Combinatória

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Combinatória

  1. 1. á li se óriaA n in at o m b C Desenvolvido por: Cristiano De Angelis Jorge Cunha Adélson Jardim
  2. 2. Anagrama é a alteração da posição dasletras de uma mesma palavra.Vejamos quantos anagramas tem a palavra CHÁ: H A 1º- CHA C A H 2º - CAH A C 3º - HAC H C A 4º - HCA C H 5º - ACH A H C 6º - AHC
  3. 3. Ao considerarmos três espaços, temos: 3 letras 2 letras 1 letra uma que c,h ou a não tenha a sido usada restanteNo primeiro espaço podemos considerar três letras - C, H ou ANo segundo espaço temos somente duas opções. (caso contráriorepetiremos a primeira letra)No terceiro espaço teremos somente uma opção, a letra restante. 3.2.1 = 3! = 6
  4. 4. Vejamos agora quantos anagramas tem a palavra CAFÉ. F E 1º- CAFE A E F 2º - CAEF E A 3º - CFEAC F A E 4º - CFAE A F 5º - CEAF EPuts !!! F A 6º - CEFA...Isto somente começando com a letra C ! Mas, comoexistem só mais três letras que podem começar osanagramas da palavra café, temos: 4 . 3! = 4! = 24
  5. 5. No primeiro anagrama temos: 3! = 3.2.1 = 6 No segundo anagrama temos: 4! = 4.3.2.1 = 24 Definição:Quando o número de elementos “n” é igual ao númerode vagas, teremos: n! Isto quer dizer:
  6. 6. Existe um grupo de 5 estudantes(Cristiano, Jorge, Adélson, Marina,Raquel) para concorrer ao Daema,sendo a chapa formada por presidentee vice. Quantas serão as chapaspossíveis?Vamos fazer inicialmente todas aspermutações possíveis.
  7. 7. CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM ! idente ! CJARM CAMJR CMRAJ CRJMA no Pres CJMRA CAJMR CMJAR CRMJA CJMAR CJRMA Crist ia CAJRM CARJM CMJRA CMAJR CRMAJ CRAJM CJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR JAMCR JMRAC JRCMA JCARM ! idente ! JARCM JMCAR JRAMC JCMRA rge Pres JARMC JMCRA JRACM JCMAR JACMR JACRM Jo JMARC JMACR JRMAC JRMCA JCRMA JCRAM AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC dente !! AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCR AMCJR AMCRJ ARJMC lson Pr ARJCM esi AC JMR AC JRM AJRCM AJRMC AMJRC AMJCR Adé ARMCJ ARMJC AC RJM AC RMJ AJCMR AJCRMMRCJA MCRJA MJRCA MARCJMRCAJ MCRAJ MJRAC MARJCMRJAC MCJAR MJCAR MACJR ! idente !MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ ina PresMRAJC MCAJR MJARC MAJRCMarMRACJ MCARJ MJACR MAJCR RCJAM RJCAM RACJM RMCJA !! identeRACMJ uel Pres RCJMA RJCMA RMCAJ Raq RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC RCAJM RJACM RAJCM RMJCA RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC
  8. 8. O resultado das permutações será: 5! = 5.4.3.2.1 = 120,mas existem vários resultados repetidos queconsideram o mesmo presidente com o mesmo vice:CJAMR Quais resultados serão estes?CJARMCJMRA A permutação de todos osCJMAR elementos que não influenciamCJRMA na formação da chapa!CJRAM
  9. 9. Temos então, a permutação de “n” objetos, masprecisamos excluir a permutação dos objetos quenão influenciam no resultado. 5! ou 5.4.3.2.1 3! 3.2.1Precisamos excluir a permutaçãodos três objetos sem influência. Agora podemos simplificar !!
  10. 10. Isto é:
  11. 11. An, p = Pn ou n! P( n − p) (n - p)!Arranjo aparece quando temos um universo de “n” objetos agrupados em “p” vagas em que a ordem interessa!
  12. 12. Existe um grupo de 5estudantes (Cristiano, Jorge,Adélson, Marina, Raquel)para formar uma dupla derepresentantes de turma.Quantas serão as duplas possíveis?
  13. 13. CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM CJARM CAMJR CMRAJ CRJMA CJMRA CAJMR CMJAR CRMJA CJMAR CAJRM CMJRA CRMAJ CJRMA CARJM CMAJR CRAJM CJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR JAMCR JMRAC JRCMA JCARM JARCM JMCAR JRAMC JCMRA JARMC JMCRA JRACM JCMAR JACMR JMARC JRMAC JCRMA JACRM JMACR JRMCA JCRAM AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCR AMCJR ARJMC AC JMR AJRCM AMCRJ ARJCM AC JRM AJRMC AMJRC ARMCJ AC RJM AJCMR AMJCR ARMJC AC RMJ AJCRMMRCJA MCRJA MJRCA MARCJMRCAJ MCRAJ MJRAC MARJCMRJAC MCJAR MJCAR MACJRMRJCA MCJRA MJCRA MACRJMRAJC MCAJR MJARC MAJRCMRACJ MCARJ MJACR MAJCR RCJAM RJCAM RACJM RMCJA RCJMA RJCMA RACMJ RMCAJ RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC RCAJM RJACM RAJCM RMJCA RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC
  14. 14. Mas, agora todas aspermutações com CJ e JC , por exemplo, são desnecessárias pois a dupla não tem ordem. CJAMR JCAMR CJARM JCARM CJMRA JCMRA CJMAR JCMAR CJRMA JCRMA CJRAM JCRAM
  15. 15. Novamente, temos a permutação de “n” objetos,precisamos excluir a permutação dos objetos quenão influenciam no resultado, e ainda excluir apermutação possível entre as vagas.5.4.3.2.1 =5.4 3.2.1 5.4 = 10 2!
  16. 16. n!C n, p = ( n − p)! p! ouC n, p = n! ( n - p)!p!
  17. 17. m a s o blePr
  18. 18. UFRGS/ 95-2) Com 4 lápis de cores diferentes, quantas são as maneiras de pintar o seguinte mapa, de modo que as regiões que tem fronteira comum fiquem com cores distintas?(A) 96(B) 60(C) 48(D) 36(E) Não é possível
  19. 19. Unisinos-97/2- Luciane estuda na Unisinos, desegunda a quarta, no turno da noite. Para vir àUnisinos e dela regressar para casa, Lucianecostuma utilizar o seu próprio carro, ônibus oumesmo carona. Quando ela vai no própriocarro, é claro que ela também volta de carro.O número de opções que Luciane tem para vira Unisinos e dela voltar, nesses três dias é:a) 5b) 25c) 125d) 300e) 500
  20. 20. Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7peças. Quer usar todas as tintas. Uma cor em cadapeça. De quantos modos pode fazê-lo ? Solução do Clóvis: n ( n + )! 1 2!
  21. 21. SoluçãoVamos tentar com um universo menor, 3 tintas e 4 peças. nº de cores permutação de 2 cores restantesB B C4,2 .3 .2!B BB B Cn+1,2 .n .(n-1)! B B B B B B C7,2 .6 .5! = 15120
  22. 22. C n+1 , 2 . n.( n −1)! ( n +1)! . n.( n −1)!2 !( n +1 −2)! ( n +1)! . n.( n −1)!2 !( n −1)! n ( n +)! 1 2! .d c.q

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