Espacial posição

2.209 visualizações

Publicada em

0 comentários
14 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.209
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
663
Comentários
0
Gostaram
14
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Espacial posição

  1. 1. Prof.: Rodrigo Carvalho GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
  2. 2. O ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos, isto é, não definimos esses elementos da geometria. Sabemos intuitivamente o que são e como são. Notação usual → Pontos: letras latinas maiúsculas (A, B, C,...). → Retas: letras latinas minúsculas (r, s, t,...). → Planos: letras gregas minúsculas (α, β, γ,...). Exemplo α r A Prof.: Rodrigo Carvalho
  3. 3. Prof.: Rodrigo Carvalho São propriedades aceitas sem demonstração, e que servem de base para o desenvolvimento da teoria. Axioma Fundamental Existem infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos. Postulados sobre pontos e retas P1) A reta é infinita. r
  4. 4. Prof.: Rodrigo Carvalho P2) Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. P r P3) Por um ponto passam infinitas retas. P r s t V T S R Q U
  5. 5. Prof.: Rodrigo Carvalho P5) Um ponto qualquer de uma reta a divide em duas semi-retas. A r P4) Dois pontos distintos determinam uma única reta. r A B
  6. 6. Prof.: Rodrigo Carvalho Postulados sobre plano e espaço P5) Três pontos não colineares determinam um único plano. αA BC P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado. Atenção PONTOS COLINEARES → pertencem a uma mesma reta.
  7. 7. Prof.: Rodrigo Carvalho P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. P8) Toda reta contida em um plano o divide em duas regiões chamadas semi-planos. A reta é a origem dos semi-planos, que são chamados opostos. α r α1 α2 r r
  8. 8. Prof.: Rodrigo Carvalho P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas de semi-espaços. α E1 E2
  9. 9. Prof.: Rodrigo Carvalho No espaço, duas retas podem ser coplanares ou não-coplanares. α RETAS COPLANARES: retas que estão contidas em um mesmo plano. Duas retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes. r s Retas paralelas distintas (r // s) α r ≡ s Retas paralelas coincidentes (r ≡ s)
  10. 10. Prof.: Rodrigo Carvalho α r s Retas concorrentes oblíquas (r s)∠ As retas r e s são concorrentes perpendiculares (r ┴ s) quando formam entre si ângulos congruentes de 90º. Atenção Duas retas r e s são concorrentes se a intersecção entre elas for um único ponto.
  11. 11. Prof.: Rodrigo Carvalho Duas retas r e s são não-coplanares ou reversas, se estiverem contidas em planos distintos.
  12. 12. Prof.: Rodrigo Carvalho Sejam duas retas t e r reversas. Quando a projeção de uma delas for perpendicular à outra, elas serão chamadas de retas ortogonais. P10) Sendo uma reta r e um ponto A, A r, existe uma única reta que passa por A e é paralela à r. ∉ r s A r // s r
  13. 13. Prof.: Rodrigo Carvalho Um plano pode ser determinado por: • três pontos não-colineares; • uma reta e um ponto não pertencente a essa reta; αA BC αA BC
  14. 14. Prof.: Rodrigo Carvalho • duas retas concorrentes; • duas retas paralelas distintas. αA BC αA BC r s r s
  15. 15. Prof.: Rodrigo Carvalho 1) Reta contida num plano Se uma reta r possui dois pontos distintos pertencentes a um plano α, então r está contida em α. 2) Reta concorrente a um plano Dizemos que a reta r “fura” o plano α ou que r e α são concorrentes(secantes) em P quando r ∩ α = {P}.
  16. 16. Prof.: Rodrigo Carvalho 3) Reta paralela a um plano Uma reta r é paralela a um plano α quando não possui ponto em comum com esse plano. s r // s s t u r // s r // t r // u Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.
  17. 17. Prof.: Rodrigo Carvalho Uma reta r é perpendicular a um plano quando ela é concorrente com o plano e perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo seu traço. P 4) Reta perpendicular a um plano
  18. 18. Prof.: Rodrigo Carvalho Se uma reta não contida em um plano é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano
  19. 19. Prof.: Rodrigo Carvalho 1) Planos paralelos coincidentes 2) Planos paralelos distintos Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum. Dois planos são paralelos distintos quando não possuem pontos em comum.
  20. 20. Prof.: Rodrigo Carvalho Teorema 1 Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. Teorema 2 Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente a um deles é concorrente ao outro. Teorema 3 Se um plano contém duas retas concorrentes que são paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos distintos.
  21. 21. Prof.: Rodrigo Carvalho 3) Planos concorrentes ou secantes Dois planos α e β são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum.
  22. 22. Prof.: Rodrigo Carvalho Dois planos α e β são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. s 4) Planos perpendiculares
  23. 23. Prof.: Rodrigo Carvalho Sugestão de exercícios: CAPÍTULO 1 Questões: 06, 10, 12, 13, 17, 19, 22, 25, 28, 35, 37, 44 e 48.

×