1) Resume os principais conceitos de progressões geométricas e apresenta alguns exemplos numéricos; 2) Explica a redução do tempo em função da velocidade inicial e final; 3) Apresenta a fórmula para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.

1. Progressões Geométricas
1) 100 → 1,1.100 = 110 → 1,2.110 = 132
A resposta é 32%.
2) 100 → 0,9.100 = 90 → 0,8.90 = 72
A resposta é 28%.
3) 100 → 1,1.100 = 110 → 0,8.110 = 88
A resposta é 12%.
4) Sejam v e t, respectivamente, a velocidade antiga e o tempo gasto e sejam v' e
t' a velocidade e o tempo depois do aumento.
vt = v't'
vt = 1,6vt'
1
t' = t = 0,625t = 62,5% t
1,6
O tempo se reduz em 37,5%.
5) 1 + I = (1 + i) n
1 + I = (1 − 0,05)12
I = 0,9512 − 1 ≅ −0,46
Aproximadamente 46%.
6) Sejam T o período e λ o comprimento e sejam T' o período e λ' o comprimento
depois da variação.
λ' λ
=
T' T
λ' λ
=
1,2T T
λ' = 1,2 λ
λ' = 1,44λ = 144%λ
Devemos aumentar de 44%.
7) Sejam P a pressão e V o volume e sejam P' a pressão e V' o volume depois da
variação.
PV = P'V'
PV = P'.0,8V
1
P' = P = 1,25P = 125%P
0,8
A pressão aumenta de 25%.

2. 8) Sejam S, b e h a área, a base e a altura antes da variação e sejam S', b' e h' a
área, a base e a altura depois da variação.
S' = b'.h' = 1,1b.0,9h = 0,99.b.h = 99%S
A área diminui de 1%.
9) Os valores formam uma progressão geométrica.
a4 = a0.q4
12 000 = 18 000 q4
2
q= 4
3
2
a1 = a0.q = 18 000 4 , ou seja, R$ 16 264,84.
3
10) Os lados são a, aq, aq2. Pelo Teorema de Pitágoras, (aq 2 ) 2 = (aq) 2 + a 2 . Daí,
1+ 5
q4−q2−1 = 0 e, como q>0, q = .
2
11) Se a progressão é estritamente crescente, os lados a, aq, aq2 satisfazem q>1
e
5 +1
aq2 < aq+a, ou seja, q2−q−1 < 0. Ou seja, 1 < q <
2
2 5 −1
Se a progressão é estritamente decrescente, < q < 1 , ou seja, < q <1
5 +1 2
5 −1 5 +1
A resposta é < q< .
2 2
3 1 1 1
2 − −
12) q = = 23 2 =2 6
2
1 1
−
a4 = a3.q = 2 6 .2 6 =1
13) Sejam a, aq, aq2 os números.
a+aq+aq2 = 19
a2+(aq)2+(aq2)2 = 133
Daí, a(1+q+q2) = 19
a2(1+q2+q4) = 133
133
Dividindo, a(1−q+q2) = =7
19
1+ q + q2 19
Daí, 2
=
1− q + q 7

3. 3 2
q= ou q = .
2 3
3 2
Se q = , substituindo vem a = 4; se q = , substituindo vem a = 9.
2 3
Os números são 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.
14) Sejam x−r, x, x+r a progressão aritmética e x−r+1, x, x+r a progressão
geométrica.
x − r + 1 + x + x + r = 19

 x x+r
 =
 x − r +1 x
 x=6

36 = (6 + r ).(7 − r )
r = 3 ou r = −2.
Os números são 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.
15) Sejam x−6, x, x+6, x−6 os números.
x+6 x−6
=
x x+6
x +12x+36 = x2−6x
2
x = −2
Os números são −8, −2, 4, −8.
16) Se 2p−1 é primo, os divisores de 2p−1(2p−1) são 1, 2, 22,..., 2p−1, (2p−1), 2(2p−1),
22(2p−1),..., 2p−1(2p−1).
A soma desses divisores é 1+2+22+...+2p−1+(2p−1).(1+2+22+...+2p−1) =
= 2p. (1+2+22+...+2p−1) = 2p.(2p−1) = 2. 2p−1(2p−1).
10 k − 1
17) A k-ésima parcela da soma vale 1+10+...+10k−1 = . A soma é igual a
9
n
10 k − 1 1 n k n 10 10 n − 1 n 10 n +1 − 10 − 9n
∑ 9 = ∑10 − = .
9 k =1 9 9 9
− =
9 81
.
k =1
n+
18) 444...488...89 = 9 + 8.10 + 8.10 22448.10 n -1 + 4.10 n +444 1 44444 -1 =
14444 + ... + 44
2n
3 144 4.10 2+ ... + 4.10 3
2
10 n −1 − 1 10 n − 1 4.10 2n + 4.10 n + 1  2.10 n + 1 
= 9+ 80 + 4.10 n = =  
9 9 9  3 
 
210 n + 1
.
A raiz quadrada é = 66...67 (n dígitos).
3

4. 19) Em cada operação o número de folhas dobra. O número de folhas da pilha
depois de 33 dessas operações é 232 = 22.(210)3 ≅ 4.109.
A altura da pilha vale, aproximadamente, 4.109.0,1mm = 400km.
A resposta é D.
1
20) Em cada operação a quantidade de vinho reduz-se em . Os valores da
p
1
quantidade de vinho formam uma progressão geométrica de razão 1 − .
p
n
 1
A resposta é p1 −  .
 p

5. 21a) 12 600 = 23.32.52.7
Os divisores positivos de 12 600 são os números da forma 2 α .3β.5 γ .7 δ com
α∈{0, 1, 2, 3}, β∈{0, 1, 2}, γ∈{0, 1, 2} e δ∈{0, 1}.
A soma desses divisores é ∑ 2 α.3β.5 γ .7 δ = ∑ 2 α.3β.5 γ .7 0 + ∑ 2 α .3β.5 γ .71 =
α ,β, γ ,δ α ,β, γ α ,β,γ
= (1+7) ∑ 2 α.3β.5 γ = 8 ∑ 2 α.3β.50 +8 ∑ 2 α.3β.51 +8 ∑ 2 α.3β.5 2 =
α ,β, γ α ,β α ,β α ,β
= 8(1+5+25) ∑ 2 α .3β = 248 ∑ 2 α .30 +248 ∑ 2 α .31 +248 ∑ 2 α .3 2 =
α ,β α α α
= 248.(1+3+9) ∑ 2 α = 3 224 ∑ 2 α = 3 224(1+2+4+8) = 48 360.
α α
21b) Os divisores ímpares e positivos de 12 600 são os números da forma
3β.5 γ .7 δ com β∈{0, 1, 2}, γ∈{0, 1, 2} e δ∈{0, 1}.
A soma desses divisores é ∑ 3β.5 γ .7 δ = ∑ 3β.5 γ .7 0 + ∑ 3β.5 γ .71 = (1+7) ∑ 3β.5 γ =
β , γ ,δ β, γ β, γ β, γ
= 8 ∑ 3 .5 + 8 ∑ 3 .5 +8 ∑ 3 .5 = 8(1+5+25)
β 0 β 1 β 2
∑3 β
= 248.(1+3+9) = 3 224.
β β β β
0,14 0,14 14
22a) 0,141414... = 0,14+0,0014+0,000014+... = = = .
1 − 0,01 0,99 99
0,045 0,045
22b) 0,3454545... = 0,3+0,045+0,00045+0,0000045+... = 0,3+ = 0,3+
1 − 0,01 0,99
3 45 19
= + = .
10 990 55
0,9
22c) 0,999999... = 0,9+0,09+0,009+... = =1
1 − 0,1
0,01 0,01 17 1
22d) 1,71111... = 1,7+0,01+0,001+0,0001+... = 1,7+ = 1,7 + = + =
1 − 0,1 0,9 10 90
77
= .
45
2 2 2
23a) 2 + + + ... = =3
3 9 1
1−
3

6. 1 1
23b) São duas progressões geométricas de razão 2
. Uma tem primeiro termo
7 7
1 2
2 7 2 3
e a outra, . A soma vale + 7 = .
72 1 1 16
1− 2 1− 2
7 7
1 3 5 7
23c) S = + + + + ...
2 4 8 16
1 1 3 5
S = + + + ...
2 4 8 16
2
1 1 2 2 2 1 4 3
Subtraindo, S = + + + + ... = + =
2 2 4 8 16 2 1 2
1−
2
e S = 3.
23d) S = 1+2x+3x2+4x3+..., −1<x<1
xS = x+2x2+3x3+...
1
Subtraindo, S(1−x) = 1+x+x2+x3+... =
1− x
1
S=
(1 − x ) 2
1
1 1 1 4 2
23e) Grupando de três em três, obtemos + + + ... = = .
4 32 256 1 7
1−
8
4
2 2 . .5
4 4
24a) 5+2. .5 + 2.  .5 + ... = 5+ 9 = 13 metros.
9 9 4
1−
9
24b) O tempo que a bola gasta para, partindo do repouso, cair de uma altura h é
2
2h 4 4
. Como as alturas (em metros) das quedas são 5, .5,   .5 ,..., supondo g
g 9 9
2
2 2
= 10m/s2, os tempos de queda (em segundos) serão 1, ,   ,...
3 3

7. 2
2 2 1
O tempo total de queda é 1 + +   + ... =
= 3 segundos.
3 3 2
1−
3
A este tempo devemos adicionar o tempo gasto pela bola nas subidas, que é o
mesmo, à exceção do 1s da queda inicial.
A resposta é 5s, aproximadamente.
25a) Os lados da poligonal são hipotenusas de triângulos semelhantes na razão
b
(cada um para o anterior) .
a
b2 a a2
O comprimento é a + b + + ... = = .
a b a−b
1−
a
25b) É o termo de ordem n de uma progressão geométrica de primeiro termo a e
n−1
b b
razão . A resposta é a  .
a a
1 1 π
26a) π.1 + π. + π. + ... = = 2π.
2 4 1
1−
2
1 1 2 4
26b) 2 − 1 + − + ... = = .
2 4 −1 3
1−
2
rn − rn +1 1 − r
27) Uma semelhança de triângulos fornece = . Daí, rn +1 = r.rn . Os
rn + rn +1 1 + r
raios formam uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão r. A soma
1− r n
vale .
1− r
300 0,3.200
28) lim an = 300+0,3.200+0,32.300+0,33.200+... = 2
+≅ 396
1 − 0,3 1 − 0,3 2
200 0,3.300
lim bn = 200+0,3.300+0,32.200+0,33.300+... = 2
+ ≅ 319
1 − 0,3 1 − 0,3 2
1 1 1 1
29) Sn = 1+ + + ... + n −1 é crescente e tem limite =2
2 4 2 1
1−
2
1 é verdadeiro; 2, 3 e 4 são falsos; 5 é verdadeiro (basta fazer n=3).

8. 1 3 5 7
30) S = + 2 + 3 + 4 + ...
9 9 9 9
1 1 3 5
S = + 3 + 4 + ...
9 92 9 9
Subtraindo,
2
8 1 2 2 2 1 2 5
S = + 2 + 3 + 4 + ... = + 9 =
9 9 9 9 9 9 1 36
1−
9
5
S=
32
1
2
1 1 1 1 1 1 1
+ + +... 1−
31a) x 2 .x 4 .x 8 .... = x2 4 8 = x 2 =x
1 1 1 1
+ +... + +...
1/ 2 1/ 4 1/ 8 1 / 16
31b) x .y .x .y ... = x 2 8 .y 4 16 = x 2 / 3 .y1/ 3 = 3 x 2 y .
32a) Em cada operação a soma dos comprimentos restantes é 2/3 da anterior. A
n
2
resposta é   .
3
n
2
32b) lim   = 0.
3
32c) Não, o conjunto é infinito.
a n +1
33) bn+1−bn = log an+1− log an = log = log q = constante
an
b n +1 e a n +1
34) = a = e a n +1−a n = e r = constante
bn e n
35) An = A0.qn
A0
= A 0 .q1600
2
q = 2−1/1600
2A 0
A massa se reduzirá a 2/3 se = A 0 .q n
3
log(2 / 3)
n= ≅ 936
log q

9. 10 n − 1
36) a = 1+10+...+10n−1 =
9
b = 5+10n
2
10 2 n + 4.10 n + 4  10 n + 2 
ab+1 = = 
9  3 
 
10 + 2
n
A raiz quadrada é = 333...34 (n dígitos)
3
37) A2 = 5A
n n−1
 5 n−1 2.5 n−1 
A =5 .A =  n−1 
 2.5 4.5 n−1 
38) a) O perímetro aumenta de 1/3 em cada estágio. Logo, os perímetros formam
uma progressão geométrica de razão 4/3. O perímetro do estágio de ordem n é
n
4
3.  .
3
n
3 4
b) An+1 = An +  
12  9 
n
2 3 3 3 4
Somando, An = −   .
5 20  9 
c) ∞, pois a razão da progressão é maior que 1.
n
2 3 3 3 4 2 3
d) lim [ −   ]= .
5 20  9  5
39a) A razão da progressão é dada por 880 = 440q12. Daí, q = 21/12.
A freqüência desse dó é 440.q3 = 523 Hz, aproximadamente.
39b) 440/q2 = 392 Hz, aproximadamente.
39c) 186 = 440 qn
n ≅ −15
A nota é Fá #.
40b) L = 120+ 10 log10I
L' = 120+ 10 log10 (2I)
L'−L = 10 log10 2 ≅ 3.
A resposta é 3dB.

10. 41a) Usando a fórmula de somação por partes,
∞ ∞ k ∞ k −1 ∞ k −1
k2 2 1  1 1
∑ 2 k = ∑ k  2  = 0 − 0 − ∑ ∆ 2  k = ∑ 
2
∆(k − 1) 2 =
k =1 k =1   k =1   k =1  2 
∞ k −2 ∞ k −2 ∞ k −2
1 1 1
= − ∑ (2k − 1)∆  = 0−2+ ∑   ∆(2k − 3) = −2 + ∑   .2 = − 2 + 8 = 6
k =1 2 k =1  2  k =1  2 
n n n
41b) ∑ k .2 k
= ∑ k.∆ 2 = n.2 k n +1
− 0 − ∑ 2 k .1 = n.2 n +1 − (2 n +1 − 2) = (n−1)2n+1+2.
k =1 k =1 k =1