O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo: (1) definição de espaço amostral e evento, (2) cálculo de probabilidade através da fórmula P(A)=n(A)/n(Ω), e (3) exemplos de aplicação destes conceitos em situações como lançamento de dados e retirada de cartas de baralho.
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9. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
E
definição
definição
10. Exemplos:
A) Lançamento de um dado.
Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Alguns dos possíveis eventos:
. Um número maior que 5 E = {6}
. Um número par E = {2, 4, 6}
. Um número par e primo E = {2}
11. Exemplos:
B) Lançamento de duas moedas.
Espaço Amostral:
Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(cc)}
Alguns dos possíveis eventos:
. Obter duas faces iguais E = {(k,k);(c,c)}
. Obter apenas uma coroa E = {(k,c);(c,k)}
12. 1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4
amarelas.
a) Defina o espaço amostral do
experimento: retirar uma bola ao acaso.
b) Defina os eventos E1: retirar bola verde
e E2: retirar bola amarela.
13. 1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4
amarelas.
a) Defina o espaço amostral do
experimento: retirar uma bola ao acaso.
b) Defina os eventos E1: retirar bola verde
e E2: retirar bola amarela.
15. Intersecção de conjuntos
Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20}
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}
B: ocorrer um múltiplo de 5= {5, 20}
A ∩ B = {20} 1 elemento
16. União de conjuntos
Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20}
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}
B: ocorrer um múltiplo de 5= {5, 20}
A ∪ B = {2, 5, 16, 20} 4 elementos
Atenção!
17. A) Evento certo
Eventos certos são aqueles que apresentam
os mesmos elementos do espaço amostral.
n(E) = n(Ω)
Exemplo:
Seja o seguinte evento: obter um número
natural menor que 7, no lançamento de um
dado.
E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
18. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
n(E)=n(Ω)
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
19. B) Evento impossível
Eventos impossíveis ocorrem quando não
há elementos no conjunto E.
n(E) = 0
Exemplo:
Seja o seguinte evento: obter 3 caras no
lançamento de duas moedas.
E = { }
20. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
n(E)=n(Ω)
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
Evento
impossível
n(E)=0
21. C) Evento complementar
Evento complementar (Ec) é aquele que
ocorre quando o evento E não ocorre.
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
Exemplo:
Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20}
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}
Ac: ocorrer um número ímpar= {3, 5, 17}
22. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
n(E)=n(Ω)
Evento
Comple-
mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
Evento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
23. Probabilidade é a chance de um evento
ocorrer, em um espaço amostral. Ou seja, é
o número de elementos de um evento,
dividido pelo número de elementos do
espaço amostral.
)(
)(
n
En
P
24. Exemplos:
A) Qual a probabilidade de ocorrer um
número natural maior que 4, no lançamento
de um dado?
E = {5, 6} n(E) = 2
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(Ω) = 6
3
1
6
2
)(
)(
n
En
P
25. Exemplos:
B) Qual a probabilidade de ocorrer pelo
menos uma cara, no lançamento de duas
moedas?
E = {(k,k);(k,c);(c,k)} n(E) = 3
Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(c,c)} n(Ω) = 4
4
3
)(
)(
n
En
P
26. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
Fórmula geral
Cálculo
n(E)=n(Ω)
Evento
Comple-
mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
Evento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
En
P
27. 2) No lançamento de um dado perfeito,
qual é a probabilidade de que o resultado
seja:
a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7?
28. 2) No lançamento de um dado perfeito,
qual é a probabilidade de que o resultado
seja:
a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7?
29. a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7? %1001
6
6
P
0
6
0
P
6
1
P
2
1
6
3
P
30. 3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco
vogais e as cinco primeiras consoantes do
alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de que a letra
sorteada seja:
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
31. 3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco
vogais e as cinco primeiras consoantes do
alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de que a letra
sorteada seja:
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
32. Ω = {a, e, i, o , u, b, c, d, f, g} n(Ω) = 10
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
2
1
10
5
P
5
2
10
4
P
33. 4) Um dos anagramas da palavra AMOR é
escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade
de que seja a palavra ROMA?
34. 4) Um dos anagramas da palavra AMOR é
escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade
de que seja a palavra ROMA?
35. Ω = 4! = 4.3.2.1=24
Logo,
24
1
P
Total de anagramas
da palavra amor
36. Para calcular a probabilidade da união de
eventos dividimos o número de elementos
do conjunto união pelo número de elementos
do espaço amostral.
)n(
n(AUB)
)(AUBP
37. Exemplo:
De um baralho de 52 cartas, uma é
extraída ao acaso. Qual é a probabilidade
de sair um valete ou uma carta de ouros?
A: sair um valete n(A) = 4
B: sair carta de ouros n(B) = 13
A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1
Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
38. A: sair um valete n(A) = 4
B: sair carta de ouros n(B) = 13
A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1
Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
13
4
52
16
(
)n(
n(AUB)
AUB)P
39. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
Probabilidade
Da união
Variações
Fórmula geral
Cálculo
n(E)=n(Ω)
Evento
Comple-
mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
Evento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
En
P
)n(
n(AUB)
AUB)(P
40. 5) Os dados da tabela seguinte referem-se
a uma pesquisa realizada com 155 moradores
de um bairro revela os hábitos quanto ao uso
de TV e Internet pagas.
Um dos entrevistados é selecionado ao
acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV
ou Internet pagas?
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita 76 44
Internet paga 14 21
41. 5) Os dados da tabela seguinte referem-se
a uma pesquisa realizada com 155 moradores
de um bairro revela os hábitos quanto ao uso
de TV e Internet pagas.
Um dos entrevistados é selecionado ao
acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV
ou Internet pagas?
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita 76 44
Internet paga 14 21
42. A: TV paga n(A)=44+21=65
B: Internet paga n(B)=14+21=35
n(A∩B)=21 n(A∪B)= 65+35-21=79
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita 76 44
Internet paga 14 21
155
79
(
)n(
n(AUB)
AUB)P
43. Temos um caso de probabilidade
condicional quando um evento A ocorre,
sabendo que o evento B já ocorreu.
O cálculo da probabilidade condicional
é dado pela fórmula:
P(B)
B)P(A
A/B)
(P
44. Exemplo:
Ao retirar uma carta de um baralho de
52 cartas, qual é a probabilidade de sair
um ás vermelho sabendo que ela é de copas?
A: sair ás vermelho n(A)=2
B: sair carta de copas n(B)=13
A∩B: ás de copas n(A∩B)=1
45. Exemplo:
A: sair ás vermelho n(A)=2
B: sair carta de copas n(B)=13
A∩B: ás de copas n(A∩B)=1
13
1
52
13
52
1
(
P(B)
B)P(A
A/B)
P
46. Probabilidade
Ω
Conjunto de todos
os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
Espaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
Probabilidade
condicional
Probabilidade
Da união
Variações
Fórmula geral
Cálculo
n(E)=n(Ω)
Evento
Comple-
mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
Evento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
En
P
P(B)
B)P(A
A/B)
(P
)n(
n(AUB)
AUB)(P
47. 6) Uma família planejou ter 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 homens, já que a primeira criança
que nasceu é homem?
48. 6) Uma família planejou ter 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 homens, já que a primeira criança
que nasceu é homem?
49. Ω = {HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM,
HMM, MMM} n(Ω)=8
A: ter 3 homens n(A)=1
B: primeira é homem n(B)=4
A∩B={HHH} n(A∩B)=1
4
1
8
4
8
1
(
P(B)
B)P(A
A/B)
P
51. 7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras
(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é
um deles). Diariamente, devem permanecer
de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual
a probabilidade de Karla e Lucas estarem
de plantão no mesmo dia?
3
2
)
5
1
)
45
8
)
4
1
)
3
1
) edcba
52. 7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras
(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é
um deles). Diariamente, devem permanecer
de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual
a probabilidade de Karla e Lucas estarem
de plantão no mesmo dia?
3
2
)
5
1
)
45
8
)
4
1
)
3
1
) edcba
54. 8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas
numeradas de 1 a 9. Três fichas são
escolhidas ao acaso e sem reposição. A
probabilidade de não sair a ficha 7 é:
3
2
)
4
1
)
9
2
)
3
1
)
6
1
) edcba
55. 8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas
numeradas de 1 a 9. Três fichas são
escolhidas ao acaso e sem reposição. A
probabilidade de não sair a ficha 7 é:
3
2
)
4
1
)
9
2
)
3
1
)
6
1
) edcba
56. Probabilidade
de não sair 7
na primeira:
9
8
P
8
7
P
Probabilidade
de não sair 7
na segunda:
Probabilidade
de não sair 7
na terceira:
7
6
P
3
2
7
6
8
7
9
8
P letra e
57. 9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,
cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro
moças entram nesse ônibus e devem ocupar os
bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos
aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco
Seja ocupado por um rapaz e uma moça é:
7
2
)
35
8
)
14
3
)
35
6
)
70
1
) edcba
58. 9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,
cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro
moças entram nesse ônibus e devem ocupar os
bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos
aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco
seja ocupado por um rapaz e uma moça é:
7
2
)
35
8
)
14
3
)
35
6
)
70
1
) edcba
60. 10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos
com forma, massa e aspecto exterior exatamente
iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4
de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se
retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,
a probabilidade de se retirar um bombom de cada
sabor é, aproximadamente:
%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
61. 10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos
com forma, massa e aspecto exterior exatamente
iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4
de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se
retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,
a probabilidade de se retirar um bombom de cada
sabor é, aproximadamente:
%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba