Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
O documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos de cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos de cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
Este documento fornece uma compilação de 18 exercícios de exames nacionais e testes intermedios do 9o ano sobre equações do 2o grau. Os exercícios cobrem tópicos como resolver equações do 2o grau, determinar soluções de equações, e aplicar equações do 2o grau para resolver problemas matemáticos. As soluções para cada exercício são fornecidas no final.
O documento apresenta três exemplos de resolução de exercícios de matemática: (1) cálculo do valor de uma função para um determinado valor de entrada, (2) resolução de uma equação algébrica, (3) simplificação de uma expressão algébrica através da fatoração. O documento também fornece as respostas corretas para os exercícios.
O documento apresenta respostas de um gabarito para uma prova de matemática. A primeira questão resolve um problema de substituição de valores em uma função, resultando em 0,125. A segunda questão envolve isolamento de termos em uma equação algébrica, com resposta C. A terceira questão realiza operações algébricas com letras, resultando em -x.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo:
1) Definição de matrizes, dimensões e elementos.
2) Tipos de matrizes como nula, quadrada, diagonal, identidade e transposta.
3) Operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação por uma constante.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre equações do segundo grau. Os exercícios abordam tópicos como identificação de coeficientes, resolução de equações, cálculo do discriminante, fórmula de Bhaskara e análise do número de raízes reais.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento discute sobre matrizes, apresentando:
1) O conceito de matrizes e sua notação;
2) Exemplos de construção de matrizes;
3) Tipos de matrizes como quadrada, diagonal, simétrica etc;
4) Operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e transposta.
EquaçãO Do 2º Grau Autor Antonio Carlos C BarrosoAntonio Carneiro
Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre equações do segundo grau, incluindo sua definição, classificação, fórmula de Bháskara para resolução, propriedades, relações entre coeficientes e raízes, resolução de equações fracionárias e literais, biquadradas e irracionais. Exemplos resolvidos ilustram cada tópico.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
1) O documento discute técnicas de fatoração de expressões algébricas e apresenta exemplos de resolução de equações do 1o e 2o grau.
2) Inclui também questões sobre o assunto retiradas de vestibulares com gabaritos.
3) Aborda ainda sistemas de equações do 1o grau, operações básicas com números reais e racionais, e cálculo do MMC.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação e propriedades de potências. Inclui questões sobre cálculo de potências, escrita de potências em forma decimal ou científica, simplificação de expressões e conversão entre bases. Há também exercícios complementares sobre o tema.
1. O documento discute potenciação, definindo potências com expoentes inteiros positivos e negativos, assim como potências com expoente zero ou um.
2. Propriedades importantes incluem que a potência de base a com expoente n é o produto de n fatores iguais a a, e que a potência com expoente zero ou um é igual a um ou à própria base respectivamente.
3. O documento fornece exemplos para ilustrar essas definições e propriedades.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
1) A lista de exercícios contém 26 problemas de álgebra e geometria envolvendo equações do segundo grau, raízes quadradas, propriedades de números e figuras geométricas.
2) Os exercícios incluem calcular expressões numéricas, resolver equações do segundo grau, determinar discriminantes, calcular áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) Muitos exercícios pedem para calcular valores numéricos dados algumas propriedades ou relações entre esses valores.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, processador mais rápido e bateria de maior duração. O dispositivo também possui tela maior e armazenamento expansível, com preço sugerido a partir de $799. Analistas esperam que o aparelho ajude a empresa a aumentar sua participação no competitivo mercado de smartphones.
Os principais pontos abordados no documento são: 1) Resumo das soluções de exercícios de análise real do livro de Elon Lages Lima, dividido em 12 capítulos que abordam conjuntos, números reais, sequências, séries numéricas e outros tópicos; 2) Fornece soluções detalhadas para os exercícios, incluindo passos, fórmulas e propriedades matemáticas utilizadas; 3) Tem o objetivo de ajudar estudantes que usam o livro de Elon Lages Lima para
Este documento apresenta um programa para a unidade curricular de Análise Matemática III. Apresenta cinco capítulos principais: (1) Elementos de Geometria Diferencial em R3, (2) Introdução à Análise Complexa, (3) Equações Diferenciais Ordinárias, (4) Sistemas de EDOs e (5) Séries de Fourier. O objetivo é que os alunos adquiram conhecimentos sobre estas áreas da matemática e sejam capazes de aplicá-los na resolução de problemas.
1) O documento apresenta um livro sobre análise matemática direcionado para alunos de licenciatura.
2) O livro difere de outros livros de análise por conter tópicos sobre números reais relevantes para licenciatura e por apresentar os assuntos de forma a desenvolver ideias e aspectos históricos.
3) O objetivo principal do livro é a prática de demonstrações matemáticas, tarefa central para quem pretende ensinar matemática.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
Este documento fornece uma compilação de 18 exercícios de exames nacionais e testes intermedios do 9o ano sobre equações do 2o grau. Os exercícios cobrem tópicos como resolver equações do 2o grau, determinar soluções de equações, e aplicar equações do 2o grau para resolver problemas matemáticos. As soluções para cada exercício são fornecidas no final.
O documento apresenta três exemplos de resolução de exercícios de matemática: (1) cálculo do valor de uma função para um determinado valor de entrada, (2) resolução de uma equação algébrica, (3) simplificação de uma expressão algébrica através da fatoração. O documento também fornece as respostas corretas para os exercícios.
O documento apresenta respostas de um gabarito para uma prova de matemática. A primeira questão resolve um problema de substituição de valores em uma função, resultando em 0,125. A segunda questão envolve isolamento de termos em uma equação algébrica, com resposta C. A terceira questão realiza operações algébricas com letras, resultando em -x.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo:
1) Definição de matrizes, dimensões e elementos.
2) Tipos de matrizes como nula, quadrada, diagonal, identidade e transposta.
3) Operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação por uma constante.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre equações do segundo grau. Os exercícios abordam tópicos como identificação de coeficientes, resolução de equações, cálculo do discriminante, fórmula de Bhaskara e análise do número de raízes reais.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento discute sobre matrizes, apresentando:
1) O conceito de matrizes e sua notação;
2) Exemplos de construção de matrizes;
3) Tipos de matrizes como quadrada, diagonal, simétrica etc;
4) Operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e transposta.
EquaçãO Do 2º Grau Autor Antonio Carlos C BarrosoAntonio Carneiro
Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre equações do segundo grau, incluindo sua definição, classificação, fórmula de Bháskara para resolução, propriedades, relações entre coeficientes e raízes, resolução de equações fracionárias e literais, biquadradas e irracionais. Exemplos resolvidos ilustram cada tópico.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
1) O documento discute técnicas de fatoração de expressões algébricas e apresenta exemplos de resolução de equações do 1o e 2o grau.
2) Inclui também questões sobre o assunto retiradas de vestibulares com gabaritos.
3) Aborda ainda sistemas de equações do 1o grau, operações básicas com números reais e racionais, e cálculo do MMC.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação e propriedades de potências. Inclui questões sobre cálculo de potências, escrita de potências em forma decimal ou científica, simplificação de expressões e conversão entre bases. Há também exercícios complementares sobre o tema.
1. O documento discute potenciação, definindo potências com expoentes inteiros positivos e negativos, assim como potências com expoente zero ou um.
2. Propriedades importantes incluem que a potência de base a com expoente n é o produto de n fatores iguais a a, e que a potência com expoente zero ou um é igual a um ou à própria base respectivamente.
3. O documento fornece exemplos para ilustrar essas definições e propriedades.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
1) A lista de exercícios contém 26 problemas de álgebra e geometria envolvendo equações do segundo grau, raízes quadradas, propriedades de números e figuras geométricas.
2) Os exercícios incluem calcular expressões numéricas, resolver equações do segundo grau, determinar discriminantes, calcular áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) Muitos exercícios pedem para calcular valores numéricos dados algumas propriedades ou relações entre esses valores.
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Os principais pontos abordados no documento são: 1) Resumo das soluções de exercícios de análise real do livro de Elon Lages Lima, dividido em 12 capítulos que abordam conjuntos, números reais, sequências, séries numéricas e outros tópicos; 2) Fornece soluções detalhadas para os exercícios, incluindo passos, fórmulas e propriedades matemáticas utilizadas; 3) Tem o objetivo de ajudar estudantes que usam o livro de Elon Lages Lima para
Este documento apresenta um programa para a unidade curricular de Análise Matemática III. Apresenta cinco capítulos principais: (1) Elementos de Geometria Diferencial em R3, (2) Introdução à Análise Complexa, (3) Equações Diferenciais Ordinárias, (4) Sistemas de EDOs e (5) Séries de Fourier. O objetivo é que os alunos adquiram conhecimentos sobre estas áreas da matemática e sejam capazes de aplicá-los na resolução de problemas.
1) O documento apresenta um livro sobre análise matemática direcionado para alunos de licenciatura.
2) O livro difere de outros livros de análise por conter tópicos sobre números reais relevantes para licenciatura e por apresentar os assuntos de forma a desenvolver ideias e aspectos históricos.
3) O objetivo principal do livro é a prática de demonstrações matemáticas, tarefa central para quem pretende ensinar matemática.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
1) O documento discute a geometria diferencial usando cálculo vetorial e diádico, apresentando novas expressões para curvatura normal e torção de uma superfície.
2) Essas novas expressões são independentes das formas quadráticas fundamentais e coeficientes de Gauss, sendo funções do gradiente do vetor normal.
3) O documento também caracteriza pontos de superfícies e estudas casos específicos como superfícies de revolução e rebaixadas.
1) O documento apresenta a resolução de 10 questões sobre teoria dos números por um estudante da Universidade Católica de Moçambique. 2) As questões abordam tópicos como decomposição de números em fatores primos, propriedades da divisibilidade, formas de números ímpares e pares, e verificação de propriedades de funções. 3) O estudante fornece demonstrações detalhadas para cada questão resolvida.
Este documento apresenta uma apostila sobre Aritmética Modular destinada a alunos do ensino médio. A apostila introduz os conceitos básicos de congruência modular e suas propriedades, abordando também aplicações como criptografia. O objetivo é mostrar que a Aritmética Modular é um tema atual e relevante que pode ser ensinado no ensino médio de forma acessível.
This document is a website for Mundo Industrial, a company that provides industrial equipment and supplies. The website homepage features categories of products they offer such as safety equipment, hand tools, hardware, hydraulic and pneumatic equipment. It also includes sections for articles, services, and information about the company. In summary, this document is the homepage for an industrial supplier website that provides products, articles and company information.
Este documento fornece informações sobre a empresa Mundo Industrial, uma empresa brasileira que oferece produtos e serviços industriais. O documento descreve os principais produtos e serviços da empresa, incluindo equipamentos, ferramentas, peças e serviços de manutenção industrial. A empresa visa atender as necessidades de indústrias de diversos setores.
Este documento presenta un solucionario de problemas y ejercicios de análisis matemático de Demidovich. Incluye conceptos fundamentales de funciones de varias variables como campo de existencia, líneas y superficies de nivel. Resuelve ejercicios como hallar funciones dadas, determinar valores en puntos, y representar campos de existencia. El autor es Eduardo Espinoza Ramos, quien dedica el libro a sus hijos Ronald, Jorge y Diana.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se debe configurar el enrutador asignando una dirección IP, una máscara de subred y un nombre de red. Finalmente, se deben configurar las estaciones de trabajo para que se conecten a la red inalámbrica recién creada.
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Lúcio Costa
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, números percentuais e equações.
3. Fornece definições e propriedades sobre esses tópicos para revisar conceitos matemáticos básicos necessários em matemática aplicada.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
1. Um documento sobre raciocínio quantitativo contém 12 questões de múltipla escolha sobre diferentes tópicos matemáticos como regra de três, porcentagem, sistemas de equações e probabilidade.
2. As questões são resolvidas passo a passo com explicações detalhadas das soluções.
3. O documento fornece exemplos resolvidos de diferentes tipos de problemas matemáticos para auxiliar no aprendizado de conceitos.
Este documento apresenta 3 problemas de raciocínio quantitativo resolvidos. O primeiro problema envolve uma regra de três composta para calcular quantos dias seriam necessários para montar 500 veículos trabalhando 10 horas por dia. O segundo problema trata de áreas de triângulos eqüiláteros. O terceiro problema calcula uma porcentagem sobre o preço de custo.
[1] O valor da máquina daqui a 3 anos será R$416,00. [2] O retângulo de dimensões dadas em centímetros pelas expressões 2x e (10 - 2x) terá área máxima de 25cm2 quando x = 5/2. [3] A soma dos termos da progressão geométrica (3-1, 3-2, 3-3, ...) é 1.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta duas questões de matemática resolvidas sobre um concurso público para o cargo de Agente Administrativo. A primeira questão trata de variação percentual entre partidos políticos em diferentes eleições. A segunda questão envolve o cálculo do comprimento de uma escada colocada contra um edifício.
Recuperação lista exercicios 9º ano 1º bimestreRafael Marques
O documento apresenta os conceitos básicos de matemática sobre números inteiros, racionais, equações de 1o e 2o grau. Inclui regras para adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de inteiros e operações com frações. Também explica como resolver equações de 1o grau usando a propriedade distributiva e como encontrar as raízes de equações do 2o grau usando a fórmula quadrática.
O documento trata de potenciação de números reais com expoente inteiro, abordando quatro situações: quando o expoente é maior que um, igual a um, igual a zero e negativo. É explicado que, quando o expoente é maior que um, a base é multiplicada por si mesma o número de vezes indicado pelo expoente, e são apresentados exemplos para bases decimais e fracionárias.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano abordando tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) Os alunos devem completar tabelas, calcular distâncias percorridas, relacionar números à conjuntos numéricos e resolver expressões algébricas.
3) São 30 questões no total abrangendo diferentes tópicos matemáticos.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano, cobrindo tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) A prova inclui 30 questões objetivas e 10 questões discursivas sobre esses tópicos.
3) Os alunos deverão demonstrar conhecimento em números, operações algébricas, geometria e notação científica.
O documento descreve as etapas do vestibular da FGV-SP para o curso de Economia, que consiste em duas fases. A primeira fase contém oito provas de múltipla escolha, e a segunda fase contém três provas discursivas. Os candidatos são classificados de acordo com as médias obtidas em cada fase.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
O documento apresenta 5 questões sobre sequências numéricas, sistemas de equações, contagem de calorias e estatística musical. A primeira questão pede para escrever os 4 primeiros termos de 3 sequências dadas, a segunda resolva uma sucessão e verifique se um número é seu termo, e a terceira calcula calorias de uma refeição usando um sistema de equações.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1) O documento apresenta 15 questões de matemática sobre diversos assuntos como funções, geometria, porcentagem e estatística.
2) A questão 1 trata de salário em função de vendas e a questão 6 trata de crescimento populacional exponencial.
3) Outras questões envolvem sistemas de equações lineares, áreas de figuras planas, porcentagem, progressão aritmética e trigonometria.
O documento apresenta fórmulas e conceitos sobre aumentos e descontos de preços, funções quadráticas, progressões aritméticas e geométricas, logaritmos, matrizes, geometria analítica e trigonometria.
Semelhante a Apostila de matemática aplicada vol i 2004 (20)
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O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
2. Capítulo 1 - Revisão
Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns exercícios,
dos principais tópicos já estudados.
Os tópicos selecionados para esta revisão são:
Cálculo Numérico;
Cálculo com Números percentuais;
Cálculo algébrico;
Equações e Sistemas do 1o grau;
Equações e Sistemas do 2o grau.
1.1 Cálculo Numérico
Operações com frações
Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum.
1 3 1 15 + 18 − 5 28 14
+ − =
=
=
2 5 6
30
30 15
Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerdor o
produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos
denominadores.
3 2 6
3
× =
=
4 5 20 10
Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da
primeira fração pelo inverso da segunda fração.
1 3 1 4 4 2
÷ = × = =
2 4 2 3 6 3
Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos
sinais indicativos e das operações matemáticas.
Prioridade dos Sinais
1
( )
2
[ ]
3
{ }
1
2
3
4
Prioridade das Operações
Exponenciação e Logaritmação
Potenciação e Radiciação
Multiplicação e Divisão
Adição e Subtração
2
3. Calcule o valor numérico das expressões:
a) 2 + {5[3 − (5 − 10) + 1] + 4} − 3
R: 48
b)
4 71 4 1
+ + −
3 52 9 5
R: 221/90 ou 2,46
43 1 17 2
c) + × −
11 10 8 5
R: 30429/4400 ou 6,92
47
− 1
53
d)
2
−3
9
R: -48/125 ou - 0,38
3
4.
1
3− 1 + 12 − 13 + 41 − − 1 − 1
e)
3
02Q
R: -414
Potenciação
Potenciação de expoente inteiro: Seja a um número real e m e n números
inteiros positivos. Então:
a n = a.a.a.a.....a (n vezes)
a0 =1
a1 = a
a −n =
a)
a n ⋅ a m = a m+ n
a n ÷ ⋅a m = a m − n → a ≠ 0
(a )
m n
1
→a ≠0
a
= a m ⋅n
n
an
a
= n →b≠0
b
b
1
+ 5 3 − 2 −4
4
R: 2003/16 ou 125,1875
b) 2
−3
+ ( −4)
−5
R: 127/1024
4
5. c) 14 + (−2)4 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 ⋅ 2
R: 42
4 1
d) − + 1
5 2
−2
+
1
1 + 3 2 − (4 − 5)
−2
R: 1069/1521
Potenciação de expoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de
potência.
1
n
a =a
n
am = a
n
m
n
Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real:
− 25 ∉ R
3
0
2
3
a) − ( −2) + ( −1) − 25 − 3 − 5 ÷ 25
R: 0
− (−2) − 27
(−3 + 5)0 − 2
2
b)
3
R: 7
5
7. 2) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões:
a)
c)
9 3 ⋅ 27 4 ⋅ 3 −7
b)
1
⋅ 243 2
3
256 ⋅ 4 9
87
125 6 ⋅ 25 −3
(5 )
2 −3
d)
⋅ 25 7
Respostas: a) 2 5 = 32
b) 32 = 9
12 ⋅10 −3 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 9
3 ⋅10 −1 ⋅ 10 4
c) 54 = 625 d) 0,4
3) Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma
potência de 10:
a) 0,3 =
b) 3000 =
c) 0,005 =
d) 0,0625 =
e) 3,45 =
f) 8000000 =
4) Calcule o valor de:
a)
6
64 =
1
c) 25 2 =
b)
4
d) 8
81=
1
3
7
8. 5) Calcule o valor das expressões:
a) − 3 8 + 16
1
4
− (−2) + 27
1
b) 4 ⋅ 0,5 4 + 0,25 + 8
3
−2
3
R: a) 5 b) 1
6) Simplifique os radicais:
a)
2352
R: a) 28 3
b)
3
c) 5 1024
32
b) 23 4 c) 4
7) Racionalize os denominadores das expressões:
a)
d)
1
3
1
5−2
b)
5
c)
2 5
e)
1
3
2
2
2+ 3
8
9. 8) Efetue:
a)
2+ 3
1− 5
+
2− 3
1+ 5
Respostas: a)
− 2 − 15
2
b)
1
1
1
+
−
2
18
8
b)
5 2
12
1.2 Cálculo com Números Percentuais
Os números percentuais são identificados pela notação % e aparecem com muita
freqüência.
Para transformar um número percentual em um número real, devemos dividi-lo
por 100.
70 % = 70 / 100 = 0,7
5 % = 5 / 100 = 0,05
200 % = 200 / 100 = 2
Para transformar um número real em um número percentual, devemos
multiplica-lo por 100.
0,43 => 0,43 x 100 = 43 %
1 => 1 x 100 = 100 %
Exercícios:
a) Calcular 20 % de R$ 1.700,00
R: R$ 340,00
9
10. b) Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00.
Determine a taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o
preço de venda.
p
Utilize = i , onde p é a parte; P é o todo (ou principal) e i é a taxa na forma
Ρ
real
R: a) 60 % b) 37,5 %
c) Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o
novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00.
R: R$ 73,50
d) Um vestido estava exposto em uma loja com preço de etiqueta de R$ 210,00.
Um cliente, alegando que faria pagamento à vista, solicitou um desconto de 15
% e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido ?
R: R$ 178,50
e) Um funcionário recebe um salário base de R$ 800,00. Recebe um adicional
de 5 % por tempo de serviço sobre o salário base. Recebe também uma
gratificação de chefia de 30 % sobre o salário base. Desconta-se 10 % de INSS
sobre o salário total. Quanto recebe esse funcionário ?
R: R$ 972,00
10
11. f) Uma pessoa recebe mensalmente R$ 2.500,00 de salário de uma empresa.
Recebe R$ 1.500,00 de aluguel de um ponto comercial e R$ 1.000,00 de
rendimento de aplicações financeiras. Qual a participação percentual de cada
fonte em sua renda total ?
R: 50 % , 30 % , 20 %
1.3 Cálculo algébrico.
1) Calcule os valor numérico das expressões:
a) a 3 + b3 − 2a 2 + 4ab + 1 , para a = 2 e b = -3
xy − x 2
1
1
b)
, para x = −
e y=
10
100
y
Resposta: a) 29
b) −
11
100
2) Simplifique as expressões reduzindo-as ao máximo:
(
) (
) (
)
a) 3 a 2 + a + 1 + 2 a 2 + 2a − 2 − a 2 + 3a − 3
11
12. b) a (a + b − c) + b(b + c − a ) + c(a − b + c)
Respostas: a) 4a 2 + 4a + 2
b) a 2 + b 2 + c 2
Produtos notáveis:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2
3) Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) (2x + 3)
b) (3x − y )
c) (5x + 1)⋅ (5x − 1)
d) 2a 2 + 3b ⋅ 2a 2 − 3b
2
2
(
)(
)
4) Simplifique as expressões:
a) (x − 2) + x 2 − 2(x − 1)
2
2
b) (m − 1) − (m + 1)⋅ (m − 1)
2
3x 4 − 10x 2
c)
x5 − x2
12
13. d)
e)
x 2 − 16
x+4
(x + 3)2
x2 − 9
xy 2 − x 2 y
f)
2 xy
x 2 + 10x + 25
g)
x+5
h)
x 2 + 6x + 9
2x + 6
y − z y2 − z2
i)
÷
x + w x2 − w2
Respostas: a) 2
g) x+5
h)
b) -2m+2
x+3
x−w
i)
2
y+z
3x 2 − 10
c)
d) x − 4
x3 −1
e)
x+3
y−x
f)
x−3
2
13
14. 5) Efetue as operações indicadas:
x+3
(x + 1)
a)
⋅
2(x + 1) (x + 3)⋅ (x − 3)
2
1− x +
b)
1− x
1+ x
1
1
+
1− x 1− x 2
Respostas: a)
x +1
2(x − 3)
b) (1 − x )
2
1.3 Equações e sistemas do 1o grau.
1) Resolva as equações:
a)
x − 2 2x + 8
+
=5
4
5
14
15. b)
x +1 x − 2
17
−
= 2
x
x +1 x + x
Respostas: a) x = 6
b) x = 4
2) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo,
resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto?
R: 500
3) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se que
uma possui o dobro da outra?
R: 45 e 90
4) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de
seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento
corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento. R$ 300,00. Qual o
valor da dívida, se o último pagamento era de 20 % da dívida original?
R: 1000
15
16. 5) Resolva os sistemas de equações do 1o grau
x + y = 5
a)
3x − y = 11
2 x + 3 y = 8
b)
5x − 2 y = 1
2x − 9 y = −47
c)
− x + 20 y = 101
Respostas: a) 4 , 1
b) 1 , 2
c) -1 , 5
6) A soma de dois números é 21 e a sua diferença é 51. Calcule os dois números.
Resposta: -15 e 36
16
17. 7) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por
exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios
ele acertou?
Resposta: 35
8) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos, a
mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma?
R: 28 e 13 anos
1.4 Equações e sistemas do 2o grau.
1) Resolva as equações:
b) (2x + 1) − 5(x + 1) + 4 = 0
a) 2x 2 − 50 = 0
c)
x −3
x2 −4
+1 =
2
1
x−2
Resposta: a) -5, 5 b) 0, 3/2
d) 5x 2 + 6x + 1 = 0
c) -3, 3
d) -1, -1/5
17
18. 2) Resolva os seguintes sistemas de equações:
x + y = 2
a) 2
x + y 2 = 10
x + y = 9
b) 2
x + y 2 − 2x − 2 y = 23
Respostas: a) (-1;3),(3;-1)
b) (4;5) , (5;4)
3) Resolva:
a) x 4 + x 2 − 2 = 0
b)
x 2 − 5x − 20 = 2
c)
2x 2 + x − 6 = x + 2
Respostas: a) -1, 1
b) -3, 8
c) -2, 5
18
19. 4) Um jardim de forma retangular tem 96 m2 de área. Se aumentarmos o
comprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a
ter 150 m2. Calcule as dimensões originais do jardim.
Resposta: c = 12 m e l = 8 m
19
20. Capítulo 2 - Funções
2.1 Definição
Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas
duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja,
garante que y seja único para um valor específico de x. Em outras palavras, o
valor de y depende do valor de x.
Exemplo: a área de um quadrado é função do comprimento do seu lado; o
salário é função das horas trabalhadas; o número de unidades de certo produto
demandadas pelos consumidores depende de seu preço; etc.
2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal
É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. O eixo x
é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos
dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
y
2o Quadrante
b
1o Quadrante
P(a,b)
a
3o Quadrante
x
4o Quadrante
Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a,b)
indicado na figura tem abscissa a e ordenada b. (a,b) é denominado par
ordenado e representam as coordenadas do ponto P.
20
21. 2.3 Função Polinomial do 1o grau
Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax+b ou y = ax+b,
definida para todo a,b e x reais e com a diferente de zero, é denominada função
do 1o grau.
Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função:
y = 2x-1
x
-2
-1
0
1
2
3
y
y
x
Observação:
1) para a > 0 a função do 1o grau é crescente, e para a < 0 ela é decrescente.
2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax+b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x)=0
Exercício: Calcule a raiz da função do exemplo acima:
2.4 Função Polinomial do 2o grau
Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax2+bx+c ou
y = ax2+bx+c, definida para todo a,b,c e x reais e com a diferente de zero, é
denominada função do 2o grau ou função quadrática.
21
22. Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função:
a) y = x2 - 2x - 3
X
Y
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
b) y = - x2 + 2x + 3
X
Y
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
22
23. Observação:
1) para a > 0 o gráfico da função do 2o grau é uma parábola com concavidade
voltada para cima, e para a < 0 ela é uma parábola com concavidade voltada
para baixo.
2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax2 + bx + c o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x)=0
3) no cálculo das raízes tem-se:
Se ∆ >0 a função tem duas raízes (zeros) diferentes
Se ∆ =0 a função tem uma raiz (zero)
Se ∆ <0 a função não tem raízes (zeros)
∆
b
4) o vértice da parábola é um ponto que é determinado por − ,−
2a 4a
5) quando a > 0 (concavidade para cima), o vértice é o ponto de mínimo da
função. Quando a < 0 (concavidade para baixo), o vértice é o ponto de máximo
da função.
Exercícios: Construa no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções e
determine os pontos de máximo ou de mínimo, conforme o caso:
a) y = - x2 + 2x - 4
X
Y
-1
0
1
2
3
y
x
23
24. b) y = 2x2
X
Y
-2
-1
0
1
2
y
x
Capítulo 3 - Estudo da Reta
3.1 Condição de alinhamento de 3 pontos
Se três pontos estão alinhados, ou seja, pertencem a mesma reta, deve-se
satisfazer a seguinte condição:
y 2 − y1 y3 − y1
=
x 2 − x1 x 3 − x1
y
C
y3
y2
y1
B
A
x1 x2 x3
x
24
25. Exercício: Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados:
a) A(-2,6) B(4,8) C(1,7)
b) A(0,2) B(-3,1) C(4,5)
3.2 Coeficiente angular ou inclinação de uma reta (m).
É o valor que expressa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação da
reta.
y 2 − y1
x 2 − x1
Obs: Duas retas são paralelas quando seus respectivos valores de m forem
1
iguais. Quando forem perpendiculares m1 = −
m2
m=
y
y
y
m=0
m>0
m<0
x
x
x
Observação: quando a reta ficar na vertical, todos os seus pontos possuem a
mesma abscissa (x1 = x2), e o valor de m tende ao infinito.
3.3 Equação geral e reduzida de uma reta.
A equação geral é do seguinte formato:
(y − y1 ) = m(x − x1 ) ,
resultando em:
ax + by + c = 0
25
26. Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2).
Solução: primeiro determina-se o valor de m.
m=
y 2 − y1 2 − (−2) 4 2
=
= =
x 2 − x1 5 − (−1) 6 3
Utilizando o ponto A:
(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − (−2)) = 2 (x − (−1))
3
(y + 2) = 2 (x + 1)
3
3(y + 2 ) = 2(x + 1)
3y + 6 = 2x + 2
− 2 x + 3y + 6 − 2 = 0
2 x − 3y − 4 = 0
A equação reduzida é da seguinte forma:
y = mx + b
o que graficamente pode ser representado por:
y
b
x
No exemplo anterior tem-se utilizando m = 2/3 e o ponto A:
(y − y1 ) = m(x − x 1 ) ⇒ (y − (−2)) = 2 (x − (−1) ) ⇒
3
(y + 2) = 2 (x + 1) ⇒ y + 2 = 2 x + 2 ⇒
3
3
3
2
2
2
4
y = x+ −2⇒ y = x−
3
3
3
3
26
27. Exercícios:
1) Dada a reta de equação 2x - y + 5 = 0, escreva a equação da reta paralela à
reta dada e que passa pelo ponto A(-2,2)
Resposta: 2x -y + 6 = 0
2) São dados os pontos A(4,3) e B(-2,-5). Determine a equação da reta t, que
passa pelo ponto C(8,-6) e que é paralela à reta determinada pelos pontos A e B.
Resposta: 4x - 3y -50 = 0
3.4 Interseção de retas.
Consideremos duas retas r e s, que se interceptam num ponto P(a,b). Como o
ponto P deve pertencer as duas retas, suas coordenadas (a,b) devem satisfazer as
equações das duas retas, simultaneamente. Portanto, obtemos as coordenada
(a,b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas.
Exemplo: Determine o ponto de interseção das retas
2x − y + 1 = 0
x + y−4 = 0e
x + y − 4 = 0
2x − y + 1 = 0
___________
3x − 3 = 0 ⇒ x = 1
1+ y − 4 = 0 ⇒ y = 3
P(1,3)
27
28. Pode-se também igualar as equações na sua forma reduzida:
x + y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 4
2x − y + 1 = 0 ⇒ y = 2x + 1
− x + 4 = 2x + 1
− x − 2x = 1 − 4
− 3x = −3
x =1⇒ y = 3
3.5 Aplicação em administração
Exemplo: Uma empresa investe R$ 1800 em equipamentos. O contador da
empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a
estimativa de vida do equipamento, isto é, o valor contábil do equipamento
decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos aquele valor
contábil será zero. Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja y ao
fim de x anos. Assim, quando x =0 , y = 1800, e quando x = 10 , y = 0. A
equação da reta que dá a relação entre x e y é a da reta que une os pontos
(0,1800) e (10,0), então:
m=
y 2 − y 1 0 − 1800
=
= −180
x 2 − x1
10 − 0
Utilizando o ponto (10,0):
(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − 0) = −180(x − 10)
y = −180x + 1800
Observe que a inclinação da reta é -180, e este número dá a quantia segundo a
qual o valor contábil muda a cada ano; decresce R$ 180 por ano.
Exercícios:
1) Uma companhia comprou uma máquina no valor de R$ 15000. Sabe-se que o
valor residual após 10 anos será de R$ 2000. Usando o método da linha reta para
depreciar a máquina de R$ 15000 para R$ 2000 em 10 anos, qual o valor da
maquinaria depois de 6 anos ?
28
29. Resposta: R$ 7200
2) O fabricante de determinada mercadoria tem um custo total consistindo de
despesas gerais semanais de R$ 3000 e um custo de manufatura de R$ 25 por
unidade. (a) Se x unidades são produzidas por semana e y é o custo total
semanal, escreva uma equação relacionando x e y. (b) Faça um esboço do
gráfico da equação obtida em (a).
3) O custo total para um fabricante consiste de um custo de manufatura de R$ 20
por unidade e de uma despesa diária fixa. (a) Se o custo total para produzir 200
unidades em 1 dia é de R$ 4500, determine a despesa fixa diária. (b) Se x
unidades são produzidas diariamente e y é o custo total diário, escreva uma
equação relacionando x e y. (c) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em
(b).
29
30. 4) Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no
mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de
R$ 140.000 e o custo variável para produzir cada unidade é R$ 25. Durante o
primeiro ano o preço de venda é de R$ 65 por unidade. (a) Se x unidades são
vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano como uma
função de x. (b) Se 23.000 unidades forem vendidas, qual será o lucro. (c)
Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo ?
Respostas: b) 780.000 c) 3.500
5) O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.200, e o custo
variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. (a) Se x
unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma
função de x. (b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. (c)
Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um
mês ?
Respostas: b) 25.800 c) 84
30
31. 6) Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo
de R$ 15 por unidade. Está estimado que se o preço de venda for x, o número de
relógios vendidos por semana será de 125 - x. (a) Expresse o lucro semanal
como uma função de x. (b) Se R$ 45 for o preço de venda, qual será o lucro
semanal ? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ?
Respostas: b) 2.400 c) 70
7) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um
custo de R$ 10 cada um, estima-se que se o preço de venda for x, o número de
brinquedos vendidos por dia será de 45 - x. (a) Expresse o lucro diário como
uma função de x. (b) Se R$ 30 for o preço de venda, qual será o lucro diário ?
(c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ?
Respostas: b) 300 c) 27,5
3.6 Equações de Demanda e de Oferta
Geralmente, a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos
consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baixa, os
consumidores procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, os consumidores
procurarão menos.
31
32. Seja p o preço de uma unidade e x o número e unidades demandadas, uma
relação entre p e x é denominada equação de demanda. Para representar essa
equação em um gráfico, usualmente utiliza-se o eixo vertical para o preço e o
horizontal para a demanda.
Exemplo: Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o
preço de uma visita a pontos turísticos é de R$ 6, a média do números de
ingressos vendidos por viagem é 30, e quando o preço passa a R$ 10, o número
médio de ingressos vendidos é somente 18. Supondo linear a equação de
demanda, encontre-a e trace um esboço.
Solução: A equação da reta que dá a relação une os pontos (30,6) e (18,10),
então:
m=
y 2 − y 1 10 − 6
1
=
=−
x 2 − x 1 18 − 30
3
Utilizando o ponto (30,6):
(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − 6) = − 1 (x − 30)
3
1
y = − x + 16
3
1
p = − x + 16
3
Equação de Demanda
16,0
Preço do ingresso
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
Número de ingressos demandados
32
33. Exercício 1) Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$ 80,00;
20 relógios são vendidos quando o seu preço é R$ 60,00. Qual é a equação da
demanda ? Trace o gráfico.
y
x
Resposta: y = −2x + 100
Exercício 2) Uma firma analisou suas vendas e conclui que seus clientes irão
comprar 20% a mais de unidades dos seus produtos para cada redução de R$
2,00 no preço unitário. Quando preço é R$ 12,00 a firma vende 500 unidades.
Qual a equação da demanda para esse produto, trace o gráfico.
y
x
33
34. Resposta: y = −
x
+ 22
50
As equações de oferta em geral são positivas, isto é , a medida que o preço
aumenta a oferta aumenta. Nesse caso só interessam os valores positivos de x e
y.
Exercício 3) Quando o preço for de R$ 50,00, 50 máquinas fotográficas estão
disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00 , 100 máquinas estão
disponíveis. Qual a equação da oferta ? Trace o gráfico.
y
x
Resposta: y =
x
+ 25
2
34
35. Capítulo 4 - Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear)
O método dos mínimos quadrados é um modelo matemático que determina a
reta que pode representar (se ajustar a ) uma série de valores x e y que não se
alinham perfeitamente.
Exemplo: A tabela abaixo nos fornece a receita total anual das vendas de uma
fábrica durante os seus primeiros 04 anos de operação, onde x é o número de
anos em operação e y é o número de milhões em vendas anuais.
x
y
1
5
2
8
3
7
4
12
A reta denominada reta de regressão é escrita no formato y = mx + b , onde os
valores de m e b são o resultado de um sistema de duas equações do 1o grau
demonstradas abaixo:
(
)
∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ y i )
onde n é o número total de pontos
(∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ y i )
Portanto monta-se a seguinte tabela:
xi
1
2
3
4
∑
xi2
1
4
9
16
yi
5
8
7
12
= 10
∑
= 32
∑
= 30
xi . yi
5
16
21
48
∑ = 90
E resolve-se o sistema:
(
)
∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ yi )
(∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ yi )
30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90 30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90
⇒
⇒ −2 ⋅ b = −6 ⇒ b = 3
10 ⋅ m + 4 ⋅ b = 32
30 ⋅ m + 12 ⋅ b = 96
Substituindo:
10 ⋅ m + 4 ⋅ 3 = 32
10 ⋅ m = 32 − 12
20
=2
m=
10
Resposta: a equação de reta que se melhor ajusta é : y = 2x + 3
35
36. Exercícios: Determine a reta de regressão para os seguintes dados:
a)
xi
1
3
3
5
5
6
7
5
9
7
11
8
∑
Resp: y =
xi2
yi
=
∑
=
∑
xi . yi
=
∑
=
3
65
⇒ 9x − 21y + 65 = 0
x+
7
21
36
37. b) Um quadro foi comprado em 1965 por U$ 1200. Seu valor era U$ 1800 em
1970, U$ 2500 em 1975, e U$ 3500 em 1980. Qual o seu valor em 1990 ?
xi
∑
xi2
yi
=
∑
=
∑
xi . yi
=
∑
=
Resp: y = 152 x + 1110 ⇒ y(25) = 4910
37
38. c) Na tabela abaixo, x dias passaram-se desde o aparecimento de certa doença, e
y é o número de novos casos da doença no x-ésimo dia. (a) Ache a reta de
regressão para os pontos dados. (b) Use a reta de regressão para estimar o
número de novos casos da doença no sexto dia.
xi
1
20
2
24
3
30
4
35
5
xi2
yi
42
∑
=
∑
=
∑
xi . yi
=
∑
=
Resposta: a) y = 5,5x + 13,7 b) 47
38
39. BIBLIOGRAFIA:
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.
GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo:
Editora FTD Ltda, 1994.
LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda,
1988.
MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.
WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed.
1986.
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