Lógica: Notas de Aulas sobre Proposições e Tabelas Verdade

NOTAS DE AULAS DE LÓGICA
Professor Joselias – joselias@uol.com.br
www.concurseiros.org
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Lógica
Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é
relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de
vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do
pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é
matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo
Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois
a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da
estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formas
ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das
relações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do que
venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao
nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de
proposições denominadas premissas ou conclusões.
1 - DEFINIÇÃO:
1.1 - Proposição:
Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos.
1) Exemplo:
a) O Professor Joselias é bonito.
b) O Brasil é um País da América do Sul.
c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.
Evidente que você já percebeu que as proposições devem assumir os valores falsos ou
verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que
uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser
expressa por distintas orações, tais como: “Pedro é maior que Carlos”, ou podemos
expressar também por “Carlos é menor que Pedro”.
Observe ainda que as proposições receberão os valores lógicos como sendo verdadeiro(V)
ou falso(F).
2) Exemplo:
Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira então
representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V.
Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é falsa então representaremos
o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F.
Sendo assim a frase “Bom dia!” não é uma proposição, pois não admite o atributo
verdadeiro ou falso.

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Portanto não serão proposições as seguintes expressões:
Exclamações: “Que belo dia!”, “Boa sorte!”.
Interrogações: “Joselias é um bom professor?”, “Que horas são?”, “ O jogo terminou
empatado?”.
Imperativos: “Faça seu trabalho corretamente.”, “ Estude e limpe o quarto.”.
Paradoxos: “Esta proposição é falsa”.
Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições:
1 – Princípio da não-contradição:
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.
2 – Princípio do Terceiro Excluído:
Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F),
não podendo ter outro valor.
Logo, voltando ao exemplo anterior temos:
a) “O Professor Joselias é bonito” é uma proposição verdadeira.
b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.
c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.
As proposições serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . .
As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de
operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).
Os conectivos serão representados da seguinte forma:
¬ corresponde a “não”
∧ corresponde a “e” (conjunção)
∨ corresponde a “ou” (disjunção)
→ corresponde a “então” (condicional)
↔ corresponde a “se e somente se” (bi-condicional)
Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com
a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:
• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)
Exemplo:
3) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:
a ∧ b = “Chove e faz frio”
• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b, ou também ou a ou b)
Exemplo:
a ∨ b = “Chove ou faz frio”
• Condicionais: a → b (lê-se: Se a então b)

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Exemplo:
a → b = “Se chove então faz frio”
• Bi-condicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)
Exemplo:
a ↔ b = “Chove se e somente se faz frio”
Exemplo:
7) Seja a sentença: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso”
Sejam as proposições:
p = “Cacilda é estudiosa”
q = “Ela passará no concurso”
Então poderemos representar a sentença da seguinte forma:
Se p então q ( ou p → q ).
1.2 - TABELA VERDADE
Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo
através da tabela verdade.
a. Valor verdade de ¬P
P ¬P
V F
F V
A negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P é
falso, e vice-versa.
b. Valor verdade de P∧Q
P Q P∧Q
V V V
V F F
F V F
F F F
O valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se e somente se VAL (P)
e VAL (Q) são verdades.
c. Valor verdade de P∨Q
P Q P∨Q

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V V V
V F V
F V V
F F F
O valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL(P∨Q) é falso se e somente se VAL(P) e
VAL (Q) são falsos.
d. Valor verdade de P → Q
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
O valor verdade da molécula P → Q é tal que VAL(P → Q) = F se e somente se VAL(P) =
V e VAL (Q) = F
e. Valor verdade de P ↔ Q
O valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que VAL( P↔Q ) = V se e somente se VAL (P) e
VAL (Q) tem os mesmos valores verdade.
Então, para α e β sendo moléculas, teremos a tabela verdade completa da seguinte
forma:
Exemplo:
8) Sejam as proposições p e q, tal que:
p = ”Está calor”
q = ”Está chovendo”
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
α β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ β
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V

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Descrever as seguintes proposições abaixo:
a) ¬p
b) p ∨ q
c) p ∧ q
d) p → q
e) p ↔ q
Solução:
a) ¬p = “Não está calor”
b) p ∨ q = “Está calor ou está chovendo”
c) p ∧ q = “Está calor e está chovendo”
d) p → q = “Se está calor, então está chovendo”
e) p ↔ q = “Está calor se e somente se está chovendo”
9) Seja p = “Joselias é magro” e q = “ Joselias é bonito”. Represente cada uma das
seguintes afirmações em função de p e q:
a) “Joselias é magro ou bonito”
b) “Joselias é magro e bonito”
c) “Se Joselias é magro, então é bonito”
d) “Joselias não é magro, nem bonito”
Solução:
a) “Joselias é magro ou bonito” = p ∨ q
b) “Joselias é magro e bonito” = p ∧ q
c) “Se Joselias é magro, então é bonito” = p → q
d) “ Joselias não é magro, nem bonito” = ¬p ∧ ¬q
10) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a) (p → q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.
b) (p ∧ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.
c) (p ↔ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.
d) (p ∨ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.
e) (¬p) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.
Solução
a) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a
proposição (p → q) falsa.
b) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição (p ∧ q) falsa.
c) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a
proposição (p ↔ q) falsa.
d) A opção é correta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (p∨q)
sempre verdadeira.
e) A Opção é incorreta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (¬p)
sempre falsa.
Opção correta: D.

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11) Se (p → q) é uma proposição verdadeira então podemos afirmar que:
a) p é uma proposição verdadeira.
b) q é uma proposição verdadeira.
c) Se p é uma proposição falsa, então q é uma proposição verdadeira.
d) se q é uma proposição verdadeira então p é uma proposição verdadeira.
e) se q é uma proposição falsa então p é uma proposição falsa.
Solução
a) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)
verdadeira.
b) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)
verdadeira.
c) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)
verdadeira.
d) A opção é incorreta, pois podemos ter a proposição q verdadeira e a proposição p falsa.
e) A opção é correta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição p
necessariamente falsa.
Opção correta: E.
12) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo
Solução
Desenvolvendo a tabela verdade teremos:
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q
V V F F V V
V F F V V F
F V V F V F
F F V V F F
p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q
V V V
V F F F
F V F
F F V
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q
V V F
V F V
F V V F
F F V

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Solução
p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q
V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F V F F
F F V V V V V
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q
V V F V V F
V F F
F V V V F
F F V V V
Solução
p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q
V V F F V V F F
V F F V V F F V
F V V F V F F V
F F V V F F V V
15) Determinar o valor verdade da proposição (P ∧ Q) →R, sabendo-se que VAL (P) =
V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F.
Solução
P Q R p ∧ q (P ∧ Q) →R
V V V V V
V V F V F
V F V F V
F V V F V
V F F F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
Logo o VAL(P ∧ Q) →R) = F

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1.3 - Exercícios Propostos
Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE)
Considere as sentenças abaixo.
I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então
fumar deve ser proibido.
V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser
proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,
julgue os itens seguintes.
1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).
2) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).
3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.
5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→((¬ R) ∧ (¬ P)).
Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE)
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ ,
∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,
ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um
único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca
ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q)
também é verdadeira.

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7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T)
é falsa.
9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.
10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição
(P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.
11) Determine o valor verdade da sentença
[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)].
Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V
Resposta: {[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = F
Obs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.
12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que:
VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V
Resposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F
TAUTOLOGIA
São moléculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos
valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. Para verificar se uma
proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valores
da proposição forem verdadeiros teremos uma tautologia.
Exemplo:
16) Assinale quais das proposições abaixo são tautologias.
a) (p ∨ ¬p)
b) (p → p)
c) ¬(¬p) ↔ p
Solução
a) (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:
p ¬p p ∨ ¬p
V F V
F V V

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b) (p → p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:
p p → p
V V
F V
c) ¬(¬p) ↔ p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:
p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ p
V F V V
F V F V
CONTRADIÇÕES
São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições
(átomos) as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a
tabela verdade da proposição. Se todos os valores da proposição forem falsos teremos uma
contradição.
Exemplo:
17) Assinale quais das proposições abaixo são contradições.
a) (p ∧ ¬p) b) (p ↔ ¬p)
Solução
a) (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:
p ¬p p ∧ ¬p
V F F
F V F
b) (p ↔ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:
p ¬p p ↔ ¬p
V F F
F V F
CONTINGÊNCIA
São moléculas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições (átomos).
Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela verdade da
proposição. Se os valores da proposição forem alguns verdadeiros e outros falsos teremos
uma contingência.

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Exemplo:
18) Assinale quais das proposições abaixo são contingências.
a) ¬p ∨ ¬q b) ¬p ∨ q
Solução
a) ¬p ∨¬q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela
verdade:
b) ¬p∨q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificar
se duas proposições são equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se as
tabelas forem iguais elas são equivalentes.
Exemplo:
19) Assinale se as proposições abaixo são equivalentes.
a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)
b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)
c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)
d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)
Solução
a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.
p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
p q ¬p ¬p ∨ q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
p q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p ¬q (¬p∨ ¬q)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V

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b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.
c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.
d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p). Veja que as tabelas-verdade são iguais.
p q (p→q) ¬q ¬p (¬q → ¬p)
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Observações:
Sobre o emprego dos parênteses é importante convencionar que o ¬ afeta a
proposição mais próxima à sua direita. Deste modo a proposição (¬p ∨ q) é uma disjunção,
pois o não(¬) só afeta a proposição p. Por outro lado ¬(p ∨ q) é uma negação pois o
não(¬) só afeta a proposição (p ∨ q). Vale a pena ressaltar que os conectivos ∨, ∧ e o ∨
têm prioridade sobre o → e o ↔.
É conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalências
importantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalências:
EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES:
a) (p∨q) é equivalente a (q∨p)
b) (p∧q) é equivalente a (q∧p)
c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p)
d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)
e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)
p q (p∨q) ¬(p∨q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q)
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
p q (p→q) ¬p (¬p∨q)
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V

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f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)
g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)
h) ¬(¬p) é equivalente a p
i) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p)
j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q)
l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q)
Sabemos que duas proposições são equivalentes se e somente se elas possuem a
mesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposições equivalentes
através do conectivo ↔(bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos uma
tabela das principais tautologias para os concursos públicos:
TAUTOLOGIAS IMPORTANTES:
a) (p ∨ ¬p)
b) (p → p)
c) (p ↔ p)
c) ¬(¬p) ↔ p
d) (p→q) ↔ (¬p∨q)
e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva)
f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan)
g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan)
h) ¬(¬p) ↔ p
i) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q)
j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q)
Exercícios Propostos
13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições:
a) O Professor Joselias é bonito.
b) O Brasil é um País da América do Sul.
c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.
d) Que belo dia!
e) Boa sorte!
f) Joselias é um bom professor?
g) Que horas são?
h) O jogo terminou empatado?
i) Faça seu trabalho corretamente.
j) Estude e limpe o quarto.
l) Esta frase é falsa

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m) 2 + 3 > 5
n) x + y > 5
o) A terra é um planeta.
p) x é um planeta.
14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um:
a. Contradição

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b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um:
a. Contradição
b. Contingência
c. Tautologia
d. Paradoxo
e. N.R.A
22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então:
a. Q é condição suficiente para P.
b. P é condição necessária para Q.
c. Q não é condição necessária para P
d. P é condição suficiente para Q.
e. P não é condição suficiente nem necessária para Q.
23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é
solteira.” é:
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.
c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.
d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.
e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.
24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente
equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

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25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,
o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-
chuva” é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição é
equivalente a
28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a
é
29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) é
a) ~(p ∨ q)
b) (~p ∧ q)
c) (p ∨ q)
d) (p ∧ ~q)
e) (~p ∨ q)
IMPLICAÇÕES

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(p → q)
Condições necessárias e suficientes:
Na proposição condicional (p → q) denotamos a proposição p como antecedente e
a proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição
suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de
condição necessária para p.
Exemplo:
19) Sejam as proposições:
p = “ Joselias é carioca”.
q = “Joselias é brasileiro”.
Temos que a proposição p → q representa a seguinte sentença: “Se Joselias é carioca
então Joselias é brasileiro”.
Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição suficiente para a
sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” é
condição necessária para a sentença “Joselias é carioca”.
A proposição (p → q) é lida de várias maneira distintas, como segue:
a) Se p, então q.
b) Se p, q.
c) q, se p
d) p implica q.
e) p acarreta q.
f) p é suficiente para q.
g) q é necessário para p.
h) p somente se q.
i) p apenas se q.
Exemplo:
20) A proposição “Se ele me ama, então casa comigo” pode ser enunciada também das
seguintes maneiras:
a) “Se ele me ama, então casa comigo”.
b) “Se ele me ama, casa comigo”.
c) “Ele casa comigo, se ele me ama”.
d) “Ele me ama implica em casa comigo”.
e) “Ele me ama carreta casa comigo”.
f) “Ele me amar é suficiente para casar comigo”.
g) “ Casar comigo é necessário para me amar”.
h) “Ele me ama somente se casa comigo”.
i) “Ele me ama apenas se casa comigo”.
Recíproca contrária e contra-positiva:
Se p e q são proposições então:

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a) Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p).
b) Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q).
c) Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p).
Exemplo:
21) Considere a sentença condicional “Se Joselias é carioca então Joselias é
brasileiro”. Temos então:
a) A recíproca é “Se Joselias é brasileiro então Joselias é carioca”.
b) A contrária é “Se Joselias não é carioca então Joselias não é brasileiro”.
c) A contra-positiva é “Se Joselias não é brasileiro então Joselias não é carioca”.
Equivalência de (p → q):
Entre as equivalências da proposição (p → q) destacamos algumas das mais
freqüentes:
a) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q).
Isto quer dizer que “(Se p então q) é equivalente a (não p ou q)”. Podemos então
afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele não me
ama ou casa comigo”.
b) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (contra-positiva)
Isto quer dizer que “(Se p, então q) é equivalente a (Se não q, então não p)”.
Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente
a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”.
c) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q)
Isto quer dizer que a negação de (Se p, então q) é equivalente a (p e não q).
Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é
equivalente a “Ele me ama e não casa comigo”
BI-CONDICIONAL(IMPLICAÇÃO DUPLA)
(p ↔ q)
Na proposição bicondicional (p ↔ q) denotamos a proposição p como antecedente e a
proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição
necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é
chamada de condição necessária e suficiente para p.
Exemplo:
p = “ Joselias é carioca”.
q = “Joselias é brasileiro”.

19
Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Joselias é carioca se e
somente se Joselias é brasileiro”.
Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição necessária e
suficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é
brasileiro” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é carioca”.
A proposição (p ↔ q) é lida de várias maneira distintas, como segue:
a) p se e somente se q.
b) p se e só se q.
c) p é condição necessária e suficiente para q
e p é equivalente a q
Exemplo:
23) A proposição “Se ele me ama se e somente se casa comigo” pode ser enunciada
também das seguintes maneiras:
a) “Se ele me ama se e somente se casa comigo”.
b) “Se ele me ama se e só se casa comigo”.
c) “Ele me ama é condição necessária e suficiente para ele casa comigo”.
d) “Ele me ama é equivalente a ele casa comigo”.
Equivalência de (p ↔ q):
Entre as equivalências da proposição (p ↔ q) destacamos algumas das mais
freqüentes:
a) (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧(q → p).
Isto quer dizer que “(p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q
então p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa
comigo” é equivalente a “Se ele me ama então casa comigo, e se ele casa comigo então
ele me ama”.
b) (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) (contra-positiva)
Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se
não p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa
comigo” é equivalente a “Ele não casa comigo se e somente se ele não me ama”.
c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) (recíproca)
Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p)”.
Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é
equivalente a “Ele casa comigo se e somente se ele me ama”.
d) (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) (contrária)
Isto quer dizer que (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se não
q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é
equivalente a “Ele não me ama se e somente se ele não casa comigo”

20
d) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q)
Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se
somente se não q) Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama se e
somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama se somente se não casa comigo”.
OU EXCLUSIVO
p∨ q
(ou p ou q mas não ambos)
A proposição p∨ q representará a disjunção exclusiva(ou exclusivo), e significa
ou p ou q mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta será F quando
ambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assim
teremos a seguinte tabela verdade:
p q p∨ q
V V F
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
p = “Eu trabalho”
q = “Eu estudo”
A proposição p∨ q significa “Ou eu trabalho ou estudo, mas não ambos”.
Equivalência de p∨ q:
Entre as equivalências da proposição p∨ q destacamos algumas das mais
freqüentes:
a) p ∨ q é equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
Isto quer dizer que (p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não q) ou (não p
e q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama ou casa comigo, mas não
ambos” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo, ou ele não me ama e casa
comigo”.
b) ¬(p ↔ q) é equivalente a p ∨ q.
Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p ou q,
mas não ambos). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Ele me ama se e

21
somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama ou casa comigo, mas não
ambos”.
NEGAÇÃO
(¬, ~)
A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a proposição p é
verdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição
¬p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu não
estudo”.
Conforme as equivalências podemos negar as proposições compostas conforme o
quadro abaixo:
PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO
p ¬p
(¬p) p
(p ∨ q) (¬p ∧ ¬q)
(p ∧ q) (¬p ∨ ¬q)
( p→ q) ( p ∧ ¬q )
(p ↔ q) (p ↔ ¬q)
(p ↔ q) p ∨ q.
Exemplos:
25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenças da seguinte forma:
a) A negação da sentença “ Eu trabalho” é “Eu não trabalho”
b) A negação da sentença “ Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo”
c) A negação da sentença “ Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”.
d) A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e não
estudo”.
e) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho se
somente se não estudo”.
f) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho ou
estudo, mas não ambos”.
26) (CESGRANRIO)Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamo
André, então eu passo no vestibular.” é:
(A) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular.
(B) Se eu passo no vestibular, então me chamo André.
(C) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André.
.(D) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André.
(E) Eu passo no vestibular e não me chamo André.

22
Solução
p = “Eu me chamo André”.
q = “Eu passo no vestibular”.
Sendo assim a sentença:
“Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.”
( p → q)
é equivalente a
(¬q → ¬p)
(Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André).
Resposta: D
27) (CESGRANRIO) A negação de “se hoje chove então fico em casa” é:
(A) hoje não chove e fico em casa.
.(B) hoje chove e não fico em casa.
(C) hoje chove ou não fico em casa.
(D) hoje não chove ou fico em casa.
(E) se hoje chove então não fico em casa.
Solução
p = “Hoje chove”.
q = “Fico em casa”.
Sendo assim a negação da sentença sentença:
¬ (Se hoje chove então fico em casa)
¬ ( p → q)
é equivalente a
( p ∧ ¬q )
(Hoje chove e não fico em casa)
Resposta: B
28) (CESGRANRIO) Considere as fórmulas:
I - (p ∧ q) → p
II - (p ∨ q) → p
III - (p ∧ q) → (p ∨ q)
É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s):
(A) I, somente.
(B) II, somente.
(C) III, somente.
(D) I e III, somente.

23
(E) I, II e III.
Solução
Considere a tabela verdade abaixo:
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → p (p ∨ q) → p (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V V V V
V F F V V V V
F V F V V F V
F F F F V V V
Observe que somente I e III são tautologias.
Resposta: D
30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) é
a) ~(p ∨ q)
b) ~ (p ∧ q)
c) (p ∨ q)
d) (p ∧ ~q)
e) (~p ∨ q)
31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição.
a) (p ∨ q) → (p ∧ q)
b) (p ∨ q) → q
c) (~p ∨ p) → (~p ∧ p)
d) p→ (p ∧ q)
e) p→ (p ∨ q)
32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia.
a) (~p ∨ p) → q
b) (p ∨ q) → (p ∧ q)
c) (p ∨ q) → q
d) p→ (p ∧ q)
e) p→ (p ∨ q)
33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
p q ?
V V F
V F F
F V V
F F F

24
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
a) (p ∧ q)
b) (~p ∧ ~q)
c) (p ∧ ~q)
d) (~p ∧ q)
e) (p → q)
p q ?
V V F
V F F
F V F
F F V
a) (p ∧ q)
b) (~p ∧ ~q)
c) (p ∧ ~q)
d) (~p ∧ q)
e) (p → q)
35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua
tabela-verdade é
p q r s
V V V F
V V F V
V F V V
F V V F
V F F F
F V F F
F F V F
F F F F
Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças
equivalentes a s. Uma dessas sentenças é
a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]
b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]
c. [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]
d. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]
e. ~ [p ∧ q ∧ r]

25
p q ?
V V V
V F V
F V V
F F F
a) (p ∨ q)
b) (~p ∧ ~q)
c) (p ∧ ~q)
d) (~p ∧ q)
e) (p → q)
tabela-verdade é
p q r s
V V V V
V V F V
V F V F
F V V F
V F F V
F V F V
F F V V
F F F V
a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]
b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]
c. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]
d. [p ∨ q ∨ r]
e. ~ [p ∧ q ∧ r]
38) Considere as afirmações abaixo.
I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.
II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia.
III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .
É verdade o que se afirma APENAS em
a. I.
b. II e III
c. I e III.
d. I e II.

26
e. I, II e III.
39) Considere as afirmações abaixo.
I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .
II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ .
III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .
É verdade o que se afirma APENAS em
a. I.
b. II e III
c. I e III.
d. I e II.
e. I, II e III.
40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa
um:
(A) Contradição
(B) Contingência
(C) Tautologia
(D) Dilema
(E) Inconsistência
41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um:
(A) Contradição
(B) Contingência
(C) Tautologia
(D) Dilema
(E) Inconsistência
42) Considere a seguinte declaração:
Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos.
Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração.
a. Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente
sabia.
b. Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos.
c. Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o
presidente sabia.
d. Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia.
e. Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade.
43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um:
(A) Contradição

27
(B) Contingência
(C) Tautologia
(D) Dilema
(E) Inconsistência
44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os
aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para
que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte
proposição:
(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um:
(A) Contradição
(B) Contingência
(C) Tautologia
(D) Dilema
(E) Inconsistência
46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em
Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.
(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
Sentenças Abertas e Sentenças Gerais
Conforme vimos nas páginas anteriores, as proposições são declarações que podem
receber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenças abaixo são proposições:
a) Joselias é um professor.
b) 2 é um número natural.
c) 4 + 6 > 10
Podemos pensar nas seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributo
verdadeiro ou falso:
1) X é um professor.
2) n é um número natural.
3) x + y >10

28
Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentenças
abertas acima, poderíamos ter, por exemplo, as proposições dos casos anteriores a, b e c
respectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em
proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial.
Quantificador universal:
∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”.
Quantificador Existencial:
∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”.
Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas em
proposições falsas ou verdadeira, por exemplo:
a) A sentença “ n∃ ∈ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira.
b) A sentença “( )( )( )10x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + > ” é uma proposição falsa.
As proposições que iniciam com os quantificadores são chamadas de sentenças gerais.
As negações das sentenças gerais podem ser feitas da seguinte maneira:
Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x.
Então temos:
( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬
( )( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬
( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬
( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬
( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬
Número de linha da tabela verdade
È comum questões de concursos perguntarem sobre o número de linhas da tabela
verdade. No momento vamos apenas deixar algumas fórmulas, que serão demonstradas no
capítulo de análise combinatória:
O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n
proposições simples é 2n
.
Aproveitamos também para esclarecer que o número de proposições não
equivalentes a uma proposição composta de n proposições simples é
2
2
n
.
Exemplos:
29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

29
II.
5
x y+
é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS
(A)) I e II são sentenças abertas.
(B) I e III são sentenças abertas.
(C) II e III são sentenças abertas.
(D) I é uma sentença aberta.
(E) II é uma sentença aberta.
Solução
I é uma sentença aberta definida no conjunto de jogadores do mundo.
II é uma sentença aberta, pois pode apresentar várias soluções inteiras ou não.
Logo apenas I e II são sentenças abertas e III é uma proposição.
Opção correta A
30) Escreva as sentenças a seguir na linguagem usual:
a) ( )( )( )2x y x y∀ ∈ ∃ ∈ + <
b) ( )( )( )2 2
0x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥
Solução
a) Para todo número x pertencente ao conjunto do números reais existe um número y
também pertencente ao conjunto dos reais tal que x + y <2.
b) Para qualquer números x e y pertencentes ao conjunto dos números reais temos que
2 2
0x y+ ≥ .
31) (CESGRANRIO) Sendo A e B conjuntos, considere a afirmação:
“para todo x∈ A, existe y ∈B tal que x<y”.
Negar tal afirmação equivale a afirmar que:
(A) para todo x∈A, existe y∈B tal que x > y.
(B) para todo x∈A, existe y∈B tal que x≥ y.
(C) existe x∈A tal que, para todo y∈B, x > y.
(D) existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y.
(E) existem x∈A e y∈B tais que x≥ y.
Solução
( )para todo x A, existe y B tal que x<y¬ ∈ ∈
( )( x A)( y B)(x<y)¬ ∀ ∈ ∃ ∈
( x A)( ( y B)(x<y))∃ ∈ ¬ ∃ ∈
( x A)(( y B) (x<y))∃ ∈ ∀ ∈ ¬
( x A)(( y B)(x y))∃ ∈ ∀ ∈ ≥

30
“existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y”
Opção correta: D
47) Sendo " "x∈ a proposição “x é um número real” e " "x∈ a proposição “x é
um número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os números
reais são naturais” e:
a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉
b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉
c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈
d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉
e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉
48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições
compostas de três átomos é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
49) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições
compostas de n átomos é:
a) 2
b) 2n
c) 2n
d) 3n
e) 3n
50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é:
a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥
b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥
c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥
d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥
e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥
51) Assinale a opção correta:
a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele seja
positivo.
b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja
positivo.

31
c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele
seja positivo.
d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para
que seja maior que 2.
e) Nenhuma das opções anteriores.
52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições
não equivalentes de um átomo é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
não equivalentes de dois átomos é:
a) 4
b)8
c) 9
d) 16
e) 20
não equivalentes de três átomos é:
a) 16
b) 32
c) 64
d) 128
e) 256
não equivalentes de n átomos é:
a) n
b) 2n
c) 2n
d) 2
2
n
e) 2
2 n
56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que:
a) Se 4<x então 2≠y .
b) Se 4≤x então 2≠y .
c) Se 2=y então 4>x .

32
d) Se 2≠y então 4≤x .
e) Se 2≠y então 4<x .
tabela-verdade é
p q r s
V V V V
V V F V
V F V V
F V V V
V F F V
F V F V
F F V V
F F F F
a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]
b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]
c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]
d) [p ∨ q ∨ r]
e) ~ [p ∧ q ∧ r]
58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é:
a) " 3 2"x y= ∧ ≥
b) " 3 2"x y= ∧ >
c) " 3 2"x y= ∨ ≥
d) " 2 3"x y≠ ∧ <
e) " 3 2"x y≠ ∨ <
59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que:
a) se 3x ≠ então 7y ≠
b) se 7y = então 3x =
c) se 7y ≠ então 3x ≠
d) se 7y > então 3x =
e) 3x ≠ ou 7y ≠
60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou
Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:
(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei.
(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete.
(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.

33
(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete.
(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.
61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é:
(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”.
(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”.
(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”.
(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”.
(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.
62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é:
(A) não sabe matemática e sabe português.
(B) não sabe matemática e não sabe português.
(C) sabe matemática ou sabe português.
(D) sabe matemática e não sabe português.
(E) sabe matemática ou não sabe português.
A expressão ( )( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de
predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as
suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique.
Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.
63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o
predicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.
ARGUMENTOS
Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que
algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. Isto é, o conjunto de
proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q.
Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição
q de conclusão do argumento.
Podemos representar por:
p1
p2
p3
.
.
.
pn
∴q
Exemplos:
32) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.
Passei no concurso

34
∴ Irei Trabalhar
33) Se ele me ama então casa comigo.
Ele me ama
∴ Ele casa comigo
34) Todos os brasileiros são humanos.
Todos os paulistas são brasileiros.
∴Todos os paulistas são humanos
35) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.
Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho .
∴Todos os jogadores receberão o bicho
NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e
separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes.
Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.
Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.
Todos os sabões são sais de sódio
Conclusão: ∴Todos os sabões são substâncias solúveis em água.
VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um
argumento diremos que ele é válido ou não válido.
A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura)
lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo
assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.
Exemplo:
36)
Todos os apartamentos são pequenos. ( V )
Todos os apartamentos são residências. ( V )
∴ Algumas residências são pequenas. ( V )
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.
Exemplo:
37)

35
Todos os peixes têm asas. ( F )
Todos os pássaros são peixes. ( F )
∴ Todos os pássaros têm asas. ( V )
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.
Exemplo:
38)
Todos os peixes têm asas. ( F )
Todos os cães são peixes. ( F )
∴ Todos os cães têm asas. ( F )
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as
conclusões também as seriam.
Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são
verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será
não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão
falsa.
Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.
Exemplo:
39)
Todas as mulheres são bonitas.
Todas as princesas são mulheres.
∴ Todas as princesas são bonitas.
Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para
concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesas
por A, B e C respectivamente e teremos:
Todos os A são B.
Todos os C são A.
∴ Todos os C são B.
Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto
é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqüência
da forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Os argumentos são divididos em dois grupos:
• dedutivos
• indutivos
O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da
veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é
completamente derivada das premissas.

36
Exemplo:
40)
Todo ser humano têm mãe.
Todos os homens são humanos.
∴Todos os homens têm mãe.
O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para
ratificar as conclusões.
Exemplo:
41)
O Flamengo é um bom time de futebol.
O Palmeiras é um bom time de futebol.
O Vasco é um bom time de futebol.
O Cruzeiro é um bom time de futebol.
∴Todos os times brasileiros de futebol são bons.
Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as
fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos
válidos ou não válidos para argumentos indutivos.
ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS
Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos
argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e
não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter
um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir
exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.
AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE
O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do
antecedente” , (também conhecido como modus ponens).
Então vejamos:
Exemplo:
42)
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.
José foi reprovado no concurso.
∴ José será demitido do serviço.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:
Se p, então q.

37
p.
∴ q.
ou
p q→
p
∴ q
NEGAÇÃO DO CONSEQUENTE
Outro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido como
modus tollens).
Obs.: Vimos nas páginas anteriores que ( )p q→ é equivalente a ( )q p¬ → ¬ . Esta
equivalência é chamada de contra-positiva.
Exemplo:
43)
“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então
ele não me ama”.
Então vejamos o exemplo do modus tollens.
Exemplo:
44)
• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação.
• Não há inflação
∴Não aumentamos os meios de pagamentos.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:
Se p, então q.
Não q.
∴ Não p.
ou
p q→
q¬
∴ p¬

38
Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmente
este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas
indesejáveis.
Exemplo:
45)
João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus
colegas de trabalho estão torcendo por ele.
Eis o dilema de João:
• Ou João passa ou não passa no concurso.
– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.
– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.
∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de
trabalho.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:
p ou q.
Se p então r.
Se q então s.
∴ r ou s
ou
p q∨
p r→
q s→
∴ r s∨
ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOS
Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas
de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por
exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as
premissas não sustentam a conclusão.
Exemplo:
46)
Todos os mamíferos são mortais. ( V )
Todos os gatos são mortais. ( V )
∴Todos os gatos são mamíferos. ( V )
Este argumento tem a forma:
Todos os A são B

39
Todos os C são B
∴Todos os C são A
Podemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não
sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a
conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por
cobra.
Todos os mamíferos são mortais. ( V )
Todos os as cobras são mortais. ( V )
∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F )
FALÁCIA DA AFIRMAÇÃO DO CONSEQUENTE
Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido,
então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. A
seguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. O
primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de
“falácia da afirmação do conseqüente”.
Exemplo:
47)
Se ele me ama então ele casa comigo.
Ele casa comigo.
∴Ele me ama.
Podemos escrever este argumento como:
Se p, então q.
q.
∴ p.
ou
p q→
q
∴ p
Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
FALÁCIA DA NEGAÇÃO DO ANTECEDENTE
Outra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do
antecedente”.

40
Exemplo:
48)
Se João parar de fumar ele engordará.
João não parou de fumar.
∴João não engordará.
Observe que temos a forma:
Se p, então q.
Não p.
∴ Não q.
ou
p q→
p¬
∴ q¬
Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão
falsa.
PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES
As proposições serão classificadas em:
• universais
• particulares
As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do
conjunto.
Exemplo:
49) “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.
Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.
Exemplo:
50)“O cão é mamífero”.
As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte
do conjunto.
Exemplo:
51) “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.
PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS
As proposições também se classificam em:
• afirmativas

41
• negativas
No caso de negativa podemos ter:
1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S
é P”.
2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por
“algum S não é P”.
No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos então de proposição
categórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum
S não é P” e “nenhum S é P”.
Então teremos a tabela:
SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICA
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento
formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas
são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).
Teremos também três termos:
• Termo menor – sujeito da conclusão.
• Termo maior – predicado da conclusão.
• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na
conclusão.
Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que
contém o termo menor.
Exemplo:
52)
Todas as mulheres são bonitas.
Todas as princesas são mulheres.
∴ Todas as princesas são bonitas.
Termo menor: as princesas
Termo maior: bonitas
Termo médio: mulheres
Premissa menor: todas as princesas são mulheres.
Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.

42
ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO:
1. Todo silogismo deve conter somente três termos;
2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;
3. O termo médio não pode constar na conclusão;
4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é
válido.
5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão;
6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular;
7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.
DIAGRAMA DE EULER
Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.

43
Exemplo:
53) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:
Todos os A são B
Todos os C são A
∴Todos os C são B
Solução
Se as duas premissas são verdadeiras teremos:
Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.
Portanto o argumento é válido.
Exemplo:
Todo A é B
Todo C é B
∴Todo C é A
Solução
Observe que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumento
não é válido.
Exemplo:
Algum A é B
Todo B é C
∴Algum A é C
Solução

44
Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.
Portanto o argumento é válido.
Exemplo:
55) (FGV) – Considere as seguintes proposições:
I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”.
II. “Ser ou não ser, eis a questão”.
III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais
belo que o rio que corre pela minha aldeia”.
É correto então afirmar-se que:
a)Em I está presente uma tautologia.
b)Em II está presente uma contradição.
c)Em III está presente um dilema.
d) I e II são contradições.
e) Nenhuma da opções anteriores
Solução
Observe que:
I - “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come” é um
dilema.
II - “Ser ou não ser, eis a questão” é uma tautologia.
III - “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais belo
que o rio que corre pela minha aldeia” é uma contradição.
Resposta: E
Exemplo:
56) Sejam as declarações:
Se o governo é bom então não há desemprego.
Se não há desemprego então não há inflação.
Ora, se há inflação podemos concluir que:
a. A inflação não afeta o desemprego.
b. Pode haver inflação independente do governo.
c. O governo é bom e há desemprego.
d. O governo é bom e não há desemprego.
e. O governo não é bom e há desemprego.
Solução
Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:

45
O governo é bom não há desemprego (V)
Não há desemprego não há inflação (V)
Há inflação (V)
→
→
Como a terceira premissa é verdadeira temos:
F
V
Há inflação (V)
→
→
Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há inflação) é falso,
sendo assim temos que o antecedente(Não há desemprego) tem que ser falso. Logo temos:
FF
V
Há inflação (V)
→
→
Conseqüentemente obtemos:
F
FF
V
Há inflação (V)
→
→
Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há desemprego) é
falso, sendo assim temos que o antecedente(O governo é bom) tem que ser falso. Logo
temos:
F F
FF
V
Há inflação (V)
→
→
Como o argumento é válido, as conclusões são as proposições verdadeiras:
Há inflação.(V)
Há desemprego.(V)
O governo não é bom.(V)
Resposta: E

46
Exemplo:
57) Sejam as declarações:
Se ele me ama então ele casa comigo.
Se ele casa comigo então não vou trabalhar.
Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:
a. Ele é pobre mas me ama.
b. Ele é rico mas é pão duro.
c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.
d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar.
e. Ele não me ama e não casa comigo.
Solução
Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
Como a terceira premissa é verdadeira temos:
F
V
Vou trabalhar (V)
→
→
Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso,
sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:
FF
V
Vou trabalhar (V)
→
→
Conseqüentemente obtemos:
F
FF
V
Ele me ama Ele casa comigo (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso,
sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:

47
F F
FF
V
Ele me ama Ele casa comigo (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão
as conclusões:
Vou trabalhar.(V)
Ele não casa comigo.(V)
Ele não me ama.(V)
Resposta: E
Exemplo:
58) (ESAF) – Das premissas:
A: “Nenhum herói é covarde”.
B: “Alguns soldados são covardes”.
Pode-se corretamente concluir que:
a)Alguns heróis são soldados
b)Alguns soldados não são heróis
c)Nenhum herói é soldado
d)Alguns soldados são heróis
e)Nenhum soldado é herói
Solução
Vamos representar o conjunto de heróis, covardes e soldados pelas letras H, C e S
respectivamente. Temos então o seguinte diagrama:
Observamos então que sempre teremos alguns soldados que não serão heróis.
Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposição
particular a conclusão será particular.
Resposta: B
Exemplo:
59) (FGV) – Analise o seguinte argumento:
Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas são
proteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos.
a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como sua
conclusão.

48
b) argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa.
c) Mesmo sem saber se as premissas são verdadeiras ou falsas, podemos garantir que o
argumento não é válido.
d) NDA.
Solução
Temos o seguinte argumento:
Todas as proteínas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são proteínas∴
Representado proteínas, compostos orgânicos e enzimas por A, B e C respectivamente
temos:
A B
C B
C A
Todas as proteínas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são compostos orgânicos
Todas as enzimas são as proteínas∴
O nosso argumento tem a seguinte estrutura não válida.:
Todo A é B
Todo C é B
∴Todo C é A
Resposta: C
Exemplo:
60) (ESAF)
Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não
estou furioso, não bebo. Logo,
a) não durmo, estou furioso e não bebo
b) durmo, estou furioso e não bebo
c) não durmo, estou furioso e bebo
d) durmo, não estou furioso e não bebo
e) não durmo, não estou furioso e bebo
Solução
Temos o seguinte argumento:

49
Se não durmo, bebo
Se estou furioso, durmo
Se durmo, não estou furioso
Se não estou furioso, não bebo.
Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira:
Não durmo bebo
Estou furioso durmo
Durmo não estou furioso
Não estou furioso não bebo.
→
→
→
→
Vamos supor que todas as premissas são verdadeiras:
Não durmo bebo (V)
Estou furioso durmo (V)
Durmo não estou furioso (V)
Não estou furioso não bebo (V)
→
→
→
→
Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse caso
não temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essa
situação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simples
contida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas se
o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e
encontramos a resposta correta.
Vamos supor então que a proposição “Não durmo” é verdadeira(chute). Teremos
então a seguinte situação nas premissas:
V
F
F
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→
Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos:
VV
F F
F
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→

50
Na quarta premissa temos que a proposição “Não bebo” é falsa.
VV
F F
F
F
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→
Assim na quarta premissa a proposição “Não estou furioso” tem que ser falsa.
VV
F F
F
F F
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→
Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois não
podemos ter simultaneamente as proposições “Estou furioso” falsa e a proposição
“Não estou furioso” falsa.
Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora que
a proposição “Não durmo” é falsa.
F
V
V
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→
Como todas as premissas são verdadeiras, pela tabela verdade, temos:
F
V
V V
V
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→
Pela quarta premissa temos que a proposição “não bebo” tem que ser verdadeira, logo:

51
FF
F V
V V
V V
Não durmo bebo (V)
→
→
→
→
Podemos deduzir as conclusões através das proposições verdadeiras:
Durmo. Não bebo. Não estou furioso.
Resposta: D
Texto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE):
Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e
∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor
(valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.
64) ¬ P ∨ Q é verdadeira.
65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.
66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.
67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.
ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃO
I p q⇒ , p q
II p q⇒ , q∼ p∼
III p q∨ , p∼ q
IV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨
68) Considerando os argumento acima podemos dizer que
(A) Todos são não válidos.
(B) Apenas um é válido.
(C) Apenas dois são válidos.
(D) Apenas três são válidos.
(E) Todos são válidos.

52
69) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.
Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto
concluir que
(A) quem não é corrupto é honesto.
(B) existem corruptos honestos.
(C) alguns honestos podem ser corruptos.
(D) existem mais corruptos do que desonestos.
(E)) existem desonestos que são corruptos.
70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro é
matemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que
(A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático.
(B) Pedro é estudioso e Ivo é músico.
(C) Pedro é também músico e Ivo é matemático.
(D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico.
(E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico.
71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhum
aposentado é esportista". Portanto, nessa cidade,
(A) nenhum aposentado é físico.
(B) nenhum físico é aposentado.
(C) algum aposentado não é físico.
(D) algum físico é aposentado.
(E) algum físico não é aposentado.
72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que
(A) Angélica é loira.
(B) Angélica não é loira.
(C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica.
(D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira.
(E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica.
(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F),
mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente
simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entre
outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A
é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida
como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração
F quando A é V. A expressão da forma A∧ B, lida como “A e B”, é uma proposição
que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma A∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem

53
valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas
definições, julgue os itens que se seguem.
73) Uma expressão da forma ¬(A∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente as
mesmas valorações V ou F da proposição A→B.
74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e
“Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando
adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou
rica” é também verdadeira.
75) A proposição simbolizada por (A→B) → (B→A) possui uma única valoração F.
76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja
verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é
verdadeira.
(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são
usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por
exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela
preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a forma
P Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário,
é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por
∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se P
e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é
simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.
Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn,
chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um
argumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso
contrário, não é argumento válido.
A partir desses conceitos, julgue o próximo item.
77) Considere as seguintes proposições:
P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”
Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou
Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha
dinheiro”.
78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos.
Logo

54
(A) todos os momorrengos são torminodoros.
(B) alguns torminodoros são momorrengos.
(C) todos os torminodoros são macerontes.
(D) alguns momorrengos são pássaros.
(E) todos os momorrengos são macerontes.
79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatro
tipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representam
sentenças. Os símbolos ¬, → e ∨ são conectivos lógicos usuais de negação, implicação
e disjunção, respectivamente.
Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativa
correta.
a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegados
desconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma dedução
do tipo III.
b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada.
Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I.
c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinado
acontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV.
d) As tabelas verdade das proposições P∨Q e P→Q são iguais.
*e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas as
premissas forem verdadeiras.
80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:
_ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser
superada.
_ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão
fantasiosos.
_ Os superávits serão fantasiosos.
Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:
(A) A crise econômica não demorará a ser superada.
(B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.
(C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.
(D) Os superávits econômicos serão fantasiosos.
(E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.
81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é
justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou
Homero é honesto. Logo,

55
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências
que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:
1) Se Homero é culpado, então João é culpado.
2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:
a) Homero, João e Adolfo são inocentes.
b) Homero, João e Adolfo são culpados.
c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.
83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoas
alegres”, então necessariamente,
a) Toda pessoa alegre é matemático.
b) Todo matemático é professor.
c) Algum professor é uma pessoa alegre.
d) Nenhuma pessoa alegre é professor.
e) Nenhum professor não é alegre.
84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é
necessário que:
a) todas as mulheres sejam cozinheiras.
b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras.
c) Nenhum homem seja bom cozinheiro.
d) Todos os homens sejam maus cozinheiros.
e) Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.
85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:
a) todo matemático seja louco.
b) todo louco seja matemático.
c) Algum louco não seja matemático.
d) Algum matemático seja louco.
e) Algum matemático não seja louco.

56
86) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.
Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
Análise Combinatória
PROBLEMA DA CONTAGEM
Exemplos
Os candidatos a um concurso podem inscrever-se em 4 áreas (Auditoria, Julgamento,
Aduana e Administração) e em 8 regiões para cada área. Quantas opções são oferecidas
para os candidatos?
As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantos
carros podem ser licenciados?
Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamos
começar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge a
análise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando
assim a contagem.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado:
Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e,
para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n
maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido da
ocorrência de B é m x n.
Exemplos:
1. O candidato a um concurso tem 8 regiões possíveis e 4 áreas possíveis par
concorrer. De quantos modos ele pode fazer a inscrição?
Solução
Temos neste caso dois acontecimentos
A - Escolher a região (8 possibilidades)
B - Escolher a área (4 possibilidades)
Logo pelo princípio da multiplicação existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrição

57
2. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode se
vestir?
Solução
Evidentemente que o princípio da multiplicação não está limitado apenas a 2
acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos.
Acontecimentos:
A - Escolher a blusa (10 possibilidades)
B - Escolher a saia (8 possibilidades)
C - Escolher o sapato (4 possibilidades)
Pelo princípio da multiplicação temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir.
3. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
Solução
Observe que temos três posições para preencher
Posição A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Posição B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Posição C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Pelo princípio da multiplicação temos: 9 x 10 x 10 = 900 números.
4. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos
1, 3, 5, 6, 8, 9 ?
Solução
Seja o esquema:
Observamos que os números têm que ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamos
primeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares.
Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la em
primeiro lugar” Sendo assim, temos:
Posição C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8)
Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)
Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)
Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números.
5. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os
algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.
Solução
Seja o esquema:

58
Na posição A: 6 possibilidades
Na posição B, após ter preenchido a posição A: 5 possibilidades
Na posição C, após ter preenchido as posições A e B: 4 possibilidades
Logo, pelo princípio da multiplicação temos: 6 x 5 x 4 = 120 números.
6. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com os
algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9
Solução
Primeiramente vamos satisfazer a condição do número ser par
Logo, na posição C, temos 2 possibilidades.
Agora, vamos para a posição A, após ter preenchido a posição C.
Agora, vamos para a posição B, após ter preenchido as posições C e A
Logo pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 x 2 = 40 números
7. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linhas ligando a
cidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas
linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas
vezes a mesma linha?
Solução
Ida de A para B - 3 possibilidades
Ida de B para C - 4 possibilidades
Volta de C para B - 3 possibilidades (porque?)
Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?)
Pelo princípio da multiplicação temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de ônibus

59
8. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por uma
porta diferente é:
a. 5
b. 10
c. 15
d. 20
e. 30
Solução
Número de maneiras de entrar - 5
Número de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4
Pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 = 20 números
Resposta D
9. Um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “bits”
é:
a. inferior a 100
b. 100
c. um número entre 100 e 500
d. um número entre 500 e 1000
e. um número superior a 1000
Solução
Considere o esquema:
Resposta E
10. Quantos divisores tem o número 72?
Solução
Decompondo o número 72 obtemos 72 = 23
. 32
, observe que os divisores de 72 são da
forma 2x
. 3y
onde x∈ {0, 1, 2, 3} e y∈ {0, 1, 2}. Portanto para achar o número de divisores
de 72 basta calcular o número possível de formar os pares (x, y) tal que x∈{0, 1, 2, 3} e
y∈ {0, 1, 2}, sendo assim temos:
Número de maneiras de escolher o x: 4 possibilidades
Número de maneiras de escolher o y: 3 possibilidades
pelo princípio da multiplicação temos 4 x 3 = 12 divisores.

60
11. 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando os 5 degraus de uma
escada, de modo que em cada degrau fique um casal. De quantas maneiras diferentes
podemos dispor esse grupo?
a. 70.400
b. 128.000
c. 460.800
d. 332.000
e. 625
Solução
Vamos preencher os degraus consecutivamente
Logo, pelo princípio da multiplicação temos:
(5x5x2) x (4x4x2) x (3x3x2) x (2x2x2) x (1x1x2) = 460.800 maneiras.
OUTRA SOLUÇÃO
Outra resolução poderia ser feita supondo que (M1, M2, M3, M4, M5, R1, R2, R3, R4, R5) são
as moças e os rapazes. Vamos escolher os lugares para colocar essas 10 pessoas. Como
somos cavalheiros vamos colocar primeiro as moças.

61
Pelo princípio da multiplicação temos:
10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460.800 maneiras
Resposta C
12. Seja um barco com 8 lugares, numerados conforme o diagrama abaixo. Há 8
remadores possíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores A e B
só podem ocupar as posições ímpares e o remador C posição par. Os remadores D, E,
F, G e H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas
com o barco totalmente guarnecido?
Solução
Vamos satisfazer às restrições conforme a ordem
Resposta: 5760 configurações.
13. Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismos
iguais?
Solução
São números da forma:
1135, 4779, 3336, ... 9999

62
Vamos calcular a diferença entre a quantidade de números de quatro algarismos e a
quantidade de números de quatro algarismos diferentes.
Quantidade de números de quatro algarismos:
Possibilidades: 9 x10 x10 x10 = 9000
Quantidade de números de quatro algarismos diferentes:
Possibilidades: 9 x9 x8 x7 = 4.536
Logo temos: 9.000 - 4536 = 4.464 números.
14. Cada linha telefônica é formada por sete algarismos divididos em dois grupos: um
formado pelos primeiros três algarismos, que distingue os centros telefônicos, e o
outro, com quatro algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponha
que só os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicas
começando com o algarismo 2, poderiam ser lançadas?
Solução
FATORIAL
Seja n um número natural maior que 1.
Chamamos de n fatorial e denotamos por n! a:
Exemplos
15. Calcule:
a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6
b. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
c. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24

63
d. n! = n (n-1)!
16. Simplificar:
6!
5!
Solução
6! 6 5!
6
5! 5!
×
= =
17. Simplificar:
9!
8!
Solução
9! 9 8!
9
8! 8!
×
= =
18. Simplificar:
10!
7!
Solução
10! 10 9 8 7!
10 9 8 720
7! 7!
× × ×
= = × × =
19. Simplificar:
8! 9!
7!
+
Solução
8! 9! 8 7! 9 8 7! 8 7! 72 7! 80 7!
80
7! 7! 7! 7!
+ × + × × × + × ×
= = = =
20. Simplificar:
!
( 1)!
n
n −
Solução
! ( 1)!
( 1)! ( 1)!
n n n
n
n n
× −
= =
− −
21. Simplificar:
!
( 2)!
n
n −
Solução

64
! ( 1) ( 2)!
( 1)
( 2)! ( 2)!
n n n n
n n
n n
× − × −
= = × −
− −
22. Calcule n sabendo que:
!
12
( 2)!
n
n
=
−
Solução
!
12
( 2)!
n
n
=
−
( 1) ( 2)!
12
( 2)!
n n n
n
× − × −
=
−
( 1) 12n n× − =
2
12 0n n− − =
3(não serve)
4
n
ou
n
= −⎧
⎪
⎨
⎪ =⎩
Resposta: n = 4.
ARRANJOS SIMPLES
Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p≤n. Chamamos um
arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos
de A. Como o subconjunto é ordenado temos que são distintos quanto a ordem. Então
chamaremos de p
nA ao número de arranjo de n objetos, p a p.
Daí teríamos
A fórmula ( 1)( 2)...( 1)p
nA n n n n p= − − − + também pode ser escrita como
!
( )!
p
n
n
A
n p
=
−
.
Exemplos:
23. Calcule:
a) 2
4A
b) 3
5A
c) 4
7A

65
a) 2
6A
Solução
a) 2
4 4 3 12A = × =
b) 3
5 5 4 3 60A = × × =
c) 4
7 7 6 5 4 840A = × × × =
d) 2
6 6 5 30A = × =
24. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos
significativos?
Solução
Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Então teríamos:
Para a primeira posição - 9 possibilidades
Para a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidades
Para a terceira posição, após preencher a primeira e a segunda posições – 7 possibilidades.
Daí pelo princípio da multiplicação
3
9 9 8 7 504A = × × =
25. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?
Solução
Os algarismos que podemos utilizar são (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Para a primeira posição - 9 possibilidades (não pode ter o zero)
Para a segunda posição, após ter preenchido a primeira posição - 9 possibilidades
Logo pelo princípio da multiplicação temos 3
99 9 9 8 7 4536A× = × × × = .
26. Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. De
quantas maneiras elas poderão se acomodar?
Solução
1ª pessoa - 20 modos

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