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  1. 1. D E T E R MDeterminante I N A N T E
  2. 2. O que você sabe sobre determinante?
  3. 3. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber: Matrizes Equação do 1º Equação do 2º grau
  4. 4. Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos de uma matrizentre duas barras verticais.Exemplos: 1 2  12 A = 4 0  ⇒Det A = 4 0     1 4 0 140   B =  2 0 1  ⇒ Det B = 2 0 1 5 5 3  553  
  5. 5. Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada?  Se for uma matriz de ordem 1,então o determinante é o próprioelemento da matriz.Exemplo: A = ( − 4 ) ⇒ det A = − 4 = −4
  6. 6.  Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz secundária.Exemplo: 2 3  2 3 A = 1 0 ⇒  det A =   10 2.0 − 3.1 = −3
  7. 7. Tente fazer sozinho!  x − 1  x y(UF-PI) Sejam A =  y 2 e B =  1 1        Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éigual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
  8. 8. Solução x −1 x ydet A = =4 det B = =2 y 2 112 x − (− y ) = 4 ⇒ 2 x + y = 4 x− y =22 x + y = 4 2 x + y = 4 3x = 6 x-y=2 ⇒ ⇒ 2-y=2x − y = 2 x − y = 2 x=2 y=0Logo, x + y = 2 + 0 = 2Resposta: letra A.
  9. 9.  Se for uma matriz de ordem 3,então o determinante é calculadoatravés da Regra de Sarrus.
  10. 10. Exemplo:det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12det A = 0
  11. 11. Tente fazer sozinho!(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que 1 2 x x 0 − 1 = −8 é(são): x −2 −3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
  12. 12. Solução 1 2 x 1 2 1 2 x x 0 − 1 x 0 = −8 x 0 − 1 = −8 x − 2 − 3 x -2 x −2 −3 0 -2 6x 0 -2x -2x2-2 + 6x -2x -2x2 =-8-2x2 + 4x -10 = 0As raízes são -1 e 3.Resposta: letra E.
  13. 13. Propriedades dos determinantes1ª) Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna) de uma matriz quadradaforem iguais a zero, o determinante dessamatriz também será zero. 1 0 4 1   Exemplo: 2 0 3 0  A = ⇒ det A =0 3 0 7 2   9 0 0 5   
  14. 14. 2ª) Se os elementos correspondentes deduas filas (duas linhas ou duas colunas) deuma matriz forem iguais, o determinantedessa matriz será zero.Exemplo: 1 0 4 1    2 7 3 0  A = ⇒det A =0 2 5 3 0   9 1 0 5   
  15. 15. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)de uma matriz forem proporcionais, odeterminante dessa matriz será zero.Exemplo: 1 0 4 2    2 7 3 4  A = ⇒det A =0 2 7 3 4   3 1 0 6   
  16. 16. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas) de posição, o determinante da nova matriz será o oposto da matriz anterior.Exemplo:  1 2 5    0 1 3    A= 0 1 3  e B= 1 2 5  −1 0 − 2   −1 0 − 2      det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
  17. 17. 5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) forem multiplicados por um mesmo número, então o determinante também fica multiplicado por esse número.Exemplo:  1 2 5  3 6 15      A= 0 1 3  e B= 1 2 5  −1 0 − 2  −1 0 −2      det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39
  18. 18. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, então o determinante fica multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz.Exemplo:  1 2 5  1 2 5  2 4 10       A= 0 1 3  e B = 2 0 1 3  =  0 2 6  −1 0 − 2  −1 0 − 2  − 2 0 −4        det A = 13, então det B = 13. 23 = 104
  19. 19. 7ª) O determinante de uma matriz quadradaé igual ao determinante da sua transposta.Exemplo:  1 2 5   A= 0 1 3   −1 0 − 2   det A = 13, então det At = 13
  20. 20. 8ª) O determinante de uma matriz triangularé igual ao produto dos elementos dadiagonal principal.Exemplo: 1 2 5    A = 0 1 3  0 0 − 2   det A = 1.1.(-2) = -2
  21. 21. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det(AB) = (det A) (det B).Exemplo: A =  3 2   0 2  5 − 1  e B=  3 4       6 14  AB =   − 3 6  ⇒ det( AB ) = 36 + 42 = 78    det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78
  22. 22. Tente fazer sozinho! (UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 taisque det A = 3 e det B = 4. Então, det (A . 2B) é igual a:a) 32b) 48c) 64d) 80e) 96
  23. 23. Soluçãodet A = 3 e det B = 4Pelo Teorema de Binet temos que:det(A . 2B) = det A . det 2BE pela 6ª propriedade temos que:det 2B = 4 . 23 = 32Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.
  24. 24. 10ª) Seja A uma matriz quadrada invertívele A-1 sua inversa. Então, det A−1 = 1 det AExemplo:  0 1   1 − 1 −1  2 A= 2 0   e A =    −1 1    2 −1 1 det A = 0 + 2 = 2, então det A = 2
  25. 25. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2. O valor de det (2 . A-1) é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
  26. 26. Soluçãodet A = 2Pela 10ª propriedade temos que: −1 1 −1 1det A = ⇒ det A = det A 2Pela 6ª propriedade temos que:det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4Logo, det (2 . A-1) = 4  letra D.
  27. 27. Teorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, odeterminante da matriz A será o número real quese obtém somando-se os produtos dos elementosde uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seusrespectivos cofatores. Esse teorema nos permite calcular o determinantede matrizes de ordem maior que 3. Porém, antes vamos aprender os conceitosde Cofator.
  28. 28. O que é Cofator de uma matriz? É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índicede um elemento) pelo determinante damatriz obtida quando eliminamos a linha ea coluna desse elemento.Exemplo: Considerando a matriz 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3  
  29. 29. Vamos calcular os cofator c11. 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3   − 2 −1C11 = (-1) 1+1 . 4 −3C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10
  30. 30. Vamos calcular os cofator c23. 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3   2 5C23 = (-1) 2+3 . 6 4C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22
  31. 31. Teorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,o determinante da matriz A será o número realque se obtém somando-se os produtos doselementos de uma fila (linha ou coluna)qualquer pelos seus respectivos cofatores. Exemplo: Considerando3amatriz 2 5   A =  0 − 2 −1  6 4 − 3  
  32. 32. Vamos calcular o determinante usando da segunda linha. 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3   5 3C21 = (-1) 2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27 4 −3 2 3C22 = (-1)2+2 . 6 − 3 = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24 2 5C23 = (-1)2+3 . 6 4 = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22
  33. 33. Então, o cálculo do determinante da matriz 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3  Pelo Teorema de La Place é:det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)det A = 0 + 48 - 22det A = 26.
  34. 34. O que você aprendeu: Como representar e calcular um determinante. Regra de Sarrus. As propriedades dos determinantes. Teorema de La Place.
  35. 35. Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 146 a 174. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 303 a 313. Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 295 a 308. http://www.somatematica.com.br/emedio/det erminantes/

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