Este documento fornece informações sobre lógica proposicional, incluindo:
1) Apresenta dois argumentos como exemplos de raciocínio;
2) Discutem proposições, premissas, valores lógicos e conectivos lógicos como negação, conjunção e disjunção;
3) Fornece exemplos de tabelas verdade e propriedades da implicação lógica e equivalência lógica.
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3. Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação:
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.
7. Apresentação
• Argumento 1 – Raciocínio
Todo homem é mortal
Sócrates é mortal
Logo, Sócrates é homem
• Argumento 2 – Raciocínio
Todo homem é mortal
Sócrates é homem
Logo, Sócrates é mortal
8. Continuação
• Lei da Não-contradição: a proposição não
pode ser falsa e verdadeira ao mesmo
tempo.
9. O que é uma proposição?
• É TODA FRASE QUE PODE SER
CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E
FALSO
10. PREMISSA?
• Está dentro de um argumento, ou seja,
toda premissa é uma proposição, mas
nem toda proposição é uma premissa
12. Raciocínio Indutivo
• Exemplo:
O ferro é um metal e conduz eletricidade.
O zinco é um metal e conduz eletricidade.
Logo, todo metal conduz eletricidade.
13. Proposições
• Proposição Simples
É toda frase que pode ser classificada em
verdadeira e falso.
• Proposição Composta
É frases com duas ou mais proposições
simples
14. Continuação
• Valor Lógico
A Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V
Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F
24. Exemplos
A: O livro é interessante
B: O livro é caro.
Negação A: O livro não é interessante.
+: Não é verdade que o livro é interessante.
A ^ B: O livro é interessante e caro.
A V B: O livro é interessante ou caro.
25. Exemplos
A:Ela é mineira e ele é paraense.
Ela não é mineira e ele é paraense.
Ela é mineira e ele não é paraense.
Ela não é mineira ou ele não é paraense.
B:Ela é mineira ou ele é paraense.
Ela não é mineira e ele não é paraense.
26. Continuação
A:Não é verdade que Galileu esteja certo.
P: Galileu está certo.
(~p)
B:A água está líquida.
A água está sólida.
27. Condicional
O operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo
Se... Então e representado pelo símbolo
Obs:
A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda
foi falsa.
A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a
segunda será chamada de CONSEQUENTE.
28. Na condicional teremos a seguinte situação:
Uma condição SUFICIENTE gera um resultado
NECESSÁRIO.
Daí se temos:
“Pedro é rico então Maria é médica”
Pode ser escrita:
“Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria
seja médica.”
“Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que
Pedro seja rico.”
33. Condicional
• O conectivo se... então... e
a condicional
A condicional se p então q é outra
proposição que tem como valor
lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O
símbolo p → q representa a condicional,
com a seguinte tabela-verdade:
38. Bicondicional
• O conectivo se e somente se e
a bicondicional
A bicondicional p se e somente se q é
outra proposição que tem como valor
lógico V se p e q forem ambas
verdadeiras ou ambas falsas, e F nos
outros casos.
51. Tipos de Tabela lógicas
• TAUTOLÓGICAS
Quando os valores lógicos da proposição são
todos verdadeiros
• CONTRADIÇÃO
Quando os valores lógicos da proposição são
todos falsos
• CONTINGÊNCIA
Quando os valores lógicos da proposição são
verdadeiros e falsos.
52. Exemplos
Tipos de Tabela Lógicas
a) P (p, q) = (p ^ q) (p v q)
53. Exemplos
Tipos de Tabela Lógicas
b) P (p) = p ~p
54. Exemplos
Tipos de Tabela Lógicas
c) P (p, q) = p (p ^ q)
55. Implicação Lógica
Sejam P e Q duas proposições, dizemos
que implica em P logicamente em Q se e
somente se a condicional P Qé
umas tautológica.
56. Resumo
P Q (P implica logicamente)
P Q é uma tautológica
Também podemos verificar se P implica
logicamente em Q da seguinte forma:
57. 1º Verificamos quais linhas a proposição´P
tem valor lógico verdadeiro;
2º Nessas mesmas linhas verificamos quais
são os valores lógicos de Q;
3º Se houver alguma dessas linhas onde Q
é falso, não temos implicação lógica.
Agora, se não houver linhas onde Q é
falso, temos uma implicação lógica.
58. Exemplo
• Dados as proposições P(p, q) = p v q
e Q(p,q)= p^q, verificamos se:
a) P Q
b) Q P
59.
60. Perguntas
a) P não implica logicamente em Q, pois
P Q não é uma tautológica.
b) Q implica lógica em P, pois Q Pé
uma tautologia.
61. Respostas
a) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico
VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F,
P não implica logicamente em Q.
b) Como na 1º linha o valor lógico
VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V
Q implica logicamente.
62. Equivalência Lógica
• Sejam P e Q duas proposições, dizemos
que P equivale logicamente em Q se e
somente se a bicondicional P Qé
uma tautologia.
63. Resumo
P Q (P equivale logicamente)
P Q é uma tautologia
Também podemos verificar se P equivale
logicamente em Q, da seguinte forma:
64. 1º Verificamos quais linhas as proposições
P e Q tem o valor lógico verdadeiro
2º Se todas as linhas coincidem temos uma
equivalência lógica, caso contrário não
temos uma equivalência lógica.
65. Exemplo
• Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q,
Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q,
verifique se:
a) P(p,q) Q(p,q)
b) Q(p,q) R(p,q)
66.
67. Perguntas
a) Como P Q é uma tautologia, temos
P Q
b) Como Q R não é uma tautologia,
temos que Q não é equivalente a R
94. Casos particulares
S não é P SéP
Todo S não é P Todo S é P
Algum S não é P Algum S é P
Nenhum S não é não P Nenhum S é P
95. Exemplos
A bola de futebol não é não esférica.
A bola de futebol é esférica.
Todo número inteiro não é não racional.
Todo número inteiro é racional.
96. Exemplos
Algum número racional não é não natural.
Algum número racional é natural.
Nenhum número negativo não é não natural.
Nenhum número negativo é natural.
98. Definição
• As premissas são as proposições
consideraremos verdadeiras, para
determinar o valor lógico da conclusão.
• Um argumento pode ser válido ou
inválido. Dizemos que um argumento é
válido quando todas as premissas são
verdadeiras a conclusão também é
verdadeira.
99. • Dizemos que um argumento é inválido
quando todas premissas forem
verdadeiras a conclusão de alguma forma
pode ser falsa.
• Exemplo:
Verifica se o argumento abaixo é válidos:
103. Procuremos as linhas onde todas as
premissas são verdadeiras. Isso ocorre na
4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessas
mesmas linhas o valor lógico da
conclusão também é verdadeiro. Logo
podemos concluir que o argumento é
válido.
109. Resultado
VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F
VL (~A B) = V VL(B) = V
VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = V
VL(C) = F
____________________________________________
VL ( B ~ D) = F
113. Logo
O conjunto dos homens está no conjunto
dos pássaros e o conjunto dos pássaros
não tem intenção com o conjunto dos
animais, logo o conjunto dos homens não
tem intersecção com o conjunto dos
animais, ou seja, nenhum homem é
animal.
O argumento é válido.
114. Exemplo
P1: Todos as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança
___________________________________
C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
116. Logo
A primeira afirma que o conjunto das crianças
está contido no conjunto das pessoas que
gostam de chocolate. A segunda premissa
afirma que Patrícia não pertence ao conjunto
das crianças, isso possibilita que ela esteja no
conjunto das pessoas que gostam de
chocolate ou fora deste conjunto,
impossibilitando que tenhamos uma conclusão
incontestável.
Logo, diremos que o argumento é inválido.
117. Exemplo
P1: Prestação de contas com ato
antieconômico
P2: A prestação de contas de um prefeitura
a está irregular
___________________________________
C: Logo, as contas desta prefeitura
apresentam atos antieconômicos
118. Diagrama
Prefeitura
Irregular
Ato antieconômico
Prefeitura
119. Logo
A primeira premissa no diz que o conjunto de
atos antieconômicos está contido no conjunto
das contas irregulares.
A segunda premissa afirma que a conta da
prefeitura pertence ao conjunto das contas
irregulares, possibilitando assim que as contas
dessa prefeitura pertence ao conjunto de atos
antieconômicos ou não. Portanto, não podemos
concluir que necessariamente as contas
possuem ato antieconômico, ou seja, o
argumento é INVÁLIDO.
120. Método que parte da negação da
conclusão:
Neste método admitimos o valor lógico
da conclusão FALSO, obtendo assim os
valores lógicos das proposições
envolvidos. Se a substituirmos esses
valores lógicos nas premissas
obtivermos todas verdadeiras, o
argumento é INVÁLIDO.
Caso gere algum conflito de lógicos o
argumento é VÁLIDO.
121. Exemplo
P1: A (B v C)
P2: B ~A
P3: D ~C
__________________________________
C: A ~D
123. Resolução
Substituindo esse valores lógicos nas
premissas obteremos:
VL(A (B v C)=V VL(A) = F
VL(B ~A) = V VL(B) = F
VL(D ~C) = V VL(~C) = V VL(C) = F
127. Alternativas
P^ ~C M v S
P^ ~C M v ~S
P^ C M ^ ~S
P^ C M v S
~P vC ~M ^ S
128. Negando a conclusão:
• Vamos negar as alternativas, ou seja, as
conclusões verificar qual é verdadeira:
VL(a)) = F VL(P^~C MvS) = F
VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = F
VL(MvS) = F VL(M) = F e VL(S) = F
129. Substituindo esses valores lógicos
na premissas verdadeiras, temos:
VL(P v C ~M ^ ~S) = V
V F V V
V V
Resp: O argumento é inválido para letra A)
130. b)
VL(P ^ ~ C M v ~S) = F
VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = F
VL(Mv~S) = F VL(M) = F e VL(~S) = F VL(M) = F e VL(S) = V
131. Substituindo esses valores lógicos
na premissas verdadeiras:
VL(P v ~C ~M ^ ~S) = V
V F V F
V F
O argumento válido é a letra b)
135. Conclusão
Como João não pertence ao conjunto de
contabilidade ele também não pertence
ao conjunto de orçamento. Logo, João
não sabe lidar com orçamento.
O argumento é VÁLIDO, ou seja, a
afirmativa que o orçamento é inválido
está ERRADA.
138. Conclusão
Da primeira premissa temos que o
conjunto de pessoas honestas está
contido no conjunto de pessoas que
pagam impostos. Da segunda premissa
temos que Carlos pode está no conjunto
das pessoas honestas ou fora dele. Logo
não podemos concluir que Carlos é uma
pessoa honesta, ou seja, a afirmativa
que o argumento é válida está ERRADA.
144. Negando a conclusão, temos:
VL (~Q) = F VL (Q) = V
Substituindo nas premissas, temos:
F V
VL(P Q) = V
VL(~P) = V VL(P) = F
Como não gerou conflito, então o argumento é
INVÁLIDO.
145. 8 - Exercício
Todos cachorros tem asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Logo, existem gatos que são aquáticos.
148. Sobre o argumento A, as
premissas P e a conclusão C
Resposta:
A é válido, P e C são falsos.
149. 9 - Exercício
P: Se Soninha sorri
Q: Silvia é miss simpatia
ARGUMENTO
P Q
~P
~Q
150. Admitir a conclusão falso!
Admitindo o valor lógico da conclusão falso
temos:
VL(~q) = F VL(q) = V
Analisando as premissas verdadeiras:
F V
VL(p q) = V
VL(~p) = V VL(p) = F
151. Logo
O argumento é inválido, pois negando a
conclusão isso não gerou nenhum conflito.