O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
2. representa uma equação trinômia do
segundo grau ou simplesmente uma
equação do segundo grau. O gráfico
cartesiano desta função polinomial do
segundo grau é uma curva plana
denominada parábola.
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3. APLICAÇÕES PRÁTICAS DAS PARÁBOLAS
Faróis de carros:
Antenas parabólicas:
Radares:
Lançamentos de projéteis
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4. O sinal do coeficiente do termo dominante
O sinal do coeficiente do termo dominante desta
função polinomial indica a concavidade da
parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a
concavidade estará voltada para cima e se a<0
Ex.: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no
estará .voltada para baixo.
desenho
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5. Para construir esta parábola dá-se valores para x
e obtém-se os respectivos valores para f(x). A
tabela a seguir mostra alguns pares ordenados
de pontos do plano cartesiano onde a curva
deverá passar:
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 -3 -4 -3 0 5
Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa
parábola estará voltada para cima.
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6. Relacionamento entre o discriminante e a concavidade
Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do
discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante
da função polinomial.
a > 0 concavidade (boca) para cima
a < 0 concavidade (boca) para baixo
D > 0,a parábola corta o eixo x em dois pontos diferentes.
D = 0 ,a parábola corta o eixo x num único ponto.
D < 0, a parábola não corta o eixo x.
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7. Máximos e mínimos com funções quadráticas
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas
está relacionada com a questão de máximos e mínimos.
Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é
possível construir se o seu perímetro mede 36 m.
Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a
medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy,
mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:
A(x) = x(18-x)
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8. Esta parábola corta o eixo OX nos pontos
x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa
curva ocorre no ponto médio entre x=0 e
x=18, logo, o ponto de máximo desta curva
ocorre em x=9.
Observamos que este não é um retângulo
qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a
área máxima será A=81m²
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9. Exercícios
1.Construir o gráfico cartesiano de cada uma das
funções do segundo grau:
a) f(x) = x²-3x-4
b) f(x) = -3x²+5x-8
c) f(x) = 4x²-4x+1
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10. Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola
pode ser determinada por .
Exemplo: Determine as coordenadas do
vértice da parábola y = x²-4x + 3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
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11. Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a
coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da
coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da
parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
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12. Raízes (ou zeros) da função do 2º
grau
Denominam-se raízes da função do 2º
grau os valores de x para os quais ela se
anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima
acabamos de determinar as coordenadas
de seus vértices, as raízes da função
serão x=1 e x` = 3.
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13. Como determinar a raiz ou zero da função do
2º grau?
Aplicando a resolução de equações do 2º
grau, já vista na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função
y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a
fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
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15. Concavidade da parábola
Quando a>0, a concavidade da
parábola está voltada para cima
(carinha feliz) e quando a<0, a parábola
está voltada para baixo (carinha
triste).
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16. Quando o discriminante é igual a
zero
Quando o valor de , o vértice a
parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y
será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
x²+2x+1=0
x = x` = -b/2a =-1
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
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17. Exercícios de aprendizagem
3)Encontre o vértice, o eixo de simetria do gráfico , a
imagem de cada uma das funções. Classifique o vértice
como um ponto de máximo ou de mínimo da função
dada.
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18. 2.Esboce o gráfico e determine o domínio e o conjunto-
imagem de cada função abaixo:
a) y= x² - 2x – 3
b) y= -4x² + 8x
c) y= 2x² -2x + 1
d) y= x² -2x + 1
e) y= -x² -9
3.Esboce o gráfico e determine o valor máximo (ou mínimo) e o
ponto de máximo (ou o de mínimo) de cada função abaixo:
a) y= x² -8x+7
b) y= -2x² + 2x -3
c) y= -x² + 2x +8
d) y= 3x² -2x +1
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19. 4.Discuta a variação de sinal das funções abaixo:
a) f(x)= x² -5x + 4
b) f(x)= -x² + x + 2
c) Y= x²/2 – x + ½
d) f(x)= -x² + 6x -9
e) f(x) = 3x² -x +1
f) f(x)= -2x²/3+ x – 4/3
5.Dada a função f(x)=x²-5x+6,calcule:
c)f(1)
d)f(-1)
e)f(2)
f)f(-1/2)
g)f(0)
h)f(3)
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20. 6. Dada a função f(x)= x² -4x -5, determine os valores reais
de x para que se tenha:
a) f(x)= 7
b) f(x)= 0
c) f(x)= -5
7. Calcule K de modo que a função y= kx² -2x + 3 admita 2
como zero.
8.Dada a função f(x)= ax² + bx + 10, calcule a e b
sabendo que suas raízes são -2 e 5.
9.Determine V(xv; yv),vértices da parábola das seguintes
funções:
b)y= x² - 6x + 5
c)y=3x² -2x + 2
d)y= x² -x -2
e)y= x² - 4
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