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OBJETIVOS







Entender as equações da cinemática a partir das
Leis de Newton;
Associar força ao movimento;
Aplicar as equações do movimento uniforme (M.U.)
e do movimento uniformemente variado (M.U.V.);
Entender o que é lançamento vertical, horizontal e
queda livre.

Para o melhor aprendizado do
conteúdo precisamos saber:








Resolver equações de primeiro grau;
Resolver equações de segundo grau;
Traçar gráficos de equações de primeiro e
segundo graus;
Entender o que é uma função;
Definição de velocidade;
Definição de aceleração;

LEIS DE NEWTON


A 1a Lei de Newton, nos diz que um corpo permanece
em inércia, na ausência de Forças (Força resultante
nula),(FR=0).



Inércia é uma propriedade da massa, corpos em
inércia ficam em repouso ou com velocidade
constante (v = Cte) em linha reta.

1 Lei de
Newton
a

Dinâmica

Repouso(V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Movimento uniforme
O movimento uniforme (M.U.) é realizado com
velocidade constante e diferente de 0, (v=Cte ≠ 0).
Corpos em inércia realizam movimento retilíneo
uniforme (M.R.U.).

EXERCÍCIO
(Unesp 98) Uma bola desloca-se em trajetória retilínea,
com velocidade constante, sobre um plano horizontal
transparente. Com o sol a pino, a sombra da bola é
projetada verticalmente sobre um plano inclinado, como
mostra a figura a seguir.

Nessas condições, a sombra desloca-se sobre o plano inclinado
em
a) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo
igual ao da velocidade da bola.
b) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo
menor que o da velocidade da bola.
c) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo
maior que o da velocidade da bola.
d) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade
de módulo crescente.
e) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade
de módulo decrescente.

Movimento uniforme
Equação do movimento uniforme:

x(t ) = xo + v.t
Onde:
x(t) é a posição final (m)
xo é a posição inicial (m)
v é a velocidade (constante) (m/s)
t é o tempo (s)

Movimento uniforme
x(m)

x(m)

x

xo

xo

x
t

t(s)

t

O gráfico da função do M.U. é o de uma função do
primeiro grau.

t(s)

EXERCÍCIOS
x(m)
4

2
1
2

3

t(s)

No gráfico acima podemos identificar quantos
movimentos uniformes ? Quais são suas equações ?
Calcule qual a posição nos instantes t = 1 s e t = 4s.

EXERCÍCIOS
x(m)
4
B
2
A
1
2

3

t(s)

No gráfico acima podemos identificar quantos
movimentos uniformes ? Quais são suas equações ?
Calcule qual a posição nos instantes t = 1 s e t = 4s.

No movimento uniforme os gráficos são retas (funções
de primeiro grau). Como existem duas retas então
existem dois movimentos uniformes.

x(t ) = xo + v.t
Para cada reta existe uma velocidade constante, vamos
calcular.

∆x
v=
∆t

Para cada reta existe uma velocidade
constante, vamos calcular.
x(m)
4
B
2
A
1
2

3

t(s)

∆x v = 2 − 1 = 0,5m / s
4−2
vB =
= 2m / s
v=
A
2
1
∆t

Substituindo os valores de xo e vA para a reta A:

x A (t ) = 1 + 0,5.t
Substituindo os valores de xo e vB para a reta B:

xB (t ) = 2 + 2.t

Vamos usar as equações do movimento
uniforme para determinar as posições nos
instantes t = 1s e t = 4s.

x(m)
4
B
A

2
1

x A (t ) = 1 + 0,5.t

2

x A (1) = 1 + 0,5.1 = 0,5m

3

t(s)

xB (t ) = 2 + 2.t
xB ( 4) = 2 + 2.4 = 10m

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton

Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia

Movimento Retilíneo
uniforme

x(t ) = xo + v.t

LEIS DE NEWTON
 Segunda Lei de Newton ou princípio fundamental da
dinâmica:

 A resultante de um sistema de forças é diretamente
proporcional ao produto da massa pela aceleração.



FR = m.a

LEIS DE NEWTON
 Pela segunda lei de Newton, a aceleração é o
resultado de uma força resultante aplicada a um corpo
com massa. Onde há aceleração não há inércia.

FR
a=
m
FR é a força resultante em Newtons (N);
m é a massa em kg;
a é a aceleração resultante em m/s2.

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton
2aLei de
Newton
Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia
Sair da
inércia

uniforme
aceleração

FR
a=
m

x(t ) = xo + v.t

EXERCÍCIO
(UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4kg e 2kg,
respectivamente, estão presos entre si por um fio
inextensível e de massa desprezível. Deseja-se puxar o
conjunto por meio de uma força F cujo módulo é igual a
3N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Calcule o
módulo da aceleração resultante.

EXERCÍCIO
Da segunda lei de Newton:

FR = m.a
São 2 corpos unidos por um fio, portanto a massa total
será a soma das duas massas.

3 = (4 + 2).a

3
2
a = = 0,5m / s
6

MOVIMENTO UNIFORME
VARIADO
 O movimento uniforme variado (M.U.V.) é realizado
com aceleração constante diferente de zero (a=cte≠0).

MOVIMENTO UNIFORME
VARIADO
Equações do movimento uniforme variado:
Posição em função do tempo;

a.t
x(t ) = xo + vo .t +
2

2

Velocidade em função do tempo;

v(t ) = vo + a.t

MOVIMENTO UNIFORME
VARIADO
Se “vo” e “a” tem sinais opostos é movimento retardado;
(Vo > 0) e (a < 0) ou (Vo < 0) e (a > 0);
Se “vo” e “a” tem mesmos sinais é movimento acelerado;
(Vo > 0) e (a >0) ou (Vo < 0) e (a < 0);

MOVIMENTO UNIFORME
VARIADO
 A equação da posição em função do tempo é uma
função de segundo grau.
 A equação da velocidade em função do tempo é uma
função de primeiro grau.

EXERCÍCIOS
A posição S, em metros, de um móvel varia em função do
tempo t (em segundos) de acordo com a função dada por: S
(t) = 2 + 4t – t2
O valor da posição inicial, velocidade inicial, aceleração e o
tipo de M.U.V. são respectivamente:
a) 2, 4, -1 (acelerado)
b) 2, 4, -1 (retardado)
c) 2, 4, -2 (retardado)
d) 2, 4, -2 (acelerado)
e) 4, 2, -2 (acelerado)

EXERCÍCIOS
Comparando a equação geral do movimento uniforme
variado com a equação dada termo a termo temos:

a.t
x(t ) = xo + vo .t +
2

2

S (t) = 2 + 4t –1 t2

So= 2 m
vo= 4 m/s
a/2 = -1 ⇒ a = - 2 m/s
a e vo tem sinais opostos, é movimento retardado.

EXERCÍCIOS
(Unesp 95) O gráfico adiante mostra como varia a
velocidade de um móvel, em função do tempo, durante
parte de seu movimento.

EXERCÍCIOS
O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma
a) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolando
por um plano horizontal.
b) criança deslizando num escorregador de um parque infantil.
c) fruta que cai de uma árvore.
d) composição de metrô, que se aproxima de uma estação e
pára.
e) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo.

EXERCÍCIOS
(Ufrs 96) O gráfico representa a posição x de um corpo,
em movimento retilíneo, em função do tempo t. A curva
representada é uma parábola (função do segundo grau
em t), com vértice em t = 4s.

EXERCÍCIOS
A partir da análise do gráfico, pode-se afirmar que
a) de t = 0s até t = 8s o móvel se movimenta com vetor
aceleração constante.
b) de t = 0s até t = 4s os vetores velocidade e
aceleração têm o mesmo sentido.
c) em t = 4s o vetor aceleração muda de sentido.
d) de t = 4s até t = 8s o módulo do vetor velocidade
diminui.
e) em t = 4s o módulo do vetor aceleração é nulo.

EXERCÍCIOS
(UFRS 96) O gráfico representa a posição x de um
corpo, em movimento retilíneo, em função do tempo t. A
curva representada é uma parábola (função do segundo
grau em t), com vértice em t = 4s.

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton
2aLei de
Newton
Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia
Sair da
inércia

uniforme
aceleração

FR
a=
m

2aLei de
Newton M.U. variado aceleração Cte
acelerado
Força Peso

M.U. variado
retardado

x(t ) = xo + v.t

a.t 2
x(t ) = xo + vo .t +
2

v(t ) = vo + a.t

MOVIMENTO UNIFORME
VARIADO
Equação de Torricelli
É uma equação útil quando não sabemos o valor da
grandeza tempo, é uma equação da velocidade em
função do deslocamento. É obtida direto das
equações do M.U.V.

v ( x) = v o + 2a.x
2

Onde x é o deslocamento

2

EXERCÍCIOS
(UNIFESP 2003) Uma ambulância desloca-se a 108
km/h num trecho plano de uma rodovia quando um
carro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância,
entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo sua
velocidade constante. A mínima aceleração, em m/s 2,
que a ambulância deve imprimir para não se chocar
com o carro é, em módulo, pouco maior que:
a) 0,5.

b) 1,0.

c) 2,5.

d) 4,5.

e) 6,0.

EXERCÍCIOS
(UNIFESP 2003) Uma ambulância desloca-se a 108
km/h num trecho plano de uma rodovia quando um
carro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância,
entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo sua
velocidade constante. A mínima aceleração, em m/s2,
que a ambulância deve imprimir para não se chocar
com o carro é, em módulo, pouco maior que:
a) 0,5.

b) 1,0.

c) 2,5.

d) 4,5.

e) 6,0.

EXERCÍCIOS
A ambulância tem que imprimir uma aceleração
negativa ao movimento (velocidade inicial), ou uma
desaceleração, o movimento é retardado.
a=?

vo = 30 m/s
x = 100 m

a=?

v = 20 m/s

EXERCÍCIOS
Convertendo as velocidades em m/s e aplicando direto
a equação de Torricelli:
v = 108 km/h : 3,6 = 30 m/s
vo=72 km/h : 3,6 = 20 m/s

v ( x) = v o + 2a.x
2

2

30 = 20 + 2a.100
2

2

a ≅ −1,6m / s

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton
2aLei de
Newton
Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia
Sair da
inércia

x(t ) = xo + v.t

uniforme
aceleração

FR
a=
m

2aLei de
acelerado
Força Peso M.U. variado
retardado

a.t 2
x(t ) = xo + vo .t +
2

v(t ) = vo + a.t
v ( x) = v o + 2a.x
2

2

QUEDA LIVRE
A queda livre é um movimento uniforme variado
acelerado, ou seja, a força peso, acelera os corpos na
direção radial da terra e em sentido ao seu centro.
xo= 0
2

P = m.g
H

x

P = m.g

QUEDA LIVRE

g .t
H (t ) = vo .t +
2

xo= 0

P = m.g
H

v ( H ) = v o + 2 g .H
2

2

v(t ) = vo + g .t
x

P = m.g

2

EXERCÍCIOS
Um objeto é abandonado do alto de um morro, e
depois de 4 s atinge o solo. Responda:

a) Qual foi a velocidade imediatamente antes do objeto
tocar o solo?
b) A que altura que o objeto foi abandonado?
c) Quais as equações horárias da posição e da
velocidade do objeto?

EXERCÍCIOS
Um objeto é abandonado do alto de um morro, e
depois de 4 s atinge o solo. Adote g = 10m/s2.
Responda:

a) Qual foi a velocidade imediatamente antes do
objeto tocar o solo?
b) A que altura que o objeto foi abandonado?
c) Quais as equações horárias da posição e da
velocidade do objeto?

EXERCÍCIOS
Objeto abandonado vo = 0 m/s. Tempo de queda, t = 4 s
a)

b)

c)

v = 40m / s

v( 4) = 0 +10.4

10.4
H ( 4 ) = 0 .4 +
2

v(t ) = 10.t

2

H = 80m
H (t ) = 5.t

2

EXERCÍCIOS
(UFPE 96) Um pára-quedista, descendo na vertical,
deixou cair sua lanterna quando estava a 90 m do solo.
A lanterna levou 3 segundos para atingir o solo. Qual
era a velocidade do pára-quedista, em m/s, quando a
lanterna foi solta? Adote g=10m/s2.

EXERCÍCIOS
(UFPE 96) Um pára-quedista, descendo na vertical,
deixou cair sua lanterna quando estava a 90 m do solo.
A lanterna levou 3 segundos para atingir o solo. Qual
era a velocidade do pára-quedista, em m/s, quando a
lanterna foi solta? Adote g=10m/s2.
xo= 0

vo=?
P = m.10

H=90m

x

P = m.10

EXERCÍCIOS
Vamos aplicar a equação horária em função da altura.

g .t
H (t ) = vo .t +
2
10.16
90 = vo .4 +
2
vo = 2,5m / s

2

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton
2aLei de
Newton
Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia
Sair da
inércia

Uniforme
aceleração

FR
P
a=
g=
m
m

2aLei de
acelerado
retardado
Força Peso Queda livre

x(t ) = xo + v.t

a.t 2
x(t ) = xo + vo .t +
2

v(t ) = vo + a.t
v 2 ( x) = v 2 o + 2a.x

M.U. variado acelerado

LANÇAMENTO
HORIZONTAL
O lançamento horizontal é a composição da queda livre
com o movimento uniforme na direção horizontal.
vX

vX
P=m.g

vX

vX
P=m.g

vY

LANÇAMENTO
HORIZONTAL
QUEDA LIVRE

MOVIMENTO UNIFORME

DIREÇÃO VERTICAL

DIREÇÃO HORIZONTAL

g .t
H (t ) = vo .t +
2

2

v ( H ) = v o + 2 g .H
2

2

v(t ) = vo + g .t

x(t ) = xo + v.t

EXERCÍCIOS
(CESGRANRIO 97) Na superfície horizontal do patamar
superior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rola
de um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a
partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada
degrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm.

EXERCÍCIOS
Considerando-se desprezível a resistência do ar e g =
10 m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao
passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro
degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:
a) 0,6
b) 0,8
c) 1,0
d) 1,2
e) 1,5

EXERCÍCIOS
Vamos aplicar a equação horária da posição para a
queda livre, e descobrir o tempo de queda da esfera.

g .t
H (t ) = vo .t +
2

2

10.t
0,2 = 0.t +
2

2

t = 0,2 s

EXERCÍCIOS
Vamos aplicar a equação horária da posição para o
movimento uniforme, e descobrir a velocidade da
esfera.

x(t ) = xo + v.t
0,3 = 0 + v.0,2
v = 1,5m / s

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton
2aLei de
Newton
Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia
Sair da
inércia

aceleração

FR
P
a=
g=
m
m

2aLei de
acelerado
retardado
Força Peso

x(t ) = xo + v.t

Uniforme

a.t 2
x(t ) = xo + vo .t +
2

v(t ) = vo + a.t
v ( x) = v o + 2a.x
2

2

Queda livre M.U. variado acelerado
Força Peso Queda livre Lançamento Horizontal
Lançamento
1aLei de Newton Inércia Movimento uniforme
Horizontal

LANÇAMENTO VERTICAL
O lançamento vertical é um movimento uniforme variado
retardado, ou seja, a velocidade inicial se dá no sentido
contrário ao da força peso, por isso tem sinais opostos.
x

P = m.g
H
vo
xo= 0

P = m.g

Na altura máxima a velocidade é nula, e o tempo de
subida é igual ao tempo de descida.
x

V=0

P = m.g
H
vo
xo= 0

P = m.g

Equações para o lançamento vertical

g .t
x(t ) = vo .t −
2

2

v ( x ) = v o − 2 g .x
2

2

v(t ) = vo − g .t

EXERCÍCIOS
(Mackenzie 96) Um helicóptero, cuja altura da cabine é 1,5m,
sobe verticalmente com velocidade constante. Num dado
instante, solta-se, do alto da cabine, um parafuso que leva 0,5
segundos para atingir o piso do helicóptero. A velocidade do
helicóptero em relação à Terra é igual a: (Dado g = 10 m/s2)
a) 5,5 m/s
b) 5 m/s
c) 4,5 m/s
d) 4 m/s
e) 3,5 m/s

EXERCÍCIOS
(MACKENZIE 96) Um helicóptero, cuja altura da cabine é 1,5m,
sobe verticalmente com velocidade constante. Num dado
instante, solta-se, do alto da cabine, um parafuso que leva 0,5
segundos para atingir o piso do helicóptero. A velocidade do
helicóptero em relação à Terra é igual a: (Dado g = 10 m/s2)
a) 5,5 m/s
b) 5 m/s
c) 4,5 m/s
d) 4 m/s
e) 3,5 m/s

EXERCÍCIOS
Vamos aplicar direto a equação horária da posição do
lançamento vertical, pois, o helicóptero sobe com
velocidade constante, ou seja, a força resultante no
helicóptero é nula. Porém a força peso atua no parafuso
quando ele é solto.
2

g .t
x(t ) = vo .t −
2

2

10.0,5
1,5 = vo .0,5 −
2
2,75
vo =
vo = 5,5m / s
0,5

1 Lei de
Newton
a

1aLei de
Newton
2aLei de
Newton
Dinâmica

Repouso (V=0)

FR=0

Velocidade Cte

FR=0

Inércia

Inércia
Sair da
inércia

aceleração

FR
P
a=
g=
m
m

2aLei de
acelerado
retardado
Força Peso

x(t ) = xo + v.t

Uniforme

a.t 2
x(t ) = xo + vo .t +
2

v(t ) = vo + a.t
v ( x) = v o + 2a.x
2

2

Queda livre M.U. variado acelerado
Força Peso Queda livre Lançamento Horizontal
Lançamento
1aLei de Newton Inércia Movimento uniforme
Horizontal
Força Peso Lançamento Vertical M.U.variado retardado

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