O documento apresenta uma revisão de operações fundamentais, incluindo sinais, ordem de cálculo, adição, subtração, multiplicação, divisão, frações, números decimais, potência, radiciação. As principais propriedades e regras de cada operação são descritas de forma concisa.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática sobre números inteiros para alunos do 7o ano. Os exercícios incluem questões sobre números inteiros relativos, operações com números inteiros como adição e subtração, interpretação de gráficos e tabelas com dados numéricos, e identificação de andares em prédios usando números inteiros.
Este documento contém 10 questões de um simulado de matemática sobre raízes, radicais e propriedades dos números. As questões abordam tópicos como medida do lado de uma área quadrada, valor da raiz quadrada de números, aproximação de raízes, simplificação de radicais e expressões numéricas.
Este documento fornece 16 itens de avaliação diagnóstica de matemática para alunos do 6o ano. Cada item é associado a uma habilidade matemática e possui uma alternativa correta de resposta. A matriz de referência no final lista cada item, habilidade avaliada e alternativa correta de resposta.
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre monômios e polinômios para alunos do 8o ano. A lista contém 11 exercícios pedindo para completar tabelas, escrever polinômios na forma reduzida, calcular operações com monômios e polinômios, e representar áreas de figuras. Há também um desafio sobre divisão de polinômios.
Equação é uma sentença matemática aberta que expressa uma relação de igualdade. Exemplos de equações incluem 2x + 8 = 0 e 5x - 4 = 6x + 8. Uma equação contém uma incógnita ou variável desconhecida, como x, e divide-se em primeiro e segundo membros separados pelo sinal de igualdade.
Este documento apresenta 25 exercícios de expressões algébricas para os alunos do 8o ano do ensino fundamental. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis, determinação de expressões algébricas, resolução de problemas e identificação de sequências numéricas.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática sobre números inteiros para alunos do 7o ano. Os exercícios incluem questões sobre números inteiros relativos, operações com números inteiros como adição e subtração, interpretação de gráficos e tabelas com dados numéricos, e identificação de andares em prédios usando números inteiros.
Este documento contém 10 questões de um simulado de matemática sobre raízes, radicais e propriedades dos números. As questões abordam tópicos como medida do lado de uma área quadrada, valor da raiz quadrada de números, aproximação de raízes, simplificação de radicais e expressões numéricas.
Este documento fornece 16 itens de avaliação diagnóstica de matemática para alunos do 6o ano. Cada item é associado a uma habilidade matemática e possui uma alternativa correta de resposta. A matriz de referência no final lista cada item, habilidade avaliada e alternativa correta de resposta.
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre monômios e polinômios para alunos do 8o ano. A lista contém 11 exercícios pedindo para completar tabelas, escrever polinômios na forma reduzida, calcular operações com monômios e polinômios, e representar áreas de figuras. Há também um desafio sobre divisão de polinômios.
Equação é uma sentença matemática aberta que expressa uma relação de igualdade. Exemplos de equações incluem 2x + 8 = 0 e 5x - 4 = 6x + 8. Uma equação contém uma incógnita ou variável desconhecida, como x, e divide-se em primeiro e segundo membros separados pelo sinal de igualdade.
Este documento apresenta 25 exercícios de expressões algébricas para os alunos do 8o ano do ensino fundamental. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis, determinação de expressões algébricas, resolução de problemas e identificação de sequências numéricas.
1) O documento apresenta 25 exercícios de matemática envolvendo contagem, probabilidade e formação de números. 2) Os exercícios abordam tópicos como combinações, arranjos, probabilidade, formação de números com dígitos específicos. 3) As respostas variam entre contagens simples e cálculos mais complexos de combinatória e probabilidade.
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º anoafpinto
O documento apresenta uma lista de exercícios de potenciação e radiciação para alunos do 9o ano. A lista contém 14 exercícios que envolvem cálculos com potenciação, radiciação e expressões algébricas. Alguns exercícios pedem para calcular valores numéricos enquanto outros pedem para simplificar ou racionalizar expressões.
O documento apresenta 30 problemas de matemática envolvendo as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Os problemas variam em complexidade e abordam cálculos com números inteiros, frações, porcentagens e operações sequenciais. As respostas são fornecidas no formato de cálculos detalhados para cada problema.
O documento é uma lista de exercícios de matemática para alunos do 7o ano do ensino fundamental. Contém 25 questões sobre operações básicas com números inteiros e racionais, como adição, subtração, multiplicação, divisão e raízes quadradas. Também inclui exercícios sobre potenciação, ordenação de números e localização de pontos em um plano cartesiano.
Este documento contém uma avaliação adaptada para alunos com necessidades especiais com base na legislação de educação especial. A avaliação inclui exercícios de matemática como adição, subtração e problemas, além de perguntas sobre a aplicação da avaliação.
Lista (6) de exercícios de multiplicação e divisãoOlicio Silva
1) O documento é uma prova de matemática com exercícios de multiplicação, divisão e expressões numéricas.
2) A prova inclui preencher tabelas operacionais, substituir letras por sinais de comparação e resolver expressões.
3) O último exercício pede para calcular o saldo remanescente de Pedro após pagar contas que somam R$ 890,00 de um salário de R$ 850,00.
1) O documento contém exercícios de matemática básica como preenchimento de pirâmides numéricas, extratos bancários e operações algébricas envolvendo adição e subtração de números positivos e negativos.
Lista de exercícios publicação inequações luisresponde
Este documento apresenta 12 questões de exercícios sobre inequações matemáticas para alunos do 8o ano. As questões abordam determinar conjuntos soluções, encontrar valores para variáveis, resolver sistemas de inequações e problemas de mundo real envolvendo inequações.
1) O documento é uma avaliação parcial de números inteiros que contém 10 questões e um desafio sobre jogos esportivos.
2) As questões cobrem tópicos como antecessor e sucessor, módulo, números inteiros positivos e negativos, comparação de temperaturas, soma de números inteiros, opostos, ordenação numérica e operações bancárias.
3) O desafio pede para identificar o jogador melhor classificado de acordo com os pontos obtidos ou perdidos por cada um.
Lista de exercícios – expressões algébricasEverton Moraes
O documento é uma lista de exercícios de expressões algébricas para alunos do 7o ano. Contém 4 questões com vários itens cada: 1) representar expressões simbolicamente; 2) simplificar expressões; 3) calcular perímetro e área de retângulo usando variáveis; 4) calcular valor numérico de expressões.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
O documento apresenta exercícios de matemática envolvendo números inteiros positivos e negativos. 1) Pede para expressar situações reais usando números inteiros positivos ou negativos. 2) Pede para completar expressões usando os símbolos ∈ ou ∉ referentes ao conjunto dos números inteiros. 3) Apresenta uma reta numérica e pede para responder questões relacionadas a posições e valores nela.
Lista (3) de exercícios números inteiros ( gabaritada)Olicio Silva
1) O documento é uma prova de matemática com exercícios sobre números inteiros, incluindo adição, subtração, antecessores e sucessores.
2) Os alunos deveriam representar números na reta numérica, escrever sentenças matemáticas com operações e calcular saldos financeiros com depósitos e cheques.
3) No final, calcula-se que o saldo final do pai será de R$-290,00 devido aos depósitos e pagamentos feitos.
O documento apresenta 6 exercícios resolvidos sobre números racionais. Nos exercícios, os alunos precisam calcular frações de quantidades totais para responder perguntas sobre partições e porcentagens. As respostas incluem quantos alunos não participaram de uma atividade, o custo total de um bolo e a porção de uma caixa de bombons já consumida.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação de números naturais. Inclui transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular valores de potenciação e identificar propriedades como qualquer número elevado a zero é igual a um e elevado a um é igual a ele mesmo.
Atividades revisão de matemática 8º anoTalita mmzt
O documento contém 11 questões sobre expressões e operações algébricas. As questões incluem representar situações matemáticas com expressões algébricas, calcular preços com base em distâncias percorridas, determinar gastos usando expressões, identificar graus de polinômios, realizar operações com monômios e polinômios, calcular produtos notáveis e simplificar expressões.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
1) O documento é uma prova de matemática do 9o ano com 15 questões objetivas e 5 questões subjetivas sobre potências e raízes.
2) As instruções indicam que o aluno não pode riscar as questões e deve marcar as respostas das 10 questões objetivas no gabarito no final.
3) As questões abordam cálculos envolvendo potenciação, radiciação e propriedades destas operações.
O documento discute conceitos fundamentais sobre radicais e operações com radicais. Primeiro define o que são radicais e apresenta propriedades como radicais semelhantes e expoente fracionário. Em seguida explica como extrair raízes quadradas de números e apresenta propriedades para raízes de produtos, quocientes e potências. Por fim, aborda o processo de racionalização para eliminar radicais do denominador de frações e como transformar radicais duplos em radicais simples.
O documento apresenta os principais tópicos sobre o software MATLAB, incluindo definição e aplicações do MATLAB, ambiente de trabalho, variáveis, operadores matemáticos, matrizes, sistemas lineares, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais.
1) O documento apresenta 25 exercícios de matemática envolvendo contagem, probabilidade e formação de números. 2) Os exercícios abordam tópicos como combinações, arranjos, probabilidade, formação de números com dígitos específicos. 3) As respostas variam entre contagens simples e cálculos mais complexos de combinatória e probabilidade.
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º anoafpinto
O documento apresenta uma lista de exercícios de potenciação e radiciação para alunos do 9o ano. A lista contém 14 exercícios que envolvem cálculos com potenciação, radiciação e expressões algébricas. Alguns exercícios pedem para calcular valores numéricos enquanto outros pedem para simplificar ou racionalizar expressões.
O documento apresenta 30 problemas de matemática envolvendo as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Os problemas variam em complexidade e abordam cálculos com números inteiros, frações, porcentagens e operações sequenciais. As respostas são fornecidas no formato de cálculos detalhados para cada problema.
O documento é uma lista de exercícios de matemática para alunos do 7o ano do ensino fundamental. Contém 25 questões sobre operações básicas com números inteiros e racionais, como adição, subtração, multiplicação, divisão e raízes quadradas. Também inclui exercícios sobre potenciação, ordenação de números e localização de pontos em um plano cartesiano.
Este documento contém uma avaliação adaptada para alunos com necessidades especiais com base na legislação de educação especial. A avaliação inclui exercícios de matemática como adição, subtração e problemas, além de perguntas sobre a aplicação da avaliação.
Lista (6) de exercícios de multiplicação e divisãoOlicio Silva
1) O documento é uma prova de matemática com exercícios de multiplicação, divisão e expressões numéricas.
2) A prova inclui preencher tabelas operacionais, substituir letras por sinais de comparação e resolver expressões.
3) O último exercício pede para calcular o saldo remanescente de Pedro após pagar contas que somam R$ 890,00 de um salário de R$ 850,00.
1) O documento contém exercícios de matemática básica como preenchimento de pirâmides numéricas, extratos bancários e operações algébricas envolvendo adição e subtração de números positivos e negativos.
Lista de exercícios publicação inequações luisresponde
Este documento apresenta 12 questões de exercícios sobre inequações matemáticas para alunos do 8o ano. As questões abordam determinar conjuntos soluções, encontrar valores para variáveis, resolver sistemas de inequações e problemas de mundo real envolvendo inequações.
1) O documento é uma avaliação parcial de números inteiros que contém 10 questões e um desafio sobre jogos esportivos.
2) As questões cobrem tópicos como antecessor e sucessor, módulo, números inteiros positivos e negativos, comparação de temperaturas, soma de números inteiros, opostos, ordenação numérica e operações bancárias.
3) O desafio pede para identificar o jogador melhor classificado de acordo com os pontos obtidos ou perdidos por cada um.
Lista de exercícios – expressões algébricasEverton Moraes
O documento é uma lista de exercícios de expressões algébricas para alunos do 7o ano. Contém 4 questões com vários itens cada: 1) representar expressões simbolicamente; 2) simplificar expressões; 3) calcular perímetro e área de retângulo usando variáveis; 4) calcular valor numérico de expressões.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
O documento apresenta exercícios de matemática envolvendo números inteiros positivos e negativos. 1) Pede para expressar situações reais usando números inteiros positivos ou negativos. 2) Pede para completar expressões usando os símbolos ∈ ou ∉ referentes ao conjunto dos números inteiros. 3) Apresenta uma reta numérica e pede para responder questões relacionadas a posições e valores nela.
Lista (3) de exercícios números inteiros ( gabaritada)Olicio Silva
1) O documento é uma prova de matemática com exercícios sobre números inteiros, incluindo adição, subtração, antecessores e sucessores.
2) Os alunos deveriam representar números na reta numérica, escrever sentenças matemáticas com operações e calcular saldos financeiros com depósitos e cheques.
3) No final, calcula-se que o saldo final do pai será de R$-290,00 devido aos depósitos e pagamentos feitos.
O documento apresenta 6 exercícios resolvidos sobre números racionais. Nos exercícios, os alunos precisam calcular frações de quantidades totais para responder perguntas sobre partições e porcentagens. As respostas incluem quantos alunos não participaram de uma atividade, o custo total de um bolo e a porção de uma caixa de bombons já consumida.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação de números naturais. Inclui transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular valores de potenciação e identificar propriedades como qualquer número elevado a zero é igual a um e elevado a um é igual a ele mesmo.
Atividades revisão de matemática 8º anoTalita mmzt
O documento contém 11 questões sobre expressões e operações algébricas. As questões incluem representar situações matemáticas com expressões algébricas, calcular preços com base em distâncias percorridas, determinar gastos usando expressões, identificar graus de polinômios, realizar operações com monômios e polinômios, calcular produtos notáveis e simplificar expressões.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
1) O documento é uma prova de matemática do 9o ano com 15 questões objetivas e 5 questões subjetivas sobre potências e raízes.
2) As instruções indicam que o aluno não pode riscar as questões e deve marcar as respostas das 10 questões objetivas no gabarito no final.
3) As questões abordam cálculos envolvendo potenciação, radiciação e propriedades destas operações.
O documento discute conceitos fundamentais sobre radicais e operações com radicais. Primeiro define o que são radicais e apresenta propriedades como radicais semelhantes e expoente fracionário. Em seguida explica como extrair raízes quadradas de números e apresenta propriedades para raízes de produtos, quocientes e potências. Por fim, aborda o processo de racionalização para eliminar radicais do denominador de frações e como transformar radicais duplos em radicais simples.
O documento apresenta os principais tópicos sobre o software MATLAB, incluindo definição e aplicações do MATLAB, ambiente de trabalho, variáveis, operadores matemáticos, matrizes, sistemas lineares, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais.
O documento discute potenciação e radiciação, dividindo o assunto em duas partes: 1) potenciação, definindo o conceito e propriedades como soma, subtração e multiplicação de expoentes; e 2) exercícios para aplicar os conceitos, incluindo cuidados com sinais e números negativos.
O documento apresenta uma introdução ao software MATLAB, abordando conceitos básicos, operações com matrizes, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais. É descrito o ambiente de trabalho do MATLAB, com explicações sobre variáveis, operadores matemáticos, funções trigonométricas, exponenciais e funções para resolução de sistemas lineares e cálculo de determinantes, raízes de polinômios e limites, derivadas, integrais e equações diferenciais.
O documento explica os conceitos básicos de potenciação, incluindo:
1) A definição matemática de potenciação como a=an, onde a é a base e n é o expoente;
2) Exemplos ilustrativos de cálculo de potenciações;
3) Propriedades fundamentais de potenciação, como a elevação de potências a uma nova potência e divisão de potências.
1. O documento descreve as operações básicas com números naturais: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. É apresentam suas propriedades e exemplos resolvidos.
2. Também são explicados conceitos como múltiplos, divisores, números primos e critérios de divisibilidade.
3. Por fim, há uma seção de exercícios complementares sobre esses tópicos.
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação. Radicais podem ter índices pares ou ímpares, afetando o número de raízes de um número.
2) Existem propriedades para simplificar radicais, como quando o índice e expoente são divisíveis ou quando o expoente é múltiplo do índice.
3) Pode-se adicionar, subtrair, multiplicar e dividir radicais semelhantes, isto é, com mesmo índice e radicando. Para operações com radic
Apostila de matemática aplicada vol i 2004aldobrasilro
Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
1. O documento apresenta um índice com os principais tópicos de matemática a serem abordados, incluindo números naturais, operações algébricas, porcentagem, geometria e álgebra.
2. São definidos conjuntos numéricos como o conjunto dos números naturais N e suas operações fundamentais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3. São explicados conceitos como múltiplos, divisores, MMC, MDC e suas aplicações em problemas.
O documento apresenta um índice com os principais tópicos de matemática que serão abordados, incluindo números naturais, operações algébricas, funções, porcentagem, geometria e estatística. O texto também define conceitos básicos como conjunto dos números naturais, operações de adição e multiplicação, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum e números fracionários.
O documento apresenta um índice com os principais tópicos de matemática que serão abordados, incluindo números naturais, operações algébricas, funções, porcentagem, geometria e estatística. O texto também define conceitos básicos como conjunto dos números naturais, operações de adição e multiplicação, frações, razões e proporções.
1) O documento apresenta resumos de soluções de questões de prova envolvendo operações com frações, decimais, porcentagens e potências.
2) As questões abordam tópicos como divisão não exata, operações com decimais, expressões com frações, determinação de distâncias com base em porcentagens de trajetos.
3) As soluções fornecem detalhes dos cálculos realizados para responder cada questão testada.
O documento apresenta os seguintes tópicos:
1) Define os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e reais e seus subconjuntos notáveis;
2) Explica os conceitos de pertinência e inclusão entre conjuntos;
3) Apresenta regras de sinais para operações com números positivos e negativos.
1) O documento apresenta as quatro operações básicas da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) É mais importante saber qual operação usar para resolver problemas do que fazer cálculos rapidamente.
3) Exemplos ilustram como identificar a operação correta para diferentes situações como juntar distâncias percorridas ou calcular troco.
Este documento discute potenciação e radiciação de números reais. [1] Ele define potência de um número real com expoente natural e lista propriedades como o produto, quociente e potência de potências. [2] Discute também potência com expoente inteiro negativo, definindo-a como o inverso da potência com expoente positivo correspondente. Por fim, aborda o sinal de potências com base positiva ou negativa.
O documento discute potenciação e radiciação, definindo potenciação como a multiplicação de fatores iguais e apresentando propriedades como somar expoentes para multiplicação de potências da mesma base.
O documento resume as propriedades e operações com radicais aritméticos. Explica como simplificar expressões com radicais através de extração de fatores, adição e subtração de radicais iguais, e racionalização de denominadores. Também apresenta produtos notáveis e potenciação de radicais.
A Fórmula Luderiana Universal de 2a Ordem permite calcular a raiz n-ésima de números complexos de forma algebrática. A fórmula é apresentada junto com exemplos de cálculo da raiz cúbica, sétima e para radicandos complexos. Uma aproximação inicial "k" é obtida para garantir a convergência para uma das raízes do número.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Mapa mental todas as materias
1. REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudo dos Sinais
)
(
)
(
)
( +
=
+
⋅
+
)
(
)
(
)
( +
=
−
⋅
−
)
(
)
(
)
( −
=
−
⋅
+
)
(
)
(
)
( −
=
+
⋅
−
Ordem de Cálculo
Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de:
PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { }
Antes de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas:
DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES
Adição
Soma
Parcelas
c
b
a
↓
↓
↓
=
+
Propriedades
Comutativa → a
b
b
a +
=
+ 8
3
5
5
3 =
+
=
+
⇒
Associativa → )
c
b
(
a
c
)
b
a
( +
+
=
+
+ 10
)
5
2
(
3
5
)
2
3
( =
+
+
=
+
+
⇒
Elemento Neutro (0) → a
0
a =
+ 3
0
3 =
+
⇒
→ Subtração é a Adição de parcelas negativas
O resultado tem o sinal da maior parcela:
13
15
3
20
5
10
5
5
10
5
5
10 −
=
+
−
−
+
−
−
=
+
−
+
=
−
+
Subtração
Soma
Parcelas
c
b
a
)
b
(
a
↓
↓
↓
=
−
=
−
+
Multiplicação
Produtos
Fatores
c
b
a
↓
↓
↓
=
⋅
Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 15
5
5
5
5
3
5
fator
o
vezes
3
=
+
+
=
⋅ 4
3
4
2
1
Propriedades
Comutativa → a
b
b
a ⋅
=
⋅ 15
3
5
5
3 =
⋅
=
⋅
⇒
Associativa → )
c
b
(
a
c
)
b
a
( ⋅
⋅
=
⋅
⋅ 30
)
5
2
(
3
5
)
2
3
( =
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⇒
Elemento Neutro (1) → a
1
a =
⋅ 3
1
3 =
⋅
⇒
Distributiva → c
a
b
a
)
c
b
(
a ⋅
+
⋅
=
+
⋅ 16
5
2
3
2
)
5
3
(
2 =
⋅
+
⋅
=
+
⋅
⇒
a
c
a
b
a
)
c
b
( ⋅
+
⋅
=
⋅
+ 9
)
3
(
2
)
3
(
1
)
3
(
)
2
1
( −
=
−
⋅
+
−
⋅
=
−
⋅
+
⇒
Divisão
c
b
a
=
Numerador = Denominador × Quociente + Resto
Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 !
1
2. FRAÇÕES
Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais →
Definição 2: Divisão de dois números inteiros →
Adição e Subtração de Frações
Mesmo Denominador
Denominadores Diferentes
m.m.c.
Multiplicação de Frações Divisão de Frações
d
b
c
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
⋅
9
10
9
10
3
3
5
)
2
(
3
5
3
)
2
(
−
=
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
−
Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
2
1
⋅
=
=
÷
↓
↓
o
o
15
17
5
3
7
2
5
7
3
2
7
5
3
2
7
5
3
2
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
÷
⇒
NÚMEROS DECIMAIS
Adição e Subtração
“Vírgula sob vírgula”
Multiplicação
Obtém-se o produto e somam-se
as casas decimais de cada fator
Divisão
Numerador e denominador devem ter
o mesmo número de casas decimais
Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10n
)
b
a
b
a
b
a
−
=
−
=
−
2
1
2
1
2
1
−
=
−
=
−
⇒
b
c
a
b
c
b
a ±
=
± 1
5
5
5
2
3
5
2
5
3
=
=
+
=
+
⇒
d
c
b
a
±
5
7
5
7
15
10
3
3
2
5
1
−
=
−
=
−
=
−
⇒
Menor número que é múltiplo
de todos os denominadores
Evite trabalhar com números decimais!
Se o número for racional, é melhor
escrevê-lo na forma de fração!
8
10
1
;
1000
x
;
100
3
;
10
2
−
Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração
2
3. POTÊNCIA
Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro
Para “n” inteiro e 1
n >
a
.....
a
a
a n
⋅
=
27
3
3
3
33
=
⋅
⋅
=
1
1
......
1
1
120
=
⋅
⋅
=
9
4
3
2
3
2
3
2 2
=
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
16
1
4
4
1
4
1
4
1
2
2
=
⋅
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Lembre-se!
Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) ( ) ( ) ( ) 4
2
2
2 2
+
=
−
⋅
−
=
−
Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 8
2
2
2
2 3
−
=
−
⋅
−
⋅
−
=
−
Propriedades
Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes
n
m
n
m
a
a
a +
=
⋅ 243
3
3
3
3 5
3
2
3
2
=
=
=
⋅ +
0
a
,
a
a
a
a
a
a
a n
m
n
m
n
m
n
m
≠
=
⋅
=
=
÷ −
−
4
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
6
4
6
4
6
4
=
=
=
=
⋅
=
=
÷ −
−
−
( ) 0
a
,
a
a n
m
n
m
≠
= ⋅ ( ) 64
2
2
2 6
3
2
3
2
=
=
= ⋅
Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente
( )n
n
n
b
a
b
a ⋅
=
⋅ ( ) 225
15
5
3
5
3 2
2
2
2
=
=
⋅
=
⋅
0
b
,
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
n
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
÷ 27
3
5
15
5
15
5
15 3
3
3
3
3
3
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
÷
)
0
a
(
a
1
a n
n
≠
=
−
n m
n
m
a
a =
3
3 2
3
2
9
3
3 =
= 2
2
2
2 1
2
1
=
= ( )
4
1
2
1
1024
1
32
1
32
1
32
5 10
5
5
5
2
5
2
5
2
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
− −
Perceba a diferença!
256
2
2
2 8
2
2
2
2 3
=
=
= ⋅
⋅
( ) ( ) 64
4
2
2
2 3
3
3
2
=
=
⋅
= ( ) 4
2
2
22
−
=
⋅
−
=
− ( ) ( ) ( ) 4
2
2
2 2
+
=
−
⋅
−
=
−
Para “n” inteiro e 1
n ≤
a
a 1
= 2
21
=
⇒
1
a 0
= 1
1000
=
⇒
125
1
5
5
5
1
5
1
5 3
3
=
⋅
⋅
=
=
⇒ −
4
9
2
3
2
3
2
3
3
2 2
2
=
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
−
4
9
2
3
2
3
2
3
3
2 2
2
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⇒
−
)
0
a
(
a
1
a n
n
≠
=
−
Expoente Racional O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0
n ≠ e 1
n ≠
3
4. RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de n
a é o número “x” tal que, para 1
n >
2
4 = )
2
n
,
2
x
,
4
a
( =
=
=
⇒ a
xn
=
⇒ 4
2 2
=
⇒
5
125
3
= )
3
n
,
5
x
,
125
a
( =
=
=
⇒ a
x n
=
⇒ 125
53
=
⇒
2
1
16
1
4
= )
4
n
,
2
1
x
,
16
1
a
( =
=
=
⇒ a
x n
=
⇒
16
1
2
1 4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
Propriedades
( )
m
m
1
m
1
m
1
m
m
b
a
b
a
b
a
b
a ⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅ 20
400
16
25
16
25 =
=
⋅
=
⋅
Para ( )
0
b ≠
6
36
10
360
10
360
10
360 =
=
=
=
÷
m
m
1
m
1
m
1
m
m
m
m
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
÷
n p
n
p
p
n
1
p
n
a
a
a
a =
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 3
3 2
3
2
2
3
1
2
3
4
2
2
2
2 =
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
n
m
n
1
m
1
n
1
m
n
1
m n
a
a
a
a
a
⋅
⋅
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
6
6
1
2
3
1
2
1
3
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3 =
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
= ⋅
Índice da Raiz “n”
Par Ímpar
Radicando
“a”
Positivo
Duas Raízes Reais Simétricas
⎩
⎨
⎧
→
=
→
+
=
⇒
Par
2
n
Positivo
9
a
9
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
+
=
+
⇒
±
=
9
3
9
3
3
9
2
2
Uma Raiz Real e Positiva
⎩
⎨
⎧
→
=
→
+
=
⇒
Ímpar
3
n
Positivo
27
a
27
3
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≠
−
=
−
+
=
+
⇒
+
=
27
27
3
27
3
3
27
3
3
3
Negativo
Não existe Raiz Real
⎩
⎨
⎧
→
=
→
−
=
⇒
−
Par
2
n
Negativo
9
a
9
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≠
+
=
−
−
≠
+
=
+
⇒
∉
−
9
9
3
9
9
3
R
9
2
2
Uma Raiz Real e Negativa
⎩
⎨
⎧
→
=
→
−
=
⇒
−
Ímpar
3
n
Negativo
27
a
27
3
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
−
≠
+
=
+
⇒
−
=
−
27
3
27
27
3
3
27
3
3
3
a
x n
=
Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações!
Estudo das Raízes
4
5. Transformar uma fração que possui
no denominador raiz, não possível de
simplificação, em outra equivalente,
eliminando a raiz do denominador
Racionalização de denominadores
Regra Geral: Se a fração for
n m
b
a
com n
m < , multiplica-se o numerador e o denominador por
n m
n
b
−
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
a
n m
n
n n
n m
n
n m
n
m
n m
n
n m
n
m
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n m
−
−
−
+
−
−
−
−
−
=
=
=
⋅
=
⋅
=
Exemplos:
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
−
+
−
−
−
−
−
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
1
5
1
5 3
5 5
5 3
5 3
2
5 3
5 2
5
5 2
5
5 2
5 2
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
−
Dica!
Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações!
O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e
eliminado a fração desta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
1
5
1
5 3
1
5
3
5
5
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
3
5
2
5 2
=
=
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
+
Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais
Exemplos:
a)
4
1
7
1
4
7
7
4
7
7
4
3
7
3
1
4
9
7 3
4
9
7 3
4
1
2
7 3 4
2
3
8
3
8
3
8
3
3
8
3
3
8
3
3
8
3
3
3
8
3
3
3
8
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
=
=
⋅
=
3
27
8
3
3
8
3
3
8
3
3
8
3
3
3
8
4
4 3
4
4
4
3
4
3
4
1
4
3
4
3
4
3
4
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
+
b)
3
3
1
3
2
1
3
2
3
2
2
1
3
4
3
4
3
1
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
=
=
=
⋅
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
=
−
−
5
6. PRODUTOS NOTÁVEIS
Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
2
b
ab
2
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a
b
a +
+
=
+
+
+
=
+
=
+
⋅
+
( ) ( ) ( ) 6
2
5
2
6
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
2
2
+
=
+
+
=
+
⋅
⋅
+
=
+
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
2
b
ab
2
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a
b
a +
−
=
+
−
−
=
−
=
−
⋅
−
( ) ( ) 2
4
6
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
=
+
−
=
+
⋅
⋅
−
=
−
( ) ( ) 2
2
2
2
b
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a −
=
−
−
+
=
−
⋅
+
( ) ( ) ( ) 2
3
1
3
1
3
1
3
1
2
2
−
=
−
=
−
=
+
⋅
−
( ) ( ) ( ) 3
2
2
3
3
2
b
ab
3
b
a
3
a
b
a
b
a
b
a +
+
+
=
+
=
+
⋅
+
( ) 8
x
12
x
6
x
2
2
x
3
2
x
3
x
2
x 2
3
3
2
2
3
3
+
+
+
=
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
+
( ) ( ) ( ) 3
2
2
3
3
2
b
ab
3
b
a
3
a
b
a
b
a
b
a −
+
−
=
−
=
−
⋅
−
( ) 3
2
2
3
3
2
2
3
3
y
y
x
3
y
x
3
x
y
y
x
3
y
x
3
x
y
x −
+
−
=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
−
Não Esqueça!
( ) 2
2
2
b
ab
2
a
b
a +
+
=
+
( ) 2
2
2
b
ab
2
a
b
a +
−
=
−
( ) ( )
b
a
b
a
b
a 2
2
−
⋅
+
=
−
Fique Atento!
( ) 2
2
2
b
a
b
a +
≠
+ e ( ) 2
2
2
b
a
b
a −
≠
−
( ) 3
3
3
b
a
b
a +
≠
+ e ( ) 3
3
3
b
a
b
a −
≠
−
O produto notável ( ) ( )
b
a
b
a
b
a 2
2
−
⋅
+
=
− é utilizado para racionalizar frações que contenham
no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
5
6
1
2
5
6
1
2
6
1
6
1
2
6
1
6
1
2
6
1
6
1
6
1
2
6
1
2
2
2
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
+
=
+
( )
( )
( )
( )
( ) 5
2
5
1
5
2
5
4
5
5
2
5
2
5
2
5
5
2
5
2
5
2
5
5
2
5
5
2
2
2
+
=
+
=
−
+
=
−
+
⋅
=
+
+
⋅
−
=
−
( )
( )
( )
( ) ( ) 5
2
7
2
7
2
7
2
7
2
7
1
2
7
2
7
2
7
1
2
7
1
2
2
−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
+
=
+
Importante!
6
7. REGRA DE TRÊS
Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvam
quatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é
determinado a partir dos três já conhecidos
Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão
necessários para alimentá-los por um período de 75 dias?
Ração (pacotes) Período (dias)
1 25
x 75
Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de
proporção de cada grandeza separadamente.
Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 horas por dia. Quantos
operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia?
Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias)
20 6 200
x 8 100
Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis
Direta → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra
também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$)
1 2 1 8,40
2 4 1/2 4,20
Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da
outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas)
1 2 4 3
2 1 2 6
↑ ↑ ↓
↓
↑ ↑
↓
↓
Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas
↑ ↑
ração
de
pacotes
3
x
25
75
x
25
75
1
x
=
⇒
=
⇒
=
30
x
100
200
8
6
20
x
=
⇒
⋅
= Operários
↑ ↓
↓
Operação onde se calcula proporções envolvendo duas ou mais grandezas
Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser
direta ou inversamente proporcionais
Regra de três pode ser simples ou composta
Proporção
d
c
b
a
=
“a” está para “b” assim
como “c” está para “d”
7
8. PORCENTAGEM
Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica a
divisão de um número por cem.
Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o
equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período?
O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples:
Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%)
1994 8000 100
2006 13000 x
↑ ↑
%
5
,
62
1
x
8
1300
x
8000
13000
100
x
=
⇒
=
⇒
= O aumento percentual de preço no período foi de 62,7%
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
U
Un
ni
id
da
ad
de
es
s F
Fu
un
nd
da
am
me
en
nt
ta
ai
is
s d
do
o S
SI
I
N
No
om
me
e S
Sí
ím
mb
bo
ol
lo
o
C
Co
om
mp
pr
ri
im
me
en
nt
to
o m
me
et
tr
ro
o ]
m
[
M
Ma
as
ss
sa
a q
qu
ui
il
lo
og
gr
ra
am
ma
a ]
kg
[
T
Te
em
mp
po
o s
se
eg
gu
un
nd
do
os
s ]
s
[
I
In
nt
te
en
ns
si
id
da
ad
de
e d
de
e C
Co
or
rr
re
en
nt
te
e E
El
lé
ét
tr
ri
ic
ca
aaa a
am
mp
pè
èr
re
e ]
A
[
T
Te
em
mp
pe
er
ra
at
tu
ur
ra
a T
Te
er
rm
mo
od
di
in
nâ
âm
mi
ic
ca
a K
Ke
el
lv
vi
in
n ]
K
[
I
In
nt
te
en
ns
si
id
da
ad
de
e L
Lu
um
mi
in
no
os
sa
a c
ca
an
nd
de
el
la
a ]
cd
[
A
Al
lg
gu
un
ns
s P
Pr
re
ef
fi
ix
xo
os
s d
do
o S
SI
I
F
Fa
at
to
or
r P
Pr
re
ef
fi
ix
xo
o S
Sí
ím
mb
bo
ol
lo
o
1
10− d
de
ec
ci
i d
2
10− c
ce
en
nt
ti
i c
3
10− m
mi
il
li
i m
6
10− m
mi
ic
cr
ro
o μ
9
10− n
na
an
no
o n
3
10 k
ki
il
lo
o k
6
10 m
me
eg
ga
a M
Exemplos de conversão de unidades
Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar
todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos.
Conversão de m
30 em m
μ , mm, cm, dm e km
m
μ mm cm dm km
Conversãoa 3
2
1
m
6
6
m
10
10
30
μ
−
×
× 3
2
1
mm
3
3
m
10
10
30 −
×
× 3
2
1
cm
2
2
m
10
10
30 −
×
× 3
2
1
dm
1
1
m
10
10
30 −
×
× 3
2
1
km
3
3
m
10
10
30 ×
× −
Valor m
10
.
3 7
μ mm
000
.
30 cm
000
.
3 dm
300 km
03
,
0
Outras Grandezas
Massa Tempo Velocidade Área Volume
Valor original kg
5 h
3 h
/
km
60 2
cm
120 3
7
mm
10
Converter para ]
g
[ ]
s
[ ]
s
/
m
[ 2
]
m
[ 3
]
m
[
Conversão g
10
5 3
× s
3600
3×
s
3600
m
10
60 3
× 2
2
)
m
10
(
120 −
× 3
3
7
)
m
10
(
10 −
×
Valor convertidovv g
000
.
5 s
800
.
10 s
/
m
67
,
16 2
m
012
,
0 3
m
01
,
0
8
9. REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO
Triângulo Retângulo é todo
triângulo que tem um ângulo reto
Catetos São os lados que formam o ângulo reto
Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto
A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus o
o
180
β
α
90 =
+
+
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa
2
2
2
c
b
a +
=
Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:
Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo
Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”)
Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”)
H
CO
Hipotenusa
Oposto
Cateto
(ângulo)
sen =
=
H
CA
Hipotenusa
Adjacente
Cateto
(ângulo)
cos =
=
CA
CO
Adjacente
Cateto
Oposto
Cateto
(ângulo)
tg =
=
x
5
a = m
6
b = x
4
c = 2
2
2
c
b
a +
=
( ) ( ) ( )2
2
2
x
4
m
6
x
5 +
= ⇒ 2
2
2
x
16
m
36
x
25 +
=
2
2
2
m
36
x
16
x
25 =
− ⇒ 2
2
2
2
m
4
x
m
36
x
9 =
⇒
= ⇒ m
2
x
m
4
x 2
=
⇒
=
Dicas!
Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo
Cálculo do cateto “b”
m
5
b
m
10
b
2
1
H
CO
)
30
(
sen =
⇒
=
⇒
=
o ou m
5
b
m
10
b
2
1
H
CA
)
60
cos( =
⇒
=
⇒
=
o
Cálculo do cateto “c”
m
2
3
5
b
m
10
c
2
3
H
CO
)
60
(
sen =
⇒
=
⇒
=
o ou m
2
3
5
b
m
10
c
2
3
H
CA
)
30
cos( =
⇒
=
⇒
=
o
9
10. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS
Função
Valores Notáveis
π
→
o
180
6
30
π
=
o
4
45
π
=
o
3
60
π
=
o
Seno
2
1
2
2
2
3
Cosseno
2
3
2
2
2
1
Tangente
3
3
1 3
Estudo dos Sinais
Máximos e Mínimos das
Funções seno e cosseno
10
11. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º)
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontais
tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre
“1 - y” e “x” !
11
12. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (45º)
Ângulo de 45º indica a diagonal de um quadrado, portanto “x” deve ser
igual a “y” !
12
13. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (60º)
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas
horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo,
“x” é igual a 1/2 !
13
14. ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Dois Lados Congruentes
(Dois Lados e Dois Ângulos Iguais)
Triângulo
Isósceles
Três Lados e Três Ângulos Iguais
Triângulo
Equilátero
Dois Lados Congruentes
(Dois Lados Iguais)
Trapézio
Isósceles
Dois Ângulos Retos
Trapézio
Retângulo
14
15. REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES
Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é
função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y.
Esta relação deve atender duas condições:
Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B
Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B
Conjuntos Numéricos
Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos
IN = {0, 1, 2, 3, ... }
Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração
Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... }
Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica
I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ...
π = 3,1415926 ...
Conjuntos dos Reais: União dos números Racionais e Irracionais
R = Q ∪ I
Intervalos
Indica Inclusão
Indica Exclusão
∪ =
∩ =
Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo,
incluindo os extremos ⇒ }
7
x
3
/
R
x
{ ≤
≤
−
∈ →
Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo os extremos ⇒ }
1
x
6
/
R
x
{ <
<
−
∈ →
Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo um dos extremos ⇒ }
9
x
5
/
R
x
{ <
≤
∈ →
Reta orientada que representa os Reais
Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os
números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se
abscissa do ponto:
Reta Real
Função
Não função Função Não Função
15
16. Sistema Cartesiano Ortogonal
O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema
divide o plano em quatro quadrantes:
Gráfico de Uma Relação
Crescimento e Decrescimento de Uma Função
x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10]
x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7]
Raiz ou Zero da Função
São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São chamados raízes ou zero da
função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas
São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10
Sinal de Uma Função
Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[
Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[
⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema
⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto
⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto
16
17. Classificação de Uma Função
Função Par e Função Ímpar
Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se )
x
(
f
)
x
(
f −
=
Exemplo:
1
x
)
x
(
f 4
+
=
1
x
1
)
x
(
)
x
(
f 4
4
+
=
+
−
=
−
Par
Função
)
x
(
f
)
x
(
f −
=
Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈A, tem-se )
x
(
f
)
x
(
f −
=
−
Exemplo:
x
x
)
x
(
f 3
+
=
)
x
x
(
x
x
)
x
(
)
x
(
)
x
(
f 3
3
3
+
−
=
−
−
=
−
+
−
=
−
Ímpar
Função
)
x
(
f
)
x
(
f −
=
−
O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3}
Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a
variável independente da função
O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5}
Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou
f(x) , que é a variável dependente da função
O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão
associados com x é chamado de conjunto imagem da função e
indicado por Im: Im= {2,3,4}
A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja,
f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência
do exemple é:
y = f(x) = x + 1
17
18. REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
Função Linear
Definição: Se 0
b = a função )
x
(
f
y = é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa
pela origem.
Exemplo: 0
b
e
1
a
x
)
x
(
f
y =
−
=
⇒
−
=
=
Função de Primeiro Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma b
ax
)
x
(
f
y +
=
= onde “a” e “b” são números reais,
com 0
a ≠ , chama-se função de primeiro grau.
Exemplos:
5
b
e
2
a
5
x
2
)
x
(
f =
=
⇒
+
=
0
b
e
3
2
a
x
3
2
)
x
(
f =
−
=
⇒
−
=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 1
b
e
2
a
1
x
2
)
x
(
f
y =
=
⇒
+
=
=
O gráfico da função b
ax
)
x
(
f
y +
=
= é uma reta
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 -3 (-2, -3)
-1 -1 (-1, -1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)
3
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
0
1
)
0
(
2
)
0
(
f =
+
=
+
=
3
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f =
+
=
+
=
5
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f =
+
=
+
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 -1 (1, -1)
1
)
1
(
)
1
(
f =
−
−
=
−
0
)
0
(
)
0
(
f =
−
=
1
)
1
(
)
1
(
f −
=
−
=
Como o gráfico de uma função de 1º grau é uma reta são,
necessários somente dois pontos para representá-lo!
Se b = 0, a função é linear e seu gráfico
passa pela origem!
18
19. Taxa de Variação Média (TVM)
Para a função 1
b
e
2
a
1
x
2
)
x
(
f
y =
=
⇒
+
=
= tem-se:
Função Constante
Definição: Se 0
a = , a função )
x
(
f
y = é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta
paralela ao eixo x.
Exemplo: 2
b
e
0
a
2
)
x
(
f
y =
=
⇒
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-1 2 (-1, 2)
0 2 (0, 2)
1 2 (1, 2)
2
)
1
(
f =
−
2
)
0
(
f =
2
)
1
(
f =
Se a = 0, a função é constante e seu
gráfico é paralelo ao eixo x
Função constante “não é” uma função
de primeiro grau!
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 -3 (-2, -3)
-1 -1 (-1, -1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)
3
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
0
1
)
0
(
2
)
0
(
f =
+
=
+
=
3
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f =
+
=
+
=
5
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f =
+
=
+
=
Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a
razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante:
2
1
2
x
y
1
2
3
5
0
1
1
3
)
1
(
0
)
1
(
1
)
2
(
1
)
3
(
1
=
=
Δ
Δ
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo 1
x e 2
x
elementos do domínio de )
x
(
f e 1
2 x
x > , tem-se:
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
y
y
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
x
y
TVM
−
−
=
−
−
=
Δ
Δ
=
Para uma função do tipo b
ax
)
x
(
f
y +
=
= a TVM é:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
ax
ax
x
x
)
b
ax
(
)
b
ax
(
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
x
y
TVM
−
−
=
−
+
−
+
=
−
−
=
Δ
Δ
=
a
x
x
)
x
x
(
a
x
x
ax
ax
TVM
1
2
1
2
1
2
1
2
=
−
−
=
−
−
=
Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”!
A constante “a” é
chamada de
coeficiente angular
19
20. Coeficiente Angular da Reta
Notar que:
a
TVM
x
y
tag =
=
Δ
Δ
=
α
A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
x fornece a taxa de variação média da função
ou Coeficiente Angular da reta!
Coeficiente Linear da Reta
A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0
x = .
Em x igual a zero (x = 0), o
gráfico corta o eixo y em “b”.
A constante “b” indica o
Coeficiente Linear da reta!
Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau
Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do
ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0
y = . Assim:
20
21. Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau
A função )
x
(
f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam.
Assim, para x
Δ e y
Δ maiores que zero:
0
a
x
y
>
=
Δ
Δ
A função )
x
(
f é decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem.
Assim, para x
Δ ou y
Δ menores que zero:
0
a
x
y
<
−
=
Δ
Δ
Exemplo:
a) 1
b
e
1
a
1
x
)
x
(
f
y =
=
⇒
+
=
= b) 1
b
e
1
a
1
x
)
x
(
f
y =
−
=
⇒
+
−
=
=
A função é crescente se 0
a >
A função é decrescente se 0
a <
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 -1 (-2, -1)
-1 0 (-1, 0)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 3 (2, 3)
1
1
)
2
(
)
2
(
f −
=
+
−
=
−
0
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
−
=
−
1
1
)
0
(
)
0
(
f =
+
=
2
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
=
3
1
)
2
(
)
2
(
f =
+
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 3 (-2, 3)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, -1)
3
1
)
2
(
)
2
(
f =
+
−
−
=
−
2
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
−
−
=
−
1
1
)
0
(
)
0
(
f =
+
−
=
0
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
−
=
1
1
)
2
(
)
2
(
f −
=
+
−
=
crescente
é
)
x
(
f
0
a ⇒
> e
decrescent
é
)
x
(
f
0
a ⇒
<
21
22. REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
Concavidade da Parábola
Função de segundo Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
= onde “a”, “b” e “c” são
números reais, com 0
a ≠ , chama-se função de segundo grau ou função quadrática.
Exemplos:
2
c
e
3
b
,
1
a
2
x
4
x
)
x
(
f 2
=
=
=
⇒
+
+
= 0
c
e
4
b
,
1
a
x
4
x
)
x
(
f 2
=
=
−
=
⇒
+
−
=
1
c
e
3
b
,
2
a
1
x
3
x
2
)
x
(
f 2
=
−
=
=
⇒
+
−
= 4
c
e
0
b
,
10
a
4
x
10
)
x
(
f 2
=
=
−
=
⇒
+
−
=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
b
e
5
b
,
1
a =
−
=
=
O gráfico da função
c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
= é uma parábola
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 30 (-3, 30)
-2 20 (-2, 20)
-1 12 (-1, 12)
0 6 (0, 6)
1 2 (1, 2)
2 0 (2, 0)
3 0 (3, 0)
30
6
15
9
6
)
3
(
5
)
3
(
)
3
(
f 2
=
+
+
=
+
−
−
−
=
−
20
6
10
4
6
)
2
(
5
)
2
(
)
2
(
f 2
=
+
+
=
+
−
−
−
=
−
12
6
5
1
6
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
f 2
=
+
+
=
+
−
−
−
=
−
6
6
0
0
6
)
0
(
5
)
0
(
)
0
(
f 2
=
+
+
=
+
−
=
2
6
5
1
6
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
f 2
=
+
−
=
+
−
=
0
6
10
4
6
)
2
(
5
)
2
(
)
2
(
f 2
=
+
−
=
+
−
=
0
6
15
9
6
)
3
(
5
)
3
(
)
3
(
f 2
=
+
−
=
+
−
=
Como o gráfico de uma função de 2º grau é
uma parábola é necessário determinar as
raízes e seu vértice para representá-lo!
Se a > 0 ⇒ Parábola com
concavidade voltada
para cima
Se a > 0 ⇒ Parábola com
concavidade voltada
para baixo
22
23. Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau
Definição: Os pontos onde o gráfico c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
= corta o eixo x (em 0
y = ) são chamados
raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e
produto de raízes.
Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes
Através da soma e produto das raízes é
possível determinar as raízes (geralmente
inteiras) de algumas expressões.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+
+
−
=
+
=
2a
Δ
b
2a
Δ
b
x
x
Soma 2
1
a
b
a
2
b
2
a
2
b
b
S −
=
−
=
Δ
+
−
Δ
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
−
=
=
a
2
b
.
a
2
b
x
.
x
Produto 2
1
2
2
2
2
2
2
a
4
ac
4
b
b
a
4
)
ac
4
b
(
b
Produto
+
−
=
−
−
=
a
c
a
4
ac
4
P 2
=
=
Exemplo: 6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
c
5
b
1
a =
−
=
=
5
1
)
5
(
a
b
S =
−
−
=
−
=
6
1
6
a
c
P =
=
=
Quais são os números cuja soma é igual
a 5 e o produto igual a 6?
Os números são 2 e 3, pois:
5
3
2
Soma =
+
=
6
3
2
Produto =
×
=
Assim:
3
x
e
2
x 2
1 =
=
c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
=
a
2
b
x
Δ
±
−
=
ac
4
b2
−
=
Δ
a
2
b
x
e
a
2
b
x 2
1
Δ
−
−
=
Δ
+
−
=
Exemplo: 6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
c
5
b
1
a =
−
=
=
)
6
(
)
1
(
4
)
5
(
ac
4
b 2
2
−
−
=
−
=
Δ
1
24
25 =
−
=
Δ
1
.
2
1
)
5
(
a
2
b
x
±
−
−
=
Δ
±
−
=
2
1
5
x
±
=
3
2
1
5
x1 =
+
=
2
2
1
5
x2 =
−
=
As raízes são 2 e 3
6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
)
2
(
5
2
)
2
(
f
y 2
+
−
=
=
0
)
2
(
f
y =
=
6
)
3
(
5
3
)
3
(
f
y 2
+
−
=
=
0
)
3
(
f
y =
=
23
24. Vértice da Parábola
O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0
a > , ou o ponto de máximo, se 0
a < , da função.
Para 0
a = , tem-se que c
c
bx
ax
y 2
=
+
+
= , isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”.
Por simetria, existe outro valor de x que resulta em c
y = :
Como o ponto onde
a
b
x −
= é simétrico em relação ao vértice:
2
a
b
xv
−
=
Para
a
2
b
xv −
=
a
4
a
4
)
ac
4
b
(
a
4
ac
4
b
2
b
c
a
2
b
a
4
b
c
a
2
b
b
a
2
b
a
y
2
2
2
2
2
2
v
Δ
−
=
−
−
=
+
−
=
+
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
Para c
y = :
a
b
x
0
x
0
)
b
ax
(
x
0
bx
ax
c
c
bx
ax
2
1
2
2
−
=
=
=
+
=
+
=
+
+
a
2
b
xv −
=
a
4
yv
Δ
−
=
24
25. Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau
Para 0
>
Δ 0
=
Δ 0
<
Δ
Duas raízes reais
e
distintas
Duas raízes reais
e
iguais (raiz dupla)
Não possui raiz
real
(raízes imaginárias)
0
a >
0
a <
Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau
A função c
bx
ax
)
x
(
f 2
+
+
= é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y
aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para
crescente ou vice-versa é o vértice.
Exemplo: 6
c
5
b
1
a
6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
=
−
=
=
⇒
+
−
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
0 6 (0, 6) Corta o eixo y
1 2 (1, 2)
2 0 (2, 0) x1
5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice
3 0 (3, 0) x2
5 6 (5, 6)
6
6
)
0
(
5
)
0
(
)
0
(
f 2
=
+
−
=
2
6
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
f 2
=
+
−
=
0
6
)
2
(
5
)
2
(
)
2
(
f 2
=
+
−
=
4
/
1
6
)
2
/
5
(
5
)
2
/
5
(
)
2
/
5
(
f 2
−
=
+
−
=
0
6
)
3
(
5
)
3
(
)
3
(
f 2
=
+
−
=
6
6
)
5
(
5
)
5
(
)
5
(
f 2
=
+
−
=
25
26. REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Funções Exponenciais
Definição: Uma função exponencial é definida como x
a
)
x
(
f = , onde 1
a ≠ e 0
a > .
Exemplos: x
5
)
x
(
f = x
2
)
x
(
f =
x
3
1
)
x
(
f ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 1: x
2
)
x
(
f =
1
a
2
a >
⇒
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
1
,
0
(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
0
y
x
y
x
Exemplo 2:
x
2
1
)
x
(
f ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
a
0
5
,
0
2
/
1
a <
<
⇒
=
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
1
,
0
(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
−∞
→
→
⇒
+∞
→
y
x
0
y
x
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 1/8 (-3, 1/8)
-2 1/4 (-2, 1/4)
-1 1/2 (-1, 1/2)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
x
2
)
x
(
f =
8
/
1
)
2
(
)
3
(
f 3
=
=
− −
4
/
1
)
2
(
)
2
(
f 2
=
=
− −
2
/
1
)
2
(
)
1
(
f 1
=
=
− −
1
)
2
(
)
0
(
f 0
=
=
2
)
2
(
)
1
(
f 1
=
=
4
)
2
(
)
2
(
f 2
=
=
8
)
2
(
)
3
(
f 3
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 8 (-3, 8)
-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 1/2 (1, 1/2)
2 1/4 (2, 1/4)
3 1/8 (3, 1/8)
x
)
2
/
1
(
)
x
(
f =
8
)
2
/
1
(
)
3
(
f 3
=
=
− −
4
)
2
/
1
(
)
2
(
f 2
=
=
− −
2
)
2
/
1
(
)
1
(
f 1
=
=
− −
1
)
2
/
1
(
)
0
(
f 0
=
=
2
/
1
)
2
/
1
(
)
1
(
f 1
=
=
4
/
1
)
2
/
1
(
)
2
(
f 2
=
=
8
/
1
)
2
/
1
(
)
3
(
f 3
=
=
Função exponencial
crescente
Função exponencial
decrescente
26
27. Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 3: Faça o gráfico da função x
3
1
)
x
(
f +
=
A base que tem o expoente x vale 3
crescente
função
1
a
3
a ⇒
>
⇒
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
2
,
0
(
2
1
1
3
1
)
0
(
f
y
3
1
)
x
(
f
y 0
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
=
Exemplo 4: Faça o gráfico da função 1
x
5
1
)
x
(
f +
+
=
A base que tem o expoente x vale 5
crescente
função
1
a
5
a ⇒
>
⇒
=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0
x = )
6
5
1
5
1
)
0
(
f
y
5
1
)
x
(
f
y 1
0
1
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2
x
3
2
)
x
(
f +
+
=
A base que tem o expoente x vale 3
crescente
função
1
a
3
a ⇒
>
⇒
=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0
x = )
11
9
2
3
2
)
0
(
f
y
3
2
)
x
(
f
y 2
0
2
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
Gráfico de Uma Função Exponencial
Outros Exemplos
Exemplo 1: Faça o gráfico da função x
3
1
)
x
(
f +
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
2
,
0
(
2
1
1
3
1
)
0
(
f
y
3
1
)
x
(
f
y 0
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
=
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
1
y
x
y
x
x
3
1
y +
=
+∞
→
⇒
∞
+
=
+
=
+∞
→ +∞
y
1
3
1
y
:
x
Para
1
y
0
1
1
1
3
1
1
3
1
y
:
x
Para →
⇒
+
=
∞
+
=
+
=
+
=
−∞
→ ∞
+
∞
−
Se a > 1 ⇒ Função
exponencial crescente
Se 0 < a < 1 ⇒ Função
exponencial decrescente
Para x
a
)
x
(
f =
Para x
a
)
x
(
f =
27
28. Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 2: Faça o gráfico da função x
2
2
1
)
x
(
f −
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
0
,
0
(
0
1
1
2
1
)
0
(
f
y
2
1
)
x
(
f
y 0
x
2
=
−
=
−
=
=
⇒
−
=
=
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
−∞
→
⇒
+∞
→
1
y
x
y
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⇒
−
=
∞
−
=
−
=
−
=
−
=
−∞
→
−∞
→
⇒
∞
−
=
−
=
−
=
+∞
→
−
=
∞
+
∞
−
−∞
×
∞
+
+∞
×
1
y
0
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
y
:
x
Para
y
1
2
1
2
1
y
:
x
Para
2
1
y )
(
2
)
(
2
x
2
Exemplo 3: Faça o gráfico da função 1
x
5
1
)
x
(
f +
+
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
6
,
0
(
6
5
1
5
1
)
0
(
f
y
5
1
)
x
(
f
y 1
0
1
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
1
y
x
y
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⇒
+
=
+
=
+
=
+
=
−∞
→
+∞
→
⇒
∞
+
=
+
=
+
=
+∞
→
+
=
∞
+
∞
−
+
∞
−
∞
+
+
∞
+
+
1
y
0
1
5
1
1
5
1
5
1
y
:
x
Para
y
1
5
1
5
1
y
:
x
Para
5
1
y 1
1
1
x
28
29. Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 4: Faça o gráfico da função x
1
2
3
)
x
(
f −
+
−
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
1
,
0
( −
1
2
3
2
3
)
0
(
f
y
2
3
)
x
(
f
y 0
1
x
1
−
=
+
−
=
+
−
=
=
⇒
+
−
=
= −
−
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
−∞
→
−
→
⇒
+∞
→
y
x
3
y
x
x
1
2
3
y −
+
−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∞
→
⇒
∞
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−∞
→
−
→
⇒
+
−
=
∞
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+∞
→
∞
+
∞
+
−∞
−
∞
+
∞
−
∞
−
+∞
−
y
3
2
3
2
3
2
3
y
:
x
Para
3
y
0
3
1
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
y
:
x
Para
1
)
(
1
1
)
(
1
Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2
x
3
2
)
x
(
f +
+
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
11
,
0
(
11
9
2
3
2
3
2
)
0
(
f
y
3
2
)
x
(
f
y 2
2
0
2
x
=
+
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
2
y
x
y
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⇒
+
=
+
=
+
=
+
=
−∞
→
+∞
→
⇒
∞
+
=
+
=
+
=
+∞
→
+
=
∞
+
∞
−
+
∞
−
∞
+
+
∞
+
+
2
y
0
2
3
1
2
3
2
3
2
y
:
x
Para
y
2
3
2
3
2
y
:
x
Para
3
2
y 2
2
2
x
29
30. O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencial
Também chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “e ” tem grande
importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa,
crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor:
Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “e ” é uma das mais importantes funções
da matemática:
...
459
828
281
2,718
e =
x
e
f(x) =
Equações Exponenciais
Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais:
8
2x
= 343
3 5
x
=
−
25
5
2
5 3
x
x
=
×
+ +
Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade:
Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação
n
m
n
m
a
a
a +
=
⋅ 0
a
,
a
a
a n
m
n
m
≠
= −
( ) 0
a
,
a
a n
m
n
m
≠
= ⋅
( )n
n
n
b
a
b
a ⋅
=
⋅ 0
b
,
b
a
b
a n
n
n
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n m
n
m
a
a =
Se duas potências têm a mesma base, então os
expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0:
n
m
a
a n
m
=
⇔
=
30
31. Equações Exponenciais
Exemplo 1: Resolva a equação 32
2x
=
Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se: 5
x
x
2
2
32
2 =
⇒
=
Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes: 5
x
2
2 5
x
=
⇔
=
Exemplo 2: Resolva a equação 25
5 4
x
=
+
Reduzindo a mesma base: 2
4
x
4
x
5
5
25
5 =
⇒
= +
+
Igualando os expoentes: 2
x
4
2
x
2
4
x
5
5 2
4
x
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
⇒
=
+
Exemplo 3: Resolva a equação
x
3
2
x
2
3
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Reduzindo a mesma base:
x
3
2
x
x
3
1
2
x
x
3
2
x
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
2 −
+
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Igualando os expoentes:
5
2
x
2
x
5
x
3
2
x
3
2
3
2 x
3
2
x
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
+
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
Exemplo 4: Resolva a equação
27
1
3
2
x
x
2
=
−
Reduzindo a mesma base: 3
x
x
2
3
x
x
2
x
x
2
3
3
3
1
3
27
1
3
2
2
2
−
−
−
−
=
⇒
=
⇒
=
Igualando os expoentes: 0
3
x
2
x
0
3
x
x
2
3
x
x
2
3
3 2
2
2
3
x
x
2 2
=
+
+
−
⇒
=
+
−
⇒
−
=
−
⇒
= −
−
Resolvendo a equação de 2º grau 0
3
x
2
x2
=
+
+
− :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
=
=
=
−
=
=
=
−
=
3
x
e
1
x
3
a
c
Produto
e
2
a
b
Soma
3
c
2
b
1
a
2
1
Exemplo 5: Resolva a equação
5 x
3
2
x
8
2 =
−
Reduzindo a mesma base: ( ) ( ) 5
x
9
2
2
x
5
x
3
3
2
2
x
5
x
3
2
1
2
x
5 x
3
2
x
2
2
2
2
8
2
8
2 =
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
−
−
−
Igualando os expoentes: ( ) ( )
13
10
x
x
18
10
x
5
x
9
2
2
x
5
5
x
9
2
2
x
2
2 5
x
9
2
2
x
−
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
31
32. Equações Exponenciais
Exemplo 6: Resolva a equação
9
11
3
3
3 1
x
1
x
x
=
−
+ −
+
Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade:
9
11
3
3
3
.
3
3
9
11
3
3
3
3
3
9
11
3
3
3
x
x
x
1
x
1
x
x
1
x
1
x
x
=
−
+
⇒
=
−
+
⇒
=
−
+ −
−
+
Colocando em evidência x
3 :
1
x
x
x
x
x
x
x
3
3
1
11
3
9
11
3
3
11
9
11
3
9
11
3
11
3
9
11
3
1
3
1
3
9
11
3
3
3
3
3 −
=
=
×
=
⇒
=
⇒
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⇒
=
−
×
+
Com a mesma base, é possível igualar os expoentes: 1
x
3
3 1
x
−
=
⇒
= −
Exemplo 7: Resolva a equação x
x
2
5
4
4
=
+
( ) ( ) 0
4
2
5
2
0
4
2
5
2
2
5
4
4
2
5
4
4 x
2
x
x
x
2
x
x
x
x
=
+
×
−
⇒
=
+
×
−
⇒
×
=
+
⇒
=
+
Fazendo uma mudança de variável do tipo x
2
m = e substituindo na equação:
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
+
−
⇒
=
+
×
−
4
m
e
1
m
4
a
c
oduto
Pr
e
5
a
b
Soma
4
c
5
b
1
a
0
4
m
5
m
0
4
2
5
2
2
1
2
x
2
x
Fazendo novamente a troca da variável x
2
m = :
0
x
2
2
2
1
2
m
1
m
Para x
0
x
x
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
2
x
2
2
2
4
2
m
4
m
Para x
2
x
x
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 8: Resolva a equação 0
e
e 1
x
x
2
=
− +
( ) 0
e
e
e
0
e
e x
1
2
x
1
x
x
2
=
×
−
⇒
=
− +
Fazendo uma mudança de variável do tipo x
e
m = e substituindo na equação:
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
⇒
=
−
=
⇒
=
−
⇒
=
−
=
−
⇒
=
×
−
e
m
e
0
m
0
a
c
Produto
e
e
a
b
Soma
0
c
e
b
1
a
ou
e
m
0
e
m
ou
0
m
0
e)
(m
m
0
m
e
m
0
m
e
m
0
e
e
e
2
1
2
2
x
1
2
x
Fazendo novamente a troca da variável x
e
m = :
IR
x
e
0
e
m
0
m
Para x
x
∉
⇒
=
⇒
=
⇒
=
}
1
{
sp
Re
1
x
e
e
e
e
e
m
e
m
Para x
1
x
x
−
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
32
33. Logaritmos
Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0
a > , 0
b > e 1
a ≠ , é um número x tal que:
Onde: b indica o logaritmando
a indica a base
x indica o logaritmo
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 8
log
2
O logaritmo de 8 na base 2 é: 3
x
2
2
2
8
x
8
log x
3
x
2
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 2: Calcule o logaritmo 3
log3
O logaritmo de 3 na base 3 é:
3
1
x
3
3
3
3
x
3
log x
1/2
x
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 3: Calcule o logaritmo 6
3
log
6
O logaritmo de 36 na base 6 é: ( ) ( ) 4
x
x
2
1
2
6
6
6
6
3
x
6
3
log
x
1/2
2
x
6
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 4: Calcule o logaritmo 5
log
5
O logaritmo de 5 na base 5 é: 1
x
5
5
5
5
x
5
log x
1
x
5
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 5: Calcule o logaritmo 100
log
O logaritmo decimal de 100 é: 2
x
10
10
0
1
100
x
100
log x
2
x
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
b
a
x
b
log x
a
=
⇔
=
1
a
loga
=
Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos
decimais normalmente a base é omitida:
b
log
b
log10
=
Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e ”.
Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma:
b
n
l
b
loge
=
33
34. Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição
Para 0
a > , 0
b > e 1
a ≠ :
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 4
2
2
log
O logaritmo de 4
2 na base 2 é: 4
x
2
2
x
2
log x
4
4
2
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 2: Calcule o logaritmo 1
log
9
O logaritmo de 1 na base 9 é: 0
x
9
9
9
1
x
1
log x
0
x
9
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 3: Calcule
9
log3
3
Fazendo x
3
9
log3 = e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação:
x
log
9
log
x
log
3
log
x
3 3
3
3
9
log
3
9
log 3
3 =
⇒
=
⇒
=
9
x
x
3
x
log
2
x
log
3
log
x
log
9
log 2
3
3
2
3
3
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 5
log
5
O logaritmo de 5 na base 5 é: 1
x
5
5
5
5
x
5
log x
1
x
5
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 3
e
n
l
O logaritmo neperiano de 3
e é: 3
x
e
e
x
e
g
o
l
x
e
n
l x
3
3
e
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
n
log
m
log
)
n
m
(
log a
a
a
+
=
×
n
log
m
log
n
m
log
a
a
a
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
log
p
m
log a
p
a
×
=
Para 0
m > , 0
n > , 0
a > , 1
a ≠ e IR
p ∈ :
m
a
log m
a
= 0
1
loga
= b
a
b
log
a =
34
35. Propriedades Operatórias dos Logaritmos
Exemplo 1: Dado 0,477
3
log
e
0,301
2
log =
= calcule 6
log
O logaritmo decimal de 6 é: 778
,
0
477
,
0
301
,
0
3
log
2
log
)
3
2
(
log
6
log =
+
=
+
=
×
=
Exemplo 2: Dado 0,477
3
log
e
0,301
2
log =
= calcule 4
log
12
log −
0,477
3
log
4
12
log
4
log
12
log =
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
Exemplo 3: Dado 0,477
3
log
e
0,301
2
log =
= calcule 36
log
556
,
1
477
,
0
2
301
,
0
2
3
log
3
2
log
2
3
log
2
log
)
3
2
(
log
36
log 2
2
2
2
=
×
+
×
=
×
+
×
=
+
=
×
=
Exemplo 4: Dado x
3
p
log
e
x
n
log
,
x
2
m
log =
=
= , calcule
3 2
2
5
p
n
m
log
( ) p
log
3
2
n
log
2
m
log
5
p
log
n
log
m
log
p
log
n
m
log
p
n
m
log 3
/
2
2
5
3 2
2
5
3 2
2
5
−
+
=
−
+
=
−
=
x
10
x
2
x
2
x
10
x
3
3
2
x
2
x
2
5
p
log
3
2
n
log
2
m
log
5 =
−
+
=
×
−
×
+
×
=
−
+
Exemplo 1: Dado 0,477
3
log
e
0,301
2
log =
= , calcule 3
log
2
O logaritmo de 3 na base 2 é: 585
,
1
0,301
0,477
2
log
3
log
3
log
2
=
=
=
Exemplo 2: Calcule 5
log
4
log
3
log
8
log
2
5
4
3
×
×
×
2
log
5
log
5
log
4
log
4
log
3
log
3
log
8
log
5
log
4
log
3
log
8
log 2
5
4
3
×
×
×
=
×
×
×
Simplificando:
3
2
log
3
2
log
8
log
2
log
8
log
5
log
4
log
3
log
8
log
2
3
2
2
2
5
4
3
=
×
=
=
=
=
×
×
×
Mudança de Base
Para resolver operações que envolvam Logaritmos com bases diferentes.
n
log
m
log
m
logn
=
35
36. Funções Logarítmicas
Uma função logarítmica é definida como x
log
)
x
(
f
a
= , onde 1
a ≠ e 0
a > . A base do logaritmo x é a e
o domínio da função logarítmica é composto pelos *
IR+ .
Exemplos: x
log
)
x
(
f
3
= x
log
)
x
(
f
3
/
1
=
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 1: x
log
)
x
(
f
2
=
1
a
2
a >
⇒
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
1
(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
−∞
→
⇒
→
+∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
Exemplo 2: x
log
)
x
(
f
2
/
1
=
1
a
0
2
/
1
a <
<
⇒
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
1
(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
→
−∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
1/8 -3 (1/8, -3)
1/4 -2 (1/4, -2)
1/2 -1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)
Função logarítmica
crescente
Função logarítmica
decrescente
x
log
)
x
(
f
2
=
3
2
log
)
8
/
1
(
log
)
8
/
1
(
f 3
2
2
−
=
=
= −
2
2
log
)
4
/
1
(
log
)
4
/
1
(
f 2
2
2
−
=
=
= −
1
2
log
)
2
/
1
(
log
)
2
/
1
(
f 1
2
2
−
=
=
= −
0
2
log
1
log
)
1
(
f 0
2
2
=
=
=
1
2
log
)
2
(
f
2
=
=
2
2
log
4
log
)
4
(
f 2
2
2
=
=
=
3
2
log
8
log
)
8
(
f 3
2
2
=
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
1/8 3 (1/8, -3)
1/4 2 (1/4, -2)
1/2 1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, 1)
4 -2 (4, 2)
8 -3 (8, 3)
x
log
)
x
(
f 2
/
1
=
3
2
log
)
8
/
1
(
log
)
8
/
1
(
f 3
2
/
1
2
/
1
=
=
= −
2
2
log
)
4
/
1
(
log
)
4
/
1
(
f 2
2
/
1
2
/
1
=
=
= −
1
2
log
)
2
/
1
(
log
)
2
/
1
(
f 1
2
/
1
2
/
1
=
=
= −
0
2
log
1
log
)
1
(
f 0
2
/
1
2
/
1
=
=
=
1
2
log
)
2
(
f
2
/
1
−
=
=
2
2
log
4
log
)
4
(
f 2
2
/
1
2
/
1
−
=
=
=
3
2
log
8
log
)
8
(
f 3
2
/
1
2
/
1
−
=
=
=
36
37. Gráfico de Uma Função Logarítmica
Outros Exemplos
Exemplo 1: Faça o gráfico da função )
x
1
(
log
)
x
(
f 5
+
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
0
( :
0
x
x
1
1
x
1
5
)
x
1
(
log
0
)
x
1
(
log
)
x
(
f
y 0
5
5
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
=
Na função dada, o logaritmando é diferente de x ( x
b ≠ ). Para avaliar os valores que x pode assumir na
função, utiliza-se a condição de que b é positivo ( 0
b > ). Assim: 1
x
0
x
1 −
>
⇒
>
+
Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: [
,
1
] ∞
+
−
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
−∞
→
⇒
−
→
+∞
→
⇒
+∞
→
y
1
x
y
x
)
x
1
(
log
y
5
+
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
−
=
−
+
=
−
→
+∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
⇒
∞
+
=
+∞
→
∞
−
∞
+
y
5
5
0
5
)
0
(
log
y
)
1
1
(
log
)]
1
(
1
[
log
y
:
1
x
Para
y
5
5
5
)
(
log
y
)
1
(
log
y
:
x
Para
y
y
5
5
5
y
y
5
5
Se 0 < a < 1 ⇒ Função
logarítmica decrescente
Para x
log
)
x
(
f
a
=
Para x
log
)
x
(
f
a
=
Se a > 1 ⇒ Função
logarítmica crescente
37
38. Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 2: Faça o gráfico da função x
log
1
)
x
(
f 3
+
=
Rearranjando a função:
)
x
3
(
log
)
x
(
f
x
log
3
log
x
log
1
)
x
(
f 3
3
3
3
=
⇒
+
=
+
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
3
/
1
( :
3
/
1
x
x
3
1
x
3
3
)
x
3
(
log
0
)
x
3
(
log
)
x
(
f
y 0
3
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
Como 0
b > , tem-se: 0
x
0
x
3 >
⇒
> . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir é [
,
0
] ∞
+ .
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
−∞
→
⇒
→
+∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
)
x
3
(
log
y
3
=
+∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
+∞
×
=
=
+∞
→ +∞
y
3
3
3
)
(
log
)]
(
3
[
log
)
x
3
(
log
y
:
x
Para y
y
3
3
3
−∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
×
=
→ −∞
y
3
3
0
3
)
0
(
log
y
)
0
(
log
)
0
3
(
log
y
:
0
x
Para y
y
3
3
3
Exemplo 3: Faça o gráfico da função )
x
2
(
log
)
x
(
f 4
/
1
+
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
1
(−
1
x
x
2
1
x
2
)
4
/
1
(
)
x
2
(
log
0
)
x
2
(
log
)
x
(
f
y 0
4
/
1
4
/
1
−
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
=
Como 0
b > , tem-se: 2
x
0
x
2 −
>
⇒
>
+ . O intervalo de valores que x pode assumir é [
,
2
] ∞
+
− .
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
−
→
−∞
→
⇒
+∞
→
y
2
x
y
x
)
x
2
(
log
y
4
/
1
+
=
−∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
⇒
∞
+
=
+∞
→ +∞
−
y
4
4
)
4
/
1
(
)
(
log
y
)
2
(
log
y
:
x
Para y
y
4
/
1
4
/
1
+∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
−
+
=
−
→ −∞
−
−
y
4
4
0
4
0
)
4
/
1
(
)
0
(
log
y
)]
2
(
2
[(
log
y
:
2
x
Para y
y
y
4
/
1
4
/
1
38
39. Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 4: Faça o gráfico da função x
log
1
)
x
(
f 3
−
=
Rearranjando a função:
x
3
log
x
log
3
log
x
log
1
)
x
(
f 3
3
3
3
=
−
=
−
=
)
x
/
3
(
log
x
log
3
log
x
log
1
)
x
(
f 3
3
3
3
=
−
=
−
=
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
3
/
x
(
log
)
x
/
3
(
log
)
x
(
f 3
1
3
3
×
−
=
=
= −
Fazendo uma mudança de base:
3
log
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
x
(
f 3
×
−
=
×
−
=
1
3
log
)
3
/
x
(
log
3
log
)
1
(
)
3
/
x
(
log
3
log
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
x
(
f
−
=
×
−
=
×
−
=
)
3
/
x
(
log
3
log
)
3
/
x
(
log
)
x
(
f 1
3
1 −
=
= −
)
3
/
x
(
log
)
x
(
f 3
/
1
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
3
(
3
x
3
/
x
1
3
/
x
)
3
/
1
(
)
3
/
x
(
log
0
)
3
/
x
(
log
)
x
(
f
y 0
3
/
1
3
/
1
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
Para 0
x
0
3
/
x >
⇒
> . O intervalo de valores que x pode assumir é [
,
0
] ∞
+ .
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
→
−∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
)
3
/
x
(
log
y
3
/
1
=
−∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
+∞
→ +∞
−
y
3
3
)
3
/
1
(
)
(
log
y
)
3
/
(
log
y
:
x
Para y
y
3
/
1
3
/
1
+∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
→ −∞
−
−
y
3
3
0
3
0
)
3
/
1
(
)
0
(
log
y
)
3
/
0
(
log
y
:
0
x
Para y
y
y
3
/
1
3
/
1
39
40. REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES
Conceito
O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem:
Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma
distância: 10 unidades.
Módulo ou Valor Absoluto
Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo,
e seu oposto, caso seja negativo. Assim:
⎩
⎨
⎧
<
−
≥
=
0
x
se
,
x
0
x
se
,
x
|
x
|
Exemplos:
5
|
5
| = 5
)
5
(
|
5
| =
−
−
=
−
1
10
|
1
10
| −
=
− 4
6
)
4
6
(
|
4
6
| +
−
=
−
−
=
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
⇒
<
−
+
−
=
−
−
≥
⇒
≥
−
−
=
−
2
x
0
2
x
se
,
2
x
)
2
x
(
2
x
0
2
x
se
,
2
x
|
2
x
|
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
⇒
<
+
−
−
+
−
=
+
−
−
≥
≤
⇒
≥
+
−
+
−
=
+
−
3
x
1
0
3
x
4
x
se
,
3
x
4
x
)
3
x
4
x
(
3
x
ou
1
x
0
3
x
4
x
se
,
3
x
4
x
|
3
x
4
x
|
2
2
2
2
2
2
Outros exemplos
Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒ 4
a
)
4
(
a −
⇔
−
+
-13ºC ⇔ 13ºC abaixo de zero
Lembrar que:
0
|
x
| ≥
2
2
x
|
x
| = |
x
|
x
2
=
Se 0
a ≥ e a
|
x
| = , então a
x −
= ou a
x =
40
41. Gráfico de Uma Função Modular
Exemplo 1: |
x
|
)
x
(
f =
Exemplo 2: |
2
x
|
)
x
(
f +
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 3 (-3, 3)
-2 2 (-2, 2)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 2)
3 3 (3, 3)
|
x
|
)
x
(
f =
3
|
3
|
)
3
(
f =
−
=
−
2
|
2
|
)
2
(
f =
−
=
−
1
|
1
|
)
1
(
f =
−
=
−
0
|
0
|
)
0
(
f =
=
1
|
1
|
)
1
(
f =
=
2
|
2
|
)
2
(
f =
=
3
|
3
|
)
3
(
f =
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-5 3 (-5, 3)
-4 2 (-4, 2)
-3 1 (-3, 1)
-2 0 (-2, 0)
-1 1 (-1, 1)
0 2 (0, 2)
1 3 (1, 3)
|
2
x
|
)
x
(
f +
=
3
|
3
|
|
2
5
|
)
5
(
f =
−
=
+
−
=
−
2
|
2
|
|
2
4
|
)
4
(
f =
−
=
+
−
=
−
1
|
1
|
|
2
3
|
)
3
(
f =
−
=
+
−
=
−
0
|
0
|
|
2
2
|
)
2
(
f =
=
+
−
=
−
1
|
1
|
|
2
1
|
)
1
(
f =
=
+
−
=
−
2
|
2
|
|
2
0
|
)
0
(
f =
=
+
=
3
|
3
|
|
2
1
|
)
1
(
f =
=
+
=
Função Modular
Definição: É a função real |
x
|
)
x
(
f = onde
⎩
⎨
⎧
<
−
≥
=
0
x
se
,
x
0
x
se
,
x
)
x
(
f
Exemplos: |
x
|
)
x
(
f = 2
|
x
|
)
x
(
f +
= |
1
x
|
)
x
(
f
2
−
= 10
|
x
2
|
)
x
(
f +
−
=
Gráfico de Uma Função Modular
Se a função modular for do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte
procedimento:
1º - Identificar g(x) e fazer seu gráfico
2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x
41
42. Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) |
Exemplo 1: |
2
x
2
|
)
x
(
f −
=
2
x
2
)
x
(
g
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f −
=
→
=
Exemplo 2: |
6
x
5
x
|
)
x
(
f
2
+
−
=
6
x
5
x
)
x
(
g
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
2
+
−
=
→
=
Exemplo 3: |
2
4
|
)
x
(
f
x
1−
+
−
=
x
1
2
4
)
x
(
g
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
−
+
−
=
→
=
Gráfico de 2
x
2
)
x
(
g −
= Gráfico de |
2
x
2
|
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f −
=
=
Gráfico de 6
x
5
x
)
x
(
g
2
+
−
= Gráfico de |
6
x
5
x
|
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
2
+
−
=
=
Gráfico de
x
1
2
4
)
x
(
g
−
+
−
= Gráfico de |
2
4
|
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
x
1−
+
−
=
=
42
43. Gráfico de Uma Função Modular
Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas:
Exemplo 1: |
x
|
x
2
)
x
(
f =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
⇒
−
=
⇒
<
=
=
⇒
=
⇒
≥
=
=
2
2
x
2
)
x
(
x
2
)
x
(
f
x
|
x
|
0
x
Para
x
2
)
x
(
x
2
)
x
(
f
x
|
x
|
0
x
Para
|
x
|
x
2
)
x
(
f
Exemplo 2: |
1
x
|
|
1
x
|
)
x
(
f −
+
+
=
3
2
1
3
2
1
2
1 )
x
(
f
)
x
(
f
|
1
x
|
|
1
x
|
)
x
(
f −
+
+
=
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f 1 −
=
⇒
⇒
+
=
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f 2 =
⇒
⇒
−
=
assim:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
<
−
−
≤
−
=
−
+
+
=
1
x
para
,
x
2
1
x
1
para
,
2
1
x
para
,
x
2
|
1
x
|
|
1
x
|
)
x
(
f
43
44. Equações Modulares
Definição: São equações que envolvem funções modulares.
Exemplo 1: 1
|
1
x
2
| =
+
É necessário analisar as duas condições.
Resolvendo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
=
−
−
⇒
<
+
=
⇒
=
+
⇒
≥
+
1
x
1
1
x
2
0
1
x
2
Para
0
x
1
1
x
2
0
1
x
2
Para
A solução da equação }
0
,
1
{
S −
=
Exemplo 2: |
5
x
|
|
3
x
3
| −
=
−
É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o
sinal.
Resolvendo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
−
=
+
−
⇒
<
−
−
=
⇒
−
=
−
⇒
≥
−
2
x
5
x
3
x
3
0
3
x
3
Para
1
x
5
x
3
x
3
0
3
x
3
Para
A solução da equação }
2
,
1
{
S −
=
Exemplo 3: 4
x
|
1
x
2
| −
=
−
É necessário garantir a existência do módulo, pois 0
|
x
| ≥ , assim:
4
x
0
4
x ≥
⇒
≥
−
Resolvendo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
−
=
+
−
⇒
<
−
−
=
⇒
−
=
−
⇒
≥
−
3
/
5
x
4
x
1
x
2
0
1
x
2
Para
3
x
4
x
1
x
2
0
1
x
2
Para
A solução da equação =
S ∅
Testes
Para 0
x = :
1
|
1
|
1
|
1
0
2
|
1
|
1
x
2
| =
⇒
=
+
×
⇒
=
+
Para 1
x −
= :
1
|
1
|
1
|
1
2
|
1
|
1
)
1
(
2
|
1
|
1
x
2
|
=
−
⇒
=
+
−
=
+
−
×
⇒
=
+
Testes
Para 1
x −
= :
|
6
|
|
6
|
|
5
1
|
|
3
3
|
|
5
)
1
(
|
|
3
)
1
(
3
|
|
5
x
|
|
3
x
3
|
−
=
−
⇒
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
×
⇒
−
=
−
Para 2
x = :
|
3
|
|
3
|
|
3
|
|
3
6
|
|
5
2
|
|
3
2
3
|
|
5
x
|
|
3
x
3
|
−
=
⇒
−
=
−
−
=
−
×
⇒
−
=
−
Testes
Para 3
x −
= :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
7
|
7
|
7
|
1
6
|
4
3
|
1
)
3
(
2
|
4
x
|
1
x
2
|
≥
⇒
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
×
⇒
−
=
−
Para 3
/
5
x = :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
3
/
7
|
3
/
7
|
3
/
7
|
1
3
/
10
|
4
3
/
5
|
1
)
3
/
5
(
2
|
4
x
|
1
x
2
|
≥
⇒
−
=
−
=
−
−
=
−
×
⇒
−
=
−
44
45. Equações Modulares
Exemplo 4: x
3
|
4
x
|
2
=
−
É necessário garantir a existência do módulo:
0
x
0
x
3 ≥
⇒
≥
Resolvendo:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
+
−
−
⇒
=
+
−
⇒
<
−
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
−
−
⇒
=
−
⇒
≥
−
1
x
4
x
raízes
0
4
x
3
x
x
3
4
x
0
4
x
Para
4
x
1
x
raízes
0
4
x
3
x
x
3
4
x
0
4
x
Para
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
A solução da equação }
4
,
1
{
S =
Exemplo 5: 0
2
|
x
|
|
x
|
2
=
−
+
Fazer a
|
x
| = e substituir na equação modular:
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
−
+
⇒
=
−
+
1
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
equação
0
2
a
a
0
2
|
x
|
|
x
|
2
1
2
2
Substituindo novamente:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
−
=
=
≥
−
=
⇒
=
1
|
1
|
pois
,
1
x
1
|
1
|
pois
,
1
x
1
|
x
|
0
|
x
|
pois
,
serve
não
2
|
x
|
a
|
x
|
A solução da equação }
1
,
1
{
S −
=
Testes
Para 4
x −
= :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
12
|
12
|
12
|
4
16
|
)
4
(
3
|
4
)
4
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
−
=
⇒
−
=
−
⇒
−
×
=
−
−
⇒
=
−
Para 1
x −
= :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
3
|
3
|
3
|
4
1
|
)
1
(
3
|
4
)
1
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
−
×
=
−
−
⇒
=
−
Para 1
x = :
0
|
x
|
pois
,
serve
3
|
3
|
3
|
4
1
|
1
3
|
4
)
1
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
×
=
−
⇒
=
−
Para 4
x = :
0
|
x
|
pois
,
serve
12
|
12
|
12
|
4
16
|
4
3
|
4
)
4
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
=
⇒
=
−
⇒
×
=
−
⇒
=
−
45
46. Equações Modulares
Exemplo 6: 10
|
1
x
|
|
3
x
| =
+
+
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
⇒
+
=
=
⇒
⇒
−
=
⇒
=
+
+
−
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f
3
x
raiz
|
3
x
|
)
x
(
f
10
|
1
x
|
|
3
x
|
2
1
)
x
(
f
)
x
(
f 2
1
3
2
1
3
2
1
assim, para 10
|
1
x
|
|
3
x
| =
+
+
− a solução pode ser:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
=
−
⇒
≠
−
=
⇒
=
+
−
6
x
10
2
x
2
:
Caso
º
3
solução
tem
Não
10
4
:
Caso
º
2
4
x
10
2
x
2
:
Caso
º
1
A solução da equação }
6
,
4
{
S −
=
Exemplo 7: 2
|
1
x
|
|
3
x
| −
=
+
−
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
⇒
+
=
=
⇒
⇒
−
=
⇒
−
=
+
−
−
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f
3
x
raiz
|
3
x
|
)
x
(
f
2
|
1
x
|
|
3
x
|
2
1
)
x
(
f
)
x
(
f 2
1
3
2
1
3
2
1
assim, para 2
|
1
x
|
|
3
x
| −
=
+
−
− a solução pode ser:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇒
−
≠
−
=
⇒
−
=
+
−
⇒
−
≠
solução
tem
Não
2
4
:
Caso
º
3
2
x
2
2
x
2
:
Caso
º
2
solução
tem
Não
2
2
:
Caso
º
1
A solução da equação }
2
{
S =
Testes
Para 4
x −
= : Para 6
x = :
10
3
7
10
|
3
|
|
7
|
10
|
1
4
|
|
3
4
|
10
|
1
x
|
|
3
x
|
=
+
=
−
+
−
=
+
−
+
−
−
=
+
+
−
10
7
3
10
|
7
|
|
3
|
10
|
1
6
|
|
3
6
|
10
|
1
x
|
|
3
x
|
=
+
=
+
=
+
+
−
=
+
+
−
Teste
Para 2
x = :
2
3
1
2
|
3
|
|
1
|
2
|
1
2
|
|
3
2
|
2
|
1
x
|
|
3
x
|
−
=
−
−
=
−
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
46
47. REVISÃO: INEQUAÇÕES
Função de Primeiro Grau
Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade:
Exemplos:
0
1
x
3
x
1
x
4
)
1
x
(
2
x
10
4
5
x
0
1
x
2
≥
−
+
−
<
−
+
+
<
−
≤
+
0
3
1
x
2
x
3
0
1
x
2
x
0
1
x
5
x
6
0
6
x
8
x
2
2
2
2
2
≥
+
+
<
−
−
≤
+
−
>
+
−
Inequações Produto e Quociente
Uma inequação do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos
sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são
determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais.
Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que
satisfazem a inequação.
≤
≥
<
> ou
,
,
Inequações do 1º Grau
Produto
0
)
x
3
2
(
)
4
x
2
( <
−
−
Quociente
0
x
2
5
x
≥
−
−
Inequações do 2º Grau
47
48. Inequações Produto e Quociente
Exemplo 1: Resolva a inequação 0
)
8
x
2
(
)
6
x
3
( <
−
+
−
Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função 0
)
8
x
2
(
)
6
x
3
(
2
1 )
x
(
f
)
x
(
f
<
−
+
−
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
separadamente:
Sinal de 1
)
x
(
f Sinal de 2
)
x
(
f
2
x
0
6
x
3
6
x
3
)
x
(
f 1
=
=
+
−
+
−
=
4
x
0
8
x
2
8
x
2
)
x
(
f 2
=
=
−
−
=
Na reta dos reais:
Exemplo 2: Resolva a inequação 0
x
1
3
x
≥
−
+
Estudando os sinais de
}
{
0
x
1
3
x
2
1
)
x
(
f
)
x
(
f
≥
−
+ tem-se:
Sinal de 1
)
x
(
f Sinal de 2
)
x
(
f
3
x
0
3
x
3
x
)
x
(
f 1
−
=
=
+
+
=
1
x
0
x
1
x
1
)
x
(
f 2
=
=
−
−
=
Na reta dos reais:
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o produto )
8
x
2
(
)
6
x
3
( −
+
− seja
menor que zero, são: }
4
x
ou
2
x
/
IR
x
{
S >
<
∈
=
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o quociente de
x
1
3
x
−
+
seja maior
ou igual à zero, são: }
1
x
3
/
IR
x
{
S <
≤
−
∈
= . O
valor 1 foi excluído da solução, pois torna o
denominador igual à zero:
3
3
1
3
Muito cuidado com inequações do tipo quociente! Nunca cancele
o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação
aparecer ≥ ou ≤ , lembrar que a raiz da função no denominador
não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero!
48
49. Inequações Produto e Quociente
Exemplo 3: Resolva a inequação 0
4
x
3
<
−
Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o
denominador seja negativo 0
)
(
)
(
)
(
<
−
=
−
+
⇒ . Assim, determinam-se os valores de x que tornam o
denominado negativo:
Resolvendo a inequação 0
4
x <
− :
4
x
0
4
x
<
<
−
Exemplo 4: Resolva a inequação 1
2
x
1
x
2
−
≤
+
−
Exemplo 5: Resolva a inequação 0
)
5
x
( 4
≥
+
Para qualquer valor real de x a função 4
)
5
x
(
)
x
(
f +
= é positiva. Isso ocorre porque independente do
valor de )
5
x
( + , essa soma tem expoente par, fazendo com que )
x
(
f seja sempre positiva ou igual a
zero. Assim:
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o
quociente
4
x
3
−
seja menor que zero, são: }
4
x
/
IR
x
{
S <
∈
=
Sinal de 1
)
x
(
f Sinal de 2
)
x
(
f
3
1
x
0
1
x
3
1
x
3
)
x
(
f 1
−
=
=
+
+
=
2
x
0
2
x
2
x
)
x
(
f 2
−
=
=
+
+
=
Na reta dos reais:
{
0
2
x
1
x
3
0
2
x
)
2
x
(
1
x
2
0
1
2
x
1
x
2
1
2
x
1
x
2
2
)
x
(
f
1
)
x
(
f
≤
+
+
≤
+
+
+
−
≤
+
+
−
−
≤
+
−
8
7
6
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo
com que o quociente de
2
x
1
x
2
+
−
seja menor ou igual à
-1, são: { }
3
1
x
2
/
IR
x
S −
≤
<
−
∈
= . O valor -2 foi
excluído da solução, pois torna o denominador nulo.
Os valores de x que satisfazem a inequação 0
)
5
x
( 4
≥
+ , fazendo com
que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: }
IR
{
S =
49
50. Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações
Exemplo 6: Resolva a inequação 0
)
5
x
( 3
<
+
Para que a função 3
)
5
x
(
)
x
(
f +
= seja negativa, é necessário que a valor de )
5
x
( + seja negativo, pois
essa soma tem expoente ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos.
Assim:
5
x
0
5
x
−
<
<
+
Exemplo 7: Resolva a inequação 13
7
x
2
1 ≤
+
<
−
Para se resolver inequações do primeiro grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se
isolar x na desigualdade:
3
x
4
2
6
x
2
8
6
x
2
8
7
13
x
2
7
1
13
7
x
2
1
≤
<
−
≤
<
−
≤
<
−
−
≤
<
−
−
≤
+
<
−
Exemplo 8: Resolva a inequação 5
3
x
1 ≤
+
−
<
Isolando x na desigualdade:
2
x
2
3
5
x
3
1
5
3
x
1
≤
−
<
−
−
≤
−
<
−
≤
+
−
<
Exemplo 9: Resolva o sistema
⎩
⎨
⎧
+
≤
−
+
>
+
5
x
1
x
2
7
x
10
x
2
Cada inequação é resolvida separadamente:
3
x
10
7
x
x
2
7
x
10
x
2
)
x
(
f 1
−
>
−
>
−
+
>
+
=
6
x
1
5
x
x
2
5
x
1
x
2
)
x
(
f 2
≤
+
≤
−
+
≤
−
=
Os valores de x que satisfazem a inequação 0
)
5
x
( 3
≥
+ , fazendo com
que seu resultado seja menor que zero, são: }
5
x
/
IR
x
{
S −
<
∈
= .
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo
com que a substituição de “x” em 7
x
2 + resulte em um valor
pertencente ao intervalo ] ]
13
,
1
− , são: }
3
x
4
/
IR
x
{
S ≤
<
−
∈
= .
O sentido da desigualdade é
invertido quando a inequação
é multiplicada por (-1).
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 5
3
x
1 ≤
+
−
< , fazendo
com que seu resultado pertença ao intervalo ] ]
5
,
1 , são: }
2
x
2
/
IR
x
{
S <
≤
−
∈
= .
Multiplicando por 1)
(− :
2
x
2
ou
2
x
2
<
≤
−
−
≥
>
+
Os valores de x devem satisfazer as
duas inequações do sistema. Para tal,
é feita uma intersecção das soluções
encontradas para cada inequação.
Os valores de x que satisfazem o sistema de
inequações, fazendo com que 7
x
10
x
2 +
>
+ e
5
x
1
x
2 +
≤
− , são: }
6
x
3
/
IR
x
{
S ≤
<
−
∈
= .
50
51. Inequações do Segundo Grau
Definição: Qualquer inequação do tipo 0
c
bx
ax2
>
+
+ , 0
c
bx
ax2
<
+
+ , 0
c
bx
ax2
≥
+
+ ou
0
c
bx
ax2
≤
+
+ , onde a, b e c são constantes com 0
a ≠ , é chamada de inequação do segundo grau.
Exemplos:
0
25
x
10
x
0
10
x
3
x
2
2
≥
+
−
≤
+
+
−
0
1
x
2
x
0
1
x
2
x
2
2
>
+
+
<
−
−
Uma inequação do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função.
Exemplo 1: Resolva a inequação 0
2
x
x2
<
−
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
2
x
e
1
x
2
a
c
Produto
e
1
a
b
Soma
2
c
e
1
b
1,
a
2
1
Exemplo 2: Resolva a inequação 0
10
x
3
x2
≥
+
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
<
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
=
=
−
=
baixo
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
5
x
e
2
x
0
1
a
c
Produto
e
3
a
b
Soma
10
c
e
3
b
1,
a
2
1
Exemplo 3: Resolva a inequação 0
6
x
5
x2
≥
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
3
x
e
2
x
6
a
c
Produto
e
5
a
b
Soma
6
c
e
5
b
1,
a
2
1
A solução de 2
x
x
)
x
(
f 2
−
−
=
deve ser menor que zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
0
2
x
x2
<
−
− , fazendo com que seu resultado seja
menor que zero, são: }
2
x
1
/
IR
x
{
S <
<
−
∈
=
A solução de 10
x
3
x
)
x
(
f 2
+
+
−
=
deve ser menor ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
0
10
x
3
x2
≤
+
+
− , fazendo com que seu resultado seja
menor ou igual à zero, são: }
5
x
2
/
IR
x
{
S ≤
≤
−
∈
=
A solução de 6
x
5
x
)
x
(
f 2
+
−
=
deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
0
6
x
5
x2
≥
+
− , fazendo com que seu resultado seja maior
ou igual à zero, são: }
3
x
ou
2
x
/
IR
x
{
S ≥
≤
∈
=
51
52. Inequações do Segundo Grau
Exemplo 4: Resolva a inequação 0
4
x
4
x2
≤
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
2
x
e
2
x
4
a
c
Produto
e
4
a
b
Soma
4
c
e
4
b
1,
a
2
1
Exemplo 5: Resolva a inequação 0
5
x
2
x2
≥
−
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
<
−
−
=
+
−
=
⇒
±
−
=
±
−
=
−
±
−
=
−
±
−
=
Δ
±
−
=
⇒
−
=
−
=
Δ
−
=
=
−
=
baixo
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
i
2
1
x
e
i
2
1
x
i
2
1
x
2
i
4
2
2
1
16
2
1
.
2
16
2
x
a
2
b
x
16
ac
4
b
5
c
e
2
b
1,
a
2
1
2
Exemplo 6: Resolva a inequação 0
2
x
4
x
3 2
≥
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
−
=
+
=
⇒
±
=
±
=
−
±
=
−
±
−
−
=
Δ
±
−
=
⇒
−
=
−
=
Δ
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
6
i
2
2
x
e
3
i
2
2
x
3
i
2
2
x
6
i
2
2
4
6
1
8
4
3
.
2
8
)
4
(
x
a
2
b
x
8
ac
4
b
2
c
e
4
b
,
3
a
2
1
2
A solução de 4
x
4
x
)
x
(
f 2
+
−
=
deve ser menor ou igual à zero:
Os valor de x que satisfaz a inequação 0
4
x
4
x2
≤
+
− , fazendo
com que seu resultado seja menor ou igual à zero, é: }
2
{
S =
A solução de 5
x
2
x
)
x
(
f 2
−
+
−
=
deve ser maior ou igual à zero:
Não existem valores de x que satisfazem a inequação 0
5
x
2
x2
≥
−
+
− . Isso
ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função
5
x
2
x
)
x
(
f 2
−
+
−
= . Paralelo a isso, a função tem raízes imaginárias e, portanto,
seu gráfico não corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou
}
{
S = =
S ∅.
A solução de 2
x
4
x
3
)
x
(
f 2
+
−
=
deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a
inequação 0
2
x
4
x
3 2
≥
+
− , fazendo
com que seu resultado seja maior ou
igual a zero, são os reais: }
IR
{
S =
Lembrar que:
1
i −
=
52
53. Inequações do Segundo Grau
Exemplo 7: Resolva a inequação 14
x
5
x
0 2
≤
−
<
Primeiramente, resolve-se o sistema:
⎩
⎨
⎧
−
−
=
−
=
⇒
⎩
⎨
⎧
≤
−
−
>
−
⇒
⎩
⎨
⎧
≤
−
>
−
14
x
5
x
)
x
(
f
x
5
x
)
x
(
f
0
14
x
5
x
0
x
5
x
14
x
5
x
0
x
5
x
2
2
2
1
2
2
2
2
Solução de 1
)
x
(
f : x
5
x
)
x
(
f 2
1 −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
5
x
e
0
x
0
a
c
Produto
e
5
a
b
Soma
0
c
e
5
b
1,
a
2
1
Solução de 2
)
x
(
f : 14
x
5
x
)
x
(
f 2
2 −
−
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
7
x
e
2
x
14
Produto
e
5
a
b
Soma
14
c
e
5
b
1,
a
2
1
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
Exemplo 8: Resolva a inequação ( )( ) 0
6
x
7
x
7
x
2
x 2
2
≤
+
−
+
+
Estudam-se os sinais de cada função ( ) ( ) 0
6
x
7
x
7
x
2
x
2
2
1
2
)
x
(
f
)
x
(
f
≤
+
−
+
+ 4
43
4
42
1
4
43
4
42
1
separadamente:
Solução de 1
)
x
(
f : 7
x
2
x
)
x
(
f 2
1 +
+
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
−
=
+
=
⇒
±
=
±
=
×
±
−
=
−
±
−
=
−
±
−
=
Δ
±
−
=
⇒
−
=
−
=
Δ
=
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
i
6
1
x
e
i
6
1
x
i
6
1
x
2
i
6
2
2
2
i
6
4
2
x
2
1
24
2
1
.
2
24
2
x
a
2
b
x
24
ac
4
b
7
c
e
2
b
,
1
a
2
1
2
A solução de x
5
x
)
x
(
f 2
1 −
=
deve ser maior que zero:
A solução de 14
x
5
x
)
x
(
f 2
2 −
−
=
deve ser maior que zero:
Os valores de x que satisfazem a
inequação 14
x
5
x
0 2
≤
−
< , fazendo com
que o resultado da função x
5
x
)
x
(
f 2
−
=
pertença ao intervalo ] ]
14
,
0 , são:
}
7
x
5
ou
0
x
2
/
IR
x
{
S ≤
<
<
≤
−
∈
=
A solução de 7
x
2
x
)
x
(
f 2
1 +
+
=
deve ser menor ou igual à zero:
53
54. Inequações do Segundo Grau
Solução de 2
)
x
(
f : 6
x
7
x
)
x
(
f 2
2 +
−
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
6
x
e
1
x
6
a
c
Produto
e
7
a
b
Soma
6
c
e
7
b
1,
a
2
1
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
Exemplo 9: Resolva a inequação 0
3
x
2
x
x
x
2
2
≥
−
+
−
Estudando os sinais de cada função 0
3
x
2
x
x
x
2
)
x
(
f
1
)
x
(
f
2
2
≥
−
+
−
4
3
4
2
1
8
7
6
separadamente:
Solução de 1
)
x
(
f : 2
1 x
x
)
x
(
f −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
<
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
=
−
=
aixo
b
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
1
x
e
0
x
0
a
c
Produto
e
1
a
b
Soma
0
c
e
1
b
1,
a
2
1
Solução de 2
)
x
(
f : 3
x
2
x
)
x
(
f 2
2 −
−
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
3
x
e
1
x
3
a
c
Produto
e
2
a
b
Soma
3
c
e
2
b
1,
a
2
1
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
A solução de 6
x
7
x
)
x
(
f 2
2 +
−
=
deve ser menor ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
do segundo grau, fazendo com que o produto
( )( ) 0
6
x
7
x
7
x
2
x 2
2
≤
+
−
+
+ seja menor
ou igual à zero, são: }
6
x
1
/
IR
x
{
S ≤
≤
∈
=
A solução de 2
1 x
x
)
x
(
f −
= deve
ser maior ou igual à zero:
A solução de 3
x
2
x
)
x
(
f 2
2 −
+
=
deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o quociente
3
x
2
x
x
x
2
2
−
+
−
seja maior ou igual à zero, são:
}
0
x
1
ou
0
x
1
/
IR
x
{
S <
≤
≤
<
−
∈
= . Os
valores -1 e 3 foram excluídos da solução,
pois tornam o denominador nulo.
54
55. Inequações do Segundo Grau
Exemplo 10: Resolva a inequação 0
45
x
14
x
2
2
>
+
−
−
Como o numerador é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também
seja negativo 0
)
(
)
(
)
(
>
+
=
−
−
⇒ . Assim:
Resolvendo a inequação 0
45
x
14
x2
<
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
9
x
e
5
x
45
a
c
Produto
e
14
a
b
Soma
45
c
e
14
b
1,
a
2
1
Exemplo 11: Resolva o sistema
⎩
⎨
⎧
<
−
<
−
0
x
3
x
0
4
x
2
2
Cada inequação deve ser resolvida separadamente:
4
x
)
x
(
f 2
1 −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
−
=
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
2
x
e
2
x
4
a
c
Produto
e
0
a
b
Soma
4
c
e
0
b
1,
a
2
1
Como 0
b = , outra forma de se determinar as raízes é: 2
x
4
x
0
4
x2
±
=
⇒
=
⇒
=
−
x
3
x
)
x
(
f 2
2 −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
3
x
e
0
x
0
a
c
Produto
e
3
a
b
Soma
0
c
e
3
b
1,
a
2
1
Como 0
c = , outra forma de se determinar as raízes é: 3
x
e
0
x
0
)
3
x
(
x
0
x
3
x 2
1
2
=
=
⇒
=
−
⇒
=
−
A solução de 45
x
14
x
)
x
(
f 2
+
−
=
deve ser menor que zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente
0
45
x
14
x
2
2
>
+
−
−
seja maior que zero, são: }
9
x
5
/
IR
x
{
S ≤
<
∈
= .
A solução de 4
x
)
x
(
f 2
1 −
= deve
ser menor que zero:
A solução de x
3
x
)
x
(
f 2
2 −
=
deve ser menor que zero:
Para determinar os valores de x que satisfazem
as duas inequações é feita uma intersecção.
Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo
com que 0
4
x2
<
− e 0
x
3
x2
<
− , são: }
2
x
0
/
IR
x
{
S <
<
∈
= .
55
56. Inequações Exponenciais
Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais.
Exemplos: 0
6
7
5
79
21
3
3
3
15
1
5
1
3
3
x
x
x
1
x
2
x
x
2
3
1
x
3
>
+
×
−
≥
+
−
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
+
+
+
Exemplo 1: 8
2
2
x
<
−
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.
{
3
)
x
(
f
2
x
3
2
x
2
2
2
2 <
⇒
<
−
−
Como a função
2
x
2
)
x
(
f
−
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.
{ 0
5
x
3
2
x
)
x
(
g
<
−
⇒
<
−
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em )
x
(
g resulte em um valor negativo, assim:
{ 5
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
5
x
g(x) =
⇒
−
=
Solução: }
5
x
/
IR
x
{ <
∈
Se a Inequação Exponencial for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
Testes
Um valor para 5
x < pode ser 3
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
3
que
indicando
,
Verdadeiro
8
2
8
2
8
2
8
2
1
2
3
2
x
⇒
<
<
⇒
<
⇒
<
−
−
Um valor para 5
x > pode ser 6
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
não
6
que
indicando
,
Falso
8
16
8
2
8
2
8
2
4
2
6
2
x
⇒
<
<
⇒
<
⇒
<
−
−
56
57. Inequações Exponenciais
Exemplo 2: 008
,
0
04
,
0 2
1
x
4
<
−
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.
3
)
x
(
f
1
x
4
3
1
x
4
3
2
1
x
4
2
2
1
x
4
2
1
x
4
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
1000
8
100
4
008
,
0
04
,
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
−
−
−
−
−
4
3
4
2
1
Como a função
1
x
4
10
2
)
x
(
f
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
0
4
x
4
3
1
x
4
)
x
(
g
>
−
⇒
>
− 3
2
1
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em )
x
(
g resulte em um valor positivo, assim:
{ 1
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
4
4x
g(x) =
⇒
−
=
Solução: }
1
x
/
IR
x
{ >
∈
Testes
Um valor para 1
x > pode ser 2
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
2
que
indicando
,
Verdadeiro
008
,
0
0000128
,
0
008
,
0
10
2
008
,
0
10
2
008
,
0
04
,
0
7
2
7
2
2
1
2
4
⇒
<
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
−
×
Um valor para 1
x < pode ser 0
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
não
0
que
indicando
,
Falso
008
,
0
5
008
,
0
10
2
008
,
0
10
2
008
,
0
04
,
0
1
2
1
2
2
1
0
4
⇒
<
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
−
−
−
×
57
58. Inequações Exponenciais
Outros exemplos:
Exemplo 3: 1
9 2
x
x
2
≥
−
[ ] 0
x
x
3
3
3
)
3
(
1
9
2
0
x
x
0
2
x
x
2
2
x
x
2
2
2
≥
−
⇒
≥
⇒
≥
⇒
≥
−
−
−
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
−
=
1
x
0
x
raízes
com
grau
º
2
do
Função
x
x
)
x
(
g
2
1
2
Solução: }
1
x
ou
0
x
/
IR
x
{ ≥
≤
∈
Exemplo 4:
x
4
x
x
2
64
2
2
2
−
−
⋅
>
⋅
0
6
x
5
x
x
4
6
x
x
2
2
2
2
2
2
64
2
2
2
2
x
4
6
x
x
x
4
6
x
x
x
4
x
x
2
2
2
>
−
+
−
⇒
−
>
+
−
⇒
>
⇒
⋅
>
⇒
⋅
>
⋅
−
+
−
−
+
−
−
−
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
−
+
−
=
3
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
função
6
x
5
x
)
x
(
g
2
1
2
Solução: }
3
x
2
/
IR
x
{ <
<
∈
Exemplo 5: 90
3
3
x
2
x
≤
+
+
0
2
x
2
x
3
3
3
10
10
3
3
10
)
1
9
(
3
3
10
3
9
3
9
10
3
3
3
90
3
3
2
x
2
x
2
x
2
x
x
x
2
x
x
2
x
≤
−
⇒
≤
⇒
≤
⋅
≤
⋅
⇒
⋅
≤
+
⇒
⋅
≤
+
⋅
⇒
⋅
≤
+
⋅
⇒
≤
+
+
{ 2
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
2
x
g(x) =
⇒
−
=
Solução: }
2
x
/
IR
x
{ ≤
∈
Exemplo 6:
4
x
2
x
4
27
8
2
3
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
2
x
2
x
14
x
7
12
x
3
2
x
4
2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
27
8
2
3
12
x
3
2
x
4
4
x
3
2
x
4
4
x
3
2
x
4
4
x
2
x
4
>
+
⇒
−
>
⇒
−
>
⇒
−
−
>
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
−
+
+
+
+
+
{ 2
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
2
x
g(x) −
=
⇒
+
=
Solução: }
2
x
/
IR
x
{ −
>
∈
58
59. Inequações Logarítmicas
Definição: Qualquer inequação que apresente funções logarítmicas.
Exemplos: 1
)
1
x
(
log
)
1
x
(
log
3
x
log
)
x
3
(
log
)
1
x
(
log
5
log
x
log 3
/
1
3
/
1
5
2
/
1
2
/
1
2
2
−
>
+
+
−
−
≤
−
≥
+
<
Exemplo 1: 5
log
x
log 2
2
<
Como a função x
log
)
x
(
f 2
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.
de
desigualda
da
sinal
o
manter
crescente
Função
1
a
2
a ⇒
⇒
>
⇒
=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “x” deve ser menor que 5 ( 5
x < ). Por outro lado, o
logaritmando “b” deve ser positivo ( b
loga
) para que a função )
x
(
f exista (condição de existência)
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
>
=
⇒
<
−
⇒
<
⇒
<
0
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
x
e
5
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
5
x
5
x
5
log
x
log 2
2
Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo ( 0
x
e
0
5
x >
<
− ), um sistema de
inequações deve ser resolvido. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em
)
x
(
f resulte em um valor menor que 5
log2
. Assim:
{
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
−
0
x
0
5
x
)
x
(
h
)
x
(
g
Solução: }
5
x
0
/
IR
x
{ <
<
∈
Se a Inequação Logarítmica for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
(a > 1)
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
(0 < a < 1)
59
60. Inequações Logarítmicas
Exemplo 2: 3
log
)
1
x
(
log 2
/
1
2
/
1
≥
+
Como a função )
1
x
(
log
)
x
(
f 2
+
= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
de
desigualda
da
sinal
o
nverter
i
crescente
de
Função
1
a
0
2
/
1
a ⇒
⇒
<
<
⇒
=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “ )
1
x
( + ” deve ser menor ou igual a 3 ( 5
1
x <
+ ) e o
logaritmando “b” deve ser positivo para que a função )
x
(
f exista. Assim:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
>
+
=
⇒
≤
−
⇒
≤
+
⇒
≥
+
1
-
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
2
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
2
x
3
1
x
3
log
1)
(x
log 1/2
1/2
Um sistema de inequações deve ser resolvido, pois duas condições devem ser satisfeitas
simultaneamente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em )
x
(
f resulte
em um valor maior ou igual a 3
log 2
/
1
.
{
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
≤
−
0
1
x
0
2
x
)
x
(
h
)
x
(
g
Solução: }
2
x
1
/
IR
x
{ ≤
<
−
∈
Testes
Um valor para 5
x
0 <
< pode ser 1
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
1
que
indicando
,
Verdadeiro
322
,
2
0
322
,
2
2
log
0
2
log
5
log
2
log
5
log
1
log
5
log
x
log
1
0
2
2
2
2
2
2
⇒
<
<
×
⇒
<
⇒
<
⇒
<
3
2
1
Um valor para 5
x > pode ser 16
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
não
16
que
indicando
,
Falso
322
,
2
4
322
,
2
2
log
4
2
log
5
log
2
log
5
log
16
log
5
log
x
log
1
4
2
2
2
2
2
2
⇒
<
<
×
⇒
<
⇒
<
⇒
<
3
2
1
60
61. Inequações Logarítmicas
Outros exemplos:
Exemplo 3: )
x
3
(
log
)
1
x
(
log 3
/
1
3
/
1
−
>
+
de
desigualda
da
sinal
o
nverter
i
1
a
0
2
/
1
a ⇒
<
<
⇒
=
Para satisfazer a inequação o valor de )
1
x
( + deve ser menor que o valor de ( x
3 − ). Porém, para que as
funções logarítmicas existam, é necessário que e o logaritmando “b” de ambas seja positivo. Se
)
x
3
1
x
( −
<
+ , fazendo )
0
1
x
( >
+ garante um valor positivo para “b” nos lados da desigualdade.
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
>
+
=
⇒
<
−
⇒
−
<
+
⇒
−
>
+
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
2
x
2
x
3
1
x
)
x
3
(
log
)
1
x
(
log 3
/
1
3
/
1
Resolvendo o sistema:
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−
<
−
0
x
3
0
2
x
2
)
x
(
h
)
x
(
g
3
2
1
Solução: }
1
x
1
/
IR
x
{ <
<
−
∈
Testes
Um valor para 2
x
1 ≤
<
− pode ser 0
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
0
que
indicando
,
Verdadeiro
585
,
1
0
585
,
1
1
log
)
2
/
1
(
log
3
log
1
log
3
log
)
1
0
(
log
3
log
)
1
x
(
log
0
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
⇒
−
≥
−
≥
⇒
≥
⇒
≥
+
⇒
≥
+
3
2
1
Um valor para 2
x > pode ser 3
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
não
3
que
indicando
,
Falso
585
,
1
2
585
,
1
)
2
/
1
(
log
)
2
(
585
,
1
)
2
/
1
(
log
585
,
1
2
log
)
2
/
1
(
log
3
log
4
log
3
log
)
1
3
(
log
3
log
)
1
x
(
log
1
2
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
⇒
−
≥
−
−
≥
×
−
⇒
−
≥
−
≥
⇒
≥
⇒
≥
+
⇒
≥
+
−
4
3
4
2
1
61
62. Inequações Logarítmicas
Exemplo 4: 2
x
log3
−
≤
de
desigualda
da
sinal
o
manter
1
a
3
a ⇒
>
⇒
=
Rearranjando
9
1
log
x
log
3
1
log
x
log
3
log
x
log
3
log
)
2
(
x
log
2
x
log 3
3
3
3
3
3
3
3
3 2
2
1
≤
⇒
≤
⇒
≤
⇒
×
−
≤
⇒
−
≤
−
3
2
1
O sistema de inequações resultante é:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
>
=
⇒
≤
−
⇒
≤
⇒
≤
0
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
x
e
1/9
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
9
/
1
x
9
/
1
x
9
1
log
x
log 3
3
Resolvendo o sistema:
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
−
0
x
0
9
/
1
x
)
x
(
h
)
x
(
g
3
2
1
Solução: }
9
/
1
x
0
/
IR
x
{ ≤
<
∈
Exemplo 5: 1
)
1
x
(
log
)
1
x
(
log 3
/
1
3
/
1
−
>
+
+
−
de
desigualda
da
sinal
o
nverter
i
1
a
0
2
/
1
a ⇒
<
<
⇒
=
Rearranjando
3
log
)
1
x
(
)
1
x
(
log
)
3
/
1
(
log
)
1
x
(
)
1
x
(
log
)
3
/
1
(
log
)
1
(
)
1
x
(
)
1
x
(
log
1
)
1
x
(
log
)
1
x
(
log
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
1
1
>
+
−
⇒
>
+
−
×
−
>
+
−
⇒
−
>
+
+
−
−
4
3
4
2
1
O sistema de inequações resultante é:
{
{
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
>
+
=
⇒
>
−
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
<
−
⇒
<
+
−
⇒
>
+
−
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
2
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
Função
0
4
x
3
)
1
x
(
)
1
x
(
3
log
)
1
x
(
)
1
x
(
log
2
1
2
3
/
1
3
/
1
62
63. Inequações Logarítmicas
Resolvendo o sistema:
{
{
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
>
−
<
−
0
1
x
0
1
x
0
4
x
)
x
(
i
)
x
(
h
)
x
(
g
2
3
2
1
Solução: }
2
x
1
/
IR
x
{ <
<
∈
Inequações Modulares
Definição: São inequações que envolvem funções modulares.
Exemplos: 3
|
x
| ≤ 2
|
1
x
| <
+ 3
|
1
x
|
2
≥
− 4
|
x
| >
Exemplo 1: 3
|
x
| ≤
Os valores de x que satisfaz a inequação são:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
−
⇒
≤
−
≤
⇒
≤
0
3
x
3
x
ou
3
x
3
|
x
|
Solução: }
3
x
3
/
IR
x
{ ≤
≤
−
∈
Exemplo 2: 4
|
x
| >
Os valores de x que satisfaz a inequação são:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
<
⇒
>
−
>
⇒
>
4
x
4
x
ou
4
x
4
|
x
|
Solução: }
4
x
ou
4
x
/
IR
x
{ >
−
<
∈
63
64. Inequações Modulares
Para 0
a >
Outros exemplos:
Exemplo 3: 3
|
1
x
|
2
≥
−
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
−
≥
⇒
≥
−
⇒
≥
+
−
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
≥
−
⇒
≥
⇒
≥
−
⇒
≥
−
real
solução
tem
Não
2
x
2
x
3
1
x
2
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
Função
0
4
x
4
x
3
1
x
3
|
1
x
|
2
2
2
1
2
2
2
2
Solução: }
2
x
ou
2
x
/
IR
x
{ ≥
−
≤
∈
Exemplo 4: 5
2
3
x
≤
−
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
≥
⇒
≤
+
−
⇒
≤
+
−
≤
⇒
≤
−
⇒
≤
−
⇒
≤
−
7
x
10
3
x
5
2
3
x
13
x
10
3
x
5
2
3
x
5
2
3
x
Solução: }
13
x
7
/
IR
x
{ ≤
≤
−
∈
Se a Inequação Modular for:
| f(x) | < a ⇒ - a < f(x) <a
| f(x) | > a ⇒ f(x) < - a ou f(x) > a
Lembrar que:
Só é possível multiplicar em cruz se no
denominado não houver a variável “x”.
64