Caderno - Lógica
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Lógica Matemática - Caderno completo + Exercícios Resolvidos

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  • A TABELA CONDICIONAL ESTA ERRADA
    V ---->V =V
    V ---->F = F
    F---->V = V
    F ---->F =V
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    Caderno - Lógica Caderno - Lógica Presentation Transcript

    • CADERNOLÓGICA 2º semestre Luan Guerra
    • FACEBOOK Não curtir? Por quê? SUGESTÕES cadernosppt@gmail.com.br
    • AvisoEsse material foi criado a partir do cadernode um aluno do curso de administração.Sendo assim, não substituirá nenhuma fontedidática como: livros, artigos científicos, etc.Observação:O objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada alémdisso.
    • SITESUGERIDOwww.colegioweb.com.br/matem atica/conectivos-logicos-.html
    • LIVROSSUGERIDOS• Alencar Filho, Edgard – Iniciação à Lógica Matemática• Castrucci, Benedito – Introdução à Lógica Matemática
    • CADERNO +EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
    • Apresentação• Argumento 1 – Raciocínio Todo homem é mortal Sócrates é mortal Logo, Sócrates é homem• Argumento 2 – Raciocínio Todo homem é mortal Sócrates é homem Logo, Sócrates é mortal
    • Continuação• Lei da Não-contradição: a proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
    • O que é uma proposição?• É TODA FRASE QUE PODE SER CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E FALSO
    • PREMISSA?• Está dentro de um argumento, ou seja, toda premissa é uma proposição, mas nem toda proposição é uma premissa
    • Raciocínio Dedutivo• ExemploTodo metal é dilatado pelo calor.O ouro é metal.Logo, o ouro é dilatado pelo calor.
    • Raciocínio Indutivo• Exemplo:O ferro é um metal e conduz eletricidade.O zinco é um metal e conduz eletricidade.Logo, todo metal conduz eletricidade.
    • Proposições• Proposição Simples É toda frase que pode ser classificada em verdadeira e falso.• Proposição Composta É frases com duas ou mais proposições simples
    • Continuação• Valor Lógico A Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F
    • Continuação
    • Negação
    • Detalhes• e é somente verdadeiro, quando os “dois” termos são verdadeiros.• ou quando os “dois” são falsos.
    • Conjunção• A conjunção de duas proposições P e Q é representada por: p^qLê se “p e q”
    • Exemplos de ‘Conjuntos’ P Q
    • DisjunçãoO operado lógico DISJUNÇÃO caracterizado pelo conectivo OU e representado pelo símbolo V
    • Continuação Pode ser o p ou q ou os dois
    • OU ( V ) ExclusivoNão podem acontecer ao mesmo tempo.
    • Símbolo de OU Exclusivo
    • ExemplosA: O livro é interessanteB: O livro é caro.Negação A: O livro não é interessante.+: Não é verdade que o livro é interessante.A ^ B: O livro é interessante e caro.A V B: O livro é interessante ou caro.
    • ExemplosA:Ela é mineira e ele é paraense. Ela não é mineira e ele é paraense. Ela é mineira e ele não é paraense. Ela não é mineira ou ele não é paraense.B:Ela é mineira ou ele é paraense. Ela não é mineira e ele não é paraense.
    • ContinuaçãoA:Não é verdade que Galileu esteja certo.P: Galileu está certo.(~p)B:A água está líquida. A água está sólida.
    • CondicionalO operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo Se... Então e representado pelo símboloObs:A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda foi falsa.A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a segunda será chamada de CONSEQUENTE.
    • Na condicional teremos a seguinte situação:Uma condição SUFICIENTE gera um resultado NECESSÁRIO.Daí se temos:“Pedro é rico então Maria é médica”Pode ser escrita:“Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria seja médica.”“Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que Pedro seja rico.”
    • Suficiente/Necessário
    • Se... Então
    • Dados
    • Condicional• O conectivo se... então... e a condicional A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:
    • TABELA
    • Exemplo
    • Exemplo
    • DADOS
    • Bicondicional• O conectivo se e somente se e a bicondicional A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.
    • Bicondicional
    • ExercíciosCondicional
    • a)A BDados do Exercício:A = Está CalorB = É verão
    • e) NUNCA É VERÃO, QUANDO ESTÁ CALORDados do Exercício:A = Está CalorB = É verão
    • Extra - Paradoxos SLIDES
    • TABELA VERDADE
    • TABELA VERDADE
    • RESOLUÇÃOP (p,q) = ~(p v ~q)
    • Ordem de Prioridade1º Fazer a negação (~)2º Fazer a conjunção (^) e a disjunção (v)3º Fazer a condicional ( )4º Fazer a bi-condicional ( )
    • Exercícios• P (p, q, r) = (p ^ ~q) (q v ~ r)
    • Definição
    • Definição
    • Tipos de Tabela lógicas• TAUTOLÓGICAS Quando os valores lógicos da proposição são todos verdadeiros• CONTRADIÇÃO Quando os valores lógicos da proposição são todos falsos• CONTINGÊNCIA Quando os valores lógicos da proposição são verdadeiros e falsos.
    • Exemplos Tipos de Tabela Lógicasa) P (p, q) = (p ^ q) (p v q)
    • Exemplos Tipos de Tabela Lógicasb) P (p) = p ~p
    • Exemplos Tipos de Tabela Lógicasc) P (p, q) = p (p ^ q)
    • Implicação LógicaSejam P e Q duas proposições, dizemosque implica em P logicamente em Q se esomente se a condicional P Qéumas tautológica.
    • ResumoP Q (P implica logicamente)P Q é uma tautológicaTambém podemos verificar se P implica logicamente em Q da seguinte forma:
    • 1º Verificamos quais linhas a proposição´P tem valor lógico verdadeiro;2º Nessas mesmas linhas verificamos quais são os valores lógicos de Q;3º Se houver alguma dessas linhas onde Q é falso, não temos implicação lógica. Agora, se não houver linhas onde Q é falso, temos uma implicação lógica.
    • Exemplo• Dados as proposições P(p, q) = p v q e Q(p,q)= p^q, verificamos se:a) P Qb) Q P
    • Perguntasa) P não implica logicamente em Q, pois P Q não é uma tautológica.b) Q implica lógica em P, pois Q Pé uma tautologia.
    • Respostasa) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F, P não implica logicamente em Q.b) Como na 1º linha o valor lógico VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V Q implica logicamente.
    • Equivalência Lógica• Sejam P e Q duas proposições, dizemos que P equivale logicamente em Q se e somente se a bicondicional P Qé uma tautologia.
    • ResumoP Q (P equivale logicamente)P Q é uma tautologiaTambém podemos verificar se P equivale logicamente em Q, da seguinte forma:
    • 1º Verificamos quais linhas as proposições P e Q tem o valor lógico verdadeiro2º Se todas as linhas coincidem temos uma equivalência lógica, caso contrário não temos uma equivalência lógica.
    • Exemplo• Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q, Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q, verifique se:a) P(p,q) Q(p,q)b) Q(p,q) R(p,q)
    • Perguntasa) Como P Q é uma tautologia, temos P Qb) Como Q R não é uma tautologia, temos que Q não é equivalente a R
    • Tabela Verdade decorar.....
    • Propriedades da Equivalência1) p^q p2) pvp p3) p q q p4) p q (p q) ^ (q p)5) p q; p q; q r6) p^q q^q7) pvq qvp
    • Propriedades da Condicionalp q ~q ~pp q ~p v q
    • Tabela Verdade
    • 3º ExercíciosP = Pedro é pobreQ = Alberto é alto~(p ^ q)Propriedades~p v ~q = Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
    • ContinuaçãoTransformar as alternativas em conectivos:a) ~p v ~qb) ~p ^ ~qc) p v ~qd) ~p qe) ~p ~q
    • Comprovando
    • 4º ExercícioOBS: PEGUE SEMPRE NA AFIRMATIVA E DEPOIS NEGUE.P = André é artistaQ = Bernardo é engenheiro (Negativa)
    • ContinuaçãoPv~q Propriedades da Condicional ~p ~q q p
    • RespostaSe Bernardo é engenheiro então André éartista.
    • 5º ExercícioTodos os economistas são médicos.Como negar? Médico Eco Diagrama nom ista
    • Resultadop q Negação de todos = pelo menos 1 Médico Eco nom e ista Ou
    • 6º ExercícioP = Pedro é pedreiro (Negativa)OuQ = Paulo é paulista.
    • Resolução• Conserva o 2º conectivo e troca o valor do 1º :~p v q p q
    • RespostaSe Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista
    • Proposições Afirmativas e NegativasTiposTodo S é PAlguns S são PAlguns S não são PNenhum S é P
    • Diagrama• Todo S é P P ScP SUNIVERSAL Afirmativa
    • ContinuaçãoS=P S P UNIVERSAL Afirmativa
    • Nenhum S é P SUNIVERSAL Negativa P
    • Algum S são P PARTICULAR Afirmativa S PP S S P P S
    • Alguns S não são P PARTICULARS Negativa S P P S P
    • EquivalênciaNenhum A é B Todo A não é BTodo A é B Nenhum A não e B
    • ExemploNenhum médico é louco Todo médico não é louco.Toda arte é bela Nenhuma arte não é bela
    • Leis Associativas, Distributivas e da Dupla NegaçãoAssociativas:p ^ (q ^ s) (p ^ q) ^ sp v (q v s) (p v q) v s
    • Distributivasp ^ (q ^ s) (p ^ q) v (p ^ s)• p v (q v s) (p v q) ^ (p v s)
    • Dupla Negação~ (~p) p
    • Casos particularesS não é P SéPTodo S não é P Todo S é PAlgum S não é P Algum S é PNenhum S não é não P Nenhum S é P
    • ExemplosA bola de futebol não é não esférica. A bola de futebol é esférica.Todo número inteiro não é não racional. Todo número inteiro é racional.
    • ExemplosAlgum número racional não é não natural. Algum número racional é natural.Nenhum número negativo não é não natural. Nenhum número negativo é natural.
    • ArgumentosUm argumento é um conjunto deproposições que geram umaconseqüência da seguinte forma:
    • Definição• As premissas são as proposições consideraremos verdadeiras, para determinar o valor lógico da conclusão.• Um argumento pode ser válido ou inválido. Dizemos que um argumento é válido quando todas as premissas são verdadeiras a conclusão também é verdadeira.
    • • Dizemos que um argumento é inválido quando todas premissas forem verdadeiras a conclusão de alguma forma pode ser falsa.• Exemplo: Verifica se o argumento abaixo é válidos:
    • Resposta: As premissas para esteargumentos são:
    • Façamos a tabela lógico dessasproposições:
    • Procuremos as linhas onde todas aspremissas são verdadeiras. Isso ocorre na4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessasmesmas linhas o valor lógico daconclusão também é verdadeiro. Logopodemos concluir que o argumento éválido.
    • ExemploVerifique se o argumento é válido
    • Solução VL (p v q) = V VL(q) = V VL (~p) = V VL(p) = F_____________________________ VL (q) = V Argumento Válido
    • Exemplo
    • SoluçãoVL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = FVL (~A B) = V VL(B) = VVL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = VVL(C) = F
    • Análise
    • ResultadoVL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = FVL (~A B) = V VL(B) = VVL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = VVL(C) = F____________________________________________VL ( B ~ D) = F
    • Argumentos Diagramas
    • ExemploP1: Todos os homens são pássaros.P2: Nenhum pássaro é animal.______________________________C: Portanto, nenhum homem é animal.
    • DiagramasPássaro AnimaisHomens
    • LogoO conjunto dos homens está no conjuntodos pássaros e o conjunto dos pássarosnão tem intenção com o conjunto dosanimais, logo o conjunto dos homens nãotem intersecção com o conjunto dosanimais, ou seja, nenhum homem éanimal.O argumento é válido.
    • ExemploP1: Todos as crianças gostam de chocolate.P2: Patrícia não é criança___________________________________C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
    • Diagrama chocolate PatríciaCriança
    • LogoA primeira afirma que o conjunto das criançasestá contido no conjunto das pessoas quegostam de chocolate. A segunda premissaafirma que Patrícia não pertence ao conjuntodas crianças, isso possibilita que ela esteja noconjunto das pessoas que gostam dechocolate ou fora deste conjunto,impossibilitando que tenhamos uma conclusãoincontestável.Logo, diremos que o argumento é inválido.
    • ExemploP1: Prestação de contas com ato antieconômicoP2: A prestação de contas de um prefeitura a está irregular___________________________________C: Logo, as contas desta prefeitura apresentam atos antieconômicos
    • Diagrama PrefeituraIrregular Ato antieconômico Prefeitura
    • LogoA primeira premissa no diz que o conjunto deatos antieconômicos está contido no conjuntodas contas irregulares.A segunda premissa afirma que a conta daprefeitura pertence ao conjunto das contasirregulares, possibilitando assim que as contasdessa prefeitura pertence ao conjunto de atosantieconômicos ou não. Portanto, não podemosconcluir que necessariamente as contaspossuem ato antieconômico, ou seja, oargumento é INVÁLIDO.
    • Método que parte da negação da conclusão: Neste método admitimos o valor lógico da conclusão FALSO, obtendo assim os valores lógicos das proposições envolvidos. Se a substituirmos esses valores lógicos nas premissas obtivermos todas verdadeiras, o argumento é INVÁLIDO. Caso gere algum conflito de lógicos o argumento é VÁLIDO.
    • ExemploP1: A (B v C)P2: B ~AP3: D ~C__________________________________C: A ~D
    • RespostaAdmitiremos o valor lógico da conclusão falso:VL(A ~D) =FVL(A) = VVL(~D) = FVL(D) = V
    • Resolução Substituindo esse valores lógicos nas premissas obteremos:VL(A (B v C)=V VL(A) = FVL(B ~A) = V VL(B) = FVL(D ~C) = V VL(~C) = V VL(C) = F
    • LogoComo gerou conflito no valor lógico daproposição A, temos que o argumento éVÁLIDO.
    • Exercício – nº20P: Pedro é pintorC: Carlos é cantorM: Mario é médicoS: Silvio é sociólogoPremissa: P v C ~M ^ ~ S
    • Negando...
    • AlternativasP^ ~C M v SP^ ~C M v ~SP^ C M ^ ~SP^ C M v S~P vC ~M ^ S
    • Negando a conclusão:• Vamos negar as alternativas, ou seja, as conclusões verificar qual é verdadeira:VL(a)) = F VL(P^~C MvS) = FVL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = FVL(MvS) = F VL(M) = F e VL(S) = F
    • Substituindo esses valores lógicosna premissas verdadeiras, temos:VL(P v C ~M ^ ~S) = V V F V V V VResp: O argumento é inválido para letra A)
    • b)VL(P ^ ~ C M v ~S) = FVL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = FVL(Mv~S) = F VL(M) = F e VL(~S) = F VL(M) = F e VL(S) = V
    • Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras:VL(P v ~C ~M ^ ~S) = V V F V F V FO argumento válido é a letra b)
    • Diagramas...
    • Exercício¹ - DIAGRAMARespostaDa primeira premissa temos: Contabilidade João Orçamento
    • Exercício - DIAGRAMARespostaDa segunda premissa temos: Contabilidade João Orçamento
    • ConclusãoComo João não pertence ao conjunto decontabilidade ele também não pertenceao conjunto de orçamento. Logo, Joãonão sabe lidar com orçamento.O argumento é VÁLIDO, ou seja, aafirmativa que o orçamento é inválidoestá ERRADA.
    • Exercício² - DIAGRAMARespostaDa primeira, segunda premissas, temos: IMPOSTOS Carlos Honesta Carlos
    • Conclusões
    • ConclusãoDa primeira premissa temos que oconjunto de pessoas honestas estácontido no conjunto de pessoas quepagam impostos. Da segunda premissatemos que Carlos pode está no conjuntodas pessoas honestas ou fora dele. Logonão podemos concluir que Carlos é umapessoa honesta, ou seja, a afirmativaque o argumento é válida está ERRADA.
    • Tornando verdadeiras...
    • Exercício¹RespostaAs proposições envolvidas são:P: Lógica é fácil.Q: Sócrates foi mico de circo.
    • Argumento1º Premissas: P Q2º Premissas: ~ P_____________________Conclusão: ~ Q
    • Admitindo os valores lógicos daspremissas são verdadeiras, temos: Resposta: Ao admitir, não conseguimos concluir.
    • Mudando o método... NEGANDO...
    • Negando a conclusão, temos:VL (~Q) = F VL (Q) = VSubstituindo nas premissas, temos: F VVL(P Q) = VVL(~P) = V VL(P) = FComo não gerou conflito, então o argumento é INVÁLIDO.
    • 8 - ExercícioTodos cachorros tem asas.Todos os animais de asas são aquáticos.Existem gatos que são cachorros.Logo, existem gatos que são aquáticos.
    • Diagrama Gatos Cachorro Asas Aquáticos
    • ObservaçãoNÃO ANILISAR AS PREPOSIÇÕES INDIVIDUALMENTES, TEM QUE ESTUDAR O ARGUMENTO
    • Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão CResposta: A é válido, P e C são falsos.
    • 9 - ExercícioP: Se Soninha sorriQ: Silvia é miss simpatia ARGUMENTOP Q~P~Q
    • Admitir a conclusão falso!Admitindo o valor lógico da conclusão falsotemos:VL(~q) = F VL(q) = VAnalisando as premissas verdadeiras: F VVL(p q) = VVL(~p) = V VL(p) = F
    • LogoO argumento é inválido, pois negando aconclusão isso não gerou nenhum conflito.
    • Observação - AlternativasNão levar em conta as premissasindividualmente, e sim o argumento. DESCARTAR
    • ObservaçãoSempre que o argumento é inválido, aconclusão não é decorrências daspremissas.
    • Exercício 05 a 08Chapeuzinho Vermelho
    • 05Raposa:Ontem foi um dos meus dias de mentirLoboOntem foi um dos meus dias de mentir
    • Resolução
    • Resposta
    • 06Raposa:Eu menti ontem.Eu mentirei daqui a 3 dias.
    • 7Raposa:Eu menti ontem.Eu mentirei amanhã.