1. UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professora: Isolda Giani de Lima
PRÁTICA PEDAGÓGICA 3
Método de Integração por
Substituição Trigonométrica
BRUNA TIZATTO
ELAINE TONIETTO
Caxias do Sul
2008
1

2. Método de Integração por Substituição Trigonométrica
Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado
através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a
fórmula do disco da prática 1 que era: Þ a 2 x 2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma
fórmula do livro.
Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma
Þ a2 x2 Þ a2 x2 Þ x2 a2
constante - parte variável constante parte variável parte variável - constante
nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma
substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas.
Relação Fundamental da Trigonometria
1 sin 2 cos 2
2 2
sin cos 1
1 cos 2 sin 2
Relação Secundária
1 tan 2 sec 2
sec 2 1 tan 2
Idéia do método
A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições:
1 sin 2 cos 2
Þ a2 x2 substituir por
1 cos 2 sin 2
Þ a2 x2 substituir por 1 tan 2 sec 2
Þ x2 a2 sustituir por sec 2 1 tan 2
Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a 2 x 2 podemos fazer a substituição
x a sin .
Então,
2
2
a x2 a2 a sin a2 a 2 sin 2 a2 1 sin 2 a cos 2 a. cos
2

3. Exemplos:
3
Exemplo 1: Þ 9 x 2 dx
3
Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ a 2 x 2 , ou seja, constante menos parte
variável. Sendo assim, devemos escolher entre as duas relações:
1 sin 2 cos 2
ou
1 cos sin 2
2
Vamos escolher a primeira. Tomando x 3 sin e dx 3 cos d
Com isso temos:
Þ 9 x 2 dx Þ 9 3 sin 2
3 cos d
Þ 9 9 sin 2 3 cos d (Dica: Colocar o 9 em evidência)
Þ 91 sin 2 3 cos d (Dica: Abre-se esta raiz em duas)
Þ 9 1 sin 2 3 cos d (Dica: Passam-se as constantes para fora da integral e
substitui-se 1 sin 2 por cos 2 )
9 3 Þ cos 2 cos d(Dica: simplifica-se o quadrado do cosseno com a raiz)
9 Þ cos cos d
9 Þ cos 2 d
Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:
1) Integrando em função de , escrevendo assim os intervalos em função de
2) Retornando para a variável x
Vamos mostrar as duas.
Primeira maneira: Integrando em função de
Þ 9 x 2 dx 9 Þ cos 2 d
3
Aqui mudamos os limites de integração da integral definida Þ 9 x 2 dx:
3
Tínhamos que: x 3 sin . Então:
se x 3 se x 3
3 3 sin 3 3 sin
sin 1 sin 1
2
2
3

4. Aplicando esses intervalos na nossa integral:
3
9 Þ 2 cos 2 d (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
Þ 9 x 2 dx 2
fórmula 27: Þ cos 2 udu 1 u 1 sin 2u C)
3
2 4
9 1 1 sin 2 2
2 4
2
9 9 sin 2 2
(Dica: Aplicando os limites de integração)
2 4
2
9 9 sin 2 9 9 sin 2
2 2 4 2 2 2 4 2
9 9 sin 9 9 sin
4 4 4 4
9 9 0 9 9 0
4 4 4 4
9 9
4 4
18
4
9
2
9 9 sin 2 9
3
Logo: Þ x 2 dx 9 Þ 2 cos 2 d
2
9
3 2 2 4
2
2
Segunda maneira: retornando para a variável x.
9 Þ cos 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
Þ 9 x dx 2
fórmula27: Þ cos 2 udu 1
2
u 1
4
sin 2u C)
1 1
9 2
4
sin 2 C
9 9
2
4
sin 2 C (Dica: fórmula do arco duplo, AntonA-47 sin 2 2 sin cos )
9 9
2
4
2 sin cos C
Tinhamos que: x 3 sin . Então sin 3
x
arcsin 3 .
x
Usando o triângulo retângulo para descobrir cos . (Aqui utilizamos a relação que já temos:
sin 3 , para montar no triângulo retângulo.)
x
4

5. Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
9 x2 y2
y 9 x2
Logo :
Cat. Adj. 9 x2
cos
Hip 3
sin x
3
arcsin x
3
Þ 9 x 2 dx 9
2
9
4
2 sin cos C (fazendo as substituições)
9 9 9 x2
arcsin x
2 x
C
2 3 4 3 3
9 2
2
arcsin x
3
x
2
9 x C
Calculando a integral definida:
3
Þ 3 9 x 2 dx 9 arcsin x x 9
3
x2
2 3 2 3
9 arcsin 3 3 9 32 9 arcsin 3 3
9 3 2
2 3 2 2 3 2
9 arcsin 1 3 0 9 arcsin 1 3 0
2 2 2 2
9 9
2 2 2 2
9 9
4 4
9
2
3
9 arcsin x x 9 9
3 3
Logo: Þ 9 x 2 dx 9 Þ cos 2 d x2
3 3 2 3 2 3 2
2 2x 2 4
Exemplo 2: Þ x dx (Livro Anton página 535, n o 24)
2
Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável menos
constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação:
sec 2 1 tan 2
5

6. Tomando x 2 sec e dx 2 sec tan d
2
2x 2 4 2 2 sec 4
Þ x dx Þ 2 sec tan d
2 sec
2 2 sec 2 4
Þ 2 sec tan d
2 sec
4 sec 2 4
Þ 2 sec tan d (Dica: Colocar o 4 em evidência)
2 sec
4 sec 2 1
Þ 2 sec tan d (Dica: Abre-se esta raiz em duas,
2 sec
e substitui-se sec 2 1 tan 2 )
4 tan 2
Þ 2 sec tan d (Dica: simplifica-se 2 sec
2 sec
Þ 2 tan 2 tan d (Dica: simplifica-se o quadrado da tangente com a raiz)
2 Þ tan 2 d
Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:
Primeira maneira: Integrando em função de
2
Þ 2x x 4 dx 2 Þ tan 2 d
2 2x 2 4
Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ x dx.
2
Tínhamos que: x 2 sec . Então:
se x 2 se x 2
2 2 sec 2 2 sec
1 sec 2 sec
2
sec 1 sec 2
arcsec 1 arcsec 2
0
4
Aplicando esses intervalos na nossa integral:
6

7. 2 2x 2 4 (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton
Þ x dx 2 Þ 4 tan 2 d
2 0 fórmula 28: Þ tan 2 udu tan u u C)
2 tan | 04
2 tan tan 0 0
4 4
2 1 0
4
2
2
2 2x 2 4
Logo: Þ x dx 2 Þ 4 tan 2 d 2 tan | 04 2
2 0 2
Segunda maneira: retornando para a variável x.
2 2 Þ tan 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
Þ 2x x 4 dx
fórmula28: Þ tan 2 udu tan u u C)
2 tan C
2x 2x
Tinhamos que: x 2 sec . Então sec 2 arcsec 2
Usando o triângulo retângulo para descobrir tan . (Aqui utilizamos a relação que já temos:
2x
sec 2 , para montar no triângulo retângulo.)
sec 1
cos
1
2x
2 cos
cos 2
2x
2
cos x
Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
2
x2 2 y2
y x2 2
Logo:
Cat.Opost. x2 2 2 x2 2
tan
Cat.Adj.
2 2
2x
arcsec 2
7

8. 2 2x 2 4
Þ 2 x dx 2 tan |2 2 (Dica: fazendo as substituições)
2
2 x2 2 2x
2 arcsec
2 2
2
2
2 22 2 2 2 2 2 2
2 2
2 arcsec 2 arcsec
2 2 2 2
2 1 20 0
4
2
2
1
Exemplo 3: Þ 0 1 x 2 dx (Livro Anton página 533, exemplo 4)
Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável mais
constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação:
tan 2 1 sec 2
Tomando x tan e dx sec 2 d
Þ 1 x 2 dx Þ 1 tan 2 sec 2 d (Dica: Substitui-se 1 tan 2 por sec 2 )
Þ sec 2 sec 2 d (Dica: simplifica-se o quadrado da secante com a raiz)
Þ sec 3 d
Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:
Primeira maneira: Integrando em função de
Þ 1 x 2 dx Þ sec 3 d
1
Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ 1 x 2 dx
0
Tínhamos que: x tan . Então:
se x 1 se x 0
1 tan 0 tan
4
0
Aplicando esses intervalos na nossa integral:
8

9. 1 (Dica: Livro Anton p. 526 fórmula 26.
Þ 0 1 x 2 dx Þ 04 sec 3 d
Þ sec 3 udu 1
2
sec u tan u 1
2
ln|sec u tan u| C)
1 1
2
sec tan 2
ln|sec tan | 0
4
1 1 1
2
sec 4
tan 4
2
ln sec 4
tan 4 2
sec 0 tan 0 1 ln|sec 0
2
tan 0|
1 1 1 1
2
2 1 2
ln 2 1 2
10 2
ln|1 0| (Dica: ln10)
1
2
2 ln 2 1
Logo:
1
Þ0 1 x 2 dx Þ 4 sec 3 d
0
1
2
sec tan 1
2
ln|sec tan | 0
4
1
2
2 ln 2 1
Segunda maneira: retornando para a variável x.
Þ sec 3 d (Dica :Livro Anton p. 526 fórmula 26.
Þ 1 x dx 2
Þ sec 3 udu 1
2
sec u tan u 1
2
ln|sec u tan u| C)
1 1
2
sec tan 2
ln|sec tan |
Tinhamos que:x tan . Então tan x . arctan x
1 1
Usando o triângulo retângulo para descobrir sec . (Aqui utilizamos a relação que já temos:
tan x , para montar no triângulo retângulo.)
1
Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
2
y2 1 x2
y 1 x2
Logo:
Cat.Opost.
tan Cat.Adj.
x
sec 1
cos
1 y
1
1 x2
y
. arctan x
9

10. 1 1
Þ 0 1 x 2 dx 1
2
sec tan 1
2
ln|sec tan | 0
(fazendo as substituições)
1
1 1
2
1 x2 x 2
ln 1 x2 x
0
1 2 1 2 1 1
2
11 1 2
ln 11 1 2
1 02 0 2
ln 1 02 0
2 1 1
2
2
ln 2 1 2
ln 1
1
2
2 ln 2 1
10