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Função Quadrática
DEFINIÇÃO                                        Ao construir o gráfico de uma função qua-
Chama-se função quadrática, ou função po-        drática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre
linomial do 2º grau, qualquer função f de IR     que:
em IR dada por uma lei da forma                  se a > 0, a parábola tem a concavidade
f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são núme-     voltada para cima;
ros reais e a 0.                                 se a < 0, a parábola tem a concavidade
Vejamos alguns exemplos de função qua-           voltada para baixo;
dráticas:
                                                 ZERO E EQUAÇÃO DO 2º GRAU
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1         Chama-se zeros ou raízes da função poli-
                                                 nomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0,
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5   os números reais x tais que f(x) = 0.
                                                 Então as raízes da função
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0      f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equa-
                                                 ção do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0         são dadas pela chamada fórmula de Bhas-
                                                 kara:
GRÁFICO
O gráfico de uma função polinomial do 2º
grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma
curva chamada parábola.                          Temos:
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função
                 y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, de-      Observação
pois calculamos o valor correspondente de        A quantidade de raízes reais de uma função
y e, em seguida, ligamos os pontos assim         quadrática depende do valor obtido para o
obtidos.                                         radicando               , chamado discri-
                                                 minante, a saber:
  x    y                                         quando ∆ > 0, há duas raízes reais e distin-
 -3    6                                         tas;
 -2    2                                         quando ∆ = 0, há só uma raiz real;
 -1    0                                         quando ∆ < 0, não há raiz real.

                                                       COORDENADAS DO VÉRTICE
                                                               DA PARÁBOLA
  0    0                                         Quando a > 0, a parábola tem concavidade
  1    2                                         voltada para cima e um ponto de mínimo V;
                                                 quando a < 0, a parábola tem concavidade
  2    6                                         voltada para baixo e um ponto de máxi-
                                                 mo V.

                                                 Em qualquer caso, as coordenadas de V

Observação:                                      são              . Veja os gráficos:
2ª quando a < 0,



                                                                 a<0




IMAGEM
                                              CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA
O conjunto-imagem Im da função
                                              É possível construir o gráfico de uma função
y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos va-
                                              do 2º grau sem montar a tabela de pares
lores que y pode assumir.
                                              (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de
Há duas possibilidades:
                                              observação seguinte:
                                              1. O valor do coeficiente a define a concavi-
1ª - quando a > 0,
                                              dade da parábola;
                                              2. Os zeros definem os pontos em que a pa-
                                              rábola intercepta o eixo dos x;

                                              3. O vértice V              indica o ponto
                     a>0
                                              de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a < 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao              quando < 0
eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;         y>0    x1 < x < x2
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c =     y<0   (x < x1 ou x > x2)
c; então (0, c) é o ponto em que a parábola
corta o eixo dos y.

SINAL
Consideramos uma função quadrática y =
f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valo-
res de x para os quais y é negativo e os va-
lores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante
∆ = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes
casos:

       1º - ∆ > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois
zeros reais distintos (x1 x2). a parábola
intercepta o eixo Ox em dois pontos e o si-
nal da função é o indicado nos gráficos a-
baixo:                                           2º - ∆ = 0




               quando a > 0                              quando a > 0

         y>0   (x < x1 ou x > x2)
           y<0     x1 < x < x2
quando a < 0




                       quando a < 0




3º - ∆ < 0

                              fonte: somatematica




        quando a > 0

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FunçãO QuadráTica

  • 1. Função Quadrática DEFINIÇÃO Ao construir o gráfico de uma função qua- Chama-se função quadrática, ou função po- drática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre linomial do 2º grau, qualquer função f de IR que: em IR dada por uma lei da forma se a > 0, a parábola tem a concavidade f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são núme- voltada para cima; ros reais e a 0. se a < 0, a parábola tem a concavidade Vejamos alguns exemplos de função qua- voltada para baixo; dráticas: ZERO E EQUAÇÃO DO 2º GRAU f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 Chama-se zeros ou raízes da função poli- nomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equa- ção do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 são dadas pela chamada fórmula de Bhas- kara: GRÁFICO O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Temos: Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, de- Observação pois calculamos o valor correspondente de A quantidade de raízes reais de uma função y e, em seguida, ligamos os pontos assim quadrática depende do valor obtido para o obtidos. radicando , chamado discri- minante, a saber: x y quando ∆ > 0, há duas raízes reais e distin- -3 6 tas; -2 2 quando ∆ = 0, há só uma raiz real; -1 0 quando ∆ < 0, não há raiz real. COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA 0 0 Quando a > 0, a parábola tem concavidade 1 2 voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade 2 6 voltada para baixo e um ponto de máxi- mo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V Observação: são . Veja os gráficos:
  • 2. 2ª quando a < 0, a<0 IMAGEM CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA O conjunto-imagem Im da função É possível construir o gráfico de uma função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos va- do 2º grau sem montar a tabela de pares lores que y pode assumir. (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de Há duas possibilidades: observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavi- 1ª - quando a > 0, dade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a pa- rábola intercepta o eixo dos x; 3. O vértice V indica o ponto a>0 de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a < 0);
  • 3. 4. A reta que passa por V e é paralela ao quando < 0 eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; y>0 x1 < x < x2 5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = y<0 (x < x1 ou x > x2) c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. SINAL Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valo- res de x para os quais y é negativo e os va- lores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante ∆ = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º - ∆ > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o si- nal da função é o indicado nos gráficos a- baixo: 2º - ∆ = 0 quando a > 0 quando a > 0 y>0 (x < x1 ou x > x2) y<0 x1 < x < x2
  • 4. quando a < 0 quando a < 0 3º - ∆ < 0 fonte: somatematica quando a > 0