1.
GUIDG.COM – PG. 1
8/6/2010 – CDI 1 – Cálculo diferencial e integral
Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. Omitimos as notas históricas.
Tabela geral de derivadas
Resumo informal tabelado para os principais teoremas e regras gerais de diferenciação
y = f x , y . = f . x ; (t, u, v) funções deriváveis de x ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , ln u = loge u
` a ` a
# y y'
1 c 0
2 x 1
3 a.u a.u'
4 u+v u' + v'
5 u.v u'.v + u.v'
uf
f
ff u.fffffuffff
fffffffAfff
fffffff fff
ffv ffffv . f
A f @ ffff
6
v v2
7 ua , a ≠ 0 a A u a @ 1 A u.
8 au , 0 < a ≠ 1 u. A a u A ln a
9 eu e u A u.
loga u ffff
fff
fff
fff
u.
10 A loga e
u
ffff
fff
fff
fff
u.
11 ln u
u
12 tu , t > 0 u A t u @ 1 A t . + u . A t u A ln t # y y'
13 sen u cos u . u' 25 senh u cosh u . u'
14 cos u – sen u . u' 26 cosh u senh u . u'
2
15 tg u 2
sec u A u . 27 tgh u sech u A u.
2
16 cotg u @ cosec 2 u A u. 28 cotgh u @ cosech u A u.
17 sec v sec v . tg v . v' 29 sech v – sech v . tgh v . v'
18 cosec v – cosec v . cotg v . v' 30 cosech v – cosech v . cotgh v . v'
fffffff
fffffff
fffffff
ffffff
u. fffffff
fffffff
fffffff
ffffff
u.
wwww
wwww
wwww
www
www
www
www
www wwww
wwww
wwww
www
www
www
www
www
19 arc sen u q1 @ u 2
31 arg senh u q1 + u 2
fffffff
fffffff
fffffff
ffffff
@ u. fffffff
fffffff
fffffff
ffffff
u.
wwww
wwww
wwww
www
www
www
www
www wwww , u > 1
wwww
wwww
www
www
www
www
www
20 arc cos u q1 @ u 2
32 arg cosh u qu 2 @ 1
fffff
fffff
ffff
ffff
u. fffff
fffff
fffff
ffff
u.
21 arc tg u 33 arg tgh u , |u|<1
1+u 2
1 @ u2
@ffff
fffff
ffff
ffff
fu. fffff
fffff
fffff
ffff
u.
22 arc cotg u 34 arg cotgh u , |u|>1
1 + u2 1 @ u2
ffffffffff
ffffffffff
fffffffff
fffffffff
v. fffffffff
ffffffff
ffffffff
ffffffff
@ v.
arc sec v , | v | ≥ 1 wwww , | v | > 1
wwww
wwww
www
www
www
www
www wwww , 0 < v < 1
wwww
wwww
www
www
www
www
www
23 L Mq 2
Lv M v @ 1
35 arg sech v q1 @ v 2
v
ffffffffff
ffffffffff
fffffffff
fffffffff
@ v. ffffffffff
ffffffffff
fffffffff
fffffffff
@ v.
arc cosec v , | v | ≥ 1 wwww , | v | > 1
wwww
wwww
www
www
www
www
www wwww , v ≠ 0
wwww
wwww
www
www
www
www
www
24 L Mq 2
Lv M v @ 1
36 arg cosech v q1 + v 2
|v |
* Tabela de derivadas elementares considerando a regra da cadeia.

2.
GUIDG.COM – PG. 2
Legenda: D = Definição, P = Proposição ou Propriedade, F = Fundamental / Elementar, T = Teórico / Teorema, R = Regra
Leg. Notação Descrição e demonstração se possível.
Um dos problemas ao se estudar a derivada, é que todo o estudo se fundamenta
em conceitos de limites, então seu conhecimento é necessário. Recomendamos
também uma breve revisão, utilize a Tabela de Limites e quando houver duvidas
quanto aos símbolos use o arquivo Notação Matemática. Feito isso, novos
!!! * símbolos serão introduzidos, fique atento. Faremos o máximo possível para
alerta-lo das diferenças entre os símbolos que parecem ter o mesmo significado,
porém ficam só de aparência e na verdade são completamente diferentes.
Recomendamos utilizar esta tabela acompanhada de um livro para auxilia-lo nos
estudos.
Inclinação da reta secante, definição:
` a ` a
Sejam A x1 ,y 1 e B x 2 ,y 2 dois pontos quaisquer distindos no
plano cartesiano, então o segmento AB defini uma reta, tal que a
inclinação da reta (m) relativa ao eixo x é dado pelo quociente ∆y
sobre ∆x .
yffffff ∆yf
f @f 1f ff
2 fy
ff ff f f
f ff f
f
F0 m = tg α = =
x 2 @ x1 ∆x ∆y = y2 @ y1
∆x = x 2 @ x1
fff
fff
ff
ff
* Se AB for paralelo ao eixo y , então não existe m .
Em Diferenciais, entraremos numa nova definição.
Derivada, definição:
Ainda em F0, admita que os dois pontos A e B fazem parte de uma função f
(uma curva por exemplo), então se fizermos B se aproximar a A de maneira que a
inclinação da reta AB tenda a um valor limite constante, chamamos este valor de
inclinação da reta tangente no ponto P ( m p ). Assim defini-se a derivada
quando este limite existe e denota-se por f’ . Portanto geometricamente, a
derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P.
Demonstração:
` a ` a
∆yf
fff
ff
f @ y1 x 2 @ f x1
yffffff ffffffffffff
ffffff ffffffffff
fffff ffffffffff
mx1 = lim = x limx 2 =
B Q A ∆x 2
Q 1 x @x x 2 @ x1
2 1
ffff+ffff@fffff
x f ∆x fff x
` a ` a
ffffffff f fff
ffffffffffffff
fffffffffffff
F1 lim
∆x Q 0 ∆x
mas x 2 = x1 + ∆x
e se x 2 Q x1 , ∆x Q 0
b c
x1 + ∆x @ f x1
` a
ffffffffffffffff
fffffffffffffff
fffffffffffffff
então mx1 = lim
∆x Q 0 ∆x
O processo para se encontrar m p (a derivada) é chamado derivação ou
diferenciação.
Logo a fórmula à esquerda é a generalização para um ponto qualquer, de uma função
qualquer desde que satisfaça os critérios dados.
f + ∆x f f f
` a ` a
ffffff@ffff
fffffffffffxff
fxfffffffff
fffffffffff
fffffffff f
é por homenagem chamado de Quociente de Newton.
∆x

3.
GUIDG.COM – PG. 3
* Se 8 x 2 ao D f 9 f. , então dizemos que f é derivável .
+
* Se m p // ao eixo y então 9 f. .
* Se m p // ao eixo x então f’ = 0 # se f é constante f. = 0 .
Notação: à esquerda estão os síbolos usados para representar (F1) a derivada de uma
função. Também podemos encontrar notações extras dependendo do livro, as mais comuns
são:
fff
df
ff
f Operador de derivação: Isto não é um quociente e deve ser visto como um
todo. Indica que o que estiver a sua direita deve ser diferenciado em relação
dx a x ( x uma variável qualquer).
dyf
fff
ff
f Lê-se: A derivada de y em relação à x . Também fala-se dy dx como se
escreve.
dyf ` a
fff
ff
f
dx
F2 = f. x
dx f. x ≠ f x
` a ` a
` a Lê-se: f linha de x . Veja que , Mas
f. x
f. x = y.
` a
` a
Dx f x Lê-se: A derivada de f de x “ f (x) ” em relação a x .
Dx y Lê-se: A derivada de y em relação a x .
* Todas essas notações podem ser aplicadas as regras da tabela de derivadas elementares.
Com base em F0 e F1, definimos após a derivada, a equação da reta tangente.
A fórmula pode variar:
sabemos que: y1 = f x1
` a
então:
α y @ y1 = m x @ x1
` a ` a
F3 b c
β y @ f x1 = m x @ x1
` a ` a
α e β são todas equações da reta tangente.
Condição de paralelismo.
F4
r // s Duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares (as derivadas) são iguais.
r // s ^ mr = ms .
Condição de perpendicularismo ou condição de ortogonalidade.
mr A m s =@ 1
Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual à
um negativo:
F5
r?s r ? s ^ mr A ms = @ 1
Os exercícios costumam dizer “dada uma reta r normal a s...”, ou vice e versa. Isto nos diz
que as retas são perpendiculares entre si (formando um ângulo de 90º).
*O ângulo de 90º é conhecido como o ângulo reto.
T1 * A equação da reta normal à Seja f (x) uma curva continua e derivável. Logo esta tem n retas tangentes, e portanto n
curva no ponto. retas normais.

4.
GUIDG.COM – PG. 4
Num ponto de uma curva, pode-se determinar uma reta normal a esta, desde que
determine-se préviamente a derivada neste ponto.
Uma função é continua num ponto x1 se atender simultaneamente a três condições, e são
elas:
a ` a
1 9 f x1
T2 * Continuidade da função. a ` a
2 9 xlim f x1
Qx 1
lim f x1 = f x1
a ` a ` a
3 x Q x1
A continuidade de uma função num ponto não implica na existência da derivada dessa
função
nesse mesmo ponto.
* Continuidade de funções
T3
deriváveis. Porém, toda função derivavel num ponto é continua nesse mesmo ponto.
* A demonstração foi omitida.
Seja a função f definida num ponto a então:
a + ∆x @ f a
` a ` a
fffffffffffffff
fffffffffffff
fffffffffffff
a = lim @
, ` a
f@
∆x Q a ∆x
Derivadas Laterais Isto é, a derivada à esquerda de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores menores
que a.
T4 , ,
f@ e f+
a + ∆x @ f a
` a ` a
fffffffffffffff
fffffffffffff
fffffffffffff
a = lim +
, ` a
f+
∆x Q a ∆x
Isto é, a deriva à direita de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores maiores que a.
Se tiver dificuldades, estude primeiro limites laterais.
Conclui-se a partir de T4 que a derivada de uma função num ponto a, existe se, e somente
se as derivadas laterais existirem e forem iguais, isto é:
f 9 ^ f+ = f@
, , ,
Derivadas Laterais, conclusão:
T4*
f@= f+
, ,
Quando as derivadas laterais existirem mas forem diferentes, dizemos que este é um ponto
anguloso do gráfico da função. Portanto a derivada de f neste caso não existe.
f 9 se f + ≠ f @
, , ,
+
1f
ff
ff
≠
@1
Lembre-se: f
f
@1
f é a notação para a inversa da função f, e não o inverso do símbolo de
função f.
A derivada da função inversa
Se tiver dúvidas, estude a determinação da inversa de uma função (funções
inversas).
T5 b c 1f
ff
ff
.=
@1 1f
f ff
fff
Erro comum entre alunos: Se por um instante você acreditar que f = e por
@1
f. f
ff
1ff
ff
f f
b c
. =
@1
isso f , então você não entendeu nada.
f.
Notações, indicação da derivada da inversa:

5.
GUIDG.COM – PG. 5
fff
df
ff
f
b c b c b ac
@1 @1 @ 1`
f . , y . , f x
dx
I) Seja f uma função definida (contínua) num intervalo (a, b) ;
b c @1
@1
II) Suponhamos que f admita inversa f . Então por (I) f também é
contínua.
III) Se a derivada de f existe e é diferente de zero para qualquer x pertencente
ao intervalo dado, então a derivada da inversa é igual ao inverso da derivada de f
.
b c 1f
ff
ff
.=
@1
f se, e somente se, I, II e III forem satisfeistas.
f.
Em linguagem matemática podemos resumir tudo isso como:
b c b c
Se f x 9 8 x 2 a, b e 9 f. x | f. x ≠ 0 8 x 2 a, b
` a ` a ` a
b c 1f b c@ 1
ff
ff
. = = f.
@1
Então 9 f
f.
Se pudessemos resumir mais ainda (mas se fazendo valer I, II e III), dizemos que:
A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada.
* Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções
trigonométricas inversas, por isso deve ser compreendido.
* Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em
um dos livros citados na ultima página.
Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde #
indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na pg. 01. As
R# Regras de derivação regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação
mais eficiente, visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos
casos.
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, e f(g(x)) = fog(x) está definida, então a
derivada de fog(x) é dada por:
.
b c ` a b ` ac
fog . x = f. g x A g. x
` a
.
Para esta regra utiliza-se a notação definida em F2:
dyf dyf duf
ff ff ff
ff ff ff
ff ff ff
f
= fA f
dx du dx
b c
Derivada da função composta: Exemplo: Derive a função y = ln x 2 + 1 :
R0
A regra da cadeia Solução: Veja primeiro a R11, a derivada da função logaritmo natural.
.
Fazendo u = x 2 + 1 , temos y = ln u , então:
` a
dyf 1f
ff f
ff f
ff f
ff f
f duf
ff
ff
ff
ff
f
y. = = , u. = = 2x
du u dx
dyf dyf duf
ff ff ff
ff ff ff
ff ff f f
f
f ff f f
f f
Aplicando a regra = A temos:
dx du dx
dyf 1f
ff f
ff f
ff f
ff f 2xf
ff
ff
f
ff
= A 2x = , como u = x 2 + 1 , então:
dx u u
dyf ffff
ff ffff
f f ffff
f f ffff
f
f 2x f
ff
= 2
dx x + 1

6.
GUIDG.COM – PG. 6
* Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é
quanto a cadeia, ou seja, quando tratamos de funções compostas: a derivação
começa com a aplicação das regras externamente em direção as funções internas,
e por isso o nome. A demonstração foi omitida.
A derivada da função constante é zero. Por dedução: Isto por que a a reta tangente à curva
R1 Derivada de uma constante é paralela ao eixo x, logo não existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não
existe a derivada.
A derivada de uma variavel independente qualquer com expoente um, é um. Ex: se x, y, z
são variaveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente.
R2 Derivada de x
A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = x .
A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = c.x .
Derivada do produto por uma Por aplicação de propriedade de limites, enunciamos:
R3
constante A derivada de um produto de f(x) por uma constante, é a constante vezes a derivada de
f(x).
R4 Derivada da soma A derivada da soma é a soma das derivadas.
R5 Derivada do produto DEB. Demonstração em breve.
R6 Derivada do quociente DEB.
Derivada da função exponecial:
R7 DEB.
Expoente constante
Derivada da função exponencial:
R8 DEB.
Base constante, expoente função
Derivada da função exponencial:
R9 DEB.
Base número e , expoente função
Derivada da função logaritmica:
R10 DEB.
base a
Derivada da função logaritmo natural ou logaritmo de base e, ou também logaritmo
Derivada da função logaritmica: neperiano.
R11
base e
DEB.
Derivada da função exponecial
R12 DEB.
composta
A regra 13 diz que para y = sen u [ y. = u. A cos u levando em consideração R0.
R13 Derivada da função seno
Logo a prova para a derivada de y = sen x é dada por:

7.
GUIDG.COM – PG. 7
x + ∆x @ f x x + ∆x @ sin x
` a ` a ` a ` a
fffffffffffffff sinfffffffffffffff
y. = lim ffffffffffffff ffffffffffffffff
fffffffffffff ffffffffffffffff
fffffffffffff fffffffffffffff
= f
∆x Q 0 ∆x ∆x
mas: sin x + ∆x = sin x A cos∆x + sin∆x A cos x
` a
fx A cos∆x + sin∆x A cos x @ sin x
y. = lim fffffffffffffffffffffffffff
sinffffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffff
∆x Q 0 ∆x
fffffffffffff+fffffffffff
` a
fx cos∆x @ 1 A f sin∆x A ffff
sinffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffcos x f
y . = lim fffffffffffffffffffffffff
∆x Q 0 ∆x
y . = lim sin x A lim ffffffff+ lim fffff lim cos x
` a cos∆xffff
ffffffff
ffff@ 1
fffffff sin∆xf
ffff
ffff
fff
S A
∆x Q 0 ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0
y. = sin x A 0 + 1 A cos
# y. = cos x
(S) Simplificação: Para este ponto em diante utilizou-se as propriedades de limites junto
com a aplicação de limites fundamentais.
R14
Derivadas de funções
... (X) As demonstrações foram omitidas, siga as regras na tabela da pg. 01 .
R18 trigonométricas
A função f(x) = arc sen x é definida no intervalo D: [-1 , 1] em IM: [-π/2 , π/2] .
fffffff
fffffff
ff1ffff
ffffff
f
Então y = f(x) é derivavel em (-1 , 1) e y. = wwww .
wwww
wwww
www
www
www
www
www
q1 @ x 2
A demonstração é trivial, por aplicação do teorema da inversa T5:
Se y = arcsin x então:
α x = sin y , procuramos pela derivada da inversa, então por T5:
` a
ffffff
ffffff
fffff
fffff
1 f1ff
ffff
ffff
fff
f
b c b c b c
x@ 1 . = b c [ β x@ 1 . =
sin y . cos y
sin y + cos 2 y = 1
2
R19 Derivada da função arco seno wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwww
wwww
cos 2 y = 1 @ sin y [ γ cos y = q1 @ sin y
2 ` a 2
por α temos: x = sin y [ x 2 = sin y
` a 2
substituindo em γ :
` a
wwww
wwww
wwww
www
www
www
www
www
cos y = q1 @ x 2
b c
substituindo em β :
fffffff
fffffff
fffffff
ffffff
1
b c
x @ 1 . = y. = wwww
wwww
wwww
www
www
www
www
www
q1 @ x 2
Neste caso x @ 1 ≠ f , x @ 1 e está indicando a inversa da função A
1f
ff
*
x
A determinação das derivadas de funções trigonométricas inversas, levam em conta T5, o
R18
Derivadas de funções teorema da derivada da função inversa.
...
trigonométricas inversas (X)
R24

8.
GUIDG.COM – PG. 8
R25
(X)
... Derivadas de funções hiperbólicas
As derivadas das funções hiperbólicas, são as derivadas de suas respectivas funções
R30
exponenciais.
R31 (X)
Derivada de funções hiperbólicas
... As derivadas de funções hiperbólicas inversas, são as derivadas dos agumentos das funções
R36 inversas hiperbólicas.
Seja f uma função derivável, e se a própria derivada de f for derivável, então chamamos
esta de derivada segunda. Se a derivada segunda for derivával, esta se chamará derivada
terceira, e assim sucessivamente.
Notações extra:
dyf ff ` aC
ff d f
ff ff
ff ff
f f
B
y. = f . x =
` a
[
f x
dx dx
2 V B W 2 B
dfff ff ff ` aC
fff d f d f
fff ff ff
fff ff ff
y f f fff ` a
dff
fff
fff
C
y. = f. x [ 2 = f x = 2 f x
` a
dx dx dx dx
X Y
3 2 3
Derivadas Sucessivas ou dfff ff fff ` aC
fff d f dff
fff ff fff
fff ff fff
y f
B
fff
fff
fff
ff
] d B ` aC
y/ = f/ x [ 3 = Z 2 f x [ = 3 f x
` a
Derivadas de ordem superior dx dx
T6 dx dx
f. , f. , f/ … (
Em geral isto pode ser resumido como:
n n
` a
dfff dfff ` aC
ffyf fff
fff fff
f
B
=f n =
` a
n n ` a
y x [ n f x
dx dx
Lê-se: A derivada n-ésima de y = a derivada n-ésima de f (x).
Por razões de interpretação, para n > III , utiliza-se números (N*) dentro de parênteses:
` a ` a ` a ` a ` a
…
4 5 6 7 n
f. , f. , f/ , f , f , f , f , f
A esquerda esta a notação para a derivada de uma função num ponto, a partir da notação de
Leibnitz. Neste caso k sendo uma constante, que seria substituida na variavel x da
função y já derivada. Assim obtendo o valor da derivada neste ponto.
A derivada num ponto
Esta notação é uma variação da notação convencional, isto é:
T7
= y. x = f. x para x = k
` a ` a
ou
.
Isto será muito aplicado na derivada na forma paramétrica, na forma implicita e
principalmente na taxa de variação e taxas relacionadas, com o intuito de aliviar a notação.
Acrécimos ou Incremento:
Seja f (x) uma função, então sempre podemos considerar uma variação de x . Se
fizermos x variar de x1 até x2 , definimos o acrécimo de x e denotamos por
∆x.
T8 Acrécimos
∆x = x 2 @ x1
A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotada
por:

9.
GUIDG.COM – PG. 9
∆y = y 2 @ y1 = f x 2 @ f x1
` a ` a
Mas x 2 = x1 + ∆x
Então, substituindo em ∆y:
b c
∆y = f x1 + ∆x @ f x1
` a
Com base em T8, entraremos na definição de diferencial.
Seja y = f (x) uma função derivável, e ∆x um acrécimo de x, então:
I) A diferencial de x (variável independente), denota-se por: dx = ∆x
II) Já a diferencial de y é dependente, é só existe devido a derivada, denota-se por:
dy = f . x A ∆x dy = f . x A dx
` a ` a
ou
III) Então com base em F1 e F2, redefimos a derivada como o quociente entre duas
diferenciais:
dyf dyf ` a
fff ff
ff ff
ff ff
f
= f= f. x
∆x dx
*Importante: o significado geométricos.
T9 Diferencial O acrécimo dx = ∆x , ocorre no eixo das abcissas (eixo x).
dy ≠ ∆y mas dy ≈ ∆y se ∆x for considerado um valor pequeno.
O acrécimo ∆y , ocorre no eixo das ordenadas (eixo y);
Mas o acrécimo dy é um produto, e ocorre devido a variação da reta tangente
(isto é de sua inclinação).
∆yf
fff
ff
ff
f ∆yf dyf
fff ff
ff ff
ff ff
f
não é a derivada em si ( ≠ f). Mas pode ser interpretado
∆x ∆x dx
geometricamente como a inclinação da reta secante definida pelos dois pontos.
E por último: b c
xf+ ∆x @ f ff
` a
dyf
ff
ff
ff
f ∆yf fffffffffffffxfff
= lim fff lim
ff
ff
f
= fffffffffffffff
ff1 fffffffffff
ffffffffffff1 f
dx ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 ∆x
Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero.
y=f x dy = f . x A dx , então se a
` a ` a
Com base em T9 (II), seja temos que
d y = f. x A dx e esta se chamará
2 ` a 2
diferencial da função y for diferenciavel, temos
a diferencial segunda, se novamente for diferenciavel teremos a diferencial terceira dada
d y = f/ x A dx , e assim sucessivamente. A diferencial n-ésima de
3 ` a 3
por y é dada
` a
por: d y = f
n n ` a n
Diferenciais sucessivas ou x A dx .
T10
Diferencial de ordem superior .
Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de
ordem superior, isto é, para a função y = f x , seja o a ordem da
` a
operação, temos:
.
o As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas:
dyf ` a
ff
ff
ff
f dy = f . x A dx
` a
1 = f. x
dx

10.
GUIDG.COM – PG. 10
2
dfff
fff
fff
fy f
f
= f. x d y = f . x A dx
` a 2 ` a 2
2
2
dx
3
dfff
fff
fff
fy f
f
= f/ x d y = f/ x A dx
` a 3 ` a 3
3
3
dx
n
dfff ` n a ` a
ffff
fff
fff
y ` a
n = f d y= f
n n ` a n
n x x A dx
dx
A partir de F3, definimos a aproximação linear local. Intuitivamente esta é uma ferramenta
que nos dará a partir de dados conhecidos, valores próximos a estes. Para uso por exemplo
www
ww
ww
ww
ww
ww
ww
ww
na resolução de problemas como: q 65,5 , tan 45º4. 30. , etc.
3
` a
Partindo de F3 (a equação da reta tangente), saímos de α e seguimos:
α y @ y1 = m x @ x1
` a ` a
b c
β y @ f x1 = m x @ x1
` a ` a
mas: x @ x1 = ∆x , y = f x e m = f. x1
` a ` a
então: γ f x @ f x1 = f . x1 A ∆x
` a ` a ` a ` a
logo: δ f x = f . x1 A ∆x + f x1
` a ` a ` a ` a
Aproximação Linear Local
T11 b c
novamente: x @ x1 = ∆x [ x = x1 + ∆x
f x1 + ∆x ≈ f . x1 A ∆x + f x1
` a ` a
Agora substituindo em δ , chegamos exatamente aonde queremos, ou seja:
b c
ε f x1 + ∆x ≈ f. x1 A ∆x + f x1
` a ` a ` a
Veja que o sinal de igualdade muda, por estarmos tratando de uma aproximação, por que:
y = f x somente para valores próximos de x1 , e é a melhor medida que podemos
` a
obter apartir de x1 .
A interpretação de ε :
Dado um valor conhecido x1 , então se estivermos buscando por um valor x
próximo de x1 , isto é x = x1 + ∆x , então podemos utilizar (ε) a aproximação
linar local para determina-lo, visto que temos x1 e a aproximação ∆x .
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma
função y = f(x) , quando a variavel independente varia de x à x + ∆x , existe
uma correspondente variação de y dada por ∆y = f(x+∆x) – f(x) .
∆y que definimos em F0 e por equivalência chegou a esta última forma. Com isto
definimos genericamente:
I - A Taxa de Variação Média:
∆yf ffff+ffff@fffff
x f ∆x fff x
` a ` a
ff ffffffff f fff
fff ffffffffffffff
ff fffffffffffff
f
=
T12 Taxa de Variação ∆x ∆x
* Interpretação informal:
∆yf variaçãofffff yffffffffff
final @ yinicial
fff fffffffffff fffffffffff
ff fffffffde ff ffffffffff
f fffffffffy
= =
∆x variação de x x final @ x inicial
Isto é, com esse quociente podemos definir a média da variação de alguma coisa
em relação a outra variação, independente do que seja. Veja a interpretação
mecânica.

11.
GUIDG.COM – PG. 11
II - A Taxa de Variação Instantânea ou simplesmente Taxa de Variação, que é
a própria derivada:
ffff+ffff@fffff
x f ∆x fff x
` a ` a
∆yf
fff
ff
ff
f ffffffff f fff
ffffffffffffff
fffffffffffff
f . x = lim = lim
` a
∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 ∆x
A interpretação mecânica:
* Velocidade média: podemos definir com um exemplo prático. Se a distância de
um ponto A até outro B é 80Km, e uma particula viajou de A para B, em uma
hora, então sua velocidade média é 80 Km/h (lê-se quilômetros por hora), mesmo
que durante o percurso ela tenha acelerado ou freiado.
* Velocidade instantânea: é o que vemos no painel de um automóvel por
exemplo, é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo (este medido num
intervalo muito curto, por isso emprega-se o limite da função para ∆x tendendo a
zero, ∆x é a variação do tempo.
As demais são definidas análogamente à velocidade, isto é, podemos calcular a
taxa média, e a taxa instântanea.
* A Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.
Taxa de variação, alguns nomes nomes especiais:
* A Densidade Linear, em fios elétricos por exemplo, é a taxa de variação da
massa em relação ao comprimento do fio.
* A Vazão, de uma torneira por exemplo, é a taxa de variação do volume de água
despejado em relação ao tempo.
A aplicação se extende em diversas áreas.
Fontes de pesquisa e estudo:
Diva Marilia Flemming - Cálculo A (5ª edição) ; Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Louis Leithold – O
cálculo com geometria analítica Vol.1 ; W.A. Granville – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral ; Apostila/Livro de CDI-
1 UDESC 2010-1.
* Encontrou algum erro, faça sua sugestão pelo site www.guidg.com