Equações algébricas 2011

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Equações algébricas 2011

  1. 1. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
  2. 2. Prof.: Rodrigo Carvalho DEFINIÇÃO Chamamos de equações algébricas de grau n N na variável x C, toda equação que pode ser reduzida à forma: ∈ Ax + B x + ... + Cx + D = 0 n n-1 Exemplos: a) 3x – 1 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau. b) x – 3x + 4 = 0 é uma equação algébrica do 3º grau. 3 *OBS.: Toda equação polinomial de grau n, com n natural, possui n raízes complexas. ∈
  3. 3. Prof.: Rodrigo Carvalho TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Todo polinômio P(x) = Ax + B. x + ... + C. x + D n n-1 P(x) = A . (x – x1).(x – x2).(x – x3)...(x – xn), pode ser fatorado de maneira única como sendo x1, x2, x3, ..., xn, as raízes de P(x) = 0. Exemplo: Fatorar o polinômio P(x) =2x – 14x + 20. 2
  4. 4. Prof.: Rodrigo Carvalho MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Chamamos de multiplicidade de uma raiz a quantidade de vezes que um número é solução de uma equação. Exemplos: a) 3 é raiz com multiplicidade dois da equação x – 6x + 9 = 0. 2 b) -2 é raiz com multiplicidade um da equação 4x + 8 = 0. c) 0 é raiz com multiplicidade três da equação x - 7x = 0. 4 *Obs.: Podemos afirmar que as raízes dos itens anteriores são dupla, simples e tripla, respectivamente. 3
  5. 5. Prof.: Rodrigo Carvalho RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA I) Quando a soma dos coeficientes de uma equação é zero, então 1 é raiz dessa equação. II) Quando o termo independente de uma equação é zero, então essa equação tem raiz nula com multiplicidade igual ao seu menor expoente. x – 2x + 5x - 4 = 03 2 x – 7x + 12x = 04 3 2
  6. 6. Prof.: Rodrigo Carvalho IV) Caso uma equação com coeficientes inteiros possua raiz inteira, então essa raiz é um dos divisores da razão entre o termo independente e o coeficiente de maior grau. x – 6x – 11x + 10 = 03 2 III) Caso seja possível, podemos recorrer à fatoração por agrupamento. x – 4x + 3x - 12 = 03 2
  7. 7. Prof.: Rodrigo Carvalho TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se um número complexo(não real) é raiz de uma equação cujos coeficientes são reais, então seu conjugado também é raiz dessa equação. Exemplo: Determine as raízes da equação 5x – 10x + 50x = 0. 3 2 *OBS: Esse teorema também é válido para raízes irracionais.
  8. 8. Prof.: Rodrigo Carvalho RELAÇÕES DE GIRARD São relações estabelecidas entre as raízes de uma equação algébrica e seus coeficientes. EQUAÇÕES DE GRAU 2 0CBxAx2 =++ A B xx 21 −=+ A C x.x 21 = EQUAÇÕES DE GRAU 3 0DCxBxAx 23 =+++ A B xxx 321 −=++ A D x.x.x 321 −= A C xxxxxx 323121 =++
  9. 9. Prof.: Rodrigo Carvalho EQUAÇÕES DE GRAU 4 0EDxCxBxAx 234 =++++ A B xxxx 4321 −=+++ A E x.x.x.x 4321 = A C xxxxxxxxxxxx 434232413121 =+++++ A D xxxxxxxxx 432431421321 −=+++ xxx
  10. 10. Prof.: Rodrigo Carvalho Considere a equação , com k real. Se o número complexo 2 – i é uma das raízes dessa equação, então o valor de k é: A) irracional. B) natural. C) ímpar. D) cubo perfeito. E) racional não inteiro. 015kxxx 23 =++−
  11. 11. Prof.: Rodrigo Carvalho Se a equação x − 3x − 4x + 12 = 0 tem duas raízes simétricas, a outra raiz é um número: 3 2 a) negativo; b) irracional; c) maior que 12; d) entre 2 e 4; e) entre 0 e 1.
  12. 12. Prof.: Rodrigo Carvalho A soma dos inversos das raízes da equação 2x − 5x −3x + 2 = 0 é igual a: 3 2 2 5 e) 2 3 d) 2 1 c) 2 3 b) 2 5 a) −−−
  13. 13. Prof.: Rodrigo Carvalho

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