FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso

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FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso

  1. 1. Função do 2º grau Função do 2º grau     A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:   y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos: a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
  2. 2. Conteúdo para 8ª série Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso Professor de Matemática do Colégio estadual Dinah Gonçalves em Valéria Salvador-Ba Graduado pela UFBA e pós graduado em metodologia e Didática do Ensino Superior 24/06/2009
  3. 3. Gráficos: <ul><li>Gráfico de uma função do 2º grau:   </li></ul><ul><li>O gráfico de uma função quadrática é uma parábola    Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.   </li></ul><ul><li>    Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: </li></ul>
  4. 4. Veja: <ul><li>A Parábola: </li></ul>:24/06/2009
  5. 5. Professor Antonio Carlos
  6. 6. Observe os pontos: <ul><li>    Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. </li></ul><ul><li>Coordenadas do vértice </li></ul><ul><li>    A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por . </li></ul><ul><li>    Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3 </li></ul><ul><li>Temos: a=1, b=-4 e c=3 </li></ul><ul><li>Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? </li></ul>
  7. 7. Fique atento: <ul><li>Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. </li></ul><ul><li>Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. </li></ul><ul><li>y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 </li></ul><ul><li>Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) </li></ul><ul><li>Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!! </li></ul>
  8. 8. Raízes: <ul><li>Raízes (ou zeros) da função do 2º grau </li></ul><ul><li>Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. </li></ul><ul><li>y=f(x)=0 </li></ul><ul><li>Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3. </li></ul><ul><li>Vejamos o gráfico: </li></ul>
  9. 9. O gráfico:
  10. 10. Resolva a função: <ul><li>Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta (&quot;corta&quot;) o eixo x. </li></ul><ul><li>Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? </li></ul><ul><li>Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. </li></ul><ul><li>Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: </li></ul><ul><li>Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0 </li></ul><ul><li>Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. </li></ul><ul><li>x²+5x+6=0 </li></ul><ul><li>Acharemos que x = -2 e x` = -3. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Concavidade da parábola </li></ul><ul><li>Explicarei esta parte com um simples desenho. </li></ul><ul><li>a>0a<0 Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste). </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  12. 12. y = f(x) = x² - 4
  13. 13. y = f(x) = -x² + 4
  14. 14. Nota: <ul><li>Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo. </li></ul><ul><li>Quando o discriminante é igual a zero </li></ul><ul><li>Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero. </li></ul><ul><li>Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 </li></ul><ul><li>x²+2x+1=0 x=x`=-b/2a=-1 </li></ul><ul><li>As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) </li></ul>
  15. 15. Gráfico:
  16. 16. Estudo do delta: <ul><li>Quando o descriminante é maior que zero </li></ul><ul><li>Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). </li></ul><ul><li>Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 </li></ul><ul><li>x²-4x+3=0   x=1, x`=3 </li></ul><ul><li>Gráfico: </li></ul>
  17. 17. Gráfico:
  18. 18. Delta<0 <ul><li>Quando o discriminante é menor que zero </li></ul><ul><li>Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função. </li></ul><ul><li>Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 </li></ul><ul><li>x²-x+2=0 </li></ul>
  19. 19. Gráfico:
  20. 20. a>0 e a<0
  21. 21. Olhe o gráfico: <ul><li>Esboçando o gráfico </li></ul><ul><li>Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3 </li></ul><ul><li>1ª etapa: Raízes ou zeros da função </li></ul><ul><li>-x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-3 </li></ul>
  22. 22. Veja as etapas: <ul><li>2ª etapa: Coordenadas do vértice </li></ul><ul><li>Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2 </li></ul><ul><li>Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1 </li></ul><ul><li>Portanto, V=(-2,1) </li></ul><ul><li>3ª etapa: Concavidade da parábola </li></ul><ul><li>y=-x²-4x-3 </li></ul><ul><li>Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo </li></ul>
  23. 23. Olhe o gráfico:
  24. 24. Exercício: <ul><li>1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa: </li></ul><ul><li>a) f(x)= x² - 4x + 5 </li></ul><ul><li>b) f(x)= x² +4x - 6 </li></ul><ul><li>c) f(x)= 2x² +5x - 4 </li></ul><ul><li>d) f(x)= -x² + 6x - 2 </li></ul><ul><li>e) f(x)= -x² - 4x +1 </li></ul>
  25. 25. Resolva: <ul><li>2) Determine,  se existirem, os zeros reais das funções seguintes: </li></ul><ul><li>a) f(x)= 3x² - 7x + 2 </li></ul><ul><li>b) f(x)= -x² + 3x - 4 </li></ul><ul><li>c) f(x)= -x² + 3/2x + 1 </li></ul><ul><li>d) f(x)= x² -4 </li></ul><ul><li>e) f(x)= 3x² </li></ul><ul><li>Não existe zeros em (b) </li></ul>
  26. 26. Antonio Carlos carneiro Barroso: <ul><li>3) Construa o gráfico das seguintes funções: </li></ul><ul><li>a) f(x)= x² - 16x + 63 </li></ul><ul><li>b) f(x)= 2x² - 7x + 3 </li></ul><ul><li>c) f(x)= 4x² - 4x +1 </li></ul><ul><li>d) f(x)= -x² + 4x - 5 </li></ul><ul><li>e) f(x)= -2x² +8x- 6 </li></ul>
  27. 27. Faça: <ul><li>4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t. a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice </li></ul><ul><li>b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? </li></ul><ul><li>c) Esboce o gráfico que represente esta situação. </li></ul><ul><li>Respostas: 4: a)4s; b) 16m </li></ul>
  28. 28. Função do 1º grau: <ul><li>Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: </li></ul><ul><li>Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado. </li></ul><ul><li>Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria: </li></ul>
  29. 29. Noção de função: <ul><li>Veja os diagramas: </li></ul>
  30. 30. Uma função todo elemento de A tem imagem única em B. <ul><li>Analisando os diagramas acima: </li></ul><ul><li>O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2). </li></ul><ul><li>Logo, somente o diagrama 2 representa uma função </li></ul>
  31. 31. Domínio, imagem e contra domínio <ul><li>Observe o diagrama: </li></ul>
  32. 32. Função: <ul><li>Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão: </li></ul><ul><li>f={(1,2),(2,3),(3,4)} </li></ul><ul><li>O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. </li></ul><ul><li>D(F)=X </li></ul><ul><li>O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. </li></ul><ul><li>C(F)=Y </li></ul><ul><li>Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. </li></ul><ul><li>f(1)=2 </li></ul><ul><li>Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. </li></ul><ul><li>Logo o conjunto das imagens de f e dado por: </li></ul><ul><li>Im(f)={2,3,4} </li></ul>
  33. 33. Determinação de função: <ul><li>Observe a figura: </li></ul>
  34. 34. Veja: <ul><li>Associe cada elemento de X com um elemento de y: </li></ul>
  35. 35. Determine a imagem de cada função: <ul><li>a) D(f) = {1,2,3}     y = f(x) = x + 1 </li></ul><ul><li>[Sol] f(1) = 1+1 = 2         f(2) = 2+1 = 3         f(3) =3+1 = 4 </li></ul><ul><li>Logo: Im(f)={2,3,4} </li></ul><ul><li>b) D(f) = {1,3,5}     y = f(x) = x² </li></ul><ul><li>[Sol] f(1) = 1² = 1         f(3) = 3² = 9         f(5) = 5² = 25 </li></ul><ul><li>Logo: Im(f)={1,9,25} </li></ul>
  36. 36. Plano cartesiano : <ul><li>Eixo Cartesiano: </li></ul>
  37. 37. Eixos x e y: <ul><li>Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A. Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas: x // x'  e  y // y' Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x' </li></ul>
  38. 38. Continuação: <ul><li>Nessas condições, definimos: - Abscissa de P é um número real representado por P1 - Ordenada de P é um número real representado por P2 - A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' ) - O eixo das abscissas é o eixo x - O eixo das ordenadas é o eixo y - A origem do sistema é o ponto 0 - Plano cartesiano é o plano A. </li></ul>
  39. 39. Depois dessa revisão veja a função do 1º grau: <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. </li></ul><ul><li>a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. </li></ul><ul><li>[Sol] y=salário fixo + comissão        y=500 + 50x </li></ul>
  40. 40. Cont. <ul><li>Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? </li></ul><ul><li>[Sol] y=500+50x , onde x=4        y=500+50.4 = 500+200 = 700 </li></ul><ul><li>Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? </li></ul><ul><li>[Sol] y=500+50x , onde y=1000        1000=500+50x  »  50x=1000-500  »  50x=500  »  x=10 </li></ul>
  41. 41. Cont. <ul><li>A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau , sendo dada por:   </li></ul><ul><li>y=f(x)=ax+b com ,a e b pertencente aos números reais </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  42. 42. Gráfico: <ul><li>Gráfico da função do 1º grau:   </li></ul><ul><li>O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta. Exemplo: </li></ul><ul><li>1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1: </li></ul><ul><li>[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. </li></ul>
  43. 43. Olhe os pares: <ul><li>O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} </li></ul>
  44. 44. 2º Exemplo: <ul><li>Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1. [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.   </li></ul><ul><li>xy=f(x)=-x+1-2 3-1 20 11 02-1O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} </li></ul>
  45. 45. Continuação: <ul><li>O gráfico: </li></ul>
  46. 46. y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 <ul><li>Função crescente: </li></ul>
  47. 47. y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1 <ul><li>Função decrescente: </li></ul>
  48. 48. Raízes ou zeros: <ul><li>Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0). 1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. </li></ul><ul><li>[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0 </li></ul><ul><li>x+1=0  »  x=-1 </li></ul><ul><li>Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função </li></ul>
  49. 49. Veja a raiz dessa função: <ul><li>Onde corta o eixo x é a raiz da função </li></ul>
  50. 50. Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico <ul><li>Veja: </li></ul>
  51. 51. Sinal de uma função de 1º grau <ul><li>a>o e a<o </li></ul>
  52. 52. Cont. <ul><li>Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a. </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0. </li></ul><ul><li>a) y=f(x)=x+1 </li></ul><ul><li>[Sol] x+1>0  »  x>-1         Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1 </li></ul><ul><li>        x+1<0  »  x<-1        Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1 </li></ul>
  53. 53. 2º exemplo: <ul><li>b) y=f(x)=-x+1 </li></ul><ul><li>[Sol]* -x+1>0  »  -x>-1  »  x<1   Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1 </li></ul><ul><li>       -x+1<0  »  -x<-1  »  x>1        Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1 (*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade </li></ul>
  54. 54. Exercício: <ul><li>) Represente graficamente a função definida por: </li></ul><ul><li>a) f(x) = 2x-1 </li></ul><ul><li>b) f(x) = -1/2x+3 </li></ul><ul><li>c) f(x) = 4x </li></ul><ul><li>d) f(x) = 1/3x+2 </li></ul><ul><li>e) f(x) = -3x+6 </li></ul>
  55. 55. Cont. <ul><li>2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: </li></ul><ul><li>a) f(x) = 2x+5 </li></ul><ul><li>b) f(x) = -x+2 </li></ul><ul><li>c) f(x) = 1/3x+3 </li></ul><ul><li>d) f(x) = 1-5x </li></ul><ul><li>e) f(x) = 4x </li></ul>
  56. 56. Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo: <ul><li>Faça: </li></ul>
  57. 57. Cont. <ul><li>Pelo gráfico, concluímos: Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2 </li></ul><ul><li>Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função) </li></ul><ul><li>Substituindo os valores em y=ax+b: </li></ul><ul><li>0 = -4a + 2 </li></ul><ul><li>a = 1/2 </li></ul><ul><li>Logo, a expressão é y = 1/2x+2. </li></ul>
  58. 58. Determine as expressões que as definem. <ul><li>Descreva as funções abaixo. </li></ul>

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