1) O documento discute probabilidades de eventos, incluindo a probabilidade de não ocorrência de um evento, probabilidade de união e interseção de eventos, e o princípio da multiplicação para calcular probabilidades. 2) É introduzido o conceito de amostragem aleatória simples, discutindo amostras com e sem reposição.

1. Estatística Aplicada a
Segurança do Trabalho
Profa.: Enga. Denise Costa
5ª AULA
1

2. Probabilidade de Não-
Ocorrência de um Evento
2

3. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
 Estamos agora em condições de
estabelecer um importante resultado que
felizmente é obvio.
 Muitas vezes interessa-nos saber a
probabilidade de não-ocorrência de um
evento.
3

4. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
 Por exemplo, se no jogo de dois dados
estamos interessados em não obter 7, é
claro que se há uma chance de 1/6 de
obter 7, então há 5/6 de chance de não
obter 7.
4

5. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
 Pode-se demonstrar isso. Seja A o evento
que consiste em não obter 7.
 Então A contém 30 resultados:
5

6. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
 Portanto,N(A) = 30 e Pr(A) = 30/36 = 5/6.
 De modo geral, se p é a probabilidade de
ocorrência de um evento A, então 1 – p é
a probabilidade de não-ocorrência
daquele evento.
 Daremos um nome especial ao conjunto
que contém todos os resultados que não
estão em A.
6

7. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
É ele o complemento de A; escreve-se cA (o c
minúsculo representa complemento – lê-se
“complemento de A” ou “complementar de A”):
 Pr(cA) = 1 – Pr(A)
 Este resultado é importante para os cálculos,
pois às vezes é mais fácil calcular a
probabilidade de não-ocorrência de um evento
do que a probabilidade de sua ocorrência.
7

8. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
 Por exemplo:
 Se o experimento consiste na jogada de
uma moeda, e A é o evento aparecer
cara, então A é o evento aparecer coroa.
8

9. Probabilidade e União
 Suponhamos agora que nos interesse o
total 5 ou 7 na jogada de dois dados.
 Não raro precisamos saber a
probabilidade de ocorrência de um ou
outro ou ambos os eventos – daqui para
frente a conjunção ou será usada no
sentido de pelo menos um.
9

10. Probabilidade e União
 Chamemos A o evento obter 7.
 Então A contemos resultados: {(1.6) (2.5)
(3.4) (4.3) (5.2) (6.1)}
 Se B é o evento obter 5, então B
contemos resultados: {(1.4), (2.3), (3.2),
(4.1)}
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11. Probabilidade e União
 Seja C o evento obter 5 ou 7.
 Então C contém os resultados seguintes:
{(1.6), (2.5), (3.4), (4.3) (5.2) (6.1), (1.4),
(2.3) , (3.2) , (4.1)}
 C contém 10 resultados e, assim,Pr(c)=
10/36.
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12. Probabilidade e União
 Há um nome especial para o conjunto que
contém todos os elementos de um ou
outro de dois conjuntos.
 É chamado a união dos dois conjuntos.
 Em matemática a palavra união é
representada por um símbolo que se
assemelha a um u: U.
12

13. Probabilidade e União
 Podemos pois dizer que C é a união de
dois conjuntos A e B escrevendo:
13

14. Probabilidade e União
 Se A é conjunto dos números pares e B é
o conjunto dos números ímpares, então A
é o conjunto das vogais de todos os
números inteiros.
 Se V é o conjunto das vogais e I é o
conjunto das consoantes, então V U C é o
conjunto de todas as letras (o alfabeto).
14

15. Probabilidade e União
 Há outro fato interessante que o exemplo
dos dados nos ensina.
 Dissemos que a probabilidade de obter 7
= Pr(A) = 3/36, a probabilidade de obter 5
= Pr(B) = 4/36 e a probabilidade de obter
5 ou 7 = Pr (A ou B) = Pr(A U B) = 10/36.
15

16. Probabilidade e União
 Parece que basta somar as
probabilidades dos dois eventos para
obter a probabilidade de ocorrência de
pelo menos um deles, pois 10/36 = 6/36 +
4/36.
 Essa regra, extremamente simples, em
geral funciona:
 Pr(A ou B) = Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B).
16

17. Probabilidade e União
 Mas esse resultado só é válido quando não há
possibilidade de os eventos A e B ocorrerem
simultaneamente.
 Eis um exemplo de raciocínio incorreto:
joguemos uma moeda duas vezes.
 Como a probabilidade de aparecer cara na
primeira jogada é 1/2 e a probabilidade de
aparecer cara na segunda jogada é também é
1/2, a probabilidade de aparecer cara na
primeira ou na segunda jogada é 1/2 + 1/2 = 1.
17

18. Probabilidade e União
É obvio que tal não é o caso. No exemplo
dos dados podíamos aplicar aquela
fórmula simples porque não é possível
obter 5 e 7 em uma única jogada de um
par de dados.
 Dois eventos que nunca podem ocorrer
simultaneamente dizem-se disjuntos ou
mutuamente excludentes.
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19. Probabilidade de uma Interseção
 Consideremos agora o caso de dois
eventos que podem ocorrer
simultaneamente.
 Suponhamos a extração de uma carta de
um baralho; queremos saber a
probabilidade de obter uma figura
vermelha – isto é, um valete vermelho,
uma dama vermelha ou um rei vermelho.
19

20. Probabilidade de uma Interseção
 SejaF o evento extrair uma figura. Então
F contém esses resultados:
20

21. Probabilidade de uma Interseção
 Como N(F) = 12, a probabilidade de obter
uma figura é de 12/52.
 Seja Go evento extrair uma carta
vermelha; G contém os resultados:
 |AC, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C,
10C, VC, DC, RC, AO, 2O, 3O, 4O, 5O,
6O, 7O, 8O, 9º, 10O, VO, DO, RO|
21

22. Probabilidade de uma Interseção
G contém 26 resultados e, assim, Pr(G) =
26/52 =½.
 Seja C o evento que corresponde à
ocorrência de F e G – ou seja, C é a
extração de uma carta que é
simultaneamente uma figura e vermelha.
22

23. Probabilidade de uma Interseção
 Então C contém os resultados:
 |VO, VC, DO, DC, RO, RC|
 Portanto, Pr(C) = N(C)/S= 6/52.
23

24. Probabilidade de uma Interseção
 Háum nome especial para o conjunto que
contém todos os elementos que estão
simultaneamente em dois outros, A e B.
 Em nosso caso C é a interseção de F e
G, porque contém os resultados que
estão simultaneamente em F e em G.
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25. Probabilidade de uma Interseção
O símbolo para a interseção se assemelha a um
u invertido: ∩.
 Podemos então escrever:
 C = conjunto que contém os elementos F e em
G
 C = F interseção G ou
C=F∩G
25

26. Princípio da Multiplicação
 Quando temos um conjunto (A) de
resultados igualmente prováveis (ou
equiprováveis), a probabilidade de um
deles, ocorrer é dada por:
26

27. Princípio da Multiplicação
 Onde:
NA - É o número de resultados em A e,
S - É o número total de resultados
possíveis.
 Assim, desde que possamos determinar
esses dois números – N(A) e S –
resolvemos o problema.
 Podemos então calcular diretamente a
probabilidade. 27

28. Princípio da Multiplicação
A parte importante do cálculo de
probabilidade é a contagem dos resultados
correspondentes a um dado evento.
 Se não forem muitos, poderemos relacioná-
los um a um; mas, em situações mais
complicadas, o número de resultados logo se
torna demasiadamente grande para permitir
uma listagem.
28

29. Princípio da Multiplicação
 Suponha que queiramos adquirir um carro.
Escolhemos o modelo: perua. Agora vamos
escolher:
Cor: vermelho, azul, verde ou branco,
Número de portas: 4 portas, 2 portas.
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30. Princípio da Multiplicação
CARRO: PERUA
COR NÚMERO DE PORTA
Verde 4 2
Branco 4 2
Vermelho 4 2
Azul 4 2
Vamos ter como resultado N(A) = 4x2 = 8
Resultados possíveis
30

31. Princípio da Multiplicação
 Dando uma formulação geral para esse
principio, consideremos dois
experimentos.
O primeiro comporta qualquer um dentre
n resultados, e o segundo admite
qualquer um dentre m resultados
possíveis.
31

32. Princípio da Multiplicação
 Suponhamos ainda que possa ocorrer
qualquer combinação dos dois resultados.
 Então,o número total de resultados dos
dois experimentos é: n x m
32

33. Princípio da Multiplicação
 Esse resultado óbvio, costuma se chamar
princípio da multiplicação.
 Porexemplo, jogando duas moedas, cada
uma pode apresentar dois resultados, logo,
o número total de resultados é 2 x 2 = 4.
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34. Amostragem
 Existem vários procedimentos de amostragem
probabilística ou aleatória de uma população.
 Sendo a amostragem aleatória simples o
procedimento mais fácil de ser aplicado, pois
todos os elementos da população possuem a
mesma probabilidade de pertencer à amostra.
 Amostragem aleatória simples : Esse
procedimento de possui dois critérios, Com
reposição, e sem reposição.
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35. Amostragem
 Se a população for infinita qualquer
procedimento, não afetará o resultado.
 Se, no entanto, a população for finita,
teremos que diferenciar os
procedimentos, pois, a cada retirada
afetará o resultado.
35

36. Amostragem Sem reposição
A amostragem sem reposição é mais eficiente,
pois, reduz a variabilidade. Cada elemento só
pode ser tirado uma vez uma vez.
 Considerando que N = população e n =
amostra, então o número de amostras possíveis
de acordo com os dois critérios citados acima
será:
 Com reposição: Número de amostras = Nn
 Sem reposição:
Número de amostras =
36

37. Sem reposição
 Exemplo: Considere a população P = {1, 3, 5, 6}.
Em seguida, observe os cálculos do número de
amostras através dos procedimentos de
amostragem com e sem reposição, para
tamanhos de amostras de 1 e 3.
Tamanho de amostra (n) = 2
Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras
possíveis será:
4!/ (2!(4-2)! = 24/4 = 6 resultados
As amostras serão: (1,3) (1,5) (1,6) (3,1) (3,5) (3,6).
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38. Sem reposição
Tamanho de amostra (n) = 3
Como N = 4 e n = 3, então o número de amostras
possíveis será:
As amostras serão: (1,3,5) (1,3,6) (1,5,6) (3,5,6).
Observe que os grupos de amostras não se
repetem, ou seja, a ordem dos elementos dentro
do grupo não é relevante no método de
amostragem simples sem reposição.

39. Com reposição
Tamanho de amostra (n) = 2
Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras
possíveis será: Nn = 42 = 16
As amostras serão: (1,1) (1,3) (1,5) (1,6) (3,1)
(3,3) (3,5) (3,6) (5,1) (5,3) (5,5) (5,6) (6,1) (6,3)
(6,5) (6,6).
Observe, por exemplo, que as amostras (1,3) e
(3,1) são consideradas diferentes, porque a
ordem dos elementos dentro das amostras é
relevante no método de amostragem simples
com reposição. 39

40. Com reposição
Tamanho de amostra (n) = 3
Como N = 4 e n = 3, então o número de amostras
possíveis será:
Nn = 43 = 64
As amostras serão: (1,1,1) (1,1,3) (1,1,5) (1,1,6) (1,3,1)
(1,3,3) (1,3,5) (1,3,6) (1,5,1) (1,5,3) (1,5,5) (1,5,6) (1,6,1) (1,6,3)
(1,6,5) (1,6,6) (3,1,1) (3,1,3) (3,1,5) (3,1,6) (3,3,1) (3,3,3) (3,3,5)
(3,3,6) (3,5,1) (3,5,3) (3,5,5) (3,5,6) (3,6,1) (3,6,3) (3,6,5) (3,6,6)
(5,1,1) (5,1,3) (5,1,5) (5,1,6) (5,3,1) (5,3,3) (5,3,5) (5,3,6) (5,5,1)
(5,5,3) (5,5,5) (5,5,6) (5,6,1) (5,6,3) (5,6,5) (5,6,6) (6,1,1) (6,1,3)
(6,1,5) (6,1,6) (6,3,1) (6,3,3) (6,3,5) (6,3,6) (6,5,1) (6,5,3) (6,5,5)
(6,5,6) (6,6,1) (6,6,3) (6,6,5) (6,6,6).
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41. Amostragem com reposição
A amostragem significa a escolha de
alguns elementos de um conjunto maior
chamado população.
 De modo geral, se escolhermos n objetos,
com reposição, de uma população de m
objetos, então temos m maneiras de
selecionar os objetos.
41

42. Amostragem com reposição
A idéia fundamental da amostragem com
reposição é que, escolhido um elemento,
nada impede que esse elemento volte a
ser escolhido.
 A jogada de uma moeda é um exemplo de
amostragem com reposição.
 A população tem tamanho 2: caras (K) e
coroas (C).
42

43. Amostragem com reposição
O fato de obtermos cara não impede que
obtenhamos cara novamente na próxima
jogada.
 Portanto, jogando-se uma moeda n vezes,
temos 2 resultados possíveis.
43

44. Probabilidade Condicional
 Suponha-se, por exemplo, que queiramos
saber a probabilidade de obter o total de 8
na jogada de dois dados (62 =36).
=36)
 É claro que essa probabilidade é 5/36.
(2,6), (3,5);(4,4); (5,3),(6,2)
 Entretanto, jogando um dos dados
primeiro, teremos uma idéia melhor da
possibilidade de obter 8.
44

45. Probabilidade Condicional
 Se, por exemplo, obtemos um 5 como
primeiro dado, precisamos de um 3 no
segundo, e a probabilidade desse
resultado é de 1/6.
 Portanto se o primeiro dado acusou 5,
nossa chance de obter o total 8 melhorou
de 5/36 para 1/6.
45

46. Probabilidade Condicional
 Por outro lado, suponhamos que o
primeiro dado tenha apresentado a face 1.
 Então não há como obtermos o total de 8,
qualquer que seja o resultado do segundo
dado.
46

47. Probabilidade Condicional
 Por conseguinte, a probabilidade de
obtermos a soma 8, quando temos 1
como resultado do primeiro dado, é zero.
47

48. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
A situação acima é exemplo de
probabilidades condicional.
 Probabilidade condicional: É a probabilidade
de ocorrência de um evento em
consequência de outro que já ocorreu.
A probabilidade condicional de ocorrência de A,
dado que B ocorreu, se escreve: Pr(A|B) (A
barra vertical significa dado que)
48

49. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
 Devemos agora determinar como calcular
probabilidades condicionais.
 Em circunstâncias usuais, a probabilidade de
ocorrência de A é N(A)/S, em que S é o número
total de resultados e N(A) é o número de
eventos em A.
 Mas sabemos que nem todos esses resultados
são possíveis se B ocorreu, apenas os
resultados em B devem ser considerados.
49

50. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
 Portanto, o número de possibilidades é N(B).
 A questão seguinte é quantas dessas
possibilidades restantes incluem o evento A?
 De modo global, há N(A) maneiras de A
ocorrer, mas agora nem todas essas
maneiras são possíveis.
50

51. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
 Portanto, o número de resultados
possíveis em que o evento A pode acorrer
é igual ao numero de resultados que
estão tanto em A como em B.
 Ora já demos um nome a esse evento: A
eB=A∩B
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52. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
O evento em que ambos, A e B, ocorrem
é chamado A interseção B.
 Portanto, a probabilidade de o evento A
ocorrer, dado que B ocorreu é:
52

53. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
 Podemos reescrever essa fórmula
dividindo ambos os membros por s:
53

54. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
A probabilidade de A ocorrer, sendo que
B ocorreu, é igual à probabilidade de
ocorrências simultâneas de A e B dividida
pela probabilidade de ocorrência de B.
54

55. Eventos independentes
O conhecimento da ocorrência de um
evento auxilia na avaliação da viabilidade
de outro evento.
 Há, entretanto, alguns casos em que o
conhecimento da ocorrência de um
evento nada diz sobre a possibilidade da
ocorrência de outro.
55

56. Eventos independentes
 Suponhamos, por exemplo, que você
saiba que uma família acaba de ter uma
filha.
 Qual é a probabilidade de o próximo
rebento de mesma família ser também
menina?
 Nesse caso o conhecimento a respeito do
ultimo filho nada nos diz quanto ao
próximo.
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57. Eventos independentes
 Suponhamos que apareça um 3 na
jogada de um dado.
 Qual a probabilidade de aparecer um 5 na
próxima jogada?
 O fato de sabermos que apareceu um 3
na primeira jogada nada nos diz a
respeito do resultado da próxima jogada.
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58. Eventos independentes
 Nesse caso, chamado A o evento 3 na
primeira jogada e B o evento 5 na
segunda jogada.
 Pr(A) = 1/6 e Pr(|B) = 1/6, pois o fato de B
ter ocorrido não afeta a probabilidade de
ocorrência de A.
58

59. Eventos independentes
 Daremos um nome especial a essa
situação, diremos que esses dois eventos
são eventos independentes.
 O fato de sabermos que um dos eventos
ocorreu nada nos diz sobre se o outro
ocorrerá ou não.
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60. Exercício 5
1. Fale sobre a amostragem com reposição
e sem reposição
2. Disserte sobre a probabilidade
condicional.
3. Uma família teve um bebê do sexo
masculino. Qual a probabilidade do
próximo bebê também ser um menino?
Explique.
4. Explique eventos independentes.
5. Fale sobre a união de dois conjuntos.
60

61. 6. O que são “elementos disjuntos”? Explique.
7. Quando um empregado é um elemento de
interseção ou disjunto?
8. O que seria óbvio a morte de um trabalhador
que estava sem EPI ou a sua sobrevivência
por estar usando EPI? Explique.
9. Qual a probabilidade de acontecer um
acidente num canteiro de obras? Explique.
10. Em sua opinião a probabilidade de acontecer
um acidente num escritório é a mesma da
construção civil? Sim ou não. Por quê?
61