Equações algébricas

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Equações algébricas

  1. 1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Prof.: RRooddrriiggoo CCaarrvvaallhhoo
  2. 2. Î Prof.: Rodrigo Carvalho DEFINIÇÃO Chamamos de equações algébricas de grau n N na variável x Î C, toda equação que pode ser reduzida à forma: Ax + B x + ... + Cx + D = 0 n n-1 Exemplos: a) 3x – 1 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau. b) x – 3x + 4 = 0 é uma equação 3 algébrica do 3º grau. *OBS.: Toda equação polinomial de grau n, com n natural, possui n raízes complexas.
  3. 3. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Todo polinômio P(x) = Ax + B. x + ... + C. x + D n n-1 pode ser fatorado de maneira única como P(x) = A . (x – x1).(x – x2).(x – x3)...(x – xn), sendo x1, x2, x3, ..., xn, as raízes de P(x) = 0. Exemplo: Fatorar o polinômio P(x) =2x 2– 14x + 20. Prof.: Rodrigo Carvalho
  4. 4. MULTIPLICIDADE DE 3 Prof.: Rodrigo Carvalho UMA RAIZ Chamamos de multiplicidade de uma raiz a quantidade de vezes que um número é solução de uma equação. Exemplos: a) 3 é raiz com multiplicidade dois da equação x – 6x + 9 = 0. 2 b) -2 é raiz com multiplicidade um da equação 4x + 8 = 0. c) 0 é raiz com multiplicidade três da equação x - 7x = 0. 4 *Obs.: Podemos afirmar que as raízes dos itens anteriores são dupla, simples e tripla, respectivamente.
  5. 5. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA I) Quando a soma dos coeficientes de uma equação é zero, então 1 é raiz dessa equação. Obs: Para cada raiz da equação podemos utlizar briot- ruffini para reduzir o grau da equação em um grau. II) Quando o termo independente de uma equação é zero, então essa equação tem raiz nula com multiplicidade igual ao seu menor expoente. Prof.: Rodrigo Carvalho x – 2x + 5x - 3 2 4 = 0 x – 7x + 12x = 0 4 3 2
  6. 6. III) Caso seja possível, podemos recorrer à IV) Caso uma equação com coeficientes inteiros possua raiz inteira, então essa raiz é um dos divisores da razão entre o termo independente e o coeficiente de maior grau. x 3– 6x 2 – 11x + 10 = 0 Prof.: Rodrigo Carvalho fatoração por agrupamento. x 3– 4x 2 + 3x - 12 = 0
  7. 7. TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se um número complexo(não real) é raiz de uma equação cujos coeficientes são reais, então seu conjugado também é raiz dessa equação. Exemplo: Determine as raízes da equação 5x3 – 10x 2+ 50x = 0. *OBS: Esse teorema também é válido para raízes irracionais caso os coeficientes sejam racionais. Prof.: Rodrigo Carvalho
  8. 8. RELAÇÕES DE GIRARD São relações estabelecidas entre as raízes de uma equação algébrica e seus coeficientes. EQUAÇÕES DE GRAU 2 Ax2 + Bx + C = 0 x x x B 1 2 3 + + = - x x x x x x C 1 2 1 3 2 3 + + = x . x . x D 1 2 3 = - Prof.: Rodrigo Carvalho x x B 1 2 + = - A x . x C 1 2 = A EQUAÇÕES DE GRAU 3 Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 A A A
  9. 9. x x x x x x x x x x x x C 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 + + + + + = x x x x x x x x x D 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 x + x + + x = - Prof.: Rodrigo Carvalho EQUAÇÕES DE GRAU 4 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0 x x x x B 1 2 3 4 + + + = - A x . x . x . x E 1 2 3 4 = A A A
  10. 10. x3 - x2 + kx +15 = 0 Considere a equação , com k real. Se o número complexo 2 – i é uma das raízes dessa equação, então o valor de k é: Prof.: Rodrigo Carvalho A) irracional. B) natural. C) ímpar. D) cubo perfeito. E) racional não inteiro.
  11. 11. Se a equação x − 3x − 4x + 12 = 0 tem duas raízes simétricas, a outra raiz é um número: Prof.: Rodrigo Carvalho 3 2 a) negativo; b) irracional; c) maior que 12; d) entre 2 e 4; e) entre 0 e 1.
  12. 12. A soma dos inversos das raízes da equação e) 5 d) 3 Prof.: Rodrigo Carvalho 2x 3− 5x 2−3x + 2 = 0 é igual a: 2 2 a) - 5 - - c) 1 2 b) 3 2 2

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