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Função polinomial de 2º grau


                                Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf



Sumário                                                                                                             Página
Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro? ...........................1
Reconhecer como função quadrática toda função definida pela equação y = ax² + bx + c ..... 1
Gráfico da função quadrática no plano cartesiano ................................................................3
Reconhecer e calcular o vértice da parábola .........................................................................4
Zeros ou raízes da função polinomial de 2º grau ..................................................................5
Estudando a concavidade da parábola...................................................................................5
Fazer gráficos de funções de 2º grau observando o sinal do coeficiente a e de ∆ ................6
     Construção do gráfico de uma função de 2º grau...........................................................6
Ponto de mínimo ou ponto de máximo .................................................................................7
Analisando a função y = ax² + bx + c quanto ao sinal...........................................................8
Determinar os valores de x para os quais o sinal da função é positiva; negativa ou nula .....9
Resolver uma inequação de 2º grau na variável x ...............................................................13
Referências bibliográficas ...................................................................................................15
1


FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU



Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo
goleiro?


O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto
máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome
de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, estudou atentamente movimentos
como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer
corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo.
Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 ⋅ 12 = 5 metros; depois de 2
segundos, percorreria cerca de 5 ⋅ 2 2 = 20 metros; depois de 3 segundos,
5 ⋅ 9 2 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos,
percorreria 5 ⋅ x 2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da
gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que
escrever a função f ( x) = y = 5 x 2 . Galileu agrupou todos esses elementos em um
importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a
variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função
quadrática, ou função polinomial de 2º grau, pois o expoente máximo da
variável é o quadrado



Reconhecer como função quadrática toda função definida pela
equação y = ax² + bx + c

Função polinomial de 2º grau ou função quadrática é toda função definida
pela fórmula matemática y = ax 2 + bx + c , com a, b e c números reais e a ≠ 0 .

Assim, são funções polinomiais de 2º grau:

• y = x 2 + 4 x − 3 ( a = 1, b = 4, c = −3 )
• y = 2x 2 ( a = 2, b = 0, c = 0 )
• y = − x 2 + 5 ( a = −1, b = 0, c = 5 )
2


Considerando as definições dadas e os conhecimentos que você já tem, observe
os exemplos:

a) Dado o número real 7, qual é a imagem pela função y = 3 x 2 − 4 x + 1 ?

Nesse caso temos x = 7.

y = 3x 2 − 4 x + 1
y = 3 ⋅ 72 − 4 ⋅ 7 + 1
y = 3 ⋅ 49 − 28 + 1
y = 147 − 28 + 1
y = 120

Logo, a imagem do número 7, pela função, é 120.

b) Dada a função definida por y = x 2 + 5 x − 4 , determinar o número real x cuja
imagem, pela função, é 20.

Nesse caso temos y = 20.

 y = x 2 + 5x − 4              −b± ∆
                            x=
 x 2 + 5x − 4 = y                 2a
                               − 5 ± 121                     − 5 + 11 6
 x 2 + 5 x − 4 = 20         x=                       x′ =            = =3
                                   2 ⋅1                         2     2
 x 2 + 5 x − 24 = 0            − 5 ± 11
 (a = 1, b = 5, c = 24)     x=
                                  2
 ∆ = b 2 − 4ac                                               − 5 − 11 − 16
                                                     x′′ =           =     = −8
 ∆ = 5 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−24)
       2
                                                                2      2
 ∆ = 25 + 96
 ∆ = 121




Logo, temos x = −8 ou x = 3.
3


Gráfico da função quadrática no plano cartesiano

Já vimos que o gráfico de uma função polinomial de 1º grau, no plano
cartesiano, é uma reta. Veremos, nos exemplos a seguir, qual a figura que
representa o gráfico de uma função de 2º grau ou função quadrática.

1) Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = x 2 − 3

  x      y = x2 − 3                (x, y)
 −3      y = (−3) 2 − 3 = 6       (−3, 6)
 −2      y = (−2) 2 − 3 = 1       (−2, 1)
 −1      y = (−1) 2 − 3 = −2      (−1, −2)
  0      y = 0 2 − 3 = −3         (0, −3)
  1      y = 12 − 3 = −2          (1, −2)
  2      y = 22 − 3 = 1            (2, 1)
  3      y = 32 − 3 = 6            (3, 6)


     O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x 2 − 3 , é o gráfico da
 função, representado por uma curva chamada parábola. O ponto V, que você
               observa na figura, chama-se vértice da parábola.


2) Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = − x 2 + 2 x

 x      y = − x2 + 2x                       (x, y)
−1      y = −(−1) 2 + 2 ⋅ (−1) = −3 (−1, −3)
 0      y = −0 2 + 2 ⋅ (0) = −2         (0, 0)
 1      y = −(1) 2 + 2 ⋅ 1 = 1          (1, 1)
 2      y = −(2) 2 + 2 ⋅ 2 = 0          (2, 0)
 3      y = −(3) 2 + 2 ⋅ 3 = −3         (3, −3)


O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = − x 2 + 2 x , que é o gráfico
 da função, nos dá a parábola da figura acima. Observe, novamente, o ponto V,
                     que se constitui no vértice da parábola.
4


Reconhecer e calcular o vértice da parábola


Você pode notar a existência de um vértice em cada parábola que foi construída
nos exemplos dados. Pode-se calcular o vértice de uma parábola da seguinte
forma:

                                            b
• Calcula-se o valor x do vértice: xV = −
                                            2a

• Substitui-se o valor de x na função e encontra-se o valor de y do vértice ( yV )




► No Exemplo 1 do item anterior temos:

y = x 2 − 3 ( a = 1, b = 0, c = −3 )

           b −0
• xV = −     =  =0
           2a 2

• y = x 2 − 3 = 0 2 − 3 = −3

Portanto, a coordenada do vértice é V (0, −3).



► No Exemplo 2 do item anterior temos:

y = − x 2 + 2 x ( a = −1, b = 2, c = 0 )

           b −2
• xV = −     =    =1
           2a − 2

• y = − x 2 + 2 x = −12 + 2 ⋅1 = 1

Portanto, a coordenada do vértice é V (1, 1).
5


Zeros ou raízes da função polinomial de 2º grau
As raízes ou zeros de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eixo x.
Na função de 2º grau y = ax 2 + bx + c , se y = 0 obtemos a equação
ax 2 + bx + c = 0 .

Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando resolvemos a
equação de 2º grau ax 2 + bx + c = 0 . O discriminante (∆) da equação é, também,
o discriminante da função:

• Se ∆ > 0, a função y = ax 2 + bx + c tem dois zeros reais diferentes
• Se ∆ = 0, a função y = ax 2 + bx + c tem dois zeros reais iguais
• Se ∆ > 0, a função y = ax 2 + bx + c não tem dois zeros reais



Exemplo:

a) Determine, algebricamente, os zeros da função y = x 2 + 5 x + 6 .

x 2 + 5x + 6 = 0
Basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

Acharemos que x′ = −3 e x′′ = −2 . Portanto, os zeros ou raízes da função
polinomial de 2º grau são −3 e −2.



Estudando a concavidade da parábola
Antes de construir o gráfico da função y = ax 2 + bx + c , é possível saber como
será a sua concavidade. Basta observar o sinal do coeficiente a:

 Se a > 0 (a positivo), a concavidade      Se a < 0 (a negativo), a concavidade
      estará voltada para cima                  estará voltada para baixo
6


Fazer gráficos de funções de 2º grau observando o sinal do
coeficiente a e de ∆
Podemos fazer um resumo das condições que envolvem o coeficiente a e o
discriminante ∆ para facilitar a construção de gráficos:


                ∆>0                     ∆=0                      ∆<0



 a>0

          A parábola corta o    A parábola tangencia      A parábola não corta
          eixo x em 2 pontos           eixo x                   o eixo x



                ∆>0                     ∆=0                      ∆<0



 a<0


          A parábola corta o    A parábola tangencia      A parábola não corta
          eixo x em 2 pontos           eixo x                   o eixo x



Construção do gráfico de uma função de 2º grau
Para isso, procedemos da seguinte maneira:

                                                          b
1º) Determinamos as coordenadas do x do vértice: xV = −
                                                          2a
2º) Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e
    calculamos os correspondentes valores de y.

3º) Construímos assim uma tabela com os valores encontrados.
4º) Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano.
5º) Traçamos o gráfico.
7


OBS.:

• A parábola é uma figura que apresenta simetria axial.

• No gráfico da função quadrática o eixo de simetria da parábola é sempre
  perpendicular ao eixo x.

• O encontro da parábola com seu eixo de simetria é seu vértice.




Ponto de mínimo ou ponto de máximo


Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo,
dependendo do sinal do coeficiente a.
Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º
grau é o vértice da parábola.

Observe as figuras abaixo que representam gráficos de funções:




               y = x2 − 3                            y = − x2 + 2x
 Nesse caso dizemos que o vértice é o    Nesse caso dizemos que o vértice é o
     ponto de mínimo da função               ponto de máximo da função



• Quando a > 0, a função y = ax 2 + bx + c tem um ponto de mínimo no vértice.

• Quando a < 0, a função y = ax 2 + bx + c tem um ponto de máximo no vértice.
8


Analisando a função y = ax² + bx + c quanto ao sinal


Consideremos uma função quadrática y = ax 2 + bx + c e determinemos os
valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é
positivo. Conforme o sinal do coeficiente a e do discriminante ∆, podemos obter
os seguintes casos:



                 ∆>0                      ∆=0                     ∆<0




 a>0


        A parábola corta o eixo    A parábola tangencia   A parábola não corta o
            x em 2 pontos                 eixo x                 eixo x
        y > 0 ⇔ x < x1 ou x > x2      y > 0, ∀x ≠ x1            y > 0, ∀x
          y < 0 ⇔ x1 < x < x 2     y < 0, não existe x     y < 0, não existe x


                 ∆>0                      ∆=0                     ∆<0




 a<0


        A parábola corta o eixo    A parábola tangencia   A parábola não corta o
            x em 2 pontos                 eixo x                 eixo x
          y > 0 ⇔ x1 < x < x2       y > 0, não existe x     y > 0, não existe x
        y < 0 ⇔ x < x1 ou x > x2      y < 0, ∀x ≠ x1             y < 0, ∀x
9


Determinar os valores de x para os quais o sinal da função é
positiva; negativa ou nula


Consideremos os seguintes exemplos:

1) Dada a função y = x 2 − 2 x − 8 , verifique quais são os valores reais de x para
que se tenha:

a) y = 0       b) y > 0        c) y < 0


Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para
podermos fazer um esboço do gráfico da função:

Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

∆ = b 2 − 4ac = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) = 4 + 32 = 36 > 0

Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos.

      −b± ∆
 x=
        2a

    − (−2) ± 36                      2+6 8
 x=                          x′ =       = =4
         2 ⋅1                         2  2
    2±6
 x=
      2
                                     2−6 −4
                             x′′ =      =   = −2
                                      2   2

Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.

Esboço:


                                      y = 0 para x = −2 ou x = 4
                                      y > 0 para o intervalo {x ∈ / x < −2 ou x > 4}
                                      y < 0 para o intervalo {x ∈ / −2 < x < 4}
10


2) Dada a função y = x 2 − 4 x + 4 , verifique quais são os valores reais de x para
os quais vamos ter:

a) y = 0

b) y > 0
c) y < 0



Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para
podermos fazer um esboço do gráfico da função:

Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

∆ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0

Então, a parábola tangencia eixo x.

      −b± ∆
 x=
        2a

    − (−4) ± 0
 x=
        2 ⋅1
    4±0                                   4
 x=                          x′ = x′′ =     =2
      2                                   2



Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.



Esboço:




                                     y = 0 para x = 2
                                     y > 0 para o intervalo {x ∈   / x ≠ 2}
                                     y nunca será negativo
11


3) Dada a função y = − x 2 + 2 x − 10 , determine para quais valores reais de x
vamos ter:

a) y = 0
b) y > 0

c) y < 0



Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para
podermos fazer um esboço do gráfico da função:

Como a = −1 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

∆ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−10) = 4 − 40 = −36 < 0

Então, a parábola não corta o eixo x.

Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.



Esboço:




                                   Nesse caso, y será sempre negativo para
                                   qualquer valor real de x
12


4) Para quais valores reais de x a função y = −5 x 2 + 4 x + 1 é positiva?



Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para
podermos fazer um esboço do gráfico da função:

Como a = −5 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

∆ = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 ⋅ (−5) ⋅ 1 = 16 + 20 = 36 > 0

Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos.

      −b± ∆
 x=
        2a

      − 4 ± 36                      −4+6     2      1
 x=                         x′ =          =      =−
       2 ⋅ (−5)                      − 10   − 10    5
      −4±6
 x=
       − 10
                                    − 4 − 6 − 10
                            x′′ =          =      =1
                                     − 10    − 10

Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.



Esboço:




                                                                   / − < x <1
                                                                      1
                                      y > 0 para o intervalo   ∈
                                                                      5
13


Resolver uma inequação de 2º grau na variável x


Consideremos os seguintes exemplos:



1) Resolver a inequação − 9 x 2 + 6 x − 1 < 0 .

A inequação dada é uma inequação de 2º grau na incógnita x.

Para resolvê-la, vamos aplicar o que aprendemos com a análise da função
quadrática quanto ao sinal. Assim, temos:

Como a = −9 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

∆ = b 2 − 4ac = 6 2 − 4 ⋅ (−9) ⋅ (−1) = 36 − 36 = 0

Então, a parábola tangencia o eixo x.

      −b± ∆
 x=
        2a

      −6± 0
 x=
      2 ⋅ (−9)
      −6±0                               −6 1
 x=                         x′ = x′′ =       =
       − 18                              − 18 3

Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.



Esboço:



                                    Como a inequação nos pede valores reais de x
                                    tais que y < 0, podemos dizer que a solução
                                    dessa inequação é:

                                                  /
                                                      1
                                    S=      ∈
                                                      3
14


2) Determinar os valores reais de x para os quais o produto ( x − 7)( x + 3) é maior
que 11.
Através do problema apresentado temos:
( x − 7)( x + 3) > 11
x 2 + 3 x − 7 x − 21 − 11 > 0
x 2 − 4 x − 32 > 0 → inequação do 2º grau

Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

∆ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−32) = 16 + 128 = 144 > 0

Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos.

      −b± ∆
 x=
        2a

    − (−4) ± 144                        4 + 12 16
 x=                             x′ =          = =8
          2 ⋅1                            2     2
    4 ± 12
 x=
       2
                                        4 − 12 − 8
                                x′′ =         =    = −4
                                          2     2

Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.



Esboço:



                                          Como a inequação nos pede valores reais de x
                                          para os quais temos y > 0, podemos dizer que
                                          a solução dessa inequação é:
                                          S = {x ∈ / x < −4 ou x > 8}
                                          Então, o produto ( x − 7)( x + 3) é maior que
                                          11 para {x ∈ / x < −4 ou x > 8}
15


Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
  matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
   FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
   Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
   descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
   Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
  Paulo: Scipione, 2006.

KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em:
   <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 21 de agosto de 2008.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

TUTOMANIA: MANÍACOS POR CONHECIMENTO. Disponível em:
  <http://tutomania.com.br>. Acesso em: 24 de agosto de 2008.

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Função quadrática

  • 1. Função polinomial de 2º grau Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro? ...........................1 Reconhecer como função quadrática toda função definida pela equação y = ax² + bx + c ..... 1 Gráfico da função quadrática no plano cartesiano ................................................................3 Reconhecer e calcular o vértice da parábola .........................................................................4 Zeros ou raízes da função polinomial de 2º grau ..................................................................5 Estudando a concavidade da parábola...................................................................................5 Fazer gráficos de funções de 2º grau observando o sinal do coeficiente a e de ∆ ................6 Construção do gráfico de uma função de 2º grau...........................................................6 Ponto de mínimo ou ponto de máximo .................................................................................7 Analisando a função y = ax² + bx + c quanto ao sinal...........................................................8 Determinar os valores de x para os quais o sinal da função é positiva; negativa ou nula .....9 Resolver uma inequação de 2º grau na variável x ...............................................................13 Referências bibliográficas ...................................................................................................15
  • 2. 1 FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro? O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 ⋅ 12 = 5 metros; depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 ⋅ 2 2 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 ⋅ 9 2 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 ⋅ x 2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f ( x) = y = 5 x 2 . Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou função polinomial de 2º grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado Reconhecer como função quadrática toda função definida pela equação y = ax² + bx + c Função polinomial de 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática y = ax 2 + bx + c , com a, b e c números reais e a ≠ 0 . Assim, são funções polinomiais de 2º grau: • y = x 2 + 4 x − 3 ( a = 1, b = 4, c = −3 ) • y = 2x 2 ( a = 2, b = 0, c = 0 ) • y = − x 2 + 5 ( a = −1, b = 0, c = 5 )
  • 3. 2 Considerando as definições dadas e os conhecimentos que você já tem, observe os exemplos: a) Dado o número real 7, qual é a imagem pela função y = 3 x 2 − 4 x + 1 ? Nesse caso temos x = 7. y = 3x 2 − 4 x + 1 y = 3 ⋅ 72 − 4 ⋅ 7 + 1 y = 3 ⋅ 49 − 28 + 1 y = 147 − 28 + 1 y = 120 Logo, a imagem do número 7, pela função, é 120. b) Dada a função definida por y = x 2 + 5 x − 4 , determinar o número real x cuja imagem, pela função, é 20. Nesse caso temos y = 20. y = x 2 + 5x − 4 −b± ∆ x= x 2 + 5x − 4 = y 2a − 5 ± 121 − 5 + 11 6 x 2 + 5 x − 4 = 20 x= x′ = = =3 2 ⋅1 2 2 x 2 + 5 x − 24 = 0 − 5 ± 11 (a = 1, b = 5, c = 24) x= 2 ∆ = b 2 − 4ac − 5 − 11 − 16 x′′ = = = −8 ∆ = 5 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−24) 2 2 2 ∆ = 25 + 96 ∆ = 121 Logo, temos x = −8 ou x = 3.
  • 4. 3 Gráfico da função quadrática no plano cartesiano Já vimos que o gráfico de uma função polinomial de 1º grau, no plano cartesiano, é uma reta. Veremos, nos exemplos a seguir, qual a figura que representa o gráfico de uma função de 2º grau ou função quadrática. 1) Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = x 2 − 3 x y = x2 − 3 (x, y) −3 y = (−3) 2 − 3 = 6 (−3, 6) −2 y = (−2) 2 − 3 = 1 (−2, 1) −1 y = (−1) 2 − 3 = −2 (−1, −2) 0 y = 0 2 − 3 = −3 (0, −3) 1 y = 12 − 3 = −2 (1, −2) 2 y = 22 − 3 = 1 (2, 1) 3 y = 32 − 3 = 6 (3, 6) O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x 2 − 3 , é o gráfico da função, representado por uma curva chamada parábola. O ponto V, que você observa na figura, chama-se vértice da parábola. 2) Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = − x 2 + 2 x x y = − x2 + 2x (x, y) −1 y = −(−1) 2 + 2 ⋅ (−1) = −3 (−1, −3) 0 y = −0 2 + 2 ⋅ (0) = −2 (0, 0) 1 y = −(1) 2 + 2 ⋅ 1 = 1 (1, 1) 2 y = −(2) 2 + 2 ⋅ 2 = 0 (2, 0) 3 y = −(3) 2 + 2 ⋅ 3 = −3 (3, −3) O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = − x 2 + 2 x , que é o gráfico da função, nos dá a parábola da figura acima. Observe, novamente, o ponto V, que se constitui no vértice da parábola.
  • 5. 4 Reconhecer e calcular o vértice da parábola Você pode notar a existência de um vértice em cada parábola que foi construída nos exemplos dados. Pode-se calcular o vértice de uma parábola da seguinte forma: b • Calcula-se o valor x do vértice: xV = − 2a • Substitui-se o valor de x na função e encontra-se o valor de y do vértice ( yV ) ► No Exemplo 1 do item anterior temos: y = x 2 − 3 ( a = 1, b = 0, c = −3 ) b −0 • xV = − = =0 2a 2 • y = x 2 − 3 = 0 2 − 3 = −3 Portanto, a coordenada do vértice é V (0, −3). ► No Exemplo 2 do item anterior temos: y = − x 2 + 2 x ( a = −1, b = 2, c = 0 ) b −2 • xV = − = =1 2a − 2 • y = − x 2 + 2 x = −12 + 2 ⋅1 = 1 Portanto, a coordenada do vértice é V (1, 1).
  • 6. 5 Zeros ou raízes da função polinomial de 2º grau As raízes ou zeros de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eixo x. Na função de 2º grau y = ax 2 + bx + c , se y = 0 obtemos a equação ax 2 + bx + c = 0 . Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando resolvemos a equação de 2º grau ax 2 + bx + c = 0 . O discriminante (∆) da equação é, também, o discriminante da função: • Se ∆ > 0, a função y = ax 2 + bx + c tem dois zeros reais diferentes • Se ∆ = 0, a função y = ax 2 + bx + c tem dois zeros reais iguais • Se ∆ > 0, a função y = ax 2 + bx + c não tem dois zeros reais Exemplo: a) Determine, algebricamente, os zeros da função y = x 2 + 5 x + 6 . x 2 + 5x + 6 = 0 Basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. Acharemos que x′ = −3 e x′′ = −2 . Portanto, os zeros ou raízes da função polinomial de 2º grau são −3 e −2. Estudando a concavidade da parábola Antes de construir o gráfico da função y = ax 2 + bx + c , é possível saber como será a sua concavidade. Basta observar o sinal do coeficiente a: Se a > 0 (a positivo), a concavidade Se a < 0 (a negativo), a concavidade estará voltada para cima estará voltada para baixo
  • 7. 6 Fazer gráficos de funções de 2º grau observando o sinal do coeficiente a e de ∆ Podemos fazer um resumo das condições que envolvem o coeficiente a e o discriminante ∆ para facilitar a construção de gráficos: ∆>0 ∆=0 ∆<0 a>0 A parábola corta o A parábola tangencia A parábola não corta eixo x em 2 pontos eixo x o eixo x ∆>0 ∆=0 ∆<0 a<0 A parábola corta o A parábola tangencia A parábola não corta eixo x em 2 pontos eixo x o eixo x Construção do gráfico de uma função de 2º grau Para isso, procedemos da seguinte maneira: b 1º) Determinamos as coordenadas do x do vértice: xV = − 2a 2º) Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e calculamos os correspondentes valores de y. 3º) Construímos assim uma tabela com os valores encontrados. 4º) Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano. 5º) Traçamos o gráfico.
  • 8. 7 OBS.: • A parábola é uma figura que apresenta simetria axial. • No gráfico da função quadrática o eixo de simetria da parábola é sempre perpendicular ao eixo x. • O encontro da parábola com seu eixo de simetria é seu vértice. Ponto de mínimo ou ponto de máximo Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a. Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola. Observe as figuras abaixo que representam gráficos de funções: y = x2 − 3 y = − x2 + 2x Nesse caso dizemos que o vértice é o Nesse caso dizemos que o vértice é o ponto de mínimo da função ponto de máximo da função • Quando a > 0, a função y = ax 2 + bx + c tem um ponto de mínimo no vértice. • Quando a < 0, a função y = ax 2 + bx + c tem um ponto de máximo no vértice.
  • 9. 8 Analisando a função y = ax² + bx + c quanto ao sinal Consideremos uma função quadrática y = ax 2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo. Conforme o sinal do coeficiente a e do discriminante ∆, podemos obter os seguintes casos: ∆>0 ∆=0 ∆<0 a>0 A parábola corta o eixo A parábola tangencia A parábola não corta o x em 2 pontos eixo x eixo x y > 0 ⇔ x < x1 ou x > x2 y > 0, ∀x ≠ x1 y > 0, ∀x y < 0 ⇔ x1 < x < x 2 y < 0, não existe x y < 0, não existe x ∆>0 ∆=0 ∆<0 a<0 A parábola corta o eixo A parábola tangencia A parábola não corta o x em 2 pontos eixo x eixo x y > 0 ⇔ x1 < x < x2 y > 0, não existe x y > 0, não existe x y < 0 ⇔ x < x1 ou x > x2 y < 0, ∀x ≠ x1 y < 0, ∀x
  • 10. 9 Determinar os valores de x para os quais o sinal da função é positiva; negativa ou nula Consideremos os seguintes exemplos: 1) Dada a função y = x 2 − 2 x − 8 , verifique quais são os valores reais de x para que se tenha: a) y = 0 b) y > 0 c) y < 0 Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para podermos fazer um esboço do gráfico da função: Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. ∆ = b 2 − 4ac = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) = 4 + 32 = 36 > 0 Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos. −b± ∆ x= 2a − (−2) ± 36 2+6 8 x= x′ = = =4 2 ⋅1 2 2 2±6 x= 2 2−6 −4 x′′ = = = −2 2 2 Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta. Esboço: y = 0 para x = −2 ou x = 4 y > 0 para o intervalo {x ∈ / x < −2 ou x > 4} y < 0 para o intervalo {x ∈ / −2 < x < 4}
  • 11. 10 2) Dada a função y = x 2 − 4 x + 4 , verifique quais são os valores reais de x para os quais vamos ter: a) y = 0 b) y > 0 c) y < 0 Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para podermos fazer um esboço do gráfico da função: Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. ∆ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0 Então, a parábola tangencia eixo x. −b± ∆ x= 2a − (−4) ± 0 x= 2 ⋅1 4±0 4 x= x′ = x′′ = =2 2 2 Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta. Esboço: y = 0 para x = 2 y > 0 para o intervalo {x ∈ / x ≠ 2} y nunca será negativo
  • 12. 11 3) Dada a função y = − x 2 + 2 x − 10 , determine para quais valores reais de x vamos ter: a) y = 0 b) y > 0 c) y < 0 Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para podermos fazer um esboço do gráfico da função: Como a = −1 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. ∆ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−10) = 4 − 40 = −36 < 0 Então, a parábola não corta o eixo x. Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta. Esboço: Nesse caso, y será sempre negativo para qualquer valor real de x
  • 13. 12 4) Para quais valores reais de x a função y = −5 x 2 + 4 x + 1 é positiva? Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função para podermos fazer um esboço do gráfico da função: Como a = −5 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. ∆ = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 ⋅ (−5) ⋅ 1 = 16 + 20 = 36 > 0 Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos. −b± ∆ x= 2a − 4 ± 36 −4+6 2 1 x= x′ = = =− 2 ⋅ (−5) − 10 − 10 5 −4±6 x= − 10 − 4 − 6 − 10 x′′ = = =1 − 10 − 10 Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta. Esboço: / − < x <1 1 y > 0 para o intervalo ∈ 5
  • 14. 13 Resolver uma inequação de 2º grau na variável x Consideremos os seguintes exemplos: 1) Resolver a inequação − 9 x 2 + 6 x − 1 < 0 . A inequação dada é uma inequação de 2º grau na incógnita x. Para resolvê-la, vamos aplicar o que aprendemos com a análise da função quadrática quanto ao sinal. Assim, temos: Como a = −9 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. ∆ = b 2 − 4ac = 6 2 − 4 ⋅ (−9) ⋅ (−1) = 36 − 36 = 0 Então, a parábola tangencia o eixo x. −b± ∆ x= 2a −6± 0 x= 2 ⋅ (−9) −6±0 −6 1 x= x′ = x′′ = = − 18 − 18 3 Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta. Esboço: Como a inequação nos pede valores reais de x tais que y < 0, podemos dizer que a solução dessa inequação é: / 1 S= ∈ 3
  • 15. 14 2) Determinar os valores reais de x para os quais o produto ( x − 7)( x + 3) é maior que 11. Através do problema apresentado temos: ( x − 7)( x + 3) > 11 x 2 + 3 x − 7 x − 21 − 11 > 0 x 2 − 4 x − 32 > 0 → inequação do 2º grau Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. ∆ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−32) = 16 + 128 = 144 > 0 Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos. −b± ∆ x= 2a − (−4) ± 144 4 + 12 16 x= x′ = = =8 2 ⋅1 2 2 4 ± 12 x= 2 4 − 12 − 8 x′′ = = = −4 2 2 Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta. Esboço: Como a inequação nos pede valores reais de x para os quais temos y > 0, podemos dizer que a solução dessa inequação é: S = {x ∈ / x < −4 ou x > 8} Então, o produto ( x − 7)( x + 3) é maior que 11 para {x ∈ / x < −4 ou x > 8}
  • 16. 15 Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 21 de agosto de 2008. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. TUTOMANIA: MANÍACOS POR CONHECIMENTO. Disponível em: <http://tutomania.com.br>. Acesso em: 24 de agosto de 2008.