by + c = 0




                                                                                  25
Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2).

Solução: primeiro determina-se o valor de m.

     y 2 − y1 2 − (−2) 4 2
m=           =        = =
     x 2 − x1 5 − (−1) 6 3

Utilizando o ponto A:

(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − (−2)) = 2 (x − (−1))
             3
(y + 2) = 2 (x + 1)
           3
3(y + 2 ) = 2(x + 1)
3y + 6 = 2x + 2
− 2 x + 3y + 6 − 2 = 0
2 x − 3y − 4 = 0

A equação reduzida é da seguinte forma:

                                  y = mx + b
o que graficamente pode ser representado por:
                            y


                            b


                                                   x

No exemplo anterior tem-se utilizando m = 2/3 e o ponto A:
(y − y1 ) = m(x − x 1 ) ⇒ (y − (−2)) = 2 (x − (−1) ) ⇒
                                       3
(y + 2) = 2 (x + 1) ⇒ y + 2 = 2 x + 2 ⇒
           3                   3     3
     2      2            2     4
y = x+ −2⇒ y = x−
     3      3            3     3


                                                                            26
Exercícios:
1) Dada a reta de equação 2x - y + 5 = 0, escreva a equação da reta paralela à
reta dada e que passa pelo ponto A(-2,2)




Resposta: 2x -y + 6 = 0

2) São dados os pontos A(4,3) e B(-2,-5). Determine a equação da reta t, que
passa pelo ponto C(8,-6) e que é paralela à reta determinada pelos pontos A e B.




Resposta: 4x - 3y -50 = 0

3.4 Interseção de retas.

Consideremos duas retas r e s, que se interceptam num ponto P(a,b). Como o
ponto P deve pertencer as duas retas, suas coordenadas (a,b) devem satisfazer as
equações das duas retas, simultaneamente. Portanto, obtemos as coordenada
(a,b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas.

Exemplo: Determine o ponto de interseção das retas                x + y−4 = 0e
2x − y + 1 = 0

x + y − 4 = 0

  2x − y + 1 = 0
___________
3x − 3 = 0 ⇒ x = 1
1+ y − 4 = 0 ⇒ y = 3
P(1,3)

                                                                              27
Pode-se também igualar as equações na sua forma reduzida:

x + y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 4

  2x − y + 1 = 0 ⇒ y = 2x + 1
− x + 4 = 2x + 1
− x − 2x = 1 − 4
− 3x = −3
x =1⇒ y = 3

3.5 Aplicação em administração

Exemplo: Uma empresa investe R$ 1800 em equipamentos. O contador da
empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a
estimativa de vida do equipamento, isto é, o valor contábil do equipamento
decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos aquele valor
contábil será zero. Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja y ao
fim de x anos. Assim, quando x =0 , y = 1800, e quando x = 10 , y = 0. A
equação da reta que dá a relação entre x e y é a da reta que une os pontos
(0,1800) e (10,0), então:

     y 2 − y 1 0 − 1800
m=            =         = −180
     x 2 − x1   10 − 0

Utilizando o ponto (10,0):

(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − 0) = −180(x − 10)
y = −180x + 1800

Observe que a inclinação da reta é -180, e este número dá a quantia segundo a
qual o valor contábil muda a cada ano; decresce R$ 180 por ano.

Exercícios:
1) Uma companhia comprou uma máquina no valor de R$ 15000. Sabe-se que o
valor residual após 10 anos será de R$ 2000. Usando o método da linha reta para
depreciar a máquina de R$ 15000 para R$ 2000 em 10 anos, qual o valor da
maquinaria depois de 6 anos ?




                                                                             28
Resposta: R$ 7200

2) O fabricante de determinada mercadoria tem um custo total consistindo de
despesas gerais semanais de R$ 3000 e um custo de manufatura de R$ 25 por
unidade. (a) Se x unidades são produzidas por semana e y é o custo total
semanal, escreva uma equação relacionando x e y. (b) Faça um esboço do
gráfico da equação obtida em (a).




3) O custo total para um fabricante consiste de um custo de manufatura de R$ 20
por unidade e de uma despesa diária fixa. (a) Se o custo total para produzir 200
unidades em 1 dia é de R$ 4500, determine a despesa fixa diária. (b) Se x
unidades são produzidas diariamente e y é o custo total diário, escreva uma
equação relacionando x e y. (c) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em
(b).




                                                                              29
4) Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no
mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de
R$ 140.000 e o custo variável para produzir cada unidade é R$ 25. Durante o
primeiro ano o preço de venda é de R$ 65 por unidade. (a) Se x unidades são
vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano como uma
função de x. (b) Se 23.000 unidades forem vendidas, qual será o lucro. (c)
Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo ?




Respostas: b) 780.000 c) 3.500

5) O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.200, e o custo
variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. (a) Se x
unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma
função de x. (b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. (c)
Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um
mês ?




Respostas: b) 25.800 c) 84




                                                                            30
6) Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo
de R$ 15 por unidade. Está estimado que se o preço de venda for x, o número de
relógios vendidos por semana será de 125 - x. (a) Expresse o lucro semanal
como uma função de x. (b) Se R$ 45 for o preço de venda, qual será o lucro
semanal ? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ?




Respostas: b) 2.400 c) 70

7) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um
custo de R$ 10 cada um, estima-se que se o preço de venda for x, o número de
brinquedos vendidos por dia será de 45 - x. (a) Expresse o lucro diário como
uma função de x. (b) Se R$ 30 for o preço de venda, qual será o lucro diário ?
(c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ?




Respostas: b) 300 c) 27,5

3.6 Equações de Demanda e de Oferta

Geralmente, a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos
consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baixa, os
consumidores procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, os consumidores
procurarão menos.


                                                                            31
Seja p o preço de uma unidade e x o número e unidades demandadas, uma
relação entre p e x é denominada equação de demanda. Para representar essa
equação em um gráfico, usualmente utiliza-se o eixo vertical para o preço e o
horizontal para a demanda.

Exemplo: Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o
preço de uma visita a pontos turísticos é de R$ 6, a média do números de
ingressos vendidos por viagem é 30, e quando o preço passa a R$ 10, o número
médio de ingressos vendidos é somente 18. Supondo linear a equação de
demanda, encontre-a e trace um esboço.

Solução: A equação da reta que dá a relação une os pontos (30,6) e (18,10),
então:

                       y 2 − y 1 10 − 6     1
m=                              =        =−
                       x 2 − x 1 18 − 30    3

Utilizando o ponto (30,6):

(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − 6) = − 1 (x − 30)
                              3
     1
y = − x + 16
     3
     1
p = − x + 16
     3
                                                Equação de Demanda

                       16,0

                       14,0

                       12,0
   Preço do ingresso




                       10,0

                        8,0

                        6,0

                        4,0

                        2,0

                        0,0
                              3   6      9       12     15    18     21       24   27   30
                                             Número de ingressos demandados


                                                                                             32
Exercício 1) Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$ 80,00;
20 relógios são vendidos quando o seu preço é R$ 60,00. Qual é a equação da
demanda ? Trace o gráfico.




                                       y




                                                                          x
Resposta: y = −2x + 100

Exercício 2) Uma firma analisou suas vendas e conclui que seus clientes irão
comprar 20% a mais de unidades dos seus produtos para cada redução de R$
2,00 no preço unitário. Quando preço é R$ 12,00 a firma vende 500 unidades.
Qual a equação da demanda para esse produto, trace o gráfico.

                                       y




                                                                          x


                                                                            33
x
Resposta: y = −      + 22
                  50

As equações de oferta em geral são positivas, isto é , a medida que o preço
aumenta a oferta aumenta. Nesse caso só interessam os valores positivos de x e
y.
Exercício 3) Quando o preço for de R$ 50,00, 50 máquinas fotográficas estão
disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00 , 100 máquinas estão
disponíveis. Qual a equação da oferta ? Trace o gráfico.




                                       y




                                                                          x




                x
Resposta: y =     + 25
                2




                                                                            34
Capítulo 4 - Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear)

O método dos mínimos quadrados é um modelo matemático que determina a
reta que pode representar (se ajustar a ) uma série de valores x e y que não se
alinham perfeitamente.

Exemplo: A tabela abaixo nos fornece a receita total anual das vendas de uma
fábrica durante os seus primeiros 04 anos de operação, onde x é o número de
anos em operação e y é o número de milhões em vendas anuais.

                       x           1         2          3      4
                       y           5         8          7      12

A reta denominada reta de regressão é escrita no formato y = mx + b , onde os
valores de m e b são o resultado de um sistema de duas equações do 1o grau
demonstradas abaixo:

 (       )
 ∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ y i )
                                           onde n é o número total de pontos
 (∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ y i )
Portanto monta-se a seguinte tabela:

             xi               yi              xi2           xi . yi
             1                5               1             5
             2                8               4             16
             3                7               9             21
             4                12              16            48
             ∑    = 10         ∑    = 32         ∑   = 30   ∑ = 90
E resolve-se o sistema:

 (      )
 ∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ yi )


(∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ yi )
30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90 30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90
                    ⇒                     ⇒ −2 ⋅ b = −6 ⇒ b = 3
 10 ⋅ m + 4 ⋅ b = 32   30 ⋅ m + 12 ⋅ b = 96
Substituindo:
10 ⋅ m + 4 ⋅ 3 = 32
10 ⋅ m = 32 − 12
      20
m=       =2
      10
Resposta: a equação de reta que se melhor ajusta é : y = 2x + 3

                                                                                35
Exercícios: Determine a reta de regressão para os seguintes dados:

a)
                 xi            yi             xi2           xi . yi
                 1              3

                 3              5

                 5              6

                 7              5

                 9              7

                 11             8

               ∑      =       ∑     =        ∑      =       ∑    =




            3    65
Resp: y =     x+    ⇒ 9x − 21y + 65 = 0
            7    21
                                                                      36
b) Um quadro foi comprado em 1965 por U$ 1200. Seu valor era U$ 1800 em
1970, U$ 2500 em 1975, e U$ 3500 em 1980. Qual o seu valor em 1990 ?

               xi             yi         xi2         xi . yi




              ∑     =       ∑      =    ∑      =     ∑    =




Resp: y = 152 x + 1110 ⇒ y(25) = 4910


                                                                     37
c) Na tabela abaixo, x dias passaram-se desde o aparecimento de certa doença, e
y é o número de novos casos da doença no x-ésimo dia. (a) Ache a reta de
regressão para os pontos dados. (b) Use a reta de regressão para estimar o
número de novos casos da doença no sexto dia.

                xi             yi            xi2           xi . yi
                1             20

                2             24

                3             30

                4             35

                5             42

              ∑      =       ∑      =       ∑      =       ∑    =




Resposta: a) y = 5,5x + 13,7 b) 47




                                                                             38
BIBLIOGRAFIA:

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.

GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo:
Editora FTD Ltda, 1994.

LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda,
1988.

MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.

WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed.
1986.




                                                                                           39

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Resolução EsSA 2013-14
Resolução EsSA 2013-14Resolução EsSA 2013-14
Resolução EsSA 2013-14
thieresaulas
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
resolvidos
 
Resolução I - Polinômios e números complexos
Resolução I - Polinômios e números complexosResolução I - Polinômios e números complexos
Resolução I - Polinômios e números complexos
FeefelipeeRS
 
Gab complexos formaalgebrica2012
Gab complexos formaalgebrica2012Gab complexos formaalgebrica2012
Gab complexos formaalgebrica2012
Wilson Marques
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
trigono_metrico
 
Potenciacao e radiciaçao ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014
Potenciacao e radiciaçao  ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014Potenciacao e radiciaçao  ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014
Potenciacao e radiciaçao ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014
Paulo Souto
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
con_seguir
 
Radiciação
RadiciaçãoRadiciação
Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacao
trigono_metria
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
oim_matematica
 
Mat exercicios resolvidos
Mat exercicios resolvidosMat exercicios resolvidos
Mat exercicios resolvidos
comentada
 
Mat utfrs 02. fracoes e decimais
Mat utfrs 02. fracoes e decimaisMat utfrs 02. fracoes e decimais
Mat utfrs 02. fracoes e decimais
trigono_metria
 
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalExercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Diego Oliveira
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacao
trigono_metria
 
Mapa mental todas as materias
Mapa mental todas as materiasMapa mental todas as materias
Mapa mental todas as materias
Cleuvânia Dias
 
Lista1 2 a_2b
Lista1 2 a_2bLista1 2 a_2b
Lista1 2 a_2b
Cleber Barbaresco
 
GABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICASGABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Professor Carlinhos
 

Mais procurados (17)

Resolução EsSA 2013-14
Resolução EsSA 2013-14Resolução EsSA 2013-14
Resolução EsSA 2013-14
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
Resolução I - Polinômios e números complexos
Resolução I - Polinômios e números complexosResolução I - Polinômios e números complexos
Resolução I - Polinômios e números complexos
 
Gab complexos formaalgebrica2012
Gab complexos formaalgebrica2012Gab complexos formaalgebrica2012
Gab complexos formaalgebrica2012
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
 
Potenciacao e radiciaçao ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014
Potenciacao e radiciaçao  ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014Potenciacao e radiciaçao  ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014
Potenciacao e radiciaçao ( 9º Ano - 1º Bimestre) 2014
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
 
Radiciação
RadiciaçãoRadiciação
Radiciação
 
Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacao
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
 
Mat exercicios resolvidos
Mat exercicios resolvidosMat exercicios resolvidos
Mat exercicios resolvidos
 
Mat utfrs 02. fracoes e decimais
Mat utfrs 02. fracoes e decimaisMat utfrs 02. fracoes e decimais
Mat utfrs 02. fracoes e decimais
 
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalExercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normal
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacao
 
Mapa mental todas as materias
Mapa mental todas as materiasMapa mental todas as materias
Mapa mental todas as materias
 
Lista1 2 a_2b
Lista1 2 a_2bLista1 2 a_2b
Lista1 2 a_2b
 
GABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICASGABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GABARITO DE FUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
 

Destaque

Matematica aplicada respostas
Matematica aplicada respostasMatematica aplicada respostas
Matematica aplicada respostas
con_seguir
 
Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559
Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559
Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559
Universal.org.mx
 
Slide projeto reforço
Slide projeto reforçoSlide projeto reforço
Slide projeto reforço
EscolaMAAF
 
Walking dead 51 59
Walking dead 51 59Walking dead 51 59
Walking dead 51 59fernandao777
 
Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...
Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...
Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...
Roberto Batista
 
Apostila matemática aplicada
Apostila matemática aplicadaApostila matemática aplicada
Apostila matemática aplicada
fernandao777
 
Projeto reforço escolar - Aulas Diferenciadas
Projeto reforço escolar - Aulas DiferenciadasProjeto reforço escolar - Aulas Diferenciadas
Projeto reforço escolar - Aulas Diferenciadas
marquinhos1511
 
Mat exercicios resolvidos 003
Mat exercicios resolvidos  003Mat exercicios resolvidos  003
Mat exercicios resolvidos 003
trigono_metrico
 
Modelo para Planos de Negócios
Modelo para Planos de NegóciosModelo para Planos de Negócios
Modelo para Planos de Negócios
Alexandre Ribenboim
 
Apresentação TCC - Plano de Negócios
Apresentação TCC - Plano de Negócios Apresentação TCC - Plano de Negócios
Apresentação TCC - Plano de Negócios
Maxwendell Silva
 
MatemáTica BáSica
MatemáTica BáSicaMatemáTica BáSica
MatemáTica BáSica
educacao f
 
31 exercícios de matemática financeira
31 exercícios de matemática financeira31 exercícios de matemática financeira
31 exercícios de matemática financeira
arpetry
 
Plano de Negócios - Slides facilitadores
Plano de Negócios - Slides facilitadoresPlano de Negócios - Slides facilitadores
Plano de Negócios - Slides facilitadores
Letícia Vilela de Aquino
 
Apostila matematica com jogos e atividades
Apostila matematica com jogos e atividadesApostila matematica com jogos e atividades
Apostila matematica com jogos e atividades
Marcelo Santos
 
Aprender e ensinar Matemática no Ensino Fundamental
Aprender e  ensinar Matemática no Ensino FundamentalAprender e  ensinar Matemática no Ensino Fundamental
Aprender e ensinar Matemática no Ensino Fundamental
valdivina
 
Projeto reforço escolar
Projeto reforço escolarProjeto reforço escolar
Projeto reforço escolar
CLEAN LOURENÇO
 

Destaque (16)

Matematica aplicada respostas
Matematica aplicada respostasMatematica aplicada respostas
Matematica aplicada respostas
 
Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559
Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559
Universal.Org.Mx - Periódico Centro de Ayuda Universal, México N.559
 
Slide projeto reforço
Slide projeto reforçoSlide projeto reforço
Slide projeto reforço
 
Walking dead 51 59
Walking dead 51 59Walking dead 51 59
Walking dead 51 59
 
Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...
Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...
Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios milit...
 
Apostila matemática aplicada
Apostila matemática aplicadaApostila matemática aplicada
Apostila matemática aplicada
 
Projeto reforço escolar - Aulas Diferenciadas
Projeto reforço escolar - Aulas DiferenciadasProjeto reforço escolar - Aulas Diferenciadas
Projeto reforço escolar - Aulas Diferenciadas
 
Mat exercicios resolvidos 003
Mat exercicios resolvidos  003Mat exercicios resolvidos  003
Mat exercicios resolvidos 003
 
Modelo para Planos de Negócios
Modelo para Planos de NegóciosModelo para Planos de Negócios
Modelo para Planos de Negócios
 
Apresentação TCC - Plano de Negócios
Apresentação TCC - Plano de Negócios Apresentação TCC - Plano de Negócios
Apresentação TCC - Plano de Negócios
 
MatemáTica BáSica
MatemáTica BáSicaMatemáTica BáSica
MatemáTica BáSica
 
31 exercícios de matemática financeira
31 exercícios de matemática financeira31 exercícios de matemática financeira
31 exercícios de matemática financeira
 
Plano de Negócios - Slides facilitadores
Plano de Negócios - Slides facilitadoresPlano de Negócios - Slides facilitadores
Plano de Negócios - Slides facilitadores
 
Apostila matematica com jogos e atividades
Apostila matematica com jogos e atividadesApostila matematica com jogos e atividades
Apostila matematica com jogos e atividades
 
Aprender e ensinar Matemática no Ensino Fundamental
Aprender e  ensinar Matemática no Ensino FundamentalAprender e  ensinar Matemática no Ensino Fundamental
Aprender e ensinar Matemática no Ensino Fundamental
 
Projeto reforço escolar
Projeto reforço escolarProjeto reforço escolar
Projeto reforço escolar
 

Semelhante a Apostila de Matematica Aplicada

Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
con_seguir
 
Apostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicadaApostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicada
gabaritocontabil
 
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
SENAI/FATEC - MT
 
Material complementarpdf
Material complementarpdfMaterial complementarpdf
Material complementarpdf
oliveiradr
 
Exercicios de-radiciacao
Exercicios de-radiciacaoExercicios de-radiciacao
Exercicios de-radiciacao
Ronaldoii
 
1ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 2011
1ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 20111ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 2011
1ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 2011
Joelson Lima
 
Mat radiciacao
Mat radiciacaoMat radiciacao
Mat radiciacao
trigono_metria
 
Ficha8 7 f
Ficha8 7 fFicha8 7 f
Ficha8 7 f
vmariano
 
Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2
Josie Michelle Soares
 
Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2
con_seguir
 
Apostila de potenciacao 001
Apostila de potenciacao  001Apostila de potenciacao  001
Apostila de potenciacao 001
con_seguir
 
Operações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtraçãoOperações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtração
tcrisouza
 
operações com frações: adição, subtração e multiplicação
operações com frações: adição, subtração e multiplicaçãooperações com frações: adição, subtração e multiplicação
operações com frações: adição, subtração e multiplicação
tcrisouza
 
Operações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtraçãoOperações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtração
tcrisouza
 
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
Mat matrizes determinantes  001 exerciciosMat matrizes determinantes  001 exercicios
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
trigono_metrico
 
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011
Joelson Lima
 
Lista de exercícios 8 série
Lista de exercícios 8 sérieLista de exercícios 8 série
Lista de exercícios 8 série
Colégio Integral
 
Lista efomm math aleph
Lista efomm math alephLista efomm math aleph
Lista efomm math aleph
Curso Progressão Autêntico
 
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
aldobrasilro
 
Remember 12
Remember 12Remember 12
Remember 12
resolvidos
 

Semelhante a Apostila de Matematica Aplicada (20)

Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
 
Apostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicadaApostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicada
 
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
 
Material complementarpdf
Material complementarpdfMaterial complementarpdf
Material complementarpdf
 
Exercicios de-radiciacao
Exercicios de-radiciacaoExercicios de-radiciacao
Exercicios de-radiciacao
 
1ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 2011
1ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 20111ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 2011
1ª prova gab 9ano unid 1 conjuntos numeros 2011
 
Mat radiciacao
Mat radiciacaoMat radiciacao
Mat radiciacao
 
Ficha8 7 f
Ficha8 7 fFicha8 7 f
Ficha8 7 f
 
Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2
 
Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2
 
Apostila de potenciacao 001
Apostila de potenciacao  001Apostila de potenciacao  001
Apostila de potenciacao 001
 
Operações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtraçãoOperações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtração
 
operações com frações: adição, subtração e multiplicação
operações com frações: adição, subtração e multiplicaçãooperações com frações: adição, subtração e multiplicação
operações com frações: adição, subtração e multiplicação
 
Operações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtraçãoOperações com frações adição e subtração
Operações com frações adição e subtração
 
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
Mat matrizes determinantes  001 exerciciosMat matrizes determinantes  001 exercicios
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
 
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011
 
Lista de exercícios 8 série
Lista de exercícios 8 sérieLista de exercícios 8 série
Lista de exercícios 8 série
 
Lista efomm math aleph
Lista efomm math alephLista efomm math aleph
Lista efomm math aleph
 
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
 
Remember 12
Remember 12Remember 12
Remember 12
 

Mais de Universal.org.mx

Fi ti- aula 10
Fi ti- aula 10Fi ti- aula 10
Fi ti- aula 10
Universal.org.mx
 
FI_TI-Aula-9
FI_TI-Aula-9FI_TI-Aula-9
FI_TI-Aula-9
Universal.org.mx
 
1.4 sistemas de informação e negócios(2)
1.4 sistemas de informação e negócios(2)1.4 sistemas de informação e negócios(2)
1.4 sistemas de informação e negócios(2)
Universal.org.mx
 
Metricas para medir tamanho de sistema
Metricas para medir tamanho de sistemaMetricas para medir tamanho de sistema
Metricas para medir tamanho de sistema
Universal.org.mx
 
Finanças de TI - aula 8
Finanças de TI - aula 8Finanças de TI - aula 8
Finanças de TI - aula 8
Universal.org.mx
 
Cobit2
Cobit2Cobit2
Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011
Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011
Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011
Universal.org.mx
 
FI-TI- aula 7
FI-TI- aula 7FI-TI- aula 7
FI-TI- aula 7
Universal.org.mx
 
Aula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informação
Aula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informaçãoAula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informação
Aula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informação
Universal.org.mx
 
Exercicios revisão para prova
Exercicios   revisão para provaExercicios   revisão para prova
Exercicios revisão para prova
Universal.org.mx
 
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
Universal.org.mx
 
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
Universal.org.mx
 
Manual PIM 3ro TI
Manual PIM 3ro TI Manual PIM 3ro TI
Manual PIM 3ro TI
Universal.org.mx
 
FI - TI - Aula - 6
FI - TI -  Aula - 6FI - TI -  Aula - 6
FI - TI - Aula - 6
Universal.org.mx
 
Aula 5 Finanças de TI
Aula 5 Finanças de TIAula 5 Finanças de TI
Aula 5 Finanças de TI
Universal.org.mx
 
Aula 4 Finanças de TI
Aula 4 Finanças de TIAula 4 Finanças de TI
Aula 4 Finanças de TI
Universal.org.mx
 
Aula 3 Finanças de TI
Aula 3 Finanças de TIAula 3 Finanças de TI
Aula 3 Finanças de TI
Universal.org.mx
 
Aula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da Informação
Aula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da InformaçãoAula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da Informação
Aula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da Informação
Universal.org.mx
 
Gerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. Aula
Gerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. AulaGerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. Aula
Gerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. AulaUniversal.org.mx
 
Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2
Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2
Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2
Universal.org.mx
 

Mais de Universal.org.mx (20)

Fi ti- aula 10
Fi ti- aula 10Fi ti- aula 10
Fi ti- aula 10
 
FI_TI-Aula-9
FI_TI-Aula-9FI_TI-Aula-9
FI_TI-Aula-9
 
1.4 sistemas de informação e negócios(2)
1.4 sistemas de informação e negócios(2)1.4 sistemas de informação e negócios(2)
1.4 sistemas de informação e negócios(2)
 
Metricas para medir tamanho de sistema
Metricas para medir tamanho de sistemaMetricas para medir tamanho de sistema
Metricas para medir tamanho de sistema
 
Finanças de TI - aula 8
Finanças de TI - aula 8Finanças de TI - aula 8
Finanças de TI - aula 8
 
Cobit2
Cobit2Cobit2
Cobit2
 
Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011
Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011
Modelagem de sistemas da informação – aula 03 mai2011
 
FI-TI- aula 7
FI-TI- aula 7FI-TI- aula 7
FI-TI- aula 7
 
Aula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informação
Aula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informaçãoAula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informação
Aula3 4 planejamento estratégico de tecnologia da informação
 
Exercicios revisão para prova
Exercicios   revisão para provaExercicios   revisão para prova
Exercicios revisão para prova
 
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
 
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação   disciplina gerenciam...
Curso tecnologia em gestão da tecnologia da informação disciplina gerenciam...
 
Manual PIM 3ro TI
Manual PIM 3ro TI Manual PIM 3ro TI
Manual PIM 3ro TI
 
FI - TI - Aula - 6
FI - TI -  Aula - 6FI - TI -  Aula - 6
FI - TI - Aula - 6
 
Aula 5 Finanças de TI
Aula 5 Finanças de TIAula 5 Finanças de TI
Aula 5 Finanças de TI
 
Aula 4 Finanças de TI
Aula 4 Finanças de TIAula 4 Finanças de TI
Aula 4 Finanças de TI
 
Aula 3 Finanças de TI
Aula 3 Finanças de TIAula 3 Finanças de TI
Aula 3 Finanças de TI
 
Aula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da Informação
Aula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da InformaçãoAula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da Informação
Aula 1 e 2 Planejamento Estratégico de Tecnologia da Informação
 
Gerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. Aula
Gerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. AulaGerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. Aula
Gerenciamento de Infra-Estrutura 1ra. Aula
 
Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2
Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2
Manual de atividades_complementares_cst_v2010-2
 

Último

A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
AurelianoFerreirades2
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
rloureiro1
 
slides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentarslides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentar
JoeteCarvalho
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Érika Rufo
 
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdfO Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
silvamelosilva300
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
fernandacosta37763
 
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
LeticiaRochaCupaiol
 
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
Eró Cunha
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Mary Alvarenga
 
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdfcronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
todorokillmepls
 
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdfTestes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
lveiga112
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.pptLeis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
PatriciaZanoli
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
Manuais Formação
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
DECIOMAURINARAMOS
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
SILVIAREGINANAZARECA
 
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxPP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
TomasSousa7
 
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIASA SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
HisrelBlog
 

Último (20)

A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
 
slides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentarslides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentar
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
 
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdfO Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
O Mito da Caverna de Platão_ Uma Jornada em Busca da Verdade.pdf
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
 
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
 
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
 
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdfcronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
cronograma-enem-2024-planejativo-estudos.pdf
 
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdfTestes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
Testes + soluções_Mensagens12 )11111.pdf
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
 
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.pptLeis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
 
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
 
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxPP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
 
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIASA SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
 

Apostila de Matematica Aplicada

  • 1. Apostila de Matemática Aplicada Volume 1 – Edição 2004 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna 1
  • 2. Capítulo 1 - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns exercícios, dos principais tópicos já estudados. Os tópicos selecionados para esta revisão são: Cálculo Numérico; Cálculo com Números percentuais; Cálculo algébrico; Equações e Sistemas do 1o grau; Equações e Sistemas do 2o grau. 1.1 Cálculo Numérico Operações com frações Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum. 1 3 1 15 + 18 − 5 28 14 + − = = = 2 5 6 30 30 15 Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerdor o produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos denominadores. 3 2 6 3 × = = 4 5 20 10 Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração. 1 3 1 4 4 2 ÷ = × = = 2 4 2 3 6 3 Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos sinais indicativos e das operações matemáticas. Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações 1 ( ) 1 Exponenciação e Logaritmação 2 [ ] 2 Potenciação e Radiciação 3 { } 3 Multiplicação e Divisão 4 Adição e Subtração 2
  • 3. Calcule o valor numérico das expressões: a) 2 + {5[3 − (5 − 10) + 1] + 4} − 3 R: 48 4 71 4 1 b) +  + − 3 52 9 5 R: 221/90 ou 2,46  43 1   17 2  c)  +  ×  −   11 10   8 5  R: 30429/4400 ou 6,92 47   − 1 53  d) 2 −3 9 R: -48/125 ou - 0,38 3
  • 4.   1   e) 3− 1 + 12  − 13 + 41 −  − 1 − 1   3   R: -414 Potenciação Potenciação de expoente inteiro: Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Então: a n = a.a.a.a.....a (n vezes) a n ⋅ a m = a m+ n a0 =1 a n ÷ ⋅a m = a m − n → a ≠ 0 a1 = a (a ) m n = a m ⋅n 1 a n an a −n = →a ≠0   = n →b≠0 a b b 1 a) + 5 3 − 2 −4 4 R: 2003/16 ou 125,1875 −3 −5 b) 2 + ( −4) R: 127/1024 4
  • 5. c) 14 + (−2)4 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 ⋅ 2 R: 42 −2 4 1  1 d)  − + 1 + 1 + 3 2 − (4 − 5) −2 5 2  R: 1069/1521 Potenciação de expoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de potência. 1 n a =a n m n am = a n Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real: − 25 ∉ R a) − ( −2) + ( −1) − 25 − 3 − 5 ÷ 25 3 0 2 3 R: 0 − (−2) − 272 3 b) (−3 + 5)0 − 2 R: 7 5
  • 6. Exercícios 1) Calcule o valor das expressões: 2 3 1 4 2 2 a)   × + ÷   4 5 5 3 R: 7/5  1 1 1 −   2 5 b) + 2 3  4 4 1 −   5 R: 17/3 1  1 c) + 0,19 ÷  4 − 0,8 ÷ 0,5 −  4  2 R: 7/20 0,1 − 0,01 d) 0,2 − 0,02 R: 1/2 6
  • 7. 2) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões: 256 ⋅ 4 9 9 3 ⋅ 27 4 ⋅ 3 −7 a) b) 87 1 ⋅ 243 2 3 125 6 ⋅ 25 −3 12 ⋅10 −3 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 9 c) d) (5 )2 −3 ⋅ 25 7 3 ⋅10 −1 ⋅ 10 4 Respostas: a) 2 5 = 32 b) 32 = 9 c) 54 = 625 d) 0,4 3) Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma potência de 10: a) 0,3 = b) 3000 = c) 0,005 = d) 0,0625 = e) 3,45 = f) 8000000 = 4) Calcule o valor de: 6 4 a) 64 = b) 81= 1 1 c) 25 2 = d) 8 3 7
  • 8. 5) Calcule o valor das expressões: 1 1 −2 a) − 3 8 + 16 4 − (−2) + 27 3 b) 4 ⋅ 0,5 4 + 0,25 + 8 3 R: a) 5 b) 1 6) Simplifique os radicais: 3 a) 2352 b) 32 c) 5 1024 R: a) 28 3 b) 23 4 c) 4 7) Racionalize os denominadores das expressões: 1 5 1 a) b) c) 3 3 2 5 2 1 2 d) e) 5−2 2+ 3 8
  • 9. 8) Efetue: 2+ 3 2− 3 1 1 1 a) + b) + − 1− 5 1+ 5 2 18 8 − 2 − 15 5 2 Respostas: a) b) 2 12 1.2 Cálculo com Números Percentuais Os números percentuais são identificados pela notação % e aparecem com muita freqüência. Para transformar um número percentual em um número real, devemos dividi-lo por 100. 70 % = 70 / 100 = 0,7 5 % = 5 / 100 = 0,05 200 % = 200 / 100 = 2 Para transformar um número real em um número percentual, devemos multiplica-lo por 100. 0,43 => 0,43 x 100 = 43 % 1 => 1 x 100 = 100 % Exercícios: a) Calcular 20 % de R$ 1.700,00 R: R$ 340,00 9
  • 10. b) Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00. Determine a taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o preço de venda. p Utilize = i , onde p é a parte; P é o todo (ou principal) e i é a taxa na forma Ρ real R: a) 60 % b) 37,5 % c) Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00. R: R$ 73,50 d) Um vestido estava exposto em uma loja com preço de etiqueta de R$ 210,00. Um cliente, alegando que faria pagamento à vista, solicitou um desconto de 15 % e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido ? R: R$ 178,50 e) Um funcionário recebe um salário base de R$ 800,00. Recebe um adicional de 5 % por tempo de serviço sobre o salário base. Recebe também uma gratificação de chefia de 30 % sobre o salário base. Desconta-se 10 % de INSS sobre o salário total. Quanto recebe esse funcionário ? R: R$ 972,00 10
  • 11. f) Uma pessoa recebe mensalmente R$ 2.500,00 de salário de uma empresa. Recebe R$ 1.500,00 de aluguel de um ponto comercial e R$ 1.000,00 de rendimento de aplicações financeiras. Qual a participação percentual de cada fonte em sua renda total ? R: 50 % , 30 % , 20 % 1.3 Cálculo algébrico. 1) Calcule os valor numérico das expressões: a) a 3 + b3 − 2a 2 + 4ab + 1 , para a = 2 e b = -3 xy − x 2 1 1 b) , para x = − e y= y 10 100 11 Resposta: a) 29 b) − 100 2) Simplifique as expressões reduzindo-as ao máximo: ( ) ( ) ( a) 3 a 2 + a + 1 + 2 a 2 + 2a − 2 − a 2 + 3a − 3 ) 11
  • 12. b) a (a + b − c) + b(b + c − a ) + c(a − b + c) Respostas: a) 4a 2 + 4a + 2 b) a 2 + b 2 + c 2 Produtos notáveis: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 3) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (2x + 3) b) (3x − y ) 2 2 c) (5x + 1)⋅ (5x − 1) ( )( d) 2a 2 + 3b ⋅ 2a 2 − 3b ) 4) Simplifique as expressões: a) (x − 2) + x 2 − 2(x − 1) 2 2 b) (m − 1) − (m + 1)⋅ (m − 1) 2 3x 4 − 10x 2 c) x5 − x2 12
  • 13. x 2 − 16 d) x+4 e) (x + 3)2 x2 − 9 xy 2 − x 2 y f) 2 xy x 2 + 10x + 25 g) x+5 x 2 + 6x + 9 h) 2x + 6 y − z y2 − z2 i) ÷ x + w x2 − w2 3x 2 − 10 x+3 y−x Respostas: a) 2 b) -2m+2 c) d) x − 4 e) f) x3 −1 x−3 2 x+3 x−w g) x+5 h) i) 2 y+z 13
  • 14. 5) Efetue as operações indicadas: a) x+3 ⋅ (x + 1) 2 2(x + 1) (x + 3)⋅ (x − 3) 1− x 1− x + b) 1+ x 1 1 + 1− x 1− x 2 x +1 b) (1 − x ) 2 Respostas: a) 2(x − 3) 1.3 Equações e sistemas do 1o grau. 1) Resolva as equações: x − 2 2x + 8 a) + =5 4 5 14
  • 15. x +1 x − 2 17 b) − = 2 x x +1 x + x Respostas: a) x = 6 b) x = 4 2) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo, resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto? R: 500 3) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se que uma possui o dobro da outra? R: 45 e 90 4) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento. R$ 300,00. Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20 % da dívida original? R: 1000 15
  • 16. 5) Resolva os sistemas de equações do 1o grau x + y = 5 a)  3x − y = 11 2 x + 3 y = 8 b)  5x − 2 y = 1 2x − 9 y = −47 c)  − x + 20 y = 101 Respostas: a) 4 , 1 b) 1 , 2 c) -1 , 5 6) A soma de dois números é 21 e a sua diferença é 51. Calcule os dois números. Resposta: -15 e 36 16
  • 17. 7) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios ele acertou? Resposta: 35 8) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos, a mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma? R: 28 e 13 anos 1.4 Equações e sistemas do 2o grau. 1) Resolva as equações: a) 2x 2 − 50 = 0 b) (2x + 1) − 5(x + 1) + 4 = 0 2 x −3 1 c) +1 = d) 5x 2 + 6x + 1 = 0 x2 −4 x−2 Resposta: a) -5, 5 b) 0, 3/2 c) -3, 3 d) -1, -1/5 17
  • 18. 2) Resolva os seguintes sistemas de equações: x + y = 2 a)  2 x + y 2 = 10 x + y = 9 b)  2 x + y 2 − 2x − 2 y = 23 Respostas: a) (-1;3),(3;-1) b) (4;5) , (5;4) 3) Resolva: a) x 4 + x 2 − 2 = 0 b) x 2 − 5x − 20 = 2 c) 2x 2 + x − 6 = x + 2 Respostas: a) -1, 1 b) -3, 8 c) -2, 5 18
  • 19. 4) Um jardim de forma retangular tem 96 m2 de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a ter 150 m2. Calcule as dimensões originais do jardim. Resposta: c = 12 m e l = 8 m 19
  • 20. Capítulo 2 - Funções 2.1 Definição Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para um valor específico de x. Em outras palavras, o valor de y depende do valor de x. Exemplo: a área de um quadrado é função do comprimento do seu lado; o salário é função das horas trabalhadas; o número de unidades de certo produto demandadas pelos consumidores depende de seu preço; etc. 2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. y 2o Quadrante 1o Quadrante b P(a,b) a x 3o Quadrante 4o Quadrante Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a,b) indicado na figura tem abscissa a e ordenada b. (a,b) é denominado par ordenado e representam as coordenadas do ponto P. 20
  • 21. 2.3 Função Polinomial do 1o grau Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax+b ou y = ax+b, definida para todo a,b e x reais e com a diferente de zero, é denominada função do 1o grau. Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função: y = 2x-1 x -2 -1 0 1 2 3 y y x Observação: 1) para a > 0 a função do 1o grau é crescente, e para a < 0 ela é decrescente. 2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax+b o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x)=0 Exercício: Calcule a raiz da função do exemplo acima: 2.4 Função Polinomial do 2o grau Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax2+bx+c ou y = ax2+bx+c, definida para todo a,b,c e x reais e com a diferente de zero, é denominada função do 2o grau ou função quadrática. 21
  • 22. Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função: a) y = x2 - 2x - 3 X -2 -1 0 1 2 3 4 Y y x b) y = - x2 + 2x + 3 X -2 -1 0 1 2 3 4 Y y x 22
  • 23. Observação: 1) para a > 0 o gráfico da função do 2o grau é uma parábola com concavidade voltada para cima, e para a < 0 ela é uma parábola com concavidade voltada para baixo. 2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax2 + bx + c o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x)=0 3) no cálculo das raízes tem-se: Se ∆ >0 a função tem duas raízes (zeros) diferentes Se ∆ =0 a função tem uma raiz (zero) Se ∆ <0 a função não tem raízes (zeros)  b ∆ 4) o vértice da parábola é um ponto que é determinado por  − ,−   2a 4a  5) quando a > 0 (concavidade para cima), o vértice é o ponto de mínimo da função. Quando a < 0 (concavidade para baixo), o vértice é o ponto de máximo da função. Exercícios: Construa no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções e determine os pontos de máximo ou de mínimo, conforme o caso: a) y = - x2 + 2x - 4 X -1 0 1 2 3 Y y x 23
  • 24. b) y = 2x2 X -2 -1 0 1 2 Y y x Capítulo 3 - Estudo da Reta 3.1 Condição de alinhamento de 3 pontos Se três pontos estão alinhados, ou seja, pertencem a mesma reta, deve-se satisfazer a seguinte condição: y 2 − y1 y3 − y1 = x 2 − x1 x 3 − x1 y y3 C y2 B y1 A x1 x2 x3 x 24
  • 25. Exercício: Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados: a) A(-2,6) B(4,8) C(1,7) b) A(0,2) B(-3,1) C(4,5) 3.2 Coeficiente angular ou inclinação de uma reta (m). É o valor que expressa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação da reta. y 2 − y1 m= x 2 − x1 Obs: Duas retas são paralelas quando seus respectivos valores de m forem 1 iguais. Quando forem perpendiculares m1 = − m2 y y y m>0 m=0 m<0 x x x Observação: quando a reta ficar na vertical, todos os seus pontos possuem a mesma abscissa (x1 = x2), e o valor de m tende ao infinito. 3.3 Equação geral e reduzida de uma reta. A equação geral é do seguinte formato: (y − y1 ) = m(x − x1 ) , resultando em: ax + by + c = 0 25
  • 26. Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2). Solução: primeiro determina-se o valor de m. y 2 − y1 2 − (−2) 4 2 m= = = = x 2 − x1 5 − (−1) 6 3 Utilizando o ponto A: (y − y1 ) = m(x − x 1 ) (y − (−2)) = 2 (x − (−1)) 3 (y + 2) = 2 (x + 1) 3 3(y + 2 ) = 2(x + 1) 3y + 6 = 2x + 2 − 2 x + 3y + 6 − 2 = 0 2 x − 3y − 4 = 0 A equação reduzida é da seguinte forma: y = mx + b o que graficamente pode ser representado por: y b x No exemplo anterior tem-se utilizando m = 2/3 e o ponto A: (y − y1 ) = m(x − x 1 ) ⇒ (y − (−2)) = 2 (x − (−1) ) ⇒ 3 (y + 2) = 2 (x + 1) ⇒ y + 2 = 2 x + 2 ⇒ 3 3 3 2 2 2 4 y = x+ −2⇒ y = x− 3 3 3 3 26
  • 27. Exercícios: 1) Dada a reta de equação 2x - y + 5 = 0, escreva a equação da reta paralela à reta dada e que passa pelo ponto A(-2,2) Resposta: 2x -y + 6 = 0 2) São dados os pontos A(4,3) e B(-2,-5). Determine a equação da reta t, que passa pelo ponto C(8,-6) e que é paralela à reta determinada pelos pontos A e B. Resposta: 4x - 3y -50 = 0 3.4 Interseção de retas. Consideremos duas retas r e s, que se interceptam num ponto P(a,b). Como o ponto P deve pertencer as duas retas, suas coordenadas (a,b) devem satisfazer as equações das duas retas, simultaneamente. Portanto, obtemos as coordenada (a,b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas. Exemplo: Determine o ponto de interseção das retas x + y−4 = 0e 2x − y + 1 = 0 x + y − 4 = 0  2x − y + 1 = 0 ___________ 3x − 3 = 0 ⇒ x = 1 1+ y − 4 = 0 ⇒ y = 3 P(1,3) 27
  • 28. Pode-se também igualar as equações na sua forma reduzida: x + y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 4  2x − y + 1 = 0 ⇒ y = 2x + 1 − x + 4 = 2x + 1 − x − 2x = 1 − 4 − 3x = −3 x =1⇒ y = 3 3.5 Aplicação em administração Exemplo: Uma empresa investe R$ 1800 em equipamentos. O contador da empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a estimativa de vida do equipamento, isto é, o valor contábil do equipamento decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos aquele valor contábil será zero. Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja y ao fim de x anos. Assim, quando x =0 , y = 1800, e quando x = 10 , y = 0. A equação da reta que dá a relação entre x e y é a da reta que une os pontos (0,1800) e (10,0), então: y 2 − y 1 0 − 1800 m= = = −180 x 2 − x1 10 − 0 Utilizando o ponto (10,0): (y − y1 ) = m(x − x 1 ) (y − 0) = −180(x − 10) y = −180x + 1800 Observe que a inclinação da reta é -180, e este número dá a quantia segundo a qual o valor contábil muda a cada ano; decresce R$ 180 por ano. Exercícios: 1) Uma companhia comprou uma máquina no valor de R$ 15000. Sabe-se que o valor residual após 10 anos será de R$ 2000. Usando o método da linha reta para depreciar a máquina de R$ 15000 para R$ 2000 em 10 anos, qual o valor da maquinaria depois de 6 anos ? 28
  • 29. Resposta: R$ 7200 2) O fabricante de determinada mercadoria tem um custo total consistindo de despesas gerais semanais de R$ 3000 e um custo de manufatura de R$ 25 por unidade. (a) Se x unidades são produzidas por semana e y é o custo total semanal, escreva uma equação relacionando x e y. (b) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em (a). 3) O custo total para um fabricante consiste de um custo de manufatura de R$ 20 por unidade e de uma despesa diária fixa. (a) Se o custo total para produzir 200 unidades em 1 dia é de R$ 4500, determine a despesa fixa diária. (b) Se x unidades são produzidas diariamente e y é o custo total diário, escreva uma equação relacionando x e y. (c) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em (b). 29
  • 30. 4) Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de R$ 140.000 e o custo variável para produzir cada unidade é R$ 25. Durante o primeiro ano o preço de venda é de R$ 65 por unidade. (a) Se x unidades são vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano como uma função de x. (b) Se 23.000 unidades forem vendidas, qual será o lucro. (c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo ? Respostas: b) 780.000 c) 3.500 5) O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.200, e o custo variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. (a) Se x unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma função de x. (b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. (c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês ? Respostas: b) 25.800 c) 84 30
  • 31. 6) Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de R$ 15 por unidade. Está estimado que se o preço de venda for x, o número de relógios vendidos por semana será de 125 - x. (a) Expresse o lucro semanal como uma função de x. (b) Se R$ 45 for o preço de venda, qual será o lucro semanal ? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ? Respostas: b) 2.400 c) 70 7) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$ 10 cada um, estima-se que se o preço de venda for x, o número de brinquedos vendidos por dia será de 45 - x. (a) Expresse o lucro diário como uma função de x. (b) Se R$ 30 for o preço de venda, qual será o lucro diário ? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ? Respostas: b) 300 c) 27,5 3.6 Equações de Demanda e de Oferta Geralmente, a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baixa, os consumidores procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, os consumidores procurarão menos. 31
  • 32. Seja p o preço de uma unidade e x o número e unidades demandadas, uma relação entre p e x é denominada equação de demanda. Para representar essa equação em um gráfico, usualmente utiliza-se o eixo vertical para o preço e o horizontal para a demanda. Exemplo: Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de uma visita a pontos turísticos é de R$ 6, a média do números de ingressos vendidos por viagem é 30, e quando o preço passa a R$ 10, o número médio de ingressos vendidos é somente 18. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e trace um esboço. Solução: A equação da reta que dá a relação une os pontos (30,6) e (18,10), então: y 2 − y 1 10 − 6 1 m= = =− x 2 − x 1 18 − 30 3 Utilizando o ponto (30,6): (y − y1 ) = m(x − x 1 ) (y − 6) = − 1 (x − 30) 3 1 y = − x + 16 3 1 p = − x + 16 3 Equação de Demanda 16,0 14,0 12,0 Preço do ingresso 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Número de ingressos demandados 32
  • 33. Exercício 1) Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$ 80,00; 20 relógios são vendidos quando o seu preço é R$ 60,00. Qual é a equação da demanda ? Trace o gráfico. y x Resposta: y = −2x + 100 Exercício 2) Uma firma analisou suas vendas e conclui que seus clientes irão comprar 20% a mais de unidades dos seus produtos para cada redução de R$ 2,00 no preço unitário. Quando preço é R$ 12,00 a firma vende 500 unidades. Qual a equação da demanda para esse produto, trace o gráfico. y x 33
  • 34. x Resposta: y = − + 22 50 As equações de oferta em geral são positivas, isto é , a medida que o preço aumenta a oferta aumenta. Nesse caso só interessam os valores positivos de x e y. Exercício 3) Quando o preço for de R$ 50,00, 50 máquinas fotográficas estão disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00 , 100 máquinas estão disponíveis. Qual a equação da oferta ? Trace o gráfico. y x x Resposta: y = + 25 2 34
  • 35. Capítulo 4 - Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear) O método dos mínimos quadrados é um modelo matemático que determina a reta que pode representar (se ajustar a ) uma série de valores x e y que não se alinham perfeitamente. Exemplo: A tabela abaixo nos fornece a receita total anual das vendas de uma fábrica durante os seus primeiros 04 anos de operação, onde x é o número de anos em operação e y é o número de milhões em vendas anuais. x 1 2 3 4 y 5 8 7 12 A reta denominada reta de regressão é escrita no formato y = mx + b , onde os valores de m e b são o resultado de um sistema de duas equações do 1o grau demonstradas abaixo: ( )  ∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ y i )  onde n é o número total de pontos (∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ y i ) Portanto monta-se a seguinte tabela: xi yi xi2 xi . yi 1 5 1 5 2 8 4 16 3 7 9 21 4 12 16 48 ∑ = 10 ∑ = 32 ∑ = 30 ∑ = 90 E resolve-se o sistema: ( )  ∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ yi )   (∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ yi ) 30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90 30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90  ⇒ ⇒ −2 ⋅ b = −6 ⇒ b = 3 10 ⋅ m + 4 ⋅ b = 32 30 ⋅ m + 12 ⋅ b = 96 Substituindo: 10 ⋅ m + 4 ⋅ 3 = 32 10 ⋅ m = 32 − 12 20 m= =2 10 Resposta: a equação de reta que se melhor ajusta é : y = 2x + 3 35
  • 36. Exercícios: Determine a reta de regressão para os seguintes dados: a) xi yi xi2 xi . yi 1 3 3 5 5 6 7 5 9 7 11 8 ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = 3 65 Resp: y = x+ ⇒ 9x − 21y + 65 = 0 7 21 36
  • 37. b) Um quadro foi comprado em 1965 por U$ 1200. Seu valor era U$ 1800 em 1970, U$ 2500 em 1975, e U$ 3500 em 1980. Qual o seu valor em 1990 ? xi yi xi2 xi . yi ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = Resp: y = 152 x + 1110 ⇒ y(25) = 4910 37
  • 38. c) Na tabela abaixo, x dias passaram-se desde o aparecimento de certa doença, e y é o número de novos casos da doença no x-ésimo dia. (a) Ache a reta de regressão para os pontos dados. (b) Use a reta de regressão para estimar o número de novos casos da doença no sexto dia. xi yi xi2 xi . yi 1 20 2 24 3 30 4 35 5 42 ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = Resposta: a) y = 5,5x + 13,7 b) 47 38
  • 39. BIBLIOGRAFIA: DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999. GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo: Editora FTD Ltda, 1994. LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1988. MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed. 1986. 39