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CENTRO DE ENSINO DIAS CARNEIRO 1a SERIE TURNO : NOTURNO
GOVERNANDOR EUGENIO BARROS - MA TURMA: "C"
PROFESSOR: JOSÉ SANTOS DA SILVA DATA: 27/04/2023
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
Funções do 10
Grau Prof. José Santos da Silva 1
(-2, 0)
(0, 2)
FUNÇÃO DO 10
GRAU
1. Introdução
Uma conta telefônica apresenta apenas duas parcelas: a referente à assinatura, que custa
R$ 31,71 e a referente aos pulsos, que representam o tempo de uso da linha para fazer ligações locais ao custo
de R$ 0,08 cada. Qual o valor da conta para 120 pulsos? Como o valor da conta poderá ser escrita em função do
número de pulsos?
V(x) = assinatura + pulsos = R$ 31,17 + 120×R$ 0,08 = R$ 40,77
Podemos notar que, para cada número x de pulos, há um certo valor V(x) da conta telefônica.
Logo o valor de V(x) é uma função de x:
V(x) = 31,17 + 0,08×x
que é um exemplo de função polinomial do 10
grau.
2. Definição
Chama-se função polinomial do 10
grau (também chamada de Função Afim), qualquer
função f de  em  dada por uma lei da formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é
chamado coeficiente linear.
Exemplos:
a) f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
b) f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
c) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
3. Gráfico
O gráfico de uma função do 10
grau, y = ax + b, com a≠0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
O coeficiente angular “a” da reta está ligado à sua inclinação em relação ao eixo Ox. O coeficiente linear “b”
da reta é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Exemplo:
f(x) = y = x +2
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
Para x = 0, temos y = 0 + 2 = 2 ⇒ y = 2; portanto, um ponto é (0, 2).
Para y = 0, temos 0 = x + 2 ⇒ x = -2; portanto, o outro ponto é (-2, 0).
Marcamos os pontos (0, 2) e (-2, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y = 3x-1 (x, y)
0 2 (0, 2)
-2 0 (-2, 0)
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Funções do 10
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(-1, 0)
(0, 2)
4. Zero da Função do 10
Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 10
grau, f(x) = ax + b, a ≠0, o número real x tal
que f(x) = 0. Temos:
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒
a
b
x
−
= ⇒





−
=
a
b
S
Exemplo:
f(x) = -6x +12 ⇒ -6x + 12 = 0 ⇒ -6x = -12 ⇒ x = (-12)/(-6) ⇒ x = 2 ⇒ S = {2}
5. Crescimento e Decrescimento da Função do 10
Grau
Consideremos a função do 10
grau, f(x) = 2x + 2. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e
observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -4 -2 0 2 4 6 8
Notemos que, quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também
aumentam. Dizemos, então que a função y = 2x + 2 é crescente. Observamos o seu gráfico:
Regra geral:
 a função do 10
grau, f(x) = ax + b, é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a  0);
 a função do 10
grau, f(x) = ax + b, é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a  0);
Justificativa:
 para a  0: se x1  x2, então ax1  ax2. Daí, ax1 + b  ax2 + b, de onde vem f(x1)  f(x2).
 para a  0: se x1  x2, então ax1  ax2. Daí, ax1 + b  ax2 + b, de onde vem f(x1)  f(x2).
Exemplo:
Seja f(x) = 3x –6
f(x) é uma função crescente pois a = 3  0. Se tomarmos x1 = 1 e x2 = 3 (x1  x2), e ao substituirmos x1 e
x2 em f(x), temos, 3×1 – 6  3×2 – 6 ⇒ -6  0, de onde vem f(1)  f(3) [f(x1)  f(x2)].
6. Sinal da Função do 10
Grau
Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa determinar os valores de x para os quais y é
positivo, o valor de x para o qual y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Vamos estudar o sinal da função y = f(x) = ax + b. Já vimos que essa função se anula pra raiz
a
b
x
−
= . Há dois casos possíveis:
10
) a  0 (a função é crescente)
y  0 ⇒ ax + b  0 ⇒
a
b
x
−

y  0 ⇒ ax + b  0 ⇒
a
b
x
−

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a
raiz
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Funções do 10
Grau Prof. José Santos da Silva 3
20
) a  0 (a função é decrescente)
y  0 ⇒ ax + b  0 ⇒
a
b
x
−

y  0 ⇒ ax + b  0 ⇒
a
b
x
−

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a
raiz
7. Tipos Particulares de Funções
7.1 Função Linear: Uma função é dita Linear , quando é do tipo f(x) = ax, com a ≠ 0. O gráfico de uma
função identidade é uma reta que passa pela origem.
Exemplo:
f(x) =
2
x
7.2 Função Identidade: Uma função é dita Identidade , quando é do tipo f(x) = x. O gráfico de uma
função identidade é uma reta que passa pela origem cortando os quadrantes I
e II ao meio, também chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares.
Exemplo:
f(x) =
2
x
2
4
x
y
2
2
x
y
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Funções do 10
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7.3 Função Constante: Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = b , onde b não depende de
x. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x. Veja o
gráfico a seguir:
Exemplo:
f(x) = 3
8. Exercícios
1) Verifique quais das seguintes funções são do 10
grau:
a) )
1
(
4
)
1
(
3
)
( −
+
+
= x
x
x
f b) )
2
)(
2
(
)
2
(
)
( 2
+
−
+
+
= x
x
x
x
f
c) )
5
(
)
3
(
)
( 2
−
−
−
= x
x
x
x
f d) )
1
(
5
)
3
(
)
( −
−
−
= x
x
x
f
2) Escreva a função do 10
grau a) b
ax
x
f +
=
)
( , sabendo que:
a) 7
)
3
(
5
)
1
( −
=
−
= f
e
f b) 1
)
23
(
7
)
1
( =
=
− f
e
f
3) Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$ 1,02 por quilometro rodado. Sabendo que o
preço a pagar é dado em função do número x de quilômetros rodados, responda:
a) Qual a lei da função representada por essa situação?
b) Qual o custo de uma corrida de 17 km?
4) O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 650,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantões noturnos
em uma boate, onde receber R$ 70,00 por noite de trabalho.
a) Se em um mês, o segurança faz 4 plantões, que salário receberá?
b) Qual o salário final y que o segurança receberá ele realiza x plantões?
c) Represente graficamente a função obtida no item anterior, lembrando que o seu domínio é o conjunto
dos números inteiros.
5) Determine a lei da função do 10
grau cuja reta passa pelos pontos A(-8,0) e B(0,4). Essa função é crescente
ou decrescente?
6) Construa o gráfico das seguintes funções, identificando se as mesmas são crescentes ou decrescentes:
a) 1
)
( +
= x
x
f b) 1
)
( +
−
= x
x
f c) x
x
f =
)
( d) x
x
f −
=
)
(
e) 1
2
)
( +
−
= x
x
f f) 1
2
)
( +
= x
x
f g) 2
)
( −
=
x
f h) 2
)
( =
x
f
i)



≥
−

=
0
,
1
0
,
2
)
(
x
se
x
se
x
f j)







≥


≤
≤
−
−
−

−
=
1
,
1
1
0
,
2
0
2
,
2
,
1
)
(
x
se
x
se
x
x
se
x
x
se
x
f k







≥
−


−
−
≤
≤
−
+
−

−
=
2
,
2
2
1
-
,
1
3
,
2
3
,
2
)
(
x
se
x
x
se
x
x
se
x
x
se
x
x
f
7) Determine o valor de m para que o gráfico da função 3
2
)
( −
+
= m
x
x
f :
a) Intercepte o eixo y no ponto (0,5);
b) Intercepte o eixo x no ponto (3,0).
8) Determine a raiz das seguintes funções:
a) 10
5
)
( −
= x
x
f b) 2
3
)
( +
−
=
x
x
f c) x
x
f 3
15
)
( −
= d) x
x
f −
=
)
(
9) Estude o sinal de cada uma das seguintes funções:
a) 4
2
)
( +
= x
x
f b) 1
2
)
( −
−
=
x
x
f c) x
x
f 4
8
)
( −
= d) x
x
f −
=
)
(
10) Discuta, em função do parâmetro m, a “variação” (crescente, decrescente ou constante) de cada uma das
funções:
a) 3
)
2
(
)
( −
+
= x
m
x
f b) 2
)
4
(
)
( +
−
= x
m
x
f
x
3
y

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Função do 1º Grau 27-04-2023.pdf

  • 1. CENTRO DE ENSINO DIAS CARNEIRO 1a SERIE TURNO : NOTURNO GOVERNANDOR EUGENIO BARROS - MA TURMA: "C" PROFESSOR: JOSÉ SANTOS DA SILVA DATA: 27/04/2023 DISCIPLINA: MATEMÁTICA Funções do 10 Grau Prof. José Santos da Silva 1 (-2, 0) (0, 2) FUNÇÃO DO 10 GRAU 1. Introdução Uma conta telefônica apresenta apenas duas parcelas: a referente à assinatura, que custa R$ 31,71 e a referente aos pulsos, que representam o tempo de uso da linha para fazer ligações locais ao custo de R$ 0,08 cada. Qual o valor da conta para 120 pulsos? Como o valor da conta poderá ser escrita em função do número de pulsos? V(x) = assinatura + pulsos = R$ 31,17 + 120×R$ 0,08 = R$ 40,77 Podemos notar que, para cada número x de pulos, há um certo valor V(x) da conta telefônica. Logo o valor de V(x) é uma função de x: V(x) = 31,17 + 0,08×x que é um exemplo de função polinomial do 10 grau. 2. Definição Chama-se função polinomial do 10 grau (também chamada de Função Afim), qualquer função f de em dada por uma lei da formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear. Exemplos: a) f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 b) f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 c) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 3. Gráfico O gráfico de uma função do 10 grau, y = ax + b, com a≠0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. O coeficiente angular “a” da reta está ligado à sua inclinação em relação ao eixo Ox. O coeficiente linear “b” da reta é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. Exemplo: f(x) = y = x +2 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: Para x = 0, temos y = 0 + 2 = 2 ⇒ y = 2; portanto, um ponto é (0, 2). Para y = 0, temos 0 = x + 2 ⇒ x = -2; portanto, o outro ponto é (-2, 0). Marcamos os pontos (0, 2) e (-2, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. x y = 3x-1 (x, y) 0 2 (0, 2) -2 0 (-2, 0)
  • 2. CENTRO DE ENSINO DIAS CARNEIRO 1a SERIE TURNO : NOTURNO GOVERNANDOR EUGENIO BARROS - MA TURMA: C PROFESSOR: JOSÉ SANTOS DA SILVA DATA: 27/04/2023 DISCIPLINA: MATEMÁTICA Funções do 10 Grau Prof. José Santos da Silva 2 (-1, 0) (0, 2) 4. Zero da Função do 10 Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 10 grau, f(x) = ax + b, a ≠0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ a b x − = ⇒      − = a b S Exemplo: f(x) = -6x +12 ⇒ -6x + 12 = 0 ⇒ -6x = -12 ⇒ x = (-12)/(-6) ⇒ x = 2 ⇒ S = {2} 5. Crescimento e Decrescimento da Função do 10 Grau Consideremos a função do 10 grau, f(x) = 2x + 2. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -4 -2 0 2 4 6 8 Notemos que, quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 2x + 2 é crescente. Observamos o seu gráfico: Regra geral: a função do 10 grau, f(x) = ax + b, é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a 0); a função do 10 grau, f(x) = ax + b, é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a 0); Justificativa: para a 0: se x1 x2, então ax1 ax2. Daí, ax1 + b ax2 + b, de onde vem f(x1) f(x2). para a 0: se x1 x2, então ax1 ax2. Daí, ax1 + b ax2 + b, de onde vem f(x1) f(x2). Exemplo: Seja f(x) = 3x –6 f(x) é uma função crescente pois a = 3 0. Se tomarmos x1 = 1 e x2 = 3 (x1 x2), e ao substituirmos x1 e x2 em f(x), temos, 3×1 – 6 3×2 – 6 ⇒ -6 0, de onde vem f(1) f(3) [f(x1) f(x2)]. 6. Sinal da Função do 10 Grau Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa determinar os valores de x para os quais y é positivo, o valor de x para o qual y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Vamos estudar o sinal da função y = f(x) = ax + b. Já vimos que essa função se anula pra raiz a b x − = . Há dois casos possíveis: 10 ) a 0 (a função é crescente) y 0 ⇒ ax + b 0 ⇒ a b x − y 0 ⇒ ax + b 0 ⇒ a b x − Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
  • 3. CENTRO DE ENSINO DIAS CARNEIRO 1a SERIE TURNO : NOTURNO GOVERNANDOR EUGENIO BARROS - MA TURMA: C PROFESSOR: JOSÉ SANTOS DA SILVA DATA: 27/04/2023 DISCIPLINA: MATEMÁTICA Funções do 10 Grau Prof. José Santos da Silva 3 20 ) a 0 (a função é decrescente) y 0 ⇒ ax + b 0 ⇒ a b x − y 0 ⇒ ax + b 0 ⇒ a b x − Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz 7. Tipos Particulares de Funções 7.1 Função Linear: Uma função é dita Linear , quando é do tipo f(x) = ax, com a ≠ 0. O gráfico de uma função identidade é uma reta que passa pela origem. Exemplo: f(x) = 2 x 7.2 Função Identidade: Uma função é dita Identidade , quando é do tipo f(x) = x. O gráfico de uma função identidade é uma reta que passa pela origem cortando os quadrantes I e II ao meio, também chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares. Exemplo: f(x) = 2 x 2 4 x y 2 2 x y
  • 4. CENTRO DE ENSINO DIAS CARNEIRO 1a SERIE TURNO : NOTURNO GOVERNANDOR EUGENIO BARROS - MA TURMA: C PROFESSOR: JOSÉ SANTOS DA SILVA DATA: 27/04/2023 DISCIPLINA: MATEMÁTICA Funções do 10 Grau Prof. José Santos da Silva 4 7.3 Função Constante: Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = b , onde b não depende de x. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x. Veja o gráfico a seguir: Exemplo: f(x) = 3 8. Exercícios 1) Verifique quais das seguintes funções são do 10 grau: a) ) 1 ( 4 ) 1 ( 3 ) ( − + + = x x x f b) ) 2 )( 2 ( ) 2 ( ) ( 2 + − + + = x x x x f c) ) 5 ( ) 3 ( ) ( 2 − − − = x x x x f d) ) 1 ( 5 ) 3 ( ) ( − − − = x x x f 2) Escreva a função do 10 grau a) b ax x f + = ) ( , sabendo que: a) 7 ) 3 ( 5 ) 1 ( − = − = f e f b) 1 ) 23 ( 7 ) 1 ( = = − f e f 3) Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$ 1,02 por quilometro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número x de quilômetros rodados, responda: a) Qual a lei da função representada por essa situação? b) Qual o custo de uma corrida de 17 km? 4) O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 650,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantões noturnos em uma boate, onde receber R$ 70,00 por noite de trabalho. a) Se em um mês, o segurança faz 4 plantões, que salário receberá? b) Qual o salário final y que o segurança receberá ele realiza x plantões? c) Represente graficamente a função obtida no item anterior, lembrando que o seu domínio é o conjunto dos números inteiros. 5) Determine a lei da função do 10 grau cuja reta passa pelos pontos A(-8,0) e B(0,4). Essa função é crescente ou decrescente? 6) Construa o gráfico das seguintes funções, identificando se as mesmas são crescentes ou decrescentes: a) 1 ) ( + = x x f b) 1 ) ( + − = x x f c) x x f = ) ( d) x x f − = ) ( e) 1 2 ) ( + − = x x f f) 1 2 ) ( + = x x f g) 2 ) ( − = x f h) 2 ) ( = x f i)    ≥ − = 0 , 1 0 , 2 ) ( x se x se x f j)        ≥ ≤ ≤ − − − − = 1 , 1 1 0 , 2 0 2 , 2 , 1 ) ( x se x se x x se x x se x f k        ≥ − − − ≤ ≤ − + − − = 2 , 2 2 1 - , 1 3 , 2 3 , 2 ) ( x se x x se x x se x x se x x f 7) Determine o valor de m para que o gráfico da função 3 2 ) ( − + = m x x f : a) Intercepte o eixo y no ponto (0,5); b) Intercepte o eixo x no ponto (3,0). 8) Determine a raiz das seguintes funções: a) 10 5 ) ( − = x x f b) 2 3 ) ( + − = x x f c) x x f 3 15 ) ( − = d) x x f − = ) ( 9) Estude o sinal de cada uma das seguintes funções: a) 4 2 ) ( + = x x f b) 1 2 ) ( − − = x x f c) x x f 4 8 ) ( − = d) x x f − = ) ( 10) Discuta, em função do parâmetro m, a “variação” (crescente, decrescente ou constante) de cada uma das funções: a) 3 ) 2 ( ) ( − + = x m x f b) 2 ) 4 ( ) ( + − = x m x f x 3 y