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Lógica Proposicional Noções gerais Formas de inferência válida
O objecto de estudo da  lógica proposicional  é, para além do estudo das proposições e suas relações, uma análise da validade formal das inferências, raciocínios, levadas a cabo com proposições. Esta análise passa pelo denominado  cálculo proposicional , assente na realização de operações entre proposições. As  proposições  ( frases declarativas , das quais se pode dizer que são enunciados verdadeiros ou enunciados falsos, com valor de verdade  V  ou  F , sem se admitir uma 3ª possibilidade), podem ser  simples  (ex.: “Mariana estuda lógica”) ou  compostas  (enunciados compostos por 2 ou mais proposições simples articuladas entre si ex.: “Mariana estuda lógica e raciocina bem”)
A conexão lógica entre proposições simples é assegurada, na linguagem natural, pelos chamados  operadores de frases  que as reduzem a 5 tipos fundamentais de proposições compostas: 1.  negações ; 2.  conjunções ; 3.  disjunções ; 4.  condicionais ; 5.  bicondicionais . Os operadores lógicos correspondentes (também designados conectivas ou conectores lógicos) aos 5 tipos de proposições compostas são: Negação   ~ , ¬  ( não ,  não é verdade que …  ~  p   não p ,  não é o caso de p ,  a proposição p é falsa ) Conjunção   ∧   (e) ex.:  p  ∧  q  ( p e q ),  tanto p quanto q, as proposições p e q são verdadeiras) Disjunção   ∨  (ou) ex.:  p  ∨  q  ( p ou q , isto é, entre as proposições p e q pelo menos uma é verdadeira). Há tb. a  disjunção exclusiva :  ou…ou  Ex.: “ nestas férias ou vou viajar ou ficar em casa”, uma exclui a outra, esta disjunção só é verdadeira quando uma proposição é v e a outra f e vice-versa, não podem é ser ambas verdadeiras ou ambas falsas ao mesmo tempo ). Condicional   ou  implicação      se… então,  p     q  ( se p então q  ,  p implica q  ) Bicondicional      , se e somente se;   p     q  (   p é equivalente a q  ,  p se e só se q )
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],   Variáveis proposicionais : letras do alfabeto, por convenção:  p ,  q ,  r ,  s , etc. que simbolizam e representam as proposições do cálculo.    Os  operadores proposicionais  que estabelecem as relações de conexão entre as variáveis proposicionais, são constantes lógicas e levam, como se viu, a designação de  conectores lógicos  ou  conectivas .    Parêntesis   são utilizados para definir o âmbito do operador, tal como na matemática. Na proposição  ~   p  ∧   q  sem parêntesis apenas se nega p; ao passo que com  a expressão  ~   (p  ∧  q)  nega-se não apenas p, mas  p e q  (lê-se não é verdade que p e q)
Quadro síntese de operadores verofuncionais,  conectivas  ou  conectores lógicos p se e só se q p    q  Bicondicional se p então q p implica q p    q  Condicional ou p ou q p ∨∨ q ∨∨ Disjunção exclusiva p e/ou q p ∨ q ∨ Disjunção inclusiva p e q p ∧ q ∧ Conjunção não p ~p ~ Negação leitura exemplos símbolos designação
Tabelas das diferentes conectivas ou conectores lógicos   Negação  – é uma conectiva unária porque opera sobre apenas uma frase. Por ex., obtém-se o enunciado “Não está frio”, tomando como ponto de partida o enunciado “Está frio”. As restantes conectivas são binárias porque operam sobre mais que uma frase.   Uma negação tem sempre um valor de verdade diferente do da proposição negada. Sendo uma conectiva unária a sua tabela de verdade é tão só: A  negação  de uma proposição (  ~  p  ) será verdadeira quando a proposição inicial (  p  ) for falsa e falsa quando a proposição inicial (  p  ) for verdadeira. 2 n Na determinação dos casos possíveis de combinatória dos valores de verdade: a constante  2   indica  os dois valores (V e F)  e  n ,  o nº de proposições envolvidas  na expressão, neste caso 1 proposição, portanto,  2  circunstâncias V e F.  2 1 V F F V ~  p p
A  conjunção   ∧   Considere-se as seguintes proposições: “ Está um dia lindo” –  p “ Vou passear” –  q Se as combinarmos ligando-as pela conjunção teremos uma nova proposição: “ Está um dia lindo e vou passear ”, representando-se simbolicamente por  p ∧ q. Para se saber se a conjunção  p ∧ q  é verdadeira, basta que conheçamos os valores de verdade de p e de q. Suponhamos que p é falsa (F) e q é também falsa (F), neste caso  p ∧ q  será F; e se p for V e q for F, a conjunção é também F; numa 3ª possibilidade se p for F e q for V, a conjunção  p ∧ q  continua falsa; resta uma possibilidade ambas as proposições: p e q serem ambas verdadeiras (V), só neste caso é que  p ∧ q  tem valor de verdade V. Temos então a regra que diz:  uma conjunção é verdadeira apenas no caso de ambas as conjuntas serem verdadeiras . A conjunção de duas proposições é uma nova proposição  (p ∧ q) , que é verdadeira se as proposições atómicas (simples) forem verdadeiras e que  é falsa desde que pelo menos uma das proposições atómicas seja falsa . Tomando a fórmula anterior, verificamos que todas a combinações possíveis de valores de verdade para p e q são 4, ficando a tabela da conjunção assim: 2 2  =  4  combinações possíveis de valores de verdade para  p  e  q F F V V V V F V q F F F F p  ∧  q p
A  disjunção inclusiva  ( ∨   e/ou) As proposições que formam uma disjunção são as disjuntas. O que importa reter sobre esta conectiva lógica é:  uma disjunção é falsa no caso de ambas as disjuntas serem falsas, verdadeira nos restantes . Ou, com outra formulação:  a disjunção inclusiva de 2 proposições  p  e  q  , é uma nova proposição  p ∨   q   que será sempre verdadeira, excepto quando  p  e  q  forem simultaneamente falsas . Pode parecer estranho que quando “p” e “q” são verdadeiras,  p ∨   q   seja verdadeira; tal acontece porque  ∨   representa precisamente a disjunção inclusiva. Já na disjunção exclusiva, como veremos, esta só é verdadeira quando uma disjunta é verdadeira e a outra é falsa. Veja-se a  tabela de verdade da disjunção inclusiva :  A  disjunção exclusiva   ( ∨V   ou /  ou) de 2 proposições  p  e  q   é uma nova proposição  p ∨V   q   que é verdadeira quando  p  e  q  têm valores lógicos distintos e falsa quando ambas possuem o mesmo valor.  Tabela : V F V F V V F V q F F V F p  V∨   q p V F V V V V F V q F F V F p  ∨   q p
Condicional ou implicação material   Duas proposições “ p ” e “ q ” podem ser relacionadas pela conectiva  se… então  para formar uma proposição condicional, por ex.: “ Se chove a relva fica molhada ”, representada simbolicamente por  p    q  ( se p, então q ); em que a proposição  p  é a chamada  antecedente  e  q  é a chamada  consequente . De acordo com a regra da implicação,  só há uma situação, entre as combinatórias de valores de verdade, em que a proposição condicional é falsa, ou seja, quando  p  (antecedente) é verdadeiro ( V ) e  q  (consequente) é falso ( F );  nas restantes situações a proposição condicional é verdadeira. A  tabela de verdade da implicação  resulta: Bicondicional ou equivalência material     Duas proposições “ p ” e “ q ” podem ser relacionadas pela conectiva  se e só se   para formar uma proposição bicondicional, por ex.: “ Se e só se tiveres dezoito anos é que podes votar ”, representada simbolicamente por  p     q  ( se e só se p, então q ). De acordo com a regra  a proposição bicondicional ou equivalência, é verdadeira  ( V )  se  p  e  q  tiverem o mesmo valor lógico e falsa se tiverem valores lógicos diferentes . A  tabela de verdade da bicondicional  resulta: F F V V V V F V q V F V F p     q p F F V V V V F V q V F F F p     q p
Tabuada dos valores de verdade das conectivas lógicas F V p Negação V V F F F F F V F V V V F V F F F F V V F F V ~p V V F V V V V p     q p     q p  ∨ V   q p  ∨  q p  ∧  q q p
Pontuação (colocação de  parêntesis ) das proposições complexas Os parêntesis usam-se sempre que é necessário isolar uma conectiva dominante, para se “dar força” (âmbito da conectiva) a uma conectiva de menor dominância. Ordem decrescente de dominância das conectivas: equivalência, implicação, conjunção, disjunção, e negação. Ser dominante significa que a conectiva resiste na expressão, até as outras terem sido avaliadas quanto ao seu valor de verdade. Ou seja, a dominante é a última a ser avaliada. Exs.:  Negação  ~ (p  ∧ q   r)   Conjunção  ~ p  ∧ (q   r) Implicação   ~ p  ∧ q   r ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],~ (p  ∧ q )  negação ~ p  ∧ q   conjunção p  ∧ q    r  implicação p  ∧ (q    r)  conjunção Disjunção ∨ ++ Negação ~ + Conjunção ∧ +++ Implicação  ++++ Equivalência  ++++++ Dominância máxima (maior âmbito) Dominância mínima (menor âmbito)
Fim Uma nota inicial relativamente à questão  da conectiva principal de uma fórmula.  Esta aplica-se a toda a fórmula, de modo que na construção de  tabelas de verdade com mais do que uma conectiva, avança-se das conectivas de  menor âmbito para as de maior âmbito, sendo que  o resultado final da tabela surge na conectiva principal  (a última operação a efectuar).    Lógica Proposicional   (aspectos do cálculo) Tabelas de verdade  e  inspector de circunstâncias   como métodos de determinação da validade de argumentos formalizados ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Fim Exercício: Determine a validade do argumento que se segue, recorrendo quer ao método das tabelas de verdade quer ao inspector de circunstâncias. “ Se  Pedro está inocente ,  algumas provas são forjadas . Nenhuma das provas é forjada. Logo, Pedro não está inocente.”    Pelo método das tabelas de verdade: 1º passo : identificar as proposições e simbolizá-las pelas letras: p, q, … No caso deste argumento, temos: “ O Pedro está inocente” =  p “ Algumas das provas são forjadas” =  q ( atenção : que as outras proposições não são mais que as negações destas; portanto bastam-nos estas duas) O inspector de circunstâncias  É possível determinar também a validade dedutiva de muitos argumentos recorrendo não apenas ao método das tabelas de verdade, mas a outro tipo de tabelas denominado inspector de circunstâncias. Para tal constrói-se uma tabela que mostre em cada coluna o valor de verdade de cada uma das premissas e da conclusão  em todos os casos possíveis  (4 se temos 2 variáveis proposicionais, 8 se temos 3, e assim sucessivamente segundo a fórmula, já explicada, 2 n ). Analisa-se todos os casos de combinação possíveis dos valores de verdade e concluir-se-á que é válido se, e apenas se, em nenhum caso possível tiver todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Fim Exercício:  (cont.) 2º passo : formalizar o argumento simbolizando as relações entre as proposições: p    q   [ (p    q)  ∧ ~ q  ]     ~ p  ~q _____ ~ p 3º passo : calcular o valor lógico de  [ (p    q)  ∧ ~ q  ]    ~ p   , pelo método das tabelas de verdade : 1  2  3  (sequência das operações)   [ (p    q)  ∧ ~ q  ]    ~ p     V  V   V  F   F  V   F   V  F   F  F   V  V   F F  V   V  F   F  V   V   F  V   F  V   V  V  V            Como se vê, todos os valores apurados no resultado são verdadeiros (tautologia), o que nos permite afirmar que estamos perante uma forma válida, logo o  argumento é dedutivamente válido .
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Aplicando o inspector de circunstâncias (cont.): 1ª Pre  2ª Pre  Conclusão p  q  p    q,  ~ p     ~ q   V  V  V  F  F V  F  F  F   V     V  F  V  V   F V  F  V   V   V   Verifica-se a circunstância em que temos premissas verdadeiras e conclusão verdadeira (linha 4); só que também premissas verdadeiras, mas conclusão falsa na linha 3.  Dada esta circunstância o  argumento já não pode ser válido . Se recorrermos à tabela de verdade ela confirma , obviamente, a invalidade do argumento apresentado: 1  2  3  (sequência das operações)   [ (p    q)  ∧ ~ p  ]     ~ q     V  V   V  F   F  V   F   V  F   F  F   F  V   V F  V   V  V   V  F   F   F  V   F  V   V  V  V Como se constata (o resultado não é uma tautologia, pois um dos valores é F – linha 3), a tabela demonstra também a invalidade do argumento.
Fim J. A. Duarte  Outubro.07

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Lógica Proposicional

  • 1. Lógica Proposicional Noções gerais Formas de inferência válida
  • 2. O objecto de estudo da lógica proposicional é, para além do estudo das proposições e suas relações, uma análise da validade formal das inferências, raciocínios, levadas a cabo com proposições. Esta análise passa pelo denominado cálculo proposicional , assente na realização de operações entre proposições. As proposições ( frases declarativas , das quais se pode dizer que são enunciados verdadeiros ou enunciados falsos, com valor de verdade V ou F , sem se admitir uma 3ª possibilidade), podem ser simples (ex.: “Mariana estuda lógica”) ou compostas (enunciados compostos por 2 ou mais proposições simples articuladas entre si ex.: “Mariana estuda lógica e raciocina bem”)
  • 3. A conexão lógica entre proposições simples é assegurada, na linguagem natural, pelos chamados operadores de frases que as reduzem a 5 tipos fundamentais de proposições compostas: 1. negações ; 2. conjunções ; 3. disjunções ; 4. condicionais ; 5. bicondicionais . Os operadores lógicos correspondentes (também designados conectivas ou conectores lógicos) aos 5 tipos de proposições compostas são: Negação ~ , ¬ ( não , não é verdade que … ~ p não p , não é o caso de p , a proposição p é falsa ) Conjunção ∧ (e) ex.: p ∧ q ( p e q ), tanto p quanto q, as proposições p e q são verdadeiras) Disjunção ∨ (ou) ex.: p ∨ q ( p ou q , isto é, entre as proposições p e q pelo menos uma é verdadeira). Há tb. a disjunção exclusiva : ou…ou Ex.: “ nestas férias ou vou viajar ou ficar em casa”, uma exclui a outra, esta disjunção só é verdadeira quando uma proposição é v e a outra f e vice-versa, não podem é ser ambas verdadeiras ou ambas falsas ao mesmo tempo ). Condicional ou implicação  se… então, p  q ( se p então q , p implica q ) Bicondicional  , se e somente se; p  q ( p é equivalente a q , p se e só se q )
  • 4.
  • 5. Quadro síntese de operadores verofuncionais, conectivas ou conectores lógicos p se e só se q p  q  Bicondicional se p então q p implica q p  q  Condicional ou p ou q p ∨∨ q ∨∨ Disjunção exclusiva p e/ou q p ∨ q ∨ Disjunção inclusiva p e q p ∧ q ∧ Conjunção não p ~p ~ Negação leitura exemplos símbolos designação
  • 6. Tabelas das diferentes conectivas ou conectores lógicos Negação – é uma conectiva unária porque opera sobre apenas uma frase. Por ex., obtém-se o enunciado “Não está frio”, tomando como ponto de partida o enunciado “Está frio”. As restantes conectivas são binárias porque operam sobre mais que uma frase. Uma negação tem sempre um valor de verdade diferente do da proposição negada. Sendo uma conectiva unária a sua tabela de verdade é tão só: A negação de uma proposição ( ~ p ) será verdadeira quando a proposição inicial ( p ) for falsa e falsa quando a proposição inicial ( p ) for verdadeira. 2 n Na determinação dos casos possíveis de combinatória dos valores de verdade: a constante 2 indica os dois valores (V e F) e n , o nº de proposições envolvidas na expressão, neste caso 1 proposição, portanto, 2 circunstâncias V e F. 2 1 V F F V ~ p p
  • 7. A conjunção ∧ Considere-se as seguintes proposições: “ Está um dia lindo” – p “ Vou passear” – q Se as combinarmos ligando-as pela conjunção teremos uma nova proposição: “ Está um dia lindo e vou passear ”, representando-se simbolicamente por p ∧ q. Para se saber se a conjunção p ∧ q é verdadeira, basta que conheçamos os valores de verdade de p e de q. Suponhamos que p é falsa (F) e q é também falsa (F), neste caso p ∧ q será F; e se p for V e q for F, a conjunção é também F; numa 3ª possibilidade se p for F e q for V, a conjunção p ∧ q continua falsa; resta uma possibilidade ambas as proposições: p e q serem ambas verdadeiras (V), só neste caso é que p ∧ q tem valor de verdade V. Temos então a regra que diz: uma conjunção é verdadeira apenas no caso de ambas as conjuntas serem verdadeiras . A conjunção de duas proposições é uma nova proposição (p ∧ q) , que é verdadeira se as proposições atómicas (simples) forem verdadeiras e que é falsa desde que pelo menos uma das proposições atómicas seja falsa . Tomando a fórmula anterior, verificamos que todas a combinações possíveis de valores de verdade para p e q são 4, ficando a tabela da conjunção assim: 2 2 = 4 combinações possíveis de valores de verdade para p e q F F V V V V F V q F F F F p ∧ q p
  • 8. A disjunção inclusiva ( ∨ e/ou) As proposições que formam uma disjunção são as disjuntas. O que importa reter sobre esta conectiva lógica é: uma disjunção é falsa no caso de ambas as disjuntas serem falsas, verdadeira nos restantes . Ou, com outra formulação: a disjunção inclusiva de 2 proposições p e q , é uma nova proposição p ∨ q que será sempre verdadeira, excepto quando p e q forem simultaneamente falsas . Pode parecer estranho que quando “p” e “q” são verdadeiras, p ∨ q seja verdadeira; tal acontece porque ∨ representa precisamente a disjunção inclusiva. Já na disjunção exclusiva, como veremos, esta só é verdadeira quando uma disjunta é verdadeira e a outra é falsa. Veja-se a tabela de verdade da disjunção inclusiva : A disjunção exclusiva ( ∨V ou / ou) de 2 proposições p e q é uma nova proposição p ∨V q que é verdadeira quando p e q têm valores lógicos distintos e falsa quando ambas possuem o mesmo valor. Tabela : V F V F V V F V q F F V F p V∨ q p V F V V V V F V q F F V F p ∨ q p
  • 9. Condicional ou implicação material  Duas proposições “ p ” e “ q ” podem ser relacionadas pela conectiva se… então para formar uma proposição condicional, por ex.: “ Se chove a relva fica molhada ”, representada simbolicamente por p  q ( se p, então q ); em que a proposição p é a chamada antecedente e q é a chamada consequente . De acordo com a regra da implicação, só há uma situação, entre as combinatórias de valores de verdade, em que a proposição condicional é falsa, ou seja, quando p (antecedente) é verdadeiro ( V ) e q (consequente) é falso ( F ); nas restantes situações a proposição condicional é verdadeira. A tabela de verdade da implicação resulta: Bicondicional ou equivalência material  Duas proposições “ p ” e “ q ” podem ser relacionadas pela conectiva se e só se para formar uma proposição bicondicional, por ex.: “ Se e só se tiveres dezoito anos é que podes votar ”, representada simbolicamente por p  q ( se e só se p, então q ). De acordo com a regra a proposição bicondicional ou equivalência, é verdadeira ( V ) se p e q tiverem o mesmo valor lógico e falsa se tiverem valores lógicos diferentes . A tabela de verdade da bicondicional resulta: F F V V V V F V q V F V F p  q p F F V V V V F V q V F F F p  q p
  • 10. Tabuada dos valores de verdade das conectivas lógicas F V p Negação V V F F F F F V F V V V F V F F F F V V F F V ~p V V F V V V V p  q p  q p ∨ V q p ∨ q p ∧ q q p
  • 11.
  • 12.
  • 13. Fim Exercício: Determine a validade do argumento que se segue, recorrendo quer ao método das tabelas de verdade quer ao inspector de circunstâncias. “ Se Pedro está inocente , algumas provas são forjadas . Nenhuma das provas é forjada. Logo, Pedro não está inocente.”  Pelo método das tabelas de verdade: 1º passo : identificar as proposições e simbolizá-las pelas letras: p, q, … No caso deste argumento, temos: “ O Pedro está inocente” = p “ Algumas das provas são forjadas” = q ( atenção : que as outras proposições não são mais que as negações destas; portanto bastam-nos estas duas) O inspector de circunstâncias É possível determinar também a validade dedutiva de muitos argumentos recorrendo não apenas ao método das tabelas de verdade, mas a outro tipo de tabelas denominado inspector de circunstâncias. Para tal constrói-se uma tabela que mostre em cada coluna o valor de verdade de cada uma das premissas e da conclusão em todos os casos possíveis (4 se temos 2 variáveis proposicionais, 8 se temos 3, e assim sucessivamente segundo a fórmula, já explicada, 2 n ). Analisa-se todos os casos de combinação possíveis dos valores de verdade e concluir-se-á que é válido se, e apenas se, em nenhum caso possível tiver todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
  • 14. Fim Exercício: (cont.) 2º passo : formalizar o argumento simbolizando as relações entre as proposições: p  q [ (p  q) ∧ ~ q ]  ~ p ~q _____ ~ p 3º passo : calcular o valor lógico de [ (p  q) ∧ ~ q ]  ~ p , pelo método das tabelas de verdade : 1 2 3 (sequência das operações) [ (p  q) ∧ ~ q ]  ~ p V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F V F V V V V    Como se vê, todos os valores apurados no resultado são verdadeiros (tautologia), o que nos permite afirmar que estamos perante uma forma válida, logo o argumento é dedutivamente válido .
  • 15.
  • 16.
  • 17. Aplicando o inspector de circunstâncias (cont.): 1ª Pre 2ª Pre Conclusão p q p  q, ~ p  ~ q V V V F F V F F F V V F V V F V F V V V Verifica-se a circunstância em que temos premissas verdadeiras e conclusão verdadeira (linha 4); só que também premissas verdadeiras, mas conclusão falsa na linha 3. Dada esta circunstância o argumento já não pode ser válido . Se recorrermos à tabela de verdade ela confirma , obviamente, a invalidade do argumento apresentado: 1 2 3 (sequência das operações) [ (p  q) ∧ ~ p ]  ~ q V V V F F V F V F F F F V V F V V V V F F F V F V V V V Como se constata (o resultado não é uma tautologia, pois um dos valores é F – linha 3), a tabela demonstra também a invalidade do argumento.
  • 18. Fim J. A. Duarte Outubro.07