Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas

55
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Unidade II
FUNÇÕES REAIS E LIMITES
3 OUTRAS FUNÇÕES REAIS
3.1 Função exponencial
Voce recebeu R$ 500,00 de bonificação e aplicou na poupança. O banco paga a taxa de juros de 0,5%
ao mês. Como saber quanto voce terá daqui a alguns meses, se a taxa for mantida?
Quando aplicamos na poupança, temos que o capital acumulado (montante) é dado pela expressão
M = C0
(1 + i)n
, juro composto, no qual M é o capital acumulado, C0
é o capital inicial (depósito inicial),
i é a taxa de juros e n o período. No nosso exemplo, C0
= 500, i = 0,5% = 0,005 ao mês e n número de
meses, assim, para saber o montante a cada mês, substituímos o valor de n e determinamos M.
Por exemplo, na tabela temos o montante para alguns meses:
t(mês) M = 500 ( 1 + 0,005)n
(t, M)
1 M = 500 ( 1 + 0,005)1
(1, 502.5)
2 M = 500 ( 1 + 0,005)2
(2, 505.0)
3 M = 500 ( 1 + 0,005)3
(3, 507.54)
4 M = 500 ( 1 + 0,005)4
(4, 510.08)
A expressão M = C0
(1 + i)n
é uma exponencial, variável n está no expoente.
Estudaremos agora funções exponenciais, isto é, funções do tipo:
f(x) = c + b amx
, (a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 e m ≠ 0)
Exemplos:
a) f(x) = 32x
– 4
É uma função exponencial com base a = 3, b = 1, c = –4 e m = 2.
b) f(x) = –5x
É uma função exponencial com base a = 5, b = –1, c = e m = 1.

56
Unidade II
c) f(x) = 4–2x
+ 2
É uma função exponencial com base a = 4, b = 1, c = 2 e m = –2.
3.1.1 Gráfico
Para fazer o gráfico da função exponencial, utilizaremos a tabela de pontos:
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 3x
Atribuindo valores para x e calculando 3x
, temos:
x y = 3x
(x,y)
-2 y = 3-2
= 1/9 (-2,1/9)
-1 y = 3-1
= 1/3 (-1,1/3)
0 y = 30
= 1 (0,1)
1 y = 31
= 3 (1,3)
2 y = 32
= 9 (2,9)
x
y
9
6
3
1 2
-1
-2
1
3
8
7
5
4
2
–1
-3
-4
-5
b) f x
x
( ) 






1
3

57
Novamente, vamos esboçar o gráfico da função, atribuindo valores para x e calculando
1
3






x
,assim:
x y = (1/3)x
(x, y)
–2 y = (1/3)–2
(–2, 9 )
–1 y = (1/3)–1
(–1, 3)
0 y = (1/3)0
(0, 1)
1 y = (1/3)1
(1, 1/3)
2 y = (1/3)2
(2, 1/9)
x
y
9
1 2
-1
-2
-3
-4 3 4
8
7
6
5
4
3
2
1
—1
–2
Comparando as duas funções, notamos que em relação à base da função exponencial, temos:
a > 1, função crescente
0 < a < 1, função decrescente
c) Retornando ao nosso exemplo, vamos construir o gráfico da função utilizando a tabela de
pontos. Temos:
t(mês) M = 500 ( 1 + 0,005)n
(t, M)
1 M = 500 ( 1 + 0,005)1
(1, 502.5 )
2 M = 500 ( 1 + 0,005)2
(2, 505.0)
3 M = 500 ( 1 + 0,005)3
(3, 507.54)
4 M = 500 ( 1 + 0,005)4
(4, 510.08)
Representando os pontos no plano cartesiano, temos o gráfico da função:

58
Unidade II
y
x
3
510
1 4
507.5
505
502.5
500
2
Lembrete
Esse gráfico só tem significado para valores no 1º quadrante, pois
representa valores aplicados, o restante deve ser tracejado.
3.2 Função logarítmica
Voltando ao exemplo do item 5.1. Agora, você quer saber por quanto tempo deve deixar seu dinheiro
aplicado para receber R$ 531,00.
Substituindo os valores na expressão, temos 531= 500 (1 + 0,005)n
, e então
1,062 = 1,005 n
, que para ser resolvida, utilizamos logaritmo.
Também encontramos logaritmos em várias áreas: na Física, na Química, na escala Richter, utilizada
para medir a magnitude de um terremoto.
Uma função logarítmica é dada pela expressão:
f(x)=loga
x
, com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
As funções f(x)=loga
x
e g(x) = ax
são inversas uma da outra.
Para fazer o gráfico da função logarítmica, utilizaremos a tabela de pontos.
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x)=log3
x
Atribuindo valores para x e calculando log3
x
,
temos:

59
x ƒ(x) = log3
x
(x,y)
1
9
ƒ(x) = log3
1/9
= -2 (1/9,-2)
1
3
ƒ(x) = log3
1/3
= -1 (1/3,-1)
1 ƒ(x) = log3
1
= 0 (1,0)
3 ƒ(x) = log3
3
= 1 (3,1)
9 ƒ(x) = log3
9
= 2 (9,2)
Representando os pontos no plano cartesiano, temos:
y
9 x
3
2
1
0 1
b) f(x)=log1/3
X
Atribuindo valores para x e calculando log1/3
X
, temos:
x ƒ(x) = log
1/3
x
(x,y)
1
9
ƒ(x) = log1/3
1/9
= 2 (1/9,2)
1
3
ƒ(x) = log 1/3
1/3
= 1 (1/3,1)
1 ƒ(x) = log1/3
1
= 0 (1,0)
3 ƒ(x) = log1/3
3
= -1 (3,-1)
9 ƒ(x) = log1/3
9
= -2 (9,-2)
Colocando os pontos no plano, temos:
y
x
3
2
1
1 9

60
Unidade II
Comparando os dois gráficos, verificamos que:
a > 1 , função crescente
0 < a < 1, função decrescente
2) Retomando o exemplo inicial: “quanto tempo deve deixar seu dinheiro aplicado para receber
R$ 531,00?”
Quando substituímos os valores na expressão, encontramos:
531 = 500 (1 + 0,005)n
1,062 = 1,005n
Aplicando o logaritmo nos dois lados da expressão, temos:
Ln 1,062 = Ln 1,005n
, calculando o logaritmo vem 0,060 = 0,00498n, assim, chegamos a n = 12
meses, que é a solução do nosso exemplo.
3.3 Função modular
Chamamos de função modular a função:
f(x) = | x |
Utilizando a definição de módulo, temos:
f x x
x
( ) | |
 





se x 0
-x se x 0
3.3.1 Gráfico
O gráfico da função modular será formado por duas semirretas que devem obedecer às condições
acima.
Exemplos:
Construir o gráfico das funções:
a) y = | x |
Conforme a definição de modulo, temos y x
x
 





se x 0
-x se x 0
| |

61
Devemos fazer o gráfico das duas funções (1) y = x, para x ≥ 0 e (2) y = –x, para x < 0.
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
(1) y = x, para x ≥ 0
x y = x (x,y)
0 y = 0 (0,0)
1 y = 1 (1,1)
y
0 1 x
y = x
(2) y = - x, para x < 0
x y = -x (x,y)
-2 y = 2 (-2,2)
-1 y = 1 (-1,1)
y
x
y = -x
0
-1
-2
1
2
Unindo as figuras, temos:
y
x
y = x
y = -x
-1 0 1
b) y = | x | + 2
Conforme a definição de módulo, temos y x
x
  
 
 



2 se x
-x 2 se x
| | 2
0
0

62
Unidade II
Devemos fazer o gráfico das duas funções:
(1) y = x + 2, para x ≥ 0
(2) y = –x + 2, para x < 0
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
y = x + 2, para x ≥ 0
x y = x + 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 3 (1,3)
(2) y = –x + 2, para x < 0
x y = -x + 2 (x,y)
-2 y = 4 (-2,4)
-1 y = 3 (1,3)
Construindo os dois gráficos no mesmo sistema:
y
x
y = -x+2
0
-1
-2 1
2
y = x+2
3
4
3.4 Funções trigonométricas
São funções periódicas, isto é, após um intervalo, seus valores se repetem.
Estudaremos algumas delas.
3.4.1 Função seno
Consideremos o ciclo trigonométrico de centro O e raio 1, definimos como função seno a função
f: IR → IR dada por f(x) = sen x.

63
O valor de seno de x é a medida OM, conforme veremos na figura a seguir:
+
1
0
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
+
- -
M
1
0
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
senx
O sinal de sen x será positivo, se x estiver no 1° e no 2° quadrantes, e negativo no 3° e 4° quadrantes.
Para a função seno, temos:
D(f) = IR
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período: p = 2π
gráfico:
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ +
f(x)= senx
- -
3.4.2 Função cosseno
Definimos como função cosseno a função f: IR → IR dada por f(x) = cos x.
O valor do cosseno de x é a medida ON, conforme veremos no ciclo trigonométrico a seguir:
N 1
0
-1
-1
1
eixo dos
cossenos
x
cosx
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
1
0
-1
-1
1
eixo dos
cossenos
(0,1)
(-1,0) (1,0)
+
-
- +
(0,-1)

64
Unidade II
O sinal do cosseno x será positivo, se x estiver no 1° e no 4° quadrantes, e negativo no 2° e 3°
quadrantes.
Para a função cosseno, temos:
D(f) = IR
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período p = 2π
gráfico:
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ + f(x)= cosx
- -
+ +
3.4.3 Função tangente
Definimos como função tangente a função f: D → IR dada por f(x) = tg x, no qual
D x IR
  


{ / x
(2k 1)
2
, k Z }

O valor da tangente de x é a medida OS, conforme veremos na figura a seguir:
1
0
-1
-
1
eixo das
tangentes
tgx
0
S
x
O sinal da tg x será positivo, se x estiver no 1° e no 3° quadrantes, e negativo no 2° e 4° quadrantes.
Para a função tangente, temos:
D(f) = {x IR
 


/ x
(2k 1)
2
, k Z }


65
Im (f) = IR
período p = π
gráfico:
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
2
-1
-2
2π
π/2 3π/2
f(x)= tgx
π x
y
3.5 Assíntotas
Assíntotas são retas das quais o gráfico das funções se aproxima, porém, não corta e nem tem ponto
comum com elas.
Podemos ter assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Em nosso estudo, veremos as assíntotas
verticais e as horizontais.
3.5.1 Assíntotas horizontais
São retas paralelas ao eixo x. As funções exponenciais e algumas funções racionais têm assíntotas
horizontais.
• Assíntota de uma exponencial:
Exponencial é uma função do tipo f(x) = c + b amx
, com a > 0, a ≠1, b ≠ 0 e m ≠ 0. A família das
funções exponenciais tem assíntota horizontal com equação y = c.
Exemplo:
a) y = 2x
x y = 2x
(x,y)
-2 y = 2-2
(-2, 1/4)
-1 y = 2-1
(-1,1/2)
0 y = 20
(0,1)
1 y = 21
(1,2)
2 y = 22
(2,4)

66
Unidade II
x
y
4
1
-1
3
-2
-3
-4
-1
1 2
2
Observando o gráfico da função, notamos que ele se aproxima do eixo x. Na medida em que vamos
diminuindo os valores de x, os valores de y também diminuem se aproximando cada vez mais de zero.
Assim, a assíntota horizontal de f(x) = 2 x
será a reta y = 0.
b) f(x)=2+5x
Observando o gráfico, notamos que a assíntota horizontal é a reta y = 2:
x y = 2 + 5 x
(x, y)
-2 2 + 5 -2
(-2, 2.04)
-1 2 + 5 -1
(-1, 2.2)
0 2 + 5 0
(0, 3)
1 2 + 5 1
(1, 7)
x
y
4
1
-1
3
-2
-3
-4
-1
1 2
2
-5
5
6
7

67
c) f(x) = –4 + 3 2x
Não é necessário construir o gráfico para determinar a assíntota de uma função.
Genericamente, podemos encontrar a assíntota horizontal de uma função exponencial com equação
f(x) = c + b amx
simplesmente fazendo y = c.
Em nosso exemplo, assíntota horizontal de f será a reta y = c, isto é, a reta y = –4.
d) y = 12 – 2 . 3–x
Nesse caso, a assíntota será a reta y = 12.
• Assíntota de funções racionais
Funções racionais são funções do tipo: f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
Estas funções podem apresentar assíntotas horizontais e verticais.
Para determinar se uma função racional tem assíntota horizontal podemos observar o seu gráfico
ou aplicar um conceito de limite que veremos mais adiante.
Exemplo:
Considerando a função racional f x
x
( ) =
1
, podemos determinar se ela tem assíntota horizontal,
construindo o seu gráfico. Veja a tabela de pontos:
x -6 -4 -2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0,18
f(x) =(1/x) -0,167 -0,250 -0,500 -1,000 -1,250 -1,667 -2,500 -5,000 -5,556
x -0,16 -0,14 -0,12 -0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0
f(x) = (1/x) -6,250 -7,143 -8,333 -10,000 -12,500 -16,667 -25,000 -50,000
x 0 0,02 0,04 0,06 0,08 2 4 6
f(x) = (1/x) 50,000 25,000 16,667 12,500 0,500 0,250 0,167

68
Unidade II
Assim:
x
y
4
1
-1
3
-2
-3
-4
-1
2
2
-5
5
6
7
-6
-7
-8
-9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1 3 4 5 6 7 8 9
Observando o gráfico, vemos que a assíntota horizontal será a reta y = 0, ou seja, eixo x. Ela mostra o
comportamento da função quando x é muito grande (x vai para +∞) ou muito pequeno (x vai para –∞).
3.5.2 Assíntotas verticais
São retas paralelas ao eixo y. As funções logarítmicas e algumas funções racionais têm
assíntotas verticais.
Logarítmica: funções do tipo f(x)=loga
mx+n
, com a > 0, a ≠ 1 e (m x + n) > 0
têm assíntota vertical com equação x
n
m


Determinamos a reta assíntota vertical da função f(x)=loga
mx+n
, determinando a solução da equação
m x + n = 0.
Exemplos:
a) f(x)=log2
x
tem assíntota vertical em x = 0

69
Graficamente, temos:
x f(x)=log2
x
(x,y)
1
2
f(x)=log2
1/2
=–1 (1/2,–1)
2 f(x)=log2
2
=1 (2,1)
4 f(x)=log2
4
=2 (4,2)
8 f(x)=log2
8
=3 (8,3)
y
x
-1 2
2
3
1
4 8
b) f(x)=log4
(x+3)
Nesse caso, não faremos o gráfico da função, vamos determinar a assíntota vertical de f(x) por meio
da solução de x + 3 = 0, isto é, x = –3.
Assim, a reta x = –3 é assíntota vertical da função.
Funções racionais: são funções do tipo f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
Para determinar a assíntota vertical de uma função racional, devemos determinar as raízes de q(x);
os valores encontrados serão as assíntotas.
Exemplos:
1) Observando o gráfico da função f x
x
( ) =
1
, notamos que, além da assíntota horizontal, ela também
tem assíntota vertical em x = 0.

70
Unidade II
x
y
4
1
-1
3
-2
-3
-4
-1
2
2
-5
5
6
7
-6
-7
-8
-9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1 3 4 5 6 7 8 9
2) Para função racional f x
x x
x
( ) 


2
2
5
, determinar se tem assíntota vertical:
Devemos encontrar as raízes do denominador, esses valores são os pontos que estão fora do domínio
da função.
Assim, determinando as raízes de q(x), temos x2
– 5 = 0 e então x = √5 e x = –√5.
As assíntotas verticais serão as retas x = √5 e x = –√5.
Os gráficos de funções racionais serão feitos mais adiante, no módulo III. Para podermos entender
melhor o comportamento da função, vamos tomar o gráfico pronto da função:

71
y
x
1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
–4
–5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
assíntota vertical assíntota vertical
Note que o gráfico se aproxima das retas x = 5 e x = –5, mas não passa por elas. Nesse gráfico, temos
ainda outra assíntota (horizontal) que estudaremos mais adiante.
Saiba mais
Para saber mais sobre funções, leia o capítulo 2 de:
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite,
derivação, integração. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
A seguir, você encontrará alguns exemplos para detalhar um pouco mais a teoria apresentada.
Lembrete
Estude os exemplos e depois tente refazê-los.
3.6 Ampliando seu leque de exemplos
1) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –16 + 4x
, determinar o valor de x para o qual f(x) = 0
Resolução:
Devemos igualar a expressão de f a zero e resolver a equação: –16 + 4 x
= 0.
4x
= 16, fatorando 16, temos 16 = 24
, assim:
4x
= 24
as bases ainda não são iguais, então, você deve fatorar a base 4 também para que possamos
comparar as duas expressões, então, 22x
= 24
, logo, 2x = 4 e assim, x = 2.

72
Unidade II
2) A função Cn
= 1.000. (1 + 0,2)n
indica a capitalização composta de R$ 1.000,00 a uma taxa de
juros de 20% a.a. (ao ano). Determinar o montante Cn,
após 2 anos:
Resolução:
Devemos inicialmente verificar se a taxa de juros e o tempo estão na mesma unidade. Nesse caso, a
taxa é anual e o período também.
Substituindo n = 2 na função Cn,
encontramos:
Cn
= 1.000. (1 + 0,2)2
Cn
= 1.000. (1,2)2
Cn
= 1.440,00 reais
3) A função logarítmica f(x) = 2.log2
(x–3)
tem assíntota vertical, determine a equação desta assíntota.
Resolução:
A assíntota vertical indica que o domínio da função tem alguma restrição, isto é, valor que não pode
ser substituído. No caso da função logarítmica, não podemos fazer o cálculo para valores negativos, ou
seja, x – 3 ≠ 0.
Resolvendo a equação, temos x ≠ 3.
Logo, no domínio da função, temos um ponto que deve ser excluído, assim, a reta x = 3 é a
assíntota vertical.
4) Sendo f(x) = |2x – 4|, determinar o valor de f(–5)
Resolução:
Para calcular o valor de f(–5), devemos substituir o valor de x na expressão da função:
f (–5) = |2. (–5) – 4| = |–10 – 4| = |–14| = 14.
Lembrete
Observe que você deve efetuar todas as contas dentro do módulo e só
depois utilizar a definição de módulo para encerrar o exercício.

73
5) Esboçar o gráfico da função y = 3. sen x, a seguir, determinar o domínio e a imagem de f
Resolução:
Para esboçar o gráfico da função, vamos utilizar uma tabela de pontos:
x y = 3 . senx (x, y)
0 y = 3 . sen0 = 0 (0, 0)
π/2 y = 3. sen π/2 = 3 (π/2, 3)
π y = 3. sen π = 0 (π, 0)
3π/2 y = 3. sen (3π/2) = –3 (3π/2, –3)
2π y = 3. sen (2π) = 0 (2π, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
2
-1
-2
2π
π/2
3π/2
π
x
y
-3
-2
3
O domínio da função é Df
= IR e Im f = { y ∈IR | –3 ≤ y ≤ 3}.
Lembrete
O domínio da função não se altera por multiplicar o seno por 3, mas a
imagem se altera ao multiplicarmos por um número, assim, a imagem foi
multiplicada por 3.
6) Esboce o gráfico da função f(x) = cos(2x) e compare o período da nova função com o período de
f(x) = cos x:
x y = cos(2x) (x, y)
0 y = cos 0 = 1 (0, 1)
π/2 y = cos 2. π/2 = cos π (π/2, –1)
π y = cos 2π = 1 (π, 1)
3π/2 y = cos (3π) = –1 (3π/2, –1)
2π y = cos (4π) = 1 (2π, 1)

74
Unidade II
1 2 3 4 5 6 7
-1
1
-1
2π
3π/2
π/2 π x
y
-2
Observando o gráfico da função e comparando com o gráfico de f(x) = cos x, notamos que o período
da função f(x) = cos(2x) é igual a π, enquanto o período de f(x) = cos x é igual a 2 π.
7) Determine o domínio da função tg(4x)
Resolução:
Sabemos que o domínio da função g(x) = tg x é dado por:
D x IR x k
g    






| ,


2
k inteiro
Para determinar o domínio da função f(x) = tg 4x, devemos ter:
4
2 8 4
x k x
k
    


 
com k inteiro
,
Assim: D x IR x
k
f    






| ,
 
8 4
k inteiro
4 LIMITE
4.1 Uma visão intuitiva
Estudaremos a noção intuitiva de limite. Você encontra a definição formal nos livros indicados na
bibliografia.
Estudar o limite de uma função f é querer saber o comportamento de f(x) quando x está próximo de
um determinado número, sem, no entanto, ser necessariamente igual a ele.
Tomemos a função f(x) = x + 3, isto é, y = x + 3, queremos saber o que ocorre com f(x) quando x se
aproxima de x0
= 2. Para isso, vamos construir duas tabelas de pontos com valores de x próximos de 2,
uma para valores maiores e outra para valores menores que 2.

75
Considere as tabelas:
valores menores que 2 valores maiores que 2
x Y x y
1 4 2,001 5,001
1,3 4,3 2,01 5,01
1,5 4,5 2,08 5,08
1,7 4,7 2,1 5,1
1,8 4,8 2,2 5,2
1,9 4,9 2,4 5,4
1,93 4,93 2,7 5,7
1,99 4,99 2,9 5,9
A primeira tabela apresenta x se aproximando de 2 por valores menores que ele (pela esquerda) e a
segunda tabela apresenta esta aproximação por valores maiores que 2 (pela direita).
Observando as duas tabelas, notamos que quanto mais próximo o valor de x está de 2 mais o valor
de y se aproxima de 5.
Dizemos, então, que o limite de f(x) é 5, quando x tende a 2 por valores à direita, isto é, valores
maiores que 2, e utilizamos a seguinte notação para indicar esse limite:
lim ( )
x 2
 
 
x 3 5
Lemos: limite de (x+3), quando x tende para 2 pela direita é 5.
Da mesma forma, temos que o limite de f(x) é 5, quando x tende a 2 por valores à esquerda e
escrevemos:
lim ( )
x 2 -

 
x 3 5
Lemos: limite de (x+3), quando x tende para 2 pela esquerda é 5.
Chamamos esses limites de limites laterais.

76
Unidade II
L
y
C x
L
y
C x
Dizemos que existe o limite da função para x tendendo a x0,
quando existirem os limites laterais e
eles forem iguais, isto é:
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
f x L f x f x L
c c c -
   
   
Exemplos:
1)
x
x


2
3
lim( )
Conforme já vimos, os limites laterais existem e são iguais, assim,
x
x

 
2
3 5
lim( ) .
2)
x
 
2
(-x 2x 3)
1
lim
Podemos também determinar o valor do limite, observando o gráfico da função.
Construindo o gráfico da função, temos:
y
x
-2 -1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
Verificando o comportamento da função à direita e à esquerda de x0
= 1, temos:
lim ( ) lim ( ) lim
x x
x x x x
1 - 1
logo
  
       
2 2
2 3 2 3 4
x
x
x x
1

   
( )
2
2 3 4

77
A seguir, vamos relacionar alguns teoremas sobre limites; nesse texto não faremos a demonstração
desses resultados, você pode encontrar as demonstrações nos livros indicados na bibliografia.
• Teoremas
- Unicidade do limite
“Se o limite de f quando x tende para c existe, então, esse valor é único.”
- Teorema do confronto
“Se em uma região próxima de c uma função f está entre outras duas g e h que têm o mesmo
limite finito L, quando x tende para c, então o limite de f, quando x tende para c, também será
igual a L.”
g x f x h x
( ) ( ) ( )
    
  
e lim g(x) lim h(x) L lim
x c x c x c
f(x) L

f(x)
L
h(x)
g(x)
c
Limite do produto de uma função que tende a zero por outra que é limitada.
“O produto de uma função f que tem limite igual a zero, quando x tende para c, por uma função g
limitada é igual a zero.”
Se a função g é limitada, isto é, –M ≤ g(x) ≤ M, então lim ( )
x
g x M
c

 .
lim g(x) e lim f(x) lim f(x).g(
x c x c x c
  
  
M 0 x
x) 0

Lembrete
Você pode encontrar as demonstrações desses teoremas nos textos
indicados na bibliografia.

78
Unidade II
4.1.1 Função contínua
Intuitivamente, uma função f não é contínua em x = x0
, x0
um ponto do seu domínio, se seu
gráfico apresenta um “salto” ou buraco nesse ponto. Do contrário, f é chamada função contínua.
Observe os gráficos das funções abaixo, todas com domínio IR:
x
ƒ(x)
ƒ(xo)
xo
a)
x
ƒ(x)
ƒ(xo)
xo
b)
x
ƒ(x)
ƒ(xo)
xo
c)
A função do item a não é contínua em x0,
pois o gráfico apresenta um buraco nesse ponto, enquanto
as funções dos itens b e c apresentam “saltos” no ponto x0
.
Notemos que essas funções são contínuas em todos os outros pontos de seu domínio.
São exemplos de funções contínuas as funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas.
Uma função f é contínua em x0
, se e somente se o limite de f, quando x tende para x0,
é igual ao valor
da função no ponto, isto é:
f é contínua em
x0
0
 

x x
f x f x
lim ( ) ( )
0
Lembrete
Para verificar se uma função é contínua em um ponto x0
, devemos
verificar as 3 condições:
a) f(x0
) existe, isto é, x0
∈ Df
.
b) O limite de f(x) quando x tende a x0
existe.
c) O limite for igual a f(x0
).
Um resultado importante das funções contínuas é o teorema do valor intermediário. Esse teorema
permite que se encontre um intervalo no qual temos, com certeza, uma raiz da função.

79
• Teorema do valor intermediário
“Se f(x) é contínua num intervalo fechado [a, b] e L, tal que f(a) ≤ L ≤ f(b), então existe c ∈
[a, b] com f(c) = L.”
L
a c b
Observação
Para algum valor entre a e b, temos f(c) = L.
Exemplos:
1) A função f(x) = x2
– 1 é contínua em x0
= 2, pois, observando o gráfico de f, notamos que
x
x

 
2
2
1 3
lim( ) e f(2) = 22
– 1 = 3:
x
0
3
y
xo=2
–1
2) A função f x
x
( ) 
 




1
2
se x 3
se x 3
não é contínua em x = 3, pois não existe limite para x tendendo
a 3, conforme podemos ver no gráfico, os limites laterais são diferentes. Para valores maiores que
3, a função tende a 4 e para valores menores que 3, a função tende a 2:

80
Unidade II
y
f(x) = 2
x
4
2
f(x) = x+1
1 3
Vejamos agora alguns resultados importantes sobre funções contínuas.
Consideremos f e g funções contínuas em x0
, x0
um ponto do intervalo I, sendo I um subconjunto
de Df
∩ Dg,
temos:
a) f + g é contínua em x0.
b) f – g é contínua em x0.
c) f. g é contínua em x0.
d) k. f é contínua em x0
, com k ∈ IR.
e)
f
g
é contínua em x0
, com g ≠ 0.
f) Uma função será contínua em um intervalo, se for contínua em todos os pontos do intervalo.
4.1.2 Propriedades operatórias dos limites
Com estas propriedades, poderemos calcular o limite das funções sem o uso de gráficos e também
sem o uso de tabela de pontos, elas permitem que os cálculos sejam feitos mais rapidamente.
Sejam f e g funções contínuas em seu domínio, temos as propriedades:
1) f x k f x k
x x
( ) , ( )
lim
  

k constante
0
Exemplos:
a) x→ 1
3
lim
Note que queremos calcular o limite de f(x) = 3 que é uma função constante, logo,
x

1
3 3
lim .
b) lim
x 1

10

81
Novamente, queremos calcular o limite de uma função constante, assim:
lim
x 1

  
10 10
2)
x x x x x x
f x a g x b
  
    
0 0 0
lim lim
( ) ( ) ,
e com a IR e b IR l
lim ( )
f x a b
g(x)

  
Exemplos:
a)
x
x


1
1
lim( )
Para calcular o limite da função f(x) = x + 1, você deve observar que ela é formada pela soma de
duas funções, assim:
x x x
x x
  
     
1 1 1
1 1 1 1 2
lim lim lim
( )
b)
x
x x

 
0
2
2 3
lim( )
x x x x
x x x x
   
       
. 0 3
0
2
0
2
0 0
2
2 3 2 3 0 2
lim lim lim lim
( ) 
 3
c)
x
x x

 
1
3 2
5 2
lim( )
x
x x
 
   
        
1
2
. (-1)
lim( )
3 2 3
5 2 1 5 2 1 5 2 2
3)
x x x x x x
f x a g x b
  
    
0 0
lim lim
( ) ( ) ,
e com a IR e b IR
0
0
lim ( ). .
f x ab
g(x)
 
Exemplos:
a) lim . (x-5)
x 2

 
( )
2 1
2
x x
Devemos calcular cada um dos limites e depois multiplicar os resultados, assim:
x x x
x x x x
  
     
.(x-5) . (x-5) (2.2
2
2
2
2
2
2 1 2 1
lim lim lim
( ) ( ) 2
2
.(2-5) 11.(-3) -33
   
2 1)
b) lim .(x 2)
x -1

  
( )
x x
3
2 5

82
Unidade II
lim .(x 2) lim . lim
x -1 x -1 x
 
     
( ) ( )
x x x x
3 3
2 5 2 5
-1
-2(-1) 5 .(-1 2) .1 6

 
  
    
( )
( )
x 2
1 6
3
4)
x x x x
n n
f x a f x a
 
    
0 0
lim lim
( ) , [ ( )]
com a IR e n IN*
Exemplos:
a) lim .2 6)
x 2
7

      
( ) (
2 6 2 2 128
7 7
x
b) lim 1)
x - 3
3

       
( ) ( ( )
x 1 3 4 64
3 3
5)
x x x x
f x
f x a b b



   
0 0
lim lim
( ) , ( )
com a IR f(x)
Exemplos:
a) lim
x 3

 
4 4 64
3
x
b) lim
x 4

   
( ) ( )
2 2 16
4
x
6)
x x x x
n
f x a a



    
0 0
lim lim
( ) , com a IR e n IN f(x)
* n
Exemplos:
a) lim
x
x
4

    
2 2
9 4 9 25 5
b) lim ( )
x
x
-1

     
2 2
3 1 3 4 2
7)
x x x x
f x a

 

    
0 0
lim lim
( ) , com a IR e b IR , b 1 log
* *
b
f(
(x)
 logb
a
Exemplos:
x
x


7
2
1
limlog( )
x
x

 
  
7
2
1
2
7 1
2
8
3
limlog log log
( ) ( )

83
8)
x x x x x x
f x a g x b
  
    
0 0 0
lim lim l
( ) ( ) ,
e com a IR e b IR*
i
im
f(x)
g(x)





 
a
b
Exemplos:
x
x
x
x
x
x
x










 






4
2
4
2
4
2
16
4
16
4
4 16
4 4
lim
lim
lim
( )
( )
0
0
8
0

Notemos que, em alguns casos, a substituição do valor de x0
gera uma indeterminação, nesses casos
será necessário uma simplificação das funções para calcular o limite.
x
x
x









- 4
2
16
4
lim
O valor x = –4 não pode ser substituído, pois gera uma indeterminação, isto é,
0
0
. Devemos então
fatorar o numerador e, após a simplificação, calcular o limite.
Como x2
– 16 = (x – 4). (x + 4), temos:
x x x
x
x
x
x
  







 
 


- - -
. (x 4)
4
2
4 4
16
4
4
4
lim lim
( )
l
lim( )
x      
4 4 4 8
Lembrete
Esse procedimento deve ser feito toda vez que chegarmos a uma
indeterminação.
x
x
x



4
4
2
lim
O valor x = 4 não pode ser substituído, pois teremos uma indeterminação. Devemos então racionalizar
o denominador e, após a simplificação, calcular o limite.
Para a racionalização, vamos multiplicar e dividir a função por x 
 
2 , assim:

84
Unidade II
x x x
x
x
x
x
x
x
  







 









 
.
(x-
4 4 4
4
2
4
2
2
2
lim lim lim
4
4).
(x-4).
( -4)
x
x
x
x
x

 
  

















 

2
2
2
2 2
4
lim









 
   

x
x
4
2 4 2 4
lim
Esse procedimento deve ser feito toda vez que chegarmos a uma indeterminação envolvendo radicais.
4.1.3 Limites envolvendo infinito
Algumas vezes, precisamos calcular limites de funções com características especiais. Nesses casos,
o estudo requer técnicas diferentes das que você estava utilizando até agora, devemos observar o
comportamento das funções.
Estudaremos agora dois desses casos: limite quando x tende para + ∞ ou – ∞ e limites que têm como
resultado infinito.
• 1º caso: x tende para + ∞ ou – ∞.
Veremos agora alguns limites de funções reais, quando x tende para + ∞ ou – ∞. Dependendo da
função, o resultado desses limites pode ser tanto um número real quanto + ∞ ou – ∞.
Estudaremos agora algumas destas funções:
x
n
x
 





  
n 0
lim ,
1
0
Exemplos:
1
1
) lim
x x
 






Para entender o resultado desse limite, vamos esboçar o gráfico da função e observar o seu
comportamento quando x → + ∞.
Montando uma tabela de valores para x, notamos que como x tende para +∞, devemos colocar
valores grandes para x, assim:

85
x y = 1/x (x, y)
1 y = 1/1=1 (1, 1 )
10 y = 1/10 = 0,1 (10, 0.1)
100 y = 1/100 = 0,01 (100, 0.01)
1000 y = 1/1000 = 0,001 (1000, 0.001)
Graficamente:
x
3
y
x → ∞
1
2
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
Quando calculamos os valores de f(x) para valores muito grandes, notamos que os resultados são
cada vez menores, aproximando-se de zero, assim:
x x
 





 
lim
1
0
Como será o comportamento da função, quando x se aproxima de – ∞? Para saber, vamos esboçar o
gráfico para valores de x muito pequenos, tendendo para – ∞:
x y = 1/x (x, y)
–1 y = 1/–1= –1 (–1, –1 )
–10 y = 1/–10 = – 0,1 (–10, – 0.1)
–100 y = 1/–100 = – 0,01 (–100, – 0.01)
–1000 y = 1/–1000 = – 0,001 (–1000, – 0.001)

86
Unidade II
Representando os pontos no plano, temos:
x
y
x → –∞
1
1
–2
–3
–4
–5
–6
–7 –1
–1
–2
–3
–4
–5
Notamos que o mesmo ocorre, quando x tende para – ∞, isto é, lim
x -
 





 
1
0
x
Lembrete
Você não terá que fazer o gráfico da função em todos os exercícios,
basta pensar no comportamento da função para valores muito grandes.
2)
x x
 







lim 2
1
2
Quando x tende para + ∞, temos
1
2
x
tende para zero, logo, 2
1
2







x
tende para 2, isto é,
x x
 






 
lim 2
1
2
2
.
é par
é ímpar
x
n
x
n
x
x
 
  
  



n 0
se n
se
lim
lim
,
,
, n
n



Exemplos:
1)
x 
4
x
lim 3
Como x tende a + ∞, temos
x 
  
4
x
lim 3 .

87
2)
x  
3
x
lim 5
Como x tende a – ∞ e n = 3 é impar, temos
x  
  
3
x
lim 5 .
3)
x
x
x
 








lim
5
2 4
Para valores muito grandes, tanto o numerador quanto o denominador da função tendem para + ∞,
temos o caso







 , que é uma indeterminação. Para resolver, devemos colocar o x de maior grau do
numerador e o x de maior grau do denominador em evidência. Após a simplificação, podemos calcular
o limite:
x x
x
x
x
x
x
x
   







 















lim lim
5
2 4
1
5
2
4




































 
x
x
x
lim
1
5
2
4
1
2
4)
x
x
x
 
 







-
2
lim
x
3 7 10
8
Tanto o numerador quanto o denominador tendem para ∞.
Podemos resolver de forma diferente da que foi utilizada no exemplo anterior.
Tomamos apenas o termo de maior grau, simplificamos e calculamos o limite, assim:
x x x
x
x x
    
 






 





 
-
2
-
2
-
lim lim
x x
3 7 10
8
3


 
lim 3x
• 2º caso – limites que têm como resultado infinito
Estudaremos agora limites cujo resultado será + ∞ ou – ∞. Vejamos alguns exemplos:
1) lim
x 






0
1
x

88
Unidade II
Vamos analisar o gráfico da função para valores próximos de zero e como 0 ∉ Df,
devemos substituir
valores pela direita e pela esquerda de zero.
Para valores maiores que 0, isto é, à direita de 0, temos:
x y = 1/x (x, y)
0,5 y = 1/0,5 = 2 (0.5, 2 )
0,1 y = 1/0,1 = 10 (0.1, 10)
0,01 y = 1/0,01 = 100 (0,01, 100)
0,001 y = 1/0,001 = 1000 (0,001, 1000)
Representando os pontos no plano cartesiano:
x
3
y
+ ∞
1
2
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
Observando o gráfico e a tabela, notamos que quando x se aproxima de zero, a função vai para + ∞,
logo, o limite pela direita é + ∞.
lim
x  





   
0
1
x
Devemos estudar agora os valores menores que 0, isto é, à esquerda de 0, temos:
x y = 1/x (x, y)
–0,5 y = 1/–0,5 = –2 (–0.5, –2 )
–0,1 y = 1/–0,1 = –10 (–0.1, –10)
–0,01 y = 1/–0,01 = –100 (–0,01, –100)
–0,001 y = 1/–0,001 = –1000 (–0,001, –1000)
Representando no plano cartesiano:

89
x
y
–∞
1
1
–2
–3
–4
–5
–6
–7 –1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
Observando o gráfico e a tabela, notamos que quando x se aproxima de zero, a função vai para – ∞,
logo, o limite pela esquerda é – ∞, isto é, lim
x 






   
0
1
x
.
Como os limites laterais são diferentes, temos que lim
x 






0
1
x não existe.
Juntando os dois gráficos, temos o gráfico da função f(x) = 1/x:
x
y
4
1
-1
3
-2
-3
-4
-1
2
2
-5
5
6
-2
-3
-4
-5
1 3 4 5 6 7
Vamos agora estudar o comportamento da função f(x) = 1 / x2
, quando x tende a zero.
2) lim
x 






0 2
1
x

90
Unidade II
Vamos analisar o gráfico da função para valores próximos de zero e como 0 ∉ Df
, devemos substituir
valores pela direita e pela esquerda de zero.
Para valores maiores que 0, isto é, à direita de 0, temos:
x y = 1/x2
(x, y)
0,5 y = 1/0,52
= 4 (0.5, 4 )
0,1 y = 1/0,12
= 100 (0.1, 100)
0,01 y = 1/0,012
= 10000 (0,01, 10000)
0,001 y = 1/0,0012
= 1000000 (0,001, 1000000)
Representando no plano cartesiano:
x
3
y
+ ∞
1
2
4
1 2 3 4 5 6 7
–1
logo, o limite pela direita é + ∞.
lim
x  





   
0
2
1
x
Devemos estudar agora os valores menores que 0, isto é, à esquerda de 0, temos:
x y = 1/x2
(x, y)
–0,5 y = 1/(–0,5)2
= 4 (–0.5, 4 )
–0,1 y = 1/(–0,1)2
= 100 (–0.1, 100)
–0,01 y = 1/(–0,01)2
= 10000 (–0,01, 10000)
–0,001 y = 1/(–0,001)2
= 1000000 (–0,001, 1000000)

91
x
y
4
1
-1
3
-2
-3
-4
-1
2
-5
5
6
1
+ ∞
-6
logo, o limite pela esquerda é + ∞, isto é, lim
x -






   
0
2
1
x
.
Como os limites laterais são iguais e temos que lim
x 





   
0 2
1
x
unindo os dois gráficos, temos
o gráfico da função f(x) = 1/x2:
-1
-2
-3
-4
-5
-6
x
3
y
1
2
4
1 2 3 4 5 6 7
–1
–2
5
6
3) lim
x x
 





 
1
1
1
A função f(x) = 1/(x+1) terá o mesmo comportamento da função g(x) = 1/x, assim, temos que o
limite para x tendendo a –1 não existe, logo:

92
Unidade II
lim
x x
 






1
1
1
não existe.
4) lim
x x
 
 






1 2
1
1
A função f(x) = 1/(x+1)2
terá o mesmo comportamento da função g(x) = 1/x2
, assim, temos que o
limite para x tendendo a zero será igual a + ∞, isto é:
lim
( )
x  





   
0 2
1
1
x
4.1.4 Limites fundamentais
Temos alguns casos de indeterminações que não são facilmente eliminadas, como nos casos
anteriormente estudados. Esses são os limites fundamentais, vejamos alguns deles:
1º caso: lim
x
1






 
0
sen x
x
Exemplos:
1) lim
x
3







0
sen x
x
Para calcular o limite da função, vamos utilizar o limite fundamental, para isso precisamos ter o
denominador igual ao arco, assim, devemos multiplicar e dividir por 3, temos:
lim lim
x x
3 3
.
3
3
 





 






0 0
sen x
x
sen x
x
Arrumando o denominador, ficamos com:
lim lim
x x
3
3
3
 





 





0 0 3
sen x
x
sen x
x


Temos, então, o limite fundamental multiplicado por 3, logo:
lim lim
x x
3 3
.1
 





 





  
0 0
3
3
3
sen x
x
sen x
x
3
3

93
2) lim
x
3







0 5
sen x
sen x
Para calcular o limite da função, vamos utilizar o limite fundamental. Como temos a função seno,
tanto no numerador quanto no denominador precisamos multiplicar por 15x e dividir por 15x, então:
lim lim
x x
3
5
3
sen 5
 





 

0 0
sen x
sen x
sen x
x





 .
5x
3x
.
3
5
Arrumando convenientemente os valores, temos:
lim lim
x x
3
5
3
3
 





 




0 0
sen x
sen x
sen x
x 








.
5x
sen 5x
.
3
5
Temos, então, dois limites fundamentais multiplicados pela fração 3/5, assim:
lim lim
x x
3
5
3
5
3
3
 





 
0 0
sen x
sen x
sen x
x












  

.
5x
sen 5x
3
5
.1.1
3
5
x
lim
0
Lembrete
No exemplo anterior acabamos de ver que:
lim
x
3
3

0
3
sen x
x
Observação
Para resolver a expressão lim
x
5x
sen 5x

0
, usamos L’Hospital,
derivando a fração no numerador. Veja como:
lim
cos
x 5
3
5cos
5
5

0
5
5 0
1
x

94
Unidade II
2º caso: lim lim
x
x
x
x
e; e
   






  





 
1
1
1
1
x x
e = nº de euler.
Valem também os seguintes resultados:
lim lim
x
a x
a
x
x
a
e ; e
     






  





 
1
1
1
x
a
x
Saiba mais
Para mais detalhes sobre número de euler e o limite fundamental,
acesse:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm.
Exemplos:
1) lim
x
5 x
  







1
1
x
É um caso de limite fundamental no qual a = 5, logo:
lim
x
5 x
5
=e
  







1
1
x
2) lim
x
x
  







1
4
x
É um caso de limite fundamental no qual a = 4, logo:
lim
x
x
4
e

1
4
x
A seguir, vamos reunir as propriedades para facilitar o seu estudo:

95
Propriedades operatórias dos limites:
1) f x k f x k
x x
( ) , ( )
lim
  

k constante
0
2)
x x x x x x
f x a g x b com a e b IR f x
  
     
0 0 0
lim lim lim
( ) ( ) ,
e IR 
  

 
  
g x a b
3)
x x x x x x
  
     
0 0 0
lim lim lim
( ) ( ) ,
e IR 
  

 
  
g x a b
4)
x x x x
n n
f x a com a e n IN f x a
 
     

 
 
0 0
lim lim
( ) , *
IR
5)
x x x x
f x a
f x a com a b b



 
   
0 0
lim lim
( ) , IR
6)
x x x x
n
f x a a



    
0 0
lim lim
* n
7)
x x x x
b
f x
b
a
f x a b



 
    
0 0
1
lim lim
( ) , log log
com a IR e
8)
x x x x x x
f x a g x b IR
f x
  
     
 
0 0 0
lim lim lim
( ) *
e =b, com a IR e
g
g x
a
b
 





 
Limites infinitos e fundamentais:
lim ,
x
n 0
 





  
1
0
xn
lim ,
x
n 0
 
  
xn
lim
,
,
x  






xn se n é par
se n é ímpar
lim
x 





  
0 2
1
x
lim
x
1






 
0
sen x
x

96
Unidade II
lim
lim
x
x
x
x
=e
e
 
 













 
1
1
1
1
x
x
4.2 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar o valor do limite
x
lim
 
1
f x
( )
, sendo f x
x
( ) 
 




1 se x 1
3x se x 1
Resolução:
Como queremos o limite para x tendendo a 1 pela direita, devemos usar a expressão da função para
esse intervalo, isto é, f(x) = x + 1 e calcular o limite.
Assim:
lim ( ) lim
x x
f x x
1+ 1
1 1 2

1
2) Determine o valor de a para a função f x
( ) 
 

 





x 2x se x 5
a se x 5
x 30 se x 5
2
, seja contínua em xo
= 5
Resolução:
Para verificar se uma função é contínua em 5, devemos calcular o limite de f, quando x tende para
5, e comparar com f(5). Se forem iguais à função, será contínua, caso contrário, não será contínua.
Para calcular o limite de f, devemos calcular os limites laterais, assim:
lim ( ) lim
x x
f x x
5 - 5 -
5
 
  
30 3
lim ( ) lim
x x
f x x x
5 5
2
5 .5 25 10 35
   
      
2
2 2
Os limites laterais são iguais, logo existe o limite e lim ( )
x
f x
5
5

 3
Para ser contínua em 5, ainda falta igualar f(5) ao valor do limite, assim:
f(5) = a = 35.
Logo, o valor de a para que a função seja contínua em x0
= 5 é a = 35.

97
3) Calcular valor do limite
x
2
lim
x x 20
x 5

 







5
Resolução:
Para se calcular o limite, a primeira providência é substituir o valor de x0
na função. Se a conta for possível,
o limite está calculado, caso contrário, precisaremos utilizar outro procedimento para resolver o limite.
Substituindo o valor de x na expressão, temos uma indeterminação. Vamos fatorar o numerador e
simplificar a fração para eliminar a indeterminação:
lim lim
) )
x x
5
2
5
x x 20
x 5
(x .(x 5
x 5
 
 






 
 






 
4
l
lim )
x 5
(x

   
4 5 4 9
4) Calcular o limite
x -
4
3
lim
2x 5
x 2
 
 
 






3
10
2
2
x x
x
Resolução:
Novamente, temos uma indeterminação do tipo







 . Vamos calcular o limite utilizando o x de
maior grau do denominador e o de maior grau do denominado. Assim:
lim lim
x x
X
-
4 2
3 -
4
3
2x 3x 5X
x
2x
x
   
 
 





 
2 10
2
Simplificando a expressão, ficamos com:
lim
x 
 
-
2 x -
Logo,
lim
x x
 
 
 





  
-
4 2
3
2x 3x 5x
x 2 10
2
5) Calcular o valor do limite
x
lim
  
 
4
2
1
4
x

98
Unidade II
Resolução:
Substituindo x por –4, encontramos uma indeterminação. Nesse caso, não conseguimos eliminar a
indeterminação por meio de fatoração.
Será necessário outro procedimento.
Estudando o comportamento da função à direita e à esquerda de –4, notamos que é o mesmo da
função f(x) = 1 / x2
, isto é, tanto pela esquerda quanto pela direita, teremos o mesmo valor:
lim
( )
lim
x x
x x
- -
1 1
 






 





  
4 2 4 2
4
Resumo
Nessa unidade, estudamos mais algumas funções reais. Vamos agora
destacar alguns itens importantes sobre elas:
Função exponencial: f(x) = c + b amx
, (a 0, a ≠1, b ≠ 0 e m ≠ 0)
Função logarítmica: f(x)=loga
x
, com a 0, a ≠ 1 e x 0
Função modular: f(x) = | x |
y x
x
 





| |
se x 0
-x se x 0
Função seno: f(x) = sen x
D(f) = IR
Im (f) = {y IR
  
/ -1 y 1}
período p = 2π
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ +
f(x)= senx
- -

99
Função cosseno: f(x) = cos x
D(f) = IR
Im (f) = {y IR
  
/ -1 y 1}
período p = 2π
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ + f(x)= cosx
- -
+ +
Função tangente: f(x) = tg x
D(f) = {x IR
 


/ x
(2k 1)
2
, k Z}

Im (f) = IR
período p = π
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
2
-1
-2
2π
π/2 3π/2
f(x)= tgx
π x
y
Assíntotas: retas das quais o gráfico das funções se aproxima, porém
não corta nem tem ponto comum com elas.
Podemos ter assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas.
Limites: alguns resultados importantes sobre limites:
• Teorema do confronto
— g x f x h x
( ) ( ) ( )
    
  
e lim g(x) lim h(x) L lim
x c x c x c
f(x) L

— lim g(x) e lim f(x) lim f(x).g(x)
x c x c x c
  
  
M 0 
 0

100
Unidade II
• Função contínua
f é contínua em x0
0
 

x x
f x f x
lim ( ) ( )
0
• Teorema do valor intermediário
“se f(x) é contínua num intervalo fechado [a, b] e L, tal que f(a) ≤ L ≤
f(b), então existe c ∈ [a, b] com f(c) = L.”
• Propriedades
1)f x k f x k
x x
( ) , ( )
lim
  

k constante
0
2)
x x x x x x
  
     
0 0 0
lim lim lim
( ) ( ) ,
e IR 
  

 
  
g x a b
3)
x x x x x x
  
     
0 0 0
lim lim lim
( ) ( ) ,
e IR 
  

 
  
g x a b
4)
x x x x
n n
f x a com a e n IN f x a
 
     

 
 
0 0
lim lim
( ) , *
IR
5)
x x x x
f x a
f x a com a b b



 
   
0 0
lim lim
( ) , IR
6)
x x x x
n
f x a a



    
0 0
lim lim
* n
7)
x x x x
b
f x
b
a
f x a b



 
    
0 0
1
lim lim
( ) , log log
com a IR e
8)
x x x x x x
f x a g x b IR
f x
  
     
 
0 0 0
lim lim lim
( ) *
e =b, com a IR e
g
g x
a
b
 





 
• Limites infinitos e fundamentais
lim ,
x
n 0
 





  
1
0
xn
lim ,
x
n 0
 
  
xn
lim
,
,
x  






xn se n é par
se n é ímpar

101
lim
x 





  
0 2
1
x
lim
x
1






 
0
sen x
x
lim
lim
x
x
x
x
=e
e
 
 













 
1
1
1
1
x
x
Exercícios
Questão 1. No ano de 2005, uma empresa lançou um novo produto no mercado, com produção
inicial de 2000 unidades. A quantidade P de unidades produzidas a partir de 2005 segue a função
P(t)=2000.(0,95)t
, sendo que t representa o tempo em anos. Considerando-se que log(0,5)=–0,30 e
log(0,95)=–0,02, assinale a alternativa que apresenta corretamente o ano em que a produção será de
1000 unidades.
A) 2010.
B) 2015.
C) 2020.
D) 2025.
E) 2030.
Resposta correta: alternativa C.
Resolução da questão
Considerando-se que o ano de 2005 é t=0, fazemos:
0
P(0) 2000.(0,95) 2000.1 2000
= = =
O P(0) representa a quantidade de unidades do produto produzida no ano de 2005.
Para sabermos em que ano a quantidade de unidades produzidas será de 1000, fazemos:

102
Unidade II
t t t t
1000
P(t) 2000.(0,95) 1000 2000.(0,95) (0,95) 0,5 (0,95)
2000
= ⇒
= ⇒
= ⇒
=
Podemos aplicar a definição de logaritmo em ambos os lados da equação (utilizar dica do
enunciado). Logo,
t t
0,5 (0,95) log(0,5) log(0,95) log(0,5) t.log(0,95) 0,30 0,02t
=⇒ = ⇒ = ⇒ − =
−
0,30
t t 15
0,02
−
= ⇒
=
−
Então, em 15 anos, a quantidade de unidades produzidas será de 1000. Sendo assim, como o
ano inicial é 2005, fazemos: 2005+15 = 2020. Logo, a produção será de 1000 unidades no ano
de 2020.
Questão 2. (Enade 2008, adaptada) As duas figuras a seguir mostram uma representação da
Terra iluminada pelo Sol. Ambas correspondem ao 1º dia do verão no hemisfério sul. A primeira
foi obtida às 9 h da manhã com relação ao meridiano de Greenwich (GMT – Greenwich Mean
Time). A segunda imagem foi obtida três horas depois, ou seja, ao meio-dia (GMT). As imagens
podem ser usadas para se determinar o horário do amanhecer e do pôr do sol em qualquer
cidade do mundo. Nas figuras, foi introduzido um sistema de coordenadas cartesianas, no
qual a linha do Equador é representada pelo eixo dos x (dado em graus) e o meridiano de
Greenwich, pelo eixo dos y (também dado em graus), de modo que y=+90 no polo norte e
y=−90 no polo sul.
y
x
Nove horas da manhã (GMT)
y
x
Meio dia (GMT)
Figura
Considere que t seja o tempo, em horas, de modo que t = 0 corresponda ao meio-dia (GMT). Escolha
a opção que descreve um modelo mais preciso do deslocamento da curva que separa a área iluminada
da região de sombra na Terra, no dia representado nas figuras.
A) y = 75 cos(x + 15 t)

103
B) y = 75 sen(x - 24 t)
C) y = 75 sen(x + 15 t)
D) y = 90 cos(x + 24 t)
E) y = 90 sen(x - 24 t)
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