1.
Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica
Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2
2 2 2 2 2 2
Reagrupando o polinômio, teremos : b - 2bc + c - a = (b - 2bc + c ) - a
2 2 2
O trinômio b - 2bc + c pode ser fatorado como : (b - c)
2 2
E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c) - a , e finalmente, teremos :
2 2
(b - c) - a = (b - c + a) (b - c - a)
8 4
Exemplo 20) Fatore: 5m + 10m - 15
Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:
8 4 8 4
5m + 10m - 15 = 5(m + 2m - 3)
8 4
O trinômio m + 2m - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela
raiz quadrada m4
8
de m .
8 4 8 4 4 4
Dessa forma, teremos : 5m + 10m - 15 = 5(m + 2m - 3) = 5(m + 3) (m - 1)
4 2 2 2 8 4 4 2
E como (m - 1) = (m + 1) (m - 1) , e como (m - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m + 10m - 15 = 5(m + 3)(m + 1)(m
+ 1)(m - 1)
2
Exemplo 21) Fatore: (x - y) + 2(y - x) - 24
2 2
Antes de mais nada, lembremos que (x - y) = (y - x) ( verifique se isso é verdade )
2
Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x) + 2(y - x) - 24
Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :
2 2
(y - x) + 2(y - x) - 24 = A + 2A - 24
O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece
multiplicada pela raiz
2
quadrada A de A .
2 2
E assim : A + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y) + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y -
x - 4)
6 6
Exemplo 22) Fatore x - y
1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
6 2 2 2
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y é y . Assim já temos o nosso primeiro fator x - y
2 4 2 2 2 2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x é x ; o produto entre x e y é x y e o
quadrado do
2 4
segundo é y é y .
E dessa forma, teremos:
6 6 2 2 4 2 2 4 2 2
x - y = (x - y ) ( x + x y + y ). Como a diferença de quadrados (x - y ) ainda pode ser fatorado, teremos :

2.
6 6 4 2 2 4
x - y = (x + y) (x - y) ( x + x y + y ).
4 2 2 4
Se escrevermos o trinômio ( x + x y + y ) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser
fatorado. Vejamos :
4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
x + x y + y = x + 2x y + y - x y = (x + y ) - x y , que é uma diferença de dois quadrados.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Assim : (x + y ) - x y = ( x + y + xy) ( x + y - xy) = ( x - xy + y ) ( x + xy + y ). E finalmente :
6 6 2 2 2 2
x - y = (x + y) (x - y) ( x - xy + y ) ( x + xy + y )
2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma
diferença de dois
quadrados.
6 3 6 3
A raiz quadrada de x é x e a raiz quadrada de y é y .
3 3 3 3
Assim já temos o nosso primeiro fator (x + y ) e o segundo fator (x - y ).
Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
3 3 3 3
Como a soma e a diferença de dois cubos (x + y ) e (x - y ) ainda podem ser fatorados, teremos :
6 6 3 3 3 3 2 2 2 2
x - y = (x + y ) (x - y ) = (x + y) ( x - xy + y ) (x - y) ( x + xy + y ) , ou ainda :
6 6 2 2 2 2
x - y = (x + y) (x - y) ( x - xy + y ) ( x + xy + y )
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o
sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.
Vamos entender melhor essa diferenciação:
Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.
Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .
E escrevermos :
Assim o correto seria utilizarmos o sinal de identidade para todos os casos de produtos notáveis e, também,
de fatoração.
Assim, por exemplo :
Fatoração Algébrica - Exercícios Propostos
I - Fatore colocando em evidência

3.
II - Fatore os trinômios quadrados perfeitos
III - Fatore as diferenças entre quadrados
IV - Fatore os trinômios de Stevin
V - Fatore as Somas ou diferenças entre dois cubos
VI - Fatore por agrupamento
VII - Fatore as expressões algébricas
Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica