Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 9º Ano
Função do 2º grau
conceitos iniciais
MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais
Vamos analisar o movimento de uma bola após ser
chutada por um gole...
MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais
A altura da bola varia em função do tempo.
Veja a tabela a seguir.
...
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Função 2º grau – conceitos iniciais
NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois
perde altura, che...
MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais
Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que
um objeto em ...
DEFINIÇÃO
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO
QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei
da forma:
...
Identificação de coeficientes da função quadrática:
2x2 - 3x + 5 = 0
a = 2
b = -3
c = 5
-x2 + 4x - 3 = 0
a = -1
b = 4
c = ...
Zeros da função:
Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de
“x” que anulam a função, tornando-a uma equação f...
• ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
• ∆ < 0 → não tem raiz real
• ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = ...
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:
Se a > 0 Se a < 0
Concavidade
para cima
Concavidade
para baixo
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TERMO INDEPENDENTE
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Coordenadas do Vértice
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x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função);
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ESBOÇO DO GRÁFICO
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :
- Concavidade
- Ponto c
- Zeros
- Vérti...
Vamos partir de dois exemplos para fazermos
algumas generalizações:
Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3
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X Y
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Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4
MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais
EM RESUMO
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta
seguir os seguintes passos:
1. Determinar as raízes da ...
MATEMÁTICA, 9º ANO
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O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, junt...
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Exemplos de gráficos com o Geogebra:
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo:
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O vértice da parábola da função do 2 grau

  1. 1. Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Função do 2º grau conceitos iniciais
  2. 2. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h). Imagem:AutorIngyTheWingy/ disponibilizadoporLaim/CreativeCommons Attribution-ShareAlike2.0Generic
  3. 3. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais A altura da bola varia em função do tempo. Veja a tabela a seguir. ALTURA (m) TEMPO (s) 15 1 20 2 15 3 0 4
  4. 4. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos. A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por: h = 20t – 5t2
  5. 5. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido. t (s) h (m) 1 5 2 20 3 45
  6. 6. DEFINIÇÃO Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da forma: com a, b e c números reais e Domínio  Contradomínio Nomenclaturas: Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da função. f cbxaxxf 2 D f( )= R CD f( )= R MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  7. 7. Identificação de coeficientes da função quadrática: 2x2 - 3x + 5 = 0 a = 2 b = -3 c = 5 -x2 + 4x - 3 = 0 a = -1 b = 4 c = -3 4x + 8x2 - 4 = 0 a = 8 b = 4 c = -4 3x - 6x2 = 0 a = -6 b = 3 c = 0 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  8. 8. Zeros da função: Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara: O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo: a acbb xcbxaxxf 2 4 00)( 2 2 ∆ = b2 – 4.a.c MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  9. 9. • ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes • ∆ < 0 → não tem raiz real • ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 a > 0 a < 0 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  10. 10. CONCAVIDADE DA PARÁBOLA: Se a > 0 Se a < 0 Concavidade para cima Concavidade para baixo y = ax2 + bx + c MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  11. 11. TERMO INDEPENDENTE c y x y = ax2 + bx + c Exemplo : 4 y x y = x2 - 2x + 4 Ponto em que a reta toca no eixo y MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  12. 12. • Se c > 0, a parábola cortará o eixo y acima da origem do plano cartesiano. • Se c = 0, a parábola cortará o eixo y na origem do plano cartesiano. • Se c < 0, a parábola cortará o eixo y abaixo do plano cartesiano. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  13. 13. O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas. A ordenada do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO, . Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO, . yv yv yv 0 y x Valor mínimo yv . 0 y x Valor máximo yv . MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  14. 14. Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por: a b xV 2 a yV 4 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  15. 15. • Achar as raízes da função • O valor de c toca o eixo do y • Achar o vértice da função 1 3x x V = -b 2a , -D 4a æ è ç ö ø ÷ ( 2) 2 1 2.1 2 (16) 16 4 4.1 4 (1, 4) V V X Y V f x( )= x2 - 2x -3 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  16. 16. Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento: • Determinam-se as raízes da função. • Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam). • Analisa-se a concavidade da parábola. • Faz-se o estudo do sinal. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais + + -
  17. 17. Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆. ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 a > 0 a < 0 X1 X2 + +. . + + X1=X2 + +.+ X1 X2 + - . . - - - - . -- X1=X2 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  18. 18. Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função); -marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola; -faz-se o estudo do sinal. f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  19. 19. ESBOÇO DO GRÁFICO Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter : - Concavidade - Ponto c - Zeros - Vértice y x MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  20. 20. Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações: Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y -1 8 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 8 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  21. 21. X Y -2 0 -1 3 0 4 1 3 2 0 3 -5 Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  22. 22. EM RESUMO Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos: 1. Determinar as raízes da função( se existirem). 2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x. 3. Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c. 5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados. , 2 4 b V a a MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  23. 23. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Área de trabalho do software Imagem:Geogebra/softwaregratuitode códigoaberto. Link:http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogeb ra.html/http://www.geogebratube.org
  24. 24. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes f(x) = x2 - 6x - 16 a > 0 A= (8, 0) B= (-2, 0) f(x) = -x2 + 6x + 16 a < 0 A= (8, 0) B= (-2, 0) Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
  25. 25. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ < 0 → não tem raiz real f(x) = x2 + 3x + 7 a > 0 A= indefinido B= indefinido f(x) = - x2 - 3x - 7 a < 0 A= indefinido B= indefinido Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
  26. 26. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais f(x) = x² + 6 x + 9 a > 0 A= (3, 0) B= (3, 0) f(x) = - x² + 6 x - 9 a < 0 A= (3, 0) B= (3, 0) Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
  27. 27. DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008. GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002 Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf> Sites: http://hsa.zip.net/ http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
  28. 28. Tabela de Imagens n° do slide direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso 2 Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wayne_B rown_4.jpg 29/08/2012 23 a 26Geogebra / software gratuito de código aberto. http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org 30/08/2012

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