D E  T   E    R     MDeterminante      I       N         A          N          T           E
O que você sabe     sobre determinante?
Para aproveitar 100%               dessa aula você precisa                       saber:   Matrizes   Equação do 1º   Eq...
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 Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o p...
Tente fazer sozinho!                    x − 1       x y(UF-PI) Sejam A =  y 2 e B =  1 1                         ...
Solução          x −1                             x ydet A =           =4             det B =         =2          y   2   ...
 Se for uma matriz de ordem 3,então o determinante é calculadoatravés da Regra de Sarrus.
Exemplo:det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12det A = 0
Tente fazer sozinho!(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que        1 2 x        x 0 − 1 = −8 é(são):        x −2 −3a) -1 b...
Solução                 1 2 x 1 2  1 2 x                 x 0 − 1 x 0 = −8  x 0 − 1 = −8                 x − 2 − 3 x -2  x ...
Propriedades dos                determinantes1ª) Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna) de uma matriz quadrada...
2ª) Se os elementos correspondentes deduas filas (duas linhas ou duas colunas) deuma matriz forem iguais, o determinantede...
3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)de uma matriz forem proporcionais, odeterminante dessa matriz será zero.Exe...
4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas)   de posição, o determinante da nova matriz será o   oposto da ma...
5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)   forem multiplicados por um mesmo número, então o  determinante t...
6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um   número real, então o determinante fica multiplicado por   esse número...
7ª) O determinante de uma matriz quadradaé igual ao determinante da sua transposta.Exemplo:               1 2 5         ...
8ª) O determinante de uma matriz triangularé igual ao produto dos elementos dadiagonal principal.Exemplo:                 ...
9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas   matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz   produto, então det...
Tente fazer sozinho!  (UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 taisque det A = 3 e det B = 4.  Então, det (A . 2B) é igual a:a) 3...
Soluçãodet A = 3 e det B = 4Pelo Teorema de Binet temos que:det(A . 2B) = det A . det 2BE pela 6ª propriedade temos que:de...
10ª) Seja A uma matriz               quadrada invertívele A-1 sua inversa. Então, det A−1 =     1                         ...
Tente fazer sozinho!  (Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de  ordem 3, possui determinante igual a 2.  O valor de det (2 . A...
Soluçãodet A = 2Pela 10ª propriedade temos que:     −1    1          −1 1det A =        ⇒ det A =         det A           ...
Teorema de La Place  Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, odeterminante da matriz A será o número real quese obtém som...
O que é Cofator de uma                    matriz?  É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índicede um elemento) pelo determ...
Vamos calcular os cofator c11.                  2 5 3                                          A =  0 − 2 −1        ...
Vamos calcular os cofator c23.                           2 5 3                                                        ...
Teorema de La Place  Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,o determinante da matriz A será o número  realque se obtém so...
Vamos calcular o determinante                       usando da segunda linha.                           2 5 3            ...
Então, o cálculo do              determinante da matriz                  2 5 3                                        ...
O que você aprendeu:   Como representar e calcular um    determinante.   Regra de Sarrus.   As propriedades dos determi...
Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto  e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática  – SP. Páginas: 14...
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  1. 1. D E T E R MDeterminante I N A N T E
  2. 2. O que você sabe sobre determinante?
  3. 3. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber: Matrizes Equação do 1º Equação do 2º grau
  4. 4. Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos de uma matrizentre duas barras verticais.Exemplos: 1 2  12 A = 4 0  ⇒Det A = 4 0     1 4 0 140   B =  2 0 1  ⇒ Det B = 2 0 1 5 5 3  553  
  5. 5. Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada?  Se for uma matriz de ordem 1,então o determinante é o próprioelemento da matriz.Exemplo: A = ( − 4 ) ⇒ det A = − 4 = −4
  6. 6.  Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz secundária.Exemplo: 2 3  2 3 A = 1 0 ⇒  det A =   10 2.0 − 3.1 = −3
  7. 7. Tente fazer sozinho!  x − 1  x y(UF-PI) Sejam A =  y 2 e B =  1 1        Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éigual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
  8. 8. Solução x −1 x ydet A = =4 det B = =2 y 2 112 x − (− y ) = 4 ⇒ 2 x + y = 4 x− y =22 x + y = 4 2 x + y = 4 3x = 6 x-y=2 ⇒ ⇒ 2-y=2x − y = 2 x − y = 2 x=2 y=0Logo, x + y = 2 + 0 = 2Resposta: letra A.
  9. 9.  Se for uma matriz de ordem 3,então o determinante é calculadoatravés da Regra de Sarrus.
  10. 10. Exemplo:det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12det A = 0
  11. 11. Tente fazer sozinho!(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que 1 2 x x 0 − 1 = −8 é(são): x −2 −3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
  12. 12. Solução 1 2 x 1 2 1 2 x x 0 − 1 x 0 = −8 x 0 − 1 = −8 x − 2 − 3 x -2 x −2 −3 0 -2 6x 0 -2x -2x2-2 + 6x -2x -2x2 =-8-2x2 + 4x -10 = 0As raízes são -1 e 3.Resposta: letra E.
  13. 13. Propriedades dos determinantes1ª) Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna) de uma matriz quadradaforem iguais a zero, o determinante dessamatriz também será zero. 1 0 4 1   Exemplo: 2 0 3 0  A = ⇒ det A =0 3 0 7 2   9 0 0 5   
  14. 14. 2ª) Se os elementos correspondentes deduas filas (duas linhas ou duas colunas) deuma matriz forem iguais, o determinantedessa matriz será zero.Exemplo: 1 0 4 1    2 7 3 0  A = ⇒det A =0 2 5 3 0   9 1 0 5   
  15. 15. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)de uma matriz forem proporcionais, odeterminante dessa matriz será zero.Exemplo: 1 0 4 2    2 7 3 4  A = ⇒det A =0 2 7 3 4   3 1 0 6   
  16. 16. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas) de posição, o determinante da nova matriz será o oposto da matriz anterior.Exemplo:  1 2 5    0 1 3    A= 0 1 3  e B= 1 2 5  −1 0 − 2   −1 0 − 2      det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
  17. 17. 5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) forem multiplicados por um mesmo número, então o determinante também fica multiplicado por esse número.Exemplo:  1 2 5  3 6 15      A= 0 1 3  e B= 1 2 5  −1 0 − 2  −1 0 −2      det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39
  18. 18. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, então o determinante fica multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz.Exemplo:  1 2 5  1 2 5  2 4 10       A= 0 1 3  e B = 2 0 1 3  =  0 2 6  −1 0 − 2  −1 0 − 2  − 2 0 −4        det A = 13, então det B = 13. 23 = 104
  19. 19. 7ª) O determinante de uma matriz quadradaé igual ao determinante da sua transposta.Exemplo:  1 2 5   A= 0 1 3   −1 0 − 2   det A = 13, então det At = 13
  20. 20. 8ª) O determinante de uma matriz triangularé igual ao produto dos elementos dadiagonal principal.Exemplo: 1 2 5    A = 0 1 3  0 0 − 2   det A = 1.1.(-2) = -2
  21. 21. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det(AB) = (det A) (det B).Exemplo: A =  3 2   0 2  5 − 1  e B=  3 4       6 14  AB =   − 3 6  ⇒ det( AB ) = 36 + 42 = 78    det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78
  22. 22. Tente fazer sozinho! (UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 taisque det A = 3 e det B = 4. Então, det (A . 2B) é igual a:a) 32b) 48c) 64d) 80e) 96
  23. 23. Soluçãodet A = 3 e det B = 4Pelo Teorema de Binet temos que:det(A . 2B) = det A . det 2BE pela 6ª propriedade temos que:det 2B = 4 . 23 = 32Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.
  24. 24. 10ª) Seja A uma matriz quadrada invertívele A-1 sua inversa. Então, det A−1 = 1 det AExemplo:  0 1   1 − 1 −1  2 A= 2 0   e A =    −1 1    2 −1 1 det A = 0 + 2 = 2, então det A = 2
  25. 25. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2. O valor de det (2 . A-1) é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
  26. 26. Soluçãodet A = 2Pela 10ª propriedade temos que: −1 1 −1 1det A = ⇒ det A = det A 2Pela 6ª propriedade temos que:det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4Logo, det (2 . A-1) = 4  letra D.
  27. 27. Teorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, odeterminante da matriz A será o número real quese obtém somando-se os produtos dos elementosde uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seusrespectivos cofatores. Esse teorema nos permite calcular o determinantede matrizes de ordem maior que 3. Porém, antes vamos aprender os conceitosde Cofator.
  28. 28. O que é Cofator de uma matriz? É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índicede um elemento) pelo determinante damatriz obtida quando eliminamos a linha ea coluna desse elemento.Exemplo: Considerando a matriz 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3  
  29. 29. Vamos calcular os cofator c11. 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3   − 2 −1C11 = (-1) 1+1 . 4 −3C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10
  30. 30. Vamos calcular os cofator c23. 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3   2 5C23 = (-1) 2+3 . 6 4C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22
  31. 31. Teorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,o determinante da matriz A será o número realque se obtém somando-se os produtos doselementos de uma fila (linha ou coluna)qualquer pelos seus respectivos cofatores. Exemplo: Considerando3amatriz 2 5   A =  0 − 2 −1  6 4 − 3  
  32. 32. Vamos calcular o determinante usando da segunda linha. 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3   5 3C21 = (-1) 2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27 4 −3 2 3C22 = (-1)2+2 . 6 − 3 = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24 2 5C23 = (-1)2+3 . 6 4 = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22
  33. 33. Então, o cálculo do determinante da matriz 2 5 3    A =  0 − 2 −1  6 4 − 3  Pelo Teorema de La Place é:det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)det A = 0 + 48 - 22det A = 26.
  34. 34. O que você aprendeu: Como representar e calcular um determinante. Regra de Sarrus. As propriedades dos determinantes. Teorema de La Place.
  35. 35. Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 146 a 174. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 303 a 313. Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 295 a 308. http://www.somatematica.com.br/emedio/det erminantes/

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