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               TOLEDO PARANÁ
           PROCESSOS QUÍMICOS




      INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA




    Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio
                                        p
INTEGRAL INDEFINIDA
     Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz

o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da

multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora

interessados na operação inversa da derivação.

                                                 DERIVAÇÃO



                                      F                                F’= f



                                               PRIMITIVAÇÃO

1. PRIMITIVA
   Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), ∀x ∈ I .


Exemplos:

As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x.

A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva

geral ou integral indefinida da f que é notada por   ∫ f(x)dx ou seja ∫ f(x)dx = F(x) + k.
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA
A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em

pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas.


          ∫
Exemplo: 2xdx = x 2 + k




                                                         53
E1) Determine:


         ∫                          ∫                                          ∫
                                                                           3) 3x 2 dx                        ∫ (5x
                                                                                                                     4
     1) 2xdx                       2) 5dx                                                               4)               + 4x 3 )dx



3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO

1.   ∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx , sendo c uma constante

2.   ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

3.   ∫ dx = x + k

     ∫e
           x
4.             dx = e x + k



         dx
5.   ∫    x
            = ln | x | + k



6.   ∫ sen xdx = − cos x + k

7.   ∫ cos xdx = sen x + k

E2) Encontre:

                                                                                               2
         ∫                                   ∫ (3 + e                                     ∫
                                                        x
     1) 2dx                             2)                  )dx                         3) (1 − )dx
                                                                                               x

                                                                                            4 2
         ∫                                   ∫ (ln2 − 5e                                  ∫
                                                                x
     4) edx                             5)                          )dx                 6) ( − )dx
                                                                                            5 3x

                                                                                                  2x − 3
         ∫                                    ∫ (3e + e                                       ∫
                                                            x
     7) (π − 2e + ln 6)dx               8)                      )dx                      9) (            )dx
                                                                                                    x

     10)     ∫ (cos x − sen x)dx        11)   ∫ (3 cos x + 6)dx                         12)   ∫ (1 + 5 sen x)dx



                                                                          54
x p +1
8.    ∫    x p dx =
                                p +1
                                       + k , sendo p ≠ -1



E3) Encontre:


            ∫ 3x                                                     ∫ (2x                                              ∫ (x
                         2                                                     4
      1)                     dx                                2)                  - x 3 + 3x 2 - x + 2)dx         3)          5
                                                                                                                                   - 2x 3 + 5x - 3)dx


                    dx                                                                                                       dx
      4)    ∫ 3x        2
                                                                5)   ∫       x dx                                  6)   ∫     x

                                                                         3
                                                                              x                                              2       3
      7)    ∫   x x dx                                          8)   ∫       x
                                                                                dx                                 9)   ∫(x + x       2
                                                                                                                                          )dx


                     5                  3                                x 3 + 2x − 1                                            1
     10)    ∫   (
                    2x      2
                                −
                                    x   4
                                          )dx                  11)   ∫        x2
                                                                                     dx                            12) ( ∫   3x 2
                                                                                                                                     − x )dx



                                                            u p +1
9.     Se u = f(x) , u p u ' dx =       ∫                   p +1
                                                                   + k , se p ≠ −1



E4) Encontre:


            ∫ (3x − 1)                                                              ∫ (3x − 1)                 ∫
                                    4                                                               4
      1)                                3dx                                   2)                        dx   3) (1 - x) 5 dx




                                            ∫e
                                                 u
10.       Se u = f(x) ,                              u ' dx = e u + k



E5) Encontre:


            ∫e                                                                      ∫e                         ∫
                    4x                                                                   4x
      1)                 4dx                                                  2)              dx             3) e -x dx



                                                u ' dx
11.       Se u = f(x) ,                     ∫      u
                                                       = ln | u | + k



E6) Encontre:

                    2x                                                                        x                                1
      1)    ∫x      2
                         −3
                           dx                                                      2)   ∫x    2
                                                                                                  −3
                                                                                                    dx             3)   ∫ 5x + 2dx



                                                                                                    55
12.     Se u = f(x) ,                       ∫ sen u.u' dx = − cos u + k

E7) Encontre:

      1)    ∫ sen 4x.4dx                                                    2)    ∫ sen 4x .dx                                     ∫
                                                                                                                            3) sen(-x).dx



13.     Se u = f(x) ,                       ∫ cos u.u' dx = sen u + k

E8) Encontre:

      1)    ∫ cos(x                − 3).2 xdx                            2)      ∫ cos(x        − 3).xdx                           ∫
                                                                                                                            3) cos(5x + 2)dx
                               2                                                            2




E9) Encontre:


           ∫
      1) (2x − 1) 3 2dx                                                 ∫        x 2 − 1. 2 xdx                  ∫ (3x
                                                                                                                           2
                                                                  2)                                       3)                  + 4) 5 xdx


                        xdx                                                       dx                                     xdx
      4)    ∫          5−x         2
                                                                  5)    ∫ (1 − x)       4
                                                                                                            6)   ∫ (x   2
                                                                                                                               + 2) 3

                        xdx                                                       dx                                           dx
      7)    ∫      3
                       3− x        2
                                                                  8)    ∫        2x − 1
                                                                                                            9)    ∫ (2x + 3)            5




                   ⎛ x     5   3 ⎞                                                                                  x 2 dx
      10)      ∫   ⎜ 3e −
                   ⎝
                             +   ⎟dx
                          2x x 2 ⎠
                                                                 11)     ∫   e 3x −1dx                     12)    ∫x    3
                                                                                                                               +1

                       2dx                                                         dx                                          x 2 +3
      13)      ∫e       x −1
                                                                 14)        ∫ 4x − 2                       15)    ∫ 3xe                 dx


                                                                                   x
                       20 xdx                                                                                       dx
      16)      ∫x       2
                            + 10
                                                                  17)       ∫   5e 2 dx                    18)    ∫e   x




                ∫ x cos x                                                   ∫ sen 3x.dx                           ∫ sen
                                       2                                                                                       5
      19)                                  .dx                    20)                                      21)                     x. cos x.dx


            ∫e                                                              ∫ tg x.dx                            ∫ cot g x.dx
                       cos x
  22)                          . sen x.dx                         23)                                      24)




                                                                                            56
E10) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que:

     1) P(2,1) e f ’(x)= 2x           2) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 - 2x + 5         3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1

                                                                           2
     4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2                   5) P(1,5) e f ’(x) =
                                                                           x

E11) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x2.


Importante: A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x.


E12) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil reais ao ano. Se a máquina durou

     quatro anos e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ?

E13) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x

     reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ?

E14) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da
                                                           25
     produção em relação ao número de operários é dada por    . Qual será a produção da fábrica, se
                                                            x
     forem admitidos mais 31 funcionários ?

E15) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal, em milhões, em função do tempo, em

     meses, será à taxa de 3(t + 4)-1/2, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12

     milhões, calcule a renda daqui a um ano.

E16) Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0,1x milhões de

     habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que

     dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos?

E17) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor

     residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ?

E18) Determine uma função Produção P = f(x) que tenha um ponto de máximo para x=2 e que passe pela

      origem, sabendo que sua derivada de segunda ordem é P’’= -12x.




                                                        57
4. RESPOSTAS

E1)1) x2 + k                        2) 5x + k                3) x3 + k                             4) x5 + x4 + k

E2) 1) 2x + k                       2) 3x + ex + k           3) x – 2ln |x| + k                    4) ex + k                5) xln 2 - 5ex + k

          4x 2
    6)      − ln | x | + k                       7) ( π - 2e + ln 6)x + k                   8)3ex + ex + k                9) 2x – 3ln |x| + k
           5 3

    10) sen x + cos x + k                        11) 3sen x + 6x + k                     12) x – 5cos x + k

                                     2x 5 x 4        x2                                x 6 x 4 5x 2                                      1
E3) 1) x3 + k                  2)        −    + x3 −    + 2x + k                  3)      −   +     − 3x + k                    4) −       +k
                                      5    4         2                                  6   2   2                                       3x

              2 x3                                                   2 x5                                                             3
     5)            +k                  6) 2 x + k               7)        +k                8) 33 x + k             9) 2 ln | x | −     +k
                3                                                      5                                                              x

                      5   1                             x2               1                                1 2 x3
     10) −              + 3 +k                    11)      + 2 ln | x | + + k                  12) −        −    +k
                     2x x                               2                x                               3x   3

              (3x − 1) 5                          (3x − 1) 5                                  (1 − x ) 6
E4) 1)                   +k                 2)               +k                        3) −              +k
                  5                                  15                                           6

                                                  e 4x                                         1
E5) 1) e 4 x + k                            2)         +k                              3) −         +k
                                                    4                                         ex

                                                  1                                         1
E6) 1) ln | x 2 − 3 | + k                   2)      ln | x 2 − 3 | + k                 3)     ln | 5x + 2 | + k
                                                  2                                         5

                                                    1
E7) 1) –cos 4x + k                          2) −      cos 4 x + k                      3) cos (-x) +k
                                                    4

                                                   1                                          1
E8) 1) sen( x 2 − 3) + k                     2)      sen( x 2 − 3) + k                  3)      sen(5x + 2) + k
                                                   2                                          5


              (2x − 1) 4                          2 ( x 2 − 1) 3                            (3x 2 + 4) 6
E9) 1)                   +k                  2)                     +k                 3)                +k                 4) – 5 − x 2 + k
                  4                                      3                                       36
                 1                                       1                                   − 33 (3 − x 2 ) 2
    5)                    +k                6)                       +k                7)                        +k          8)       2x − 1 + k
         3(1 − x ) 3                              − 4( x 2 + 2) 2                                     4


                     −1                                   5           3                            e 3x −1                      1
    9)                     +k               10) 3e x −      ln | x | − + k                  11)            +k             12)     ln | x 3 + 1 | + k
          8(2x + 3) 4                                     2           x                               3                         3

                                                                                                          2
          −2                                       1                                              3e x +3
  13)         x −1
                     +k                         14) ln | 4 x − 2 | + k                        15)         +k               16)10ln(x2 +10) + k
          e                                        4                                                 2




                                                                          58
x
                                    1                          1                                  1
  17) 10 e 2 + k            18) −       x
                                            +k           19)     sen x 2 + k                 20) − cos 3x + k
                                    e                          2                                  3

        sen 6 x
  21)           +k           22) − e cos x + k           23) − ln | cos x | + k              24) ln | sen x | + k
           6

                                                                                             x2
E10) 1) y = x2 – 3               2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1                     3) y = x3 +      – x +1
                                                                                             2

     4) y = ex – 2x –3           5) y = 2ln x + 5

E11) x4 – 5x + 2

E12) V = 200.000

E13) R$ 1.500,00

E14) P(256) = 800

E15) R(12) = 24 milhões

E16) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes

E17) 150

E18) P = – 2x3 + 24x




                                                    59
INTEGRAL DEFINIDA

                       Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real

                                           b
 representado por                      ∫a f(x)dx         e calculado por F(b) - F(a).

                                                                   b
                                                               ∫a f(x)dx
                                                                                     b
                                                                            = [F(x)] a = F(b) - F(a)



E1) Calcule:

               3                                                                                    1          4
   1)      ∫   0
                   x 2 dx                                                                  2)   ∫   −1
                                                                                                         (1 − x) dx



1. PROPRIEDADES BÁSICAS
       a
a) ∫ f(x)dx = 0
   a


       b                           a
b) ∫ f(x)dx = -                  ∫ b f(x)dx
   a


    b                                  b
c) ∫ c.f(x)dx = c. ∫ f(x)dx , sendo c uma constante
   a                                   a


       b                                        b              b
d) ∫ [f(x) ± g(x)]dx =                         ∫ a f(x)dx ± ∫ a g(x)dx
    a


    b                         c                      b
e) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx +                            ∫ c f(x)dx , com a < c < b
   a                         a


   b
f) ∫ f(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∀x ∈ [a,b]
   a




E2)Calcule:

                   1                                                         0                                                  5
               ∫0 (x                                                        ∫−1 (3x                                         ∫2 (2 + 2u + 3u
                         4
    1)                       − 3x 3 + 1)dx                             2)             5
                                                                                          − 3x 2 + 2x − 1)dx           3)                          2
                                                                                                                                                       )du


                   9⎛             1 ⎞                                        2 2                                                1   t +1
    4)     ∫1 ⎜
              ⎜
              ⎝
                         t−         ⎟dt
                                    ⎟
                                   t⎠
                                                                       5)   ∫0 x   (x - 1)dx                           6)   ∫2      t2
                                                                                                                                           dt


                   2                                                         2                                              1
           ∫1 (2x - 4)                                                      ∫4 (2x - 6)                                    ∫0 8x(x
                                  5                                                        4                                          2
    7)                                dx                               8)                      dx                     9)                   + 1) 3 dx




                                                                                          60
4        1                                             2          x2                                        1
          ∫0                                                      ∫1                                                ∫ 0 (u
                                                                                                                             3
   10)                       du                             11)              3        2
                                                                                          dx                  12)                + u ) u 4 + 2u 2 + 1 du
                    6u + 1                                                 ( x + 1)

           3                                                       2             dx                                     0    dx
   13)    ∫−2 | x − 1 | dx                                  14)   ∫0 x 2 − 6x + 9                             15)   ∫-1     1- x

           1    ⎛        | x |⎞                                        5                                                3   x4 − x3
   16)    ∫−1 ⎜ x −
              ⎝            2 ⎠
                              ⎟dx                           17)   ∫−2 | 2t − 4 | dt                           18)   ∫1         x
                                                                                                                                    dx



2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA

      Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b].

Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b.
                             y                                               f

                                    f(x+ Δx )
                                                                       A1             A2
                                        f(x)
                                                                                 A3

                                                            A                    ΔA

                                               0       a          x                        x + Δx         b         x

A é a área da região hachurada, ΔA é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx .

                                                                                                                                 ΔA
 A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). Δx ≤ ΔA ≤ f(x + x). Δx ⇒ f(x) ≤                                                         ≤ f(x + Δx )
                                                                                                                                 Δx

                               ΔA                                  ΔA                  ΔA
  lim f(x) ≤ lim                  ≤ lim f(x + Δx ) ⇔ f(x) ≤ lim       ≤ f(x ) ⇒ lim       = f(x) ⇔ A’ = f(x)
 Δx → 0               Δx → 0   Δx   Δx → 0                  Δx → 0 Δx           Δx → 0 Δx


Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k.

Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a)

Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.

                                               b
Para x = b, A = F(b) - F(a) =             ∫   a
                                                   f(x)dx



                                                                                                    b
    Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número                                ∫   a
                                                                                                        f(x)dx representa a área da região

  limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.




                                                                                 61
y

                                                                                        f



                                                                   R


                                        0           a                           b           x

                                                                   b
                                                        AR =   ∫   a
                                                                       f(x)dx




3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS
   Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos

                                                b
gráficos de f, g, x=a e x=b então AR =      ∫   a
                                                    [f(x) - g(x)]dx


                            y

                                                                                    f

                                                        R
                                                                                g


                            0       a                                   b               x


E3)Calcule a área da região limitada por:

   1) y=-x2 + 4 e y=0
   2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2
   3) y=x, y=0, x=-2 e x=1
   4) y=x2 – 1 e y=3
   5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2
   6) y=x3, y=-x + 2 e y=0
   7) y= x e y=x2
   8) y=x e y=x3

4. RESPOSTAS

           32         9           7                 40        4         1                 16          32
E1) 1) 9 2)    E2) 1)        2) −     3) 144 4)            5)       6) − − ln 2      7) −        8) −
            5         20          2                  3        3         2                  3           5
          4        7         7          13         2                      1                   34
9) 15 10)     11)        12)        13)        14)     15) 2 2 − 2 16) −       17) 25 18)
          3       54         6           2         3                      2                    3
       32                     5             32                       3          1            1
E3) 1)         2) 9       3)             4)            5) 9       6)         7)          8)
        3                     2              3                       4          3            2



                                                                       62
BIBLIOGRAFIA:
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1 e v.2.

BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgar Blücher, 1973. v.1.

FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. 5.ed. São Paulo: Makron, 1992.

FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo B. São Paulo: Makron, 1999.

HOFFMANN, Laurence D,BRADLEY, Gerald L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. Rio
de Janeiro: L.T.C., 2002.

MAIA, L. P. M. Cálculo 1. Rio de Janeiro : UFRJ, 1978.

NETO, Cesar Dacorso. Elementos de cálculo infinitesimal. São Paulo : Nacional, 1966.

MUNEM, Mustafa A., FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. v.2.

SEELEY, Roberto T. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro : LTC, 1973. v.1.

SHENK, Al. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro : Campus, 1985. 2 v.

SIMMONS, George. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.2.

STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Pioneira, 2001. v.1. e v.2.

SWOKOWSKI, Earl William.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 1994. v.1. e v.2.




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Integral Indefinida E Definida

  • 1. UTFPR- UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL TOLEDO PARANÁ PROCESSOS QUÍMICOS INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio p
  • 2. INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. DERIVAÇÃO F F’= f PRIMITIVAÇÃO 1. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), ∀x ∈ I . Exemplos: As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por ∫ f(x)dx ou seja ∫ f(x)dx = F(x) + k. 2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. ∫ Exemplo: 2xdx = x 2 + k 53
  • 3. E1) Determine: ∫ ∫ ∫ 3) 3x 2 dx ∫ (5x 4 1) 2xdx 2) 5dx 4) + 4x 3 )dx 3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 1. ∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx , sendo c uma constante 2. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 3. ∫ dx = x + k ∫e x 4. dx = e x + k dx 5. ∫ x = ln | x | + k 6. ∫ sen xdx = − cos x + k 7. ∫ cos xdx = sen x + k E2) Encontre: 2 ∫ ∫ (3 + e ∫ x 1) 2dx 2) )dx 3) (1 − )dx x 4 2 ∫ ∫ (ln2 − 5e ∫ x 4) edx 5) )dx 6) ( − )dx 5 3x 2x − 3 ∫ ∫ (3e + e ∫ x 7) (π − 2e + ln 6)dx 8) )dx 9) ( )dx x 10) ∫ (cos x − sen x)dx 11) ∫ (3 cos x + 6)dx 12) ∫ (1 + 5 sen x)dx 54
  • 4. x p +1 8. ∫ x p dx = p +1 + k , sendo p ≠ -1 E3) Encontre: ∫ 3x ∫ (2x ∫ (x 2 4 1) dx 2) - x 3 + 3x 2 - x + 2)dx 3) 5 - 2x 3 + 5x - 3)dx dx dx 4) ∫ 3x 2 5) ∫ x dx 6) ∫ x 3 x 2 3 7) ∫ x x dx 8) ∫ x dx 9) ∫(x + x 2 )dx 5 3 x 3 + 2x − 1 1 10) ∫ ( 2x 2 − x 4 )dx 11) ∫ x2 dx 12) ( ∫ 3x 2 − x )dx u p +1 9. Se u = f(x) , u p u ' dx = ∫ p +1 + k , se p ≠ −1 E4) Encontre: ∫ (3x − 1) ∫ (3x − 1) ∫ 4 4 1) 3dx 2) dx 3) (1 - x) 5 dx ∫e u 10. Se u = f(x) , u ' dx = e u + k E5) Encontre: ∫e ∫e ∫ 4x 4x 1) 4dx 2) dx 3) e -x dx u ' dx 11. Se u = f(x) , ∫ u = ln | u | + k E6) Encontre: 2x x 1 1) ∫x 2 −3 dx 2) ∫x 2 −3 dx 3) ∫ 5x + 2dx 55
  • 5. 12. Se u = f(x) , ∫ sen u.u' dx = − cos u + k E7) Encontre: 1) ∫ sen 4x.4dx 2) ∫ sen 4x .dx ∫ 3) sen(-x).dx 13. Se u = f(x) , ∫ cos u.u' dx = sen u + k E8) Encontre: 1) ∫ cos(x − 3).2 xdx 2) ∫ cos(x − 3).xdx ∫ 3) cos(5x + 2)dx 2 2 E9) Encontre: ∫ 1) (2x − 1) 3 2dx ∫ x 2 − 1. 2 xdx ∫ (3x 2 2) 3) + 4) 5 xdx xdx dx xdx 4) ∫ 5−x 2 5) ∫ (1 − x) 4 6) ∫ (x 2 + 2) 3 xdx dx dx 7) ∫ 3 3− x 2 8) ∫ 2x − 1 9) ∫ (2x + 3) 5 ⎛ x 5 3 ⎞ x 2 dx 10) ∫ ⎜ 3e − ⎝ + ⎟dx 2x x 2 ⎠ 11) ∫ e 3x −1dx 12) ∫x 3 +1 2dx dx x 2 +3 13) ∫e x −1 14) ∫ 4x − 2 15) ∫ 3xe dx x 20 xdx dx 16) ∫x 2 + 10 17) ∫ 5e 2 dx 18) ∫e x ∫ x cos x ∫ sen 3x.dx ∫ sen 2 5 19) .dx 20) 21) x. cos x.dx ∫e ∫ tg x.dx ∫ cot g x.dx cos x 22) . sen x.dx 23) 24) 56
  • 6. E10) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que: 1) P(2,1) e f ’(x)= 2x 2) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 - 2x + 5 3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1 2 4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2 5) P(1,5) e f ’(x) = x E11) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x2. Importante: A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x. E12) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil reais ao ano. Se a máquina durou quatro anos e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ? E13) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ? E14) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da 25 produção em relação ao número de operários é dada por . Qual será a produção da fábrica, se x forem admitidos mais 31 funcionários ? E15) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal, em milhões, em função do tempo, em meses, será à taxa de 3(t + 4)-1/2, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12 milhões, calcule a renda daqui a um ano. E16) Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0,1x milhões de habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos? E17) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ? E18) Determine uma função Produção P = f(x) que tenha um ponto de máximo para x=2 e que passe pela origem, sabendo que sua derivada de segunda ordem é P’’= -12x. 57
  • 7. 4. RESPOSTAS E1)1) x2 + k 2) 5x + k 3) x3 + k 4) x5 + x4 + k E2) 1) 2x + k 2) 3x + ex + k 3) x – 2ln |x| + k 4) ex + k 5) xln 2 - 5ex + k 4x 2 6) − ln | x | + k 7) ( π - 2e + ln 6)x + k 8)3ex + ex + k 9) 2x – 3ln |x| + k 5 3 10) sen x + cos x + k 11) 3sen x + 6x + k 12) x – 5cos x + k 2x 5 x 4 x2 x 6 x 4 5x 2 1 E3) 1) x3 + k 2) − + x3 − + 2x + k 3) − + − 3x + k 4) − +k 5 4 2 6 2 2 3x 2 x3 2 x5 3 5) +k 6) 2 x + k 7) +k 8) 33 x + k 9) 2 ln | x | − +k 3 5 x 5 1 x2 1 1 2 x3 10) − + 3 +k 11) + 2 ln | x | + + k 12) − − +k 2x x 2 x 3x 3 (3x − 1) 5 (3x − 1) 5 (1 − x ) 6 E4) 1) +k 2) +k 3) − +k 5 15 6 e 4x 1 E5) 1) e 4 x + k 2) +k 3) − +k 4 ex 1 1 E6) 1) ln | x 2 − 3 | + k 2) ln | x 2 − 3 | + k 3) ln | 5x + 2 | + k 2 5 1 E7) 1) –cos 4x + k 2) − cos 4 x + k 3) cos (-x) +k 4 1 1 E8) 1) sen( x 2 − 3) + k 2) sen( x 2 − 3) + k 3) sen(5x + 2) + k 2 5 (2x − 1) 4 2 ( x 2 − 1) 3 (3x 2 + 4) 6 E9) 1) +k 2) +k 3) +k 4) – 5 − x 2 + k 4 3 36 1 1 − 33 (3 − x 2 ) 2 5) +k 6) +k 7) +k 8) 2x − 1 + k 3(1 − x ) 3 − 4( x 2 + 2) 2 4 −1 5 3 e 3x −1 1 9) +k 10) 3e x − ln | x | − + k 11) +k 12) ln | x 3 + 1 | + k 8(2x + 3) 4 2 x 3 3 2 −2 1 3e x +3 13) x −1 +k 14) ln | 4 x − 2 | + k 15) +k 16)10ln(x2 +10) + k e 4 2 58
  • 8. x 1 1 1 17) 10 e 2 + k 18) − x +k 19) sen x 2 + k 20) − cos 3x + k e 2 3 sen 6 x 21) +k 22) − e cos x + k 23) − ln | cos x | + k 24) ln | sen x | + k 6 x2 E10) 1) y = x2 – 3 2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1 3) y = x3 + – x +1 2 4) y = ex – 2x –3 5) y = 2ln x + 5 E11) x4 – 5x + 2 E12) V = 200.000 E13) R$ 1.500,00 E14) P(256) = 800 E15) R(12) = 24 milhões E16) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes E17) 150 E18) P = – 2x3 + 24x 59
  • 9. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real b representado por ∫a f(x)dx e calculado por F(b) - F(a). b ∫a f(x)dx b = [F(x)] a = F(b) - F(a) E1) Calcule: 3 1 4 1) ∫ 0 x 2 dx 2) ∫ −1 (1 − x) dx 1. PROPRIEDADES BÁSICAS a a) ∫ f(x)dx = 0 a b a b) ∫ f(x)dx = - ∫ b f(x)dx a b b c) ∫ c.f(x)dx = c. ∫ f(x)dx , sendo c uma constante a a b b b d) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ a f(x)dx ± ∫ a g(x)dx a b c b e) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ c f(x)dx , com a < c < b a a b f) ∫ f(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∀x ∈ [a,b] a E2)Calcule: 1 0 5 ∫0 (x ∫−1 (3x ∫2 (2 + 2u + 3u 4 1) − 3x 3 + 1)dx 2) 5 − 3x 2 + 2x − 1)dx 3) 2 )du 9⎛ 1 ⎞ 2 2 1 t +1 4) ∫1 ⎜ ⎜ ⎝ t− ⎟dt ⎟ t⎠ 5) ∫0 x (x - 1)dx 6) ∫2 t2 dt 2 2 1 ∫1 (2x - 4) ∫4 (2x - 6) ∫0 8x(x 5 4 2 7) dx 8) dx 9) + 1) 3 dx 60
  • 10. 4 1 2 x2 1 ∫0 ∫1 ∫ 0 (u 3 10) du 11) 3 2 dx 12) + u ) u 4 + 2u 2 + 1 du 6u + 1 ( x + 1) 3 2 dx 0 dx 13) ∫−2 | x − 1 | dx 14) ∫0 x 2 − 6x + 9 15) ∫-1 1- x 1 ⎛ | x |⎞ 5 3 x4 − x3 16) ∫−1 ⎜ x − ⎝ 2 ⎠ ⎟dx 17) ∫−2 | 2t − 4 | dt 18) ∫1 x dx 2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. y f f(x+ Δx ) A1 A2 f(x) A3 A ΔA 0 a x x + Δx b x A é a área da região hachurada, ΔA é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx . ΔA A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). Δx ≤ ΔA ≤ f(x + x). Δx ⇒ f(x) ≤ ≤ f(x + Δx ) Δx ΔA ΔA ΔA lim f(x) ≤ lim ≤ lim f(x + Δx ) ⇔ f(x) ≤ lim ≤ f(x ) ⇒ lim = f(x) ⇔ A’ = f(x) Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b. b Para x = b, A = F(b) - F(a) = ∫ a f(x)dx b Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número ∫ a f(x)dx representa a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b. 61
  • 11. y f R 0 a b x b AR = ∫ a f(x)dx 3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos b gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = ∫ a [f(x) - g(x)]dx y f R g 0 a b x E3)Calcule a área da região limitada por: 1) y=-x2 + 4 e y=0 2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 4) y=x2 – 1 e y=3 5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 6) y=x3, y=-x + 2 e y=0 7) y= x e y=x2 8) y=x e y=x3 4. RESPOSTAS 32 9 7 40 4 1 16 32 E1) 1) 9 2) E2) 1) 2) − 3) 144 4) 5) 6) − − ln 2 7) − 8) − 5 20 2 3 3 2 3 5 4 7 7 13 2 1 34 9) 15 10) 11) 12) 13) 14) 15) 2 2 − 2 16) − 17) 25 18) 3 54 6 2 3 2 3 32 5 32 3 1 1 E3) 1) 2) 9 3) 4) 5) 9 6) 7) 8) 3 2 3 4 3 2 62
  • 12. BIBLIOGRAFIA: ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1 e v.2. BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgar Blücher, 1973. v.1. FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. 5.ed. São Paulo: Makron, 1992. FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo B. São Paulo: Makron, 1999. HOFFMANN, Laurence D,BRADLEY, Gerald L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: L.T.C., 2002. MAIA, L. P. M. Cálculo 1. Rio de Janeiro : UFRJ, 1978. NETO, Cesar Dacorso. Elementos de cálculo infinitesimal. São Paulo : Nacional, 1966. MUNEM, Mustafa A., FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. v.2. SEELEY, Roberto T. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro : LTC, 1973. v.1. SHENK, Al. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro : Campus, 1985. 2 v. SIMMONS, George. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.2. STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Pioneira, 2001. v.1. e v.2. SWOKOWSKI, Earl William.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 1994. v.1. e v.2. 63