Este documento discute potenciação e radiciação de números reais. [1] Ele define potência de um número real com expoente natural e lista propriedades como o produto, quociente e potência de potências. [2] Discute também potência com expoente inteiro negativo, definindo-a como o inverso da potência com expoente positivo correspondente. Por fim, aborda o sinal de potências com base positiva ou negativa.

1. 1
Prof. Denise Ortigosa Stolf
Colégio Trilíngüe Inovação
Rua Mato Grosso 420-E
Fone/Fax: (49) 3322.4422 Textos
Chapecó – Santa Catarina
CEP. 89801-600
Sumário
Potenciação ...............................................................................................................................................2
Potência de um número real com expoente natural ..............................................................................2
Propriedades ......................................................................................................................................2
Potência de um número real com expoente inteiro negativo ................................................................6
Sinal de uma potência de base não nula ............................................................................................6
Potências de 10......................................................................................................................................9
Notação científica ...........................................................................................................................10
Radiciação ...............................................................................................................................................12
Raiz enésima de um número real ........................................................................................................12
Radical aritmético e suas propriedades ...............................................................................................14
Propriedades ....................................................................................................................................15
Simplificando radicais: extração de fatores do radicando ..................................................................21
Introduzindo um fator externo no radicando.......................................................................................25
Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais ..........................................................................27
Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes ..........31
Produtos notáveis ............................................................................................................................35
Potenciação de uma expressão com radicais.......................................................................................36
Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária...........................................................37
Simplificando expressões com radicais ..............................................................................................39
Potências com expoente fracionário ...................................................................................................41
Bibliografia .............................................................................................................................................43

2. 2
POTENCIAÇÃO
Potência de um número real com expoente natural
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é
denominado a base e o número n é o expoente.
a n = a ⋅ 42⋅43
1a ⋅ a ... ⋅ a Exemplo: 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
n vezes
a é multiplicado por a n vezes
Propriedades
1ª) Produto de potências de mesma base
Exemplos:
53 ⋅ 56 = 53+6 = 59
a n ⋅ a m = a n+m
(−2) 4 ⋅ (−2) 3 = (−2) 4+3 = (−2) 7
2ª) Quociente de potências de mesma base
Exemplos:
6 5 : 6 2 = 6 5− 2 = 6 3
a n : a m = a n −m
(−10)8 : (−10) 3 = (−10)8−3 = (−10) 5

3. 3
3ª) Potência de uma potência
Exemplos:
(10 )
2 5
= 10 2⋅5 = 1010
(a )
n m
= a n⋅m
[(− 8) ]3
5
= (− 8) = (− 8)
3⋅5 15
4ª) Potência de um produto ou de um quociente
Exemplos:
(6 ⋅ 5)8 = 68 ⋅ 58
( a ⋅ b) = a ⋅ b
n n n
(a : b) n = a n : b n
[(−10) : 2]
4
= ( −10) 4 : 2 4
Observação:
Para todo número real a, com a ≠ 0 , temos a 0 = 1
23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
22 = 2 ⋅ 2 = 4 2⋅2⋅2 8 23
22 = = =4 22 = = 2 3−1 = 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
21 = 2 2 2 2
2⋅2 4 22
20 = 1 21 = = =2 21 = = 2 2−1 = 21 = 2
2 2 2
2 21
20 = = 1 2 =
0
= 21−1 = 2 0 = 1
2 2

4. 4
EXERCÍCIOS A1
6) Calcule as potências.
a) (−13)3
1
 16 
b)  
 141 

5. 5
7) Determine o valor de: 050 − 101 + 1100 + 10 0 .
11
8) Se a = − , qual o valor de a 3 ?
5
9) Qual é o maior: (−15) 2 ou − 15 2 ?
10) Calcule os valores das expressões:
a) (32 ⋅ 4 2 : 6 2 − 2 2 )3 ⋅125 + 110
b)
[(5 − 5 ⋅ 2 ) ⋅ 5 − 5 : (2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 − 13) ]
2 2 2 3 3 10 2
11) Determine o valor numérico da expressão b 2 − 4 ac para a = 5 , b = −9 e c = 4 .

6. 6
Potência de um número real com expoente inteiro negativo
Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos:
n
−n 1 1 1
a = n =   , em que n é um número natural e é o inverso de a.
a a a
−n n
a 1 1 bn bn  b 
Observação:   = n
= n = 1⋅ n = n =  
b a a a a a
  n
b b
Exemplos:
−2
1 1  2  3
2
a) 7 −2 = 2
= c)  −  = −  =
9
7 49  3  2 4
−1 −3 3
1  7  2
d) (− 3,5)−3 =  −  =  −  = −
1 1 5 8
b)   = 1
= = 1⋅ = 5
5 1 1 1  2  7 343
  5
5
Sinal de uma potência de base não nula
Para determinar o sinal de uma potência, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoente
é par ou ímpar.
Expoente Base positiva Base negativa
Potência positiva Potência positiva
Par
54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 (−5) 4 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = 625
Potência positiva Potência negativa
Ímpar
25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 (−3)3 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −27

7. 7
EXERCÍCIOS A2
1) Determine o valor de:
−5
 1
a) 17 −1
c)  − 
 3
−6
−4  3
b) (−6) d) − 
 2
2) Escreva cada número sob a forma de potência com expoente inteiro negativo:
1
1 7
a) 3 c)  
10  16 
6
1  1
b) − 5 d)  
 xy 
16  
4 −1 + 4 −2
3) Calcule o valor de .
4− 3
4) Calcule o valor das expressões:
3
1 1
a) 3 ⋅   + −1
2
−2
 3 3 + 2
b) (2 −1 + 2 −2 + 3−1 ) −2
x −1 + y −1
5) Simplifique a expressão algébrica − 2 .
x − y −2
6) Aplique as propriedades de potências e simplifique as expressões:
a) a 4 ⋅ a −3 c) (a −6 ) 7 : a −40
−11 2 (ab 2 ) 4
b) (a ) d)
a −3

8. 8
7) Aplique as propriedades de potência e reduza as expressões a uma só potência:
a) 17 2 n + 2 ⋅ 17 [
c) (75) ]
n −4
n −1 n +3
 1  1
b)  −  :−  d) a n−1 : a n
 2  2
8) Simplifique as expressões e calcule o valor de cada uma delas:
−2 4
 1  2 
3
5 n+1 ⋅ 5 2 ⋅ 5 −1
2 2 c)
a)   ⋅   +    : 3−4 5n
3 3  3  
 
b)
(10 ) ⋅ (10 )
5 3 −4 3
(
+ 10 −5 : 10 −2 ) 4
d)
21n−3 ⋅ 33−n
10 2 7 n−1

9. 9
Potências de 10
Para facilitar a escrita de número com muitos dígitos iguais a zero, podemos utilizar potências de 10.
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos
“aumentar” o número de zeros à direita ou “movimentar” para a direita a vírgula tantas casas quanto
indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104 = 2,1 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a direita
0,000032 x 103 = 0,032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a direita
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos
“diminuir” o número de zeros à direita ou “movimentar” a vírgula para esquerda tantas casas quanto
indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 10-5 = 0,00054 “Movimentamos” a vírgula 5 casas para a esquerda
“Movimentamos” a vírgula 2 casas para a esquerda.
2050 x 10-2 = 20,5
Lembrando que 20,5 = 20,50
0,00021 x 10-4 = 0,000000021 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a esquerda
0,000032 x 10-3 = 0,000000032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a esquerda
32500000 x 10-4 = 3250 “Diminuímos” 4 zeros que estavam à direita
Exemplos:
1) A distância da galáxia de Andrômeda à Terra é de aproximadamente:
2.200.000 anos-luz.
2.200.000 = 22 ⋅ 100.000 = 22 ⋅ 105 anos-luz
2) O raio de um átomo mede aproximadamente: 0,00000000005 mm.
0,00000000005 mm = 5 ⋅ 0,00000000001 mm = 5 ⋅ 10-11 mm

10. 10
Notação científica
Físicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros cientistas utilizam números com muitos
zeros. Como já vimos, estes números podem ser escritos de várias maneiras, usando potências de 10.
A distância do Sol à Terra, por exemplo, é, aproximadamente, 150000000 km e pode ser indicada por
150 ⋅ 106 Km ou 15 ⋅ 107 Km ou 1,5 ⋅108 Km ou 0,15 ⋅ 109 Km.
A espessura de um vírus é, aproximadamente, 0,0008 mm ou 8 ⋅10−4 mm ou 0,8 ⋅10 −3 mm ou
0,008 ⋅ 10−1 mm.
Nos trabalhos científicos, para facilitar os cálculos e a comunicação, quando aparecem números com
muitos zeros, esses números são escritos numa forma padrão chamada notação científica.
Um número escrito na notação científica é o produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de
10.
Assim, a distância do Sol à Terra, em notação científica, é aproximadamente 1,5 ⋅108 km e a espessura
de um vírus é 8 ⋅10−4 mm.

11. 11
EXERCÍCIOS A3
1) Escreva os seguintes números usando potência de dez:
a) dez bilhões c) um milionésimo
b) 14.400.000 d) 0,00000014
2) Calcule:
a) 0,00532 ⋅ 105
b) 7,41 : 10 3
c) 3,42 ⋅ 10 −3
3) Escreva os seguintes números usando notação científica:
a) 7 500 000 000 c) 106 000
b) 0,0000192 d) 0,005024

12. 12
RADICIAÇÃO
Raiz enésima de um número real
Consideremos um número real a e um número natural n, com n ≥ 2.
Vamos examinar o conceito de raiz enésima desse número, indicada pela expressão:
Temos dois casos a examinar:
1º Caso: O índice n é par.
Observe alguns exemplos:
• 81 = 9 , pois 9 2 = 9 ⋅ 9 = 81
• 4
16 = 2 , pois 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
• 6
729 = 3 , pois 36 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 729
Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um número
real ao quadrado não obtemos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos a raiz
quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um número real negativo.
Assim:
• − 4 não se define em .
• 4
− 81 não se define em .
• 6
− 1 não se define em .
Podemos dizer que:
Quando o número real a é positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que
a expressão n a é igual ao número real positivo b tal que b n = a .
Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos
que a expressão n a não é definida no conjunto dos números reais.

13. 13
É importante notar a diferença entre as expressões − 9 e −9 .
− 9 é o oposto de 9 ; logo, − 9 = −3 .
− 9 não se define no conjunto .
É importante, também, notar a diferença entre as expressões (−5) 2 e − 52 .
(−5) 2 = + 25 = 25 = 5 .
− 52 = − 25 , que não se define no conjunto .
2º Caso: O índice n é ímpar.
Observe os exemplos:
• 3
8 = 2 , pois 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
• 3
− 8 = −2 , pois (−2)3 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −8
• 5
3125 = 5 , pois 55 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3125
• 5
− 3125 = −5 , pois (−5)5 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −3125
Através dos exemplos dados, podemos dizer:
n
Dado um número real a e sendo n é um número natural ímpar, a expressão a é um único número
real b tal que b n = a .

14. 14
EXERCÍCIOS B1
Radical aritmético e suas propriedades
Toda expressão matemática da forma n
a , com , e n ≥ 2 , recebe o nome de radical
aritmético.
m
Observe: a = n a m (m > 0, n > 0)
n
Assim:
No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5.
No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10.

15. 15
Propriedades
1ª) Propriedade
n
a n = a , com , e n >1
Exemplos:
a) 5
32 = 5 25 = 2
b) 49 = 7 2 = 7
c) 4
81 = 4 34 = 3
2ª) Propriedade
am = a m: p , com p ≠ 0 e p divisor de m e n.
n n: p
n⋅ p
n
am = a m⋅ p
Exemplos:
a) 8
32 = 8:2 32:2 = 4 3
b) 15
7 9 = 15:3 7 9:3 = 5 7 3
c) 4 2 = 2⋅3 4 2⋅3 = 6 46
3ª) Propriedade
m n
a = m⋅n a , com , , , m >1 e n >1.
Exemplos:
a) 5 = 2⋅2 5 = 4 5
b) 6 4
2 = 6⋅4 2 = 24 2

16. 16
4ª) Propriedade
n
a ⋅ b = n a ⋅ n b , com , , e n > 1.
Exemplos:
a) 5 12 = 5 3 ⋅ 4 = 5 3 ⋅ 5 4
b) 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6
5ª) Propriedade
a na
n = , com , , e n > 1.
b nb
Exemplos:
5 45
a) 4 =
7 47
3 3
b) = = 1 =1
3 3

17. 17
EXERCÍCIOS B2

18. 18

19. 19

20. 20

21. 21
Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
Observe as seguintes expressões:
a) 52 ⋅ 7 = 52 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 = 5 7
b) 3
2 ⋅ 33 ⋅ 7 3 = 3 2 ⋅ 3 33 ⋅ 3 7 3 = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 213 2
c) 103 = 10 2 ⋅ 10 = 10 2 ⋅ 10 = 10 10
d) 3
32 = 3 23 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 3 2 2 = 23 4
e) 2 2 ⋅ 132 ⋅ 29 = 2 ⋅13 ⋅ 29 = 26 29
f) 3
23 ⋅ a 4 ⋅ b 2 = 3 23 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ b 2 = 2a 3
ab 2
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser
extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente).

22. 22
EXERCÍCIOS B3

23. 23

24. 24

25. 25
Introduzindo um fator externo no radicando
Observe os seguintes exemplos:
a) Se 2 2 ⋅ 3 = 2 3 , então 2 3 = 2 2 ⋅ 3
b) Se 3
5 ⋅ 7 3 = 73 5 , então 73 5 = 3 5 ⋅ 73
c) Se 5
64 = 5 26 = 5 25 ⋅ 2 = 25 2 , então 25 2 = 5 25 ⋅ 2 = 5 26 = 5 64
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um
expoente igual ao índice do radical.
Veja agora:
a) 5 3 = 52 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 75
b) 5
x3 x = 5 3
x 3 ⋅ x = 15 x 4

26. 26
EXERCÍCIOS B4

27. 27
Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais
Observe os seguintes exemplos:
a)
10 3 + 5 3 − 11 3 + 3 =
(10 + 5 − 11 + 1) 3 =
5 3
b)
6 5 −2 7 −5 5 +3 7 =
(6 − 5) 5 + (−2 + 3) 7 =
1 5 +1 7 =
5+ 7
Observações:
a)
5 + 7 ≠ 12
2,23 + 2,64 ≠ 3,46
4,87 ≠ 3,46
b)
5− 2 ≠ 3
2,23 − 1,41 ≠ 1,73
0,82 ≠ 1,73
c)
3+ 3 ≠ 4 3
3 + 1,73 ≠ 4 ⋅1,73
4,73 ≠ 6,92
Veja agora como simplificar algumas expressões:
a)
50 + 18 =
2 ⋅ 52 + 2 ⋅ 32 =
5 2 +3 2 =
(5 + 3) 2 =
8 2

28. 28
b)
3
125x 4 y − 3 27 x 4 y + 3 8 x 4 y =
3
53 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y − 3 33 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y + 3 23 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y =
5 x3 xy − 3 x3 xy + 2 x 3 xy =
(5 x − 3x + 2 x)3 xy =
4 x 3 xy
c)
200 + 500 + 8 − 45 =
22 ⋅ 2 ⋅ 52 + 22 ⋅ 52 ⋅ 5 + 22 ⋅ 2 − 32 ⋅ 5 =
2⋅5 2 + 2⋅5 5 + 2 2 − 3 5 =
10 2 + 10 5 + 2 2 − 3 5 =
(10 + 2) 2 + (10 − 3) 5 =
12 2 + 7 5
d)
12 + 75
=
2 147
2 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 52
=
2 3 ⋅ 72
2 3+5 3
=
2⋅7 3
2 3+5 3
=
14 3
7 3 1
=
14 3 2

29. 29
EXERCÍCIOS B5

30. 30

31. 31
Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de
índices diferentes
• Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.
Exemplos:
a) 3
7 ⋅ 3 2 = 3 7 ⋅ 2 = 3 14
b) 18 : 3 = 18 : 3 = 6
c)
5 ⋅ (3 2 − 5 ) =
5 ⋅3 2 − 5 ⋅ 5 =
3 5 ⋅ 2 − 52 =
3 10 − 5
d)
( 3 + 2 2) ⋅ ( 3 − 5 2) =
3 ⋅ 3 − 3 ⋅5 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 2 ⋅5 2 =
32 − 5 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 22 =
3 − 5 6 + 2 6 − 10 ⋅ 2 =
3 − 5 6 + 2 6 − 20 =
− 17 − 3 6

32. 32
EXERCÍCIOS B6

33. 33

34. 34
• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para depois efetuar as
operações.
Exemplos:
a) 4
2 ⋅ 6 3 = 12 8 ⋅ 12 9 = 12 8 ⋅ 9 = 12 72
b) 10 : 6 5 = 6 1000 : 6 5 = 6 1000 : 5 = 6 200
EXERCÍCIOS B7

35. 35
Produtos notáveis
a) Quadrado da soma de dois termos: ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2
b) Quadrado da diferença de dois termos: ( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2
c) Produto da soma pela diferença dois termos: ( x + y ) ⋅ ( x − y ) = x 2 − y 2
EXERCÍCIOS B8

36. 36
Potenciação de uma expressão com radicais
(a)=
n r
m
n
a r⋅m
Exemplos:
a) ( 2) =
5
3 5
23 = 5 8
b) (5)=
7 3
2
7
53⋅2 = 7 5 6
EXERCÍCIOS B9

37. 37
Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
No conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no denominador, como, por
1
exemplo .
3
1 1
Agora veja: é aproximadamente , que é um cálculo difícil de fazer.
3 1,7320508
1
Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de encontraremos uma fração equivalente a
3
1
, que vai facilitar o cálculo. Veja:
3
1 1⋅ 3 3 3
= = =
3 3⋅ 3 32 3
Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais simples efetuar
1,7320508
.
3
Exemplos:
1 1⋅ 2 2 2
a) = = =
2 2⋅ 2 22 2
2 2⋅ 7 2 7 2 7
b) = = =
7 7⋅ 7 72 7
5 5 ⋅ 3 22 53 4 53 4
c) = = =
3
2 3 2 ⋅ 3 2 2 3 23 2
6 6⋅ 3 18 18 2 ⋅ 32 3 2 2
d) = = = = = =
2 3 2 3⋅ 3 2 3 2 2⋅3 6 6 2
8 8 ⋅ (4 − 5 ) 32 − 8 5 32 − 8 5 32 − 8 5
e) = = 2 = =
4 + 5 ( 4 + 5 ) ⋅ (4 − 5 ) 4 − ( 5 ) 2 16 − 5 9

38. 38
EXERCÍCIOS B10

39. 39
Simplificando expressões com radicais
Vamos usar as operações com radicais para simplificar algumas expressões.
Exemplos:
a)
1 1
+ =
3+ 7 3− 7
1 ⋅ (3 − 7 ) + 1 ⋅ (3 + 7 )
=
(3 + 7 )(3 − 7 )
(3 − 7 ) + (3 + 7 )
=
32 − ( 7 ) 2
3− 7 +3+ 7 6
= =3
9−7 2
b)
4
3⋅ 6 − =
2
4
18 − =
2
18 ⋅ 2 − 4
=
2
36 − 4
=
2
62 − 4
=
2
6−4 2
= =
2 2
2⋅ 2
=
2⋅ 2
2 2 2 2
= = 2
2 2 2

40. 40
EXERCÍCIOS B11

41. 41
Potências com expoente fracionário
m
Observe: a n = n a m (m e n inteiros e n ≠ 0 )
Exemplos:
1
a) 3 2 = 3
1
b) 5 2 = 5
2
c) 6 = 3 62 = 3 36
3
1
d) (−8) = 3 − 8 = −2
3
EXERCÍCIOS B12

42. 42

43. 43
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo:
Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo:
Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São
Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da
matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione,
2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.