1) O documento discute probabilidades de eventos, incluindo a probabilidade de não ocorrência de um evento, probabilidade de união e interseção de eventos, e o princípio da multiplicação para calcular probabilidades.
2) É introduzido o conceito de amostragem aleatória simples, discutindo amostras com e sem reposição.
P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
06 eac proj vest mat módulo 1 noções de probabilidadecon_seguir
1) O documento apresenta noções básicas de probabilidade, incluindo definições de experimento determinístico, experimento aleatório, espaço amostral, evento, probabilidade e exemplos de cálculo de probabilidade.
2) São apresentados exercícios resolvidos de cálculo de probabilidade envolvendo extração de bolas de urnas e lançamento de dados.
3) Por fim, são propostos exercícios adicionais para praticar os conceitos apresentados.
O documento discute probabilidade e fornece exemplos ilustrativos sobre: definições básicas de experimentos aleatórios, espaço amostral e evento; cálculo de probabilidade teórica de um evento e exemplos; probabilidade de evento complementar; probabilidade da união de dois eventos; e probabilidade binomial.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade. Em três frases:
(1) Probabilidade é um modelo matemático para caracterizar regularidades em fenômenos aleatórios, que podem ser repetidos em idênticas condições, mas com resultados incertos; (2) Eventos são subconjuntos do espaço amostral de resultados possíveis, e sua probabilidade é dada pela razão entre casos favoráveis e possíveis; (3) A probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1, e a soma das probabilidades de um evento e seu complementar é
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
O documento apresenta a resolução de 5 questões sobre probabilidade. Resume-se que o documento explica conceitos de probabilidade condicional, probabilidade de eventos independentes e utiliza árvores de probabilidade para calcular a probabilidade de diferentes eventos.
O documento fornece uma introdução sobre probabilidade e estatística básica, definindo conceitos-chave como: experimento aleatório, espaço amostral, evento, tipos de eventos (certo, impossível, complementar, união, intersecção), propriedades das operações com eventos e partição de espaço amostral.
Os três primeiros itens do documento resumem três problemas de probabilidade sobre: 1) a probabilidade de se sortear um número múltiplo de 8 de uma urna com 50 números; 2) a probabilidade de se obter um número par ao lançar um dado e obter um número maior que 3; e 3) a probabilidade de se escolher uma pessoa que é sócia de um ou outro clube em uma comunidade.
P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
06 eac proj vest mat módulo 1 noções de probabilidadecon_seguir
1) O documento apresenta noções básicas de probabilidade, incluindo definições de experimento determinístico, experimento aleatório, espaço amostral, evento, probabilidade e exemplos de cálculo de probabilidade.
2) São apresentados exercícios resolvidos de cálculo de probabilidade envolvendo extração de bolas de urnas e lançamento de dados.
3) Por fim, são propostos exercícios adicionais para praticar os conceitos apresentados.
O documento discute probabilidade e fornece exemplos ilustrativos sobre: definições básicas de experimentos aleatórios, espaço amostral e evento; cálculo de probabilidade teórica de um evento e exemplos; probabilidade de evento complementar; probabilidade da união de dois eventos; e probabilidade binomial.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade. Em três frases:
(1) Probabilidade é um modelo matemático para caracterizar regularidades em fenômenos aleatórios, que podem ser repetidos em idênticas condições, mas com resultados incertos; (2) Eventos são subconjuntos do espaço amostral de resultados possíveis, e sua probabilidade é dada pela razão entre casos favoráveis e possíveis; (3) A probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1, e a soma das probabilidades de um evento e seu complementar é
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
O documento apresenta a resolução de 5 questões sobre probabilidade. Resume-se que o documento explica conceitos de probabilidade condicional, probabilidade de eventos independentes e utiliza árvores de probabilidade para calcular a probabilidade de diferentes eventos.
O documento fornece uma introdução sobre probabilidade e estatística básica, definindo conceitos-chave como: experimento aleatório, espaço amostral, evento, tipos de eventos (certo, impossível, complementar, união, intersecção), propriedades das operações com eventos e partição de espaço amostral.
Os três primeiros itens do documento resumem três problemas de probabilidade sobre: 1) a probabilidade de se sortear um número múltiplo de 8 de uma urna com 50 números; 2) a probabilidade de se obter um número par ao lançar um dado e obter um número maior que 3; e 3) a probabilidade de se escolher uma pessoa que é sócia de um ou outro clube em uma comunidade.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta resoluções comentadas de problemas de probabilidade, incluindo cálculos para lançamento de dados, urnas com bolas de diferentes cores e assinantes de jornais.
2) São explicados conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidades condicionais e probabilidades compostas para problemas que envolvem mais de uma etapa.
3) São também apresentados exercícios resolvidos de vestibulares com diferentes situações probabilísticas como baralhos de cartas
Marcos e Paula fizeram uma aposta sobre qual número seria sorteado em uma rifa de 25 números. Marcos escolheu 18 e Paula escolheu outro número para ter mais chances de ganhar, já que faria seu palpite depois de Marcos.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, incluindo definição de probabilidade de Laplace, probabilidade condicional e independência de eventos.
2) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a definição de Laplace e como a informação adicional pode alterar as probabilidades condicionais.
3) O conceito de independência é explicado e distinguido de eventos disjuntos através de um exemplo sobre máquinas em uma fábrica.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
1) O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, definição de probabilidade e exemplos de cálculos.
2) É introduzido o conceito de experimento aleatório e probabilidade como uma medida da possibilidade de ocorrência de um evento.
3) São apresentados diversos exemplos para calcular a probabilidade de eventos em espaços amostrais como lançamento de moedas e dados.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Este documento fornece instruções para candidatos realizarem provas para cursos de progressão linear em duas fases. Os candidatos receberão um caderno de questões e uma folha de respostas. Devem responder às questões objetivas marcando as respostas corretas na folha, preenchendo os espaços com caneta preta ou azul-escura.
Este simulado contém 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como probabilidade, geometria, álgebra e funções. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e figuras geométricas.
O documento discute a importância da educação para o desenvolvimento econômico e social de um país. A educação é essencial para capacitar as pessoas a participarem plenamente da sociedade e da economia moderna, além de promover valores democráticos. Investimentos em educação podem gerar altos retornos sociais e econômicos a longo prazo.
1) O documento contém 40 questões de matemática sobre equações de segundo grau. As questões abordam tópicos como conjuntos de números, raízes de equações, sistemas de equações e desigualdades.
A probabilidade calcula as chances de um evento ocorrer. A teoria é breve e os exemplos são essenciais para entendimento. A fórmula básica é P(a) = n(a)/n(e), onde P(a) é a probabilidade do evento a ocorrer, n(a) os casos favoráveis e n(e) o total de possibilidades.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento discute probabilidade e espaço amostral. Explica que o espaço amostral são os resultados possíveis de um experimento aleatório e dá exemplos como lançar uma moeda ou um dado. Define eventos como subconjuntos do espaço amostral e calcula a probabilidade de eventos usando a fórmula P(A)=n(A)/n(U), onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(U) é o número total de elementos do espaço amostral.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, eventos complementares, eventos independentes, eventos mutuamente exclusivos e probabilidade condicional. Fornece exemplos de cada conceito e exercícios para aplicá-los.
1) O documento discute experimentos aleatórios, espaço amostral e cálculo de probabilidade usando exemplos de jogos de tabuleiro com dados.
2) Um espaço amostral representa todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, como os números de 1 a 6 para um dado regular.
3) A probabilidade é a chance de um evento ocorrer, como tirar um número par em um dado, e é calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo total de resultados possíveis.
O documento discute probabilidades, definindo conceitos como experimento, evento, evento simples e espaço amostral. Explica que probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. Apresenta exemplos de cálculo de probabilidades usando esses conceitos.
Este documento fornece uma introdução à teoria elementar de probabilidades. Discute conceitos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, operações com eventos e axiomas da probabilidade. Explica como calcular a probabilidade de eventos simples em experimentos aleatórios como lançar dados e retirar cartas de um baralho.
1) O documento discute probabilidades de eventos simples e simultâneos, como a probabilidade de retirar uma bola verde de uma sacola ou três moedas caírem com a mesma face.
2) É apresentada a fórmula para calcular a probabilidade de eventos simultâneos e independentes ocorrerem.
3) Exemplos resolvem problemas de probabilidade de eventos consecutivos, como a probabilidade de uma mulher engravidar no quarto mês de tentativas.
Esta apostila introduz conceitos básicos de probabilidade, como experimento aleatório, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, união e interseção de eventos, eventos complementares e probabilidade condicional. Apresenta fórmulas para cálculo de probabilidades e exemplos ilustrativos.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta resoluções comentadas de problemas de probabilidade, incluindo cálculos para lançamento de dados, urnas com bolas de diferentes cores e assinantes de jornais.
2) São explicados conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidades condicionais e probabilidades compostas para problemas que envolvem mais de uma etapa.
3) São também apresentados exercícios resolvidos de vestibulares com diferentes situações probabilísticas como baralhos de cartas
Marcos e Paula fizeram uma aposta sobre qual número seria sorteado em uma rifa de 25 números. Marcos escolheu 18 e Paula escolheu outro número para ter mais chances de ganhar, já que faria seu palpite depois de Marcos.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, incluindo definição de probabilidade de Laplace, probabilidade condicional e independência de eventos.
2) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a definição de Laplace e como a informação adicional pode alterar as probabilidades condicionais.
3) O conceito de independência é explicado e distinguido de eventos disjuntos através de um exemplo sobre máquinas em uma fábrica.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
1) O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, definição de probabilidade e exemplos de cálculos.
2) É introduzido o conceito de experimento aleatório e probabilidade como uma medida da possibilidade de ocorrência de um evento.
3) São apresentados diversos exemplos para calcular a probabilidade de eventos em espaços amostrais como lançamento de moedas e dados.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Este documento fornece instruções para candidatos realizarem provas para cursos de progressão linear em duas fases. Os candidatos receberão um caderno de questões e uma folha de respostas. Devem responder às questões objetivas marcando as respostas corretas na folha, preenchendo os espaços com caneta preta ou azul-escura.
Este simulado contém 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como probabilidade, geometria, álgebra e funções. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e figuras geométricas.
O documento discute a importância da educação para o desenvolvimento econômico e social de um país. A educação é essencial para capacitar as pessoas a participarem plenamente da sociedade e da economia moderna, além de promover valores democráticos. Investimentos em educação podem gerar altos retornos sociais e econômicos a longo prazo.
1) O documento contém 40 questões de matemática sobre equações de segundo grau. As questões abordam tópicos como conjuntos de números, raízes de equações, sistemas de equações e desigualdades.
A probabilidade calcula as chances de um evento ocorrer. A teoria é breve e os exemplos são essenciais para entendimento. A fórmula básica é P(a) = n(a)/n(e), onde P(a) é a probabilidade do evento a ocorrer, n(a) os casos favoráveis e n(e) o total de possibilidades.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento discute probabilidade e espaço amostral. Explica que o espaço amostral são os resultados possíveis de um experimento aleatório e dá exemplos como lançar uma moeda ou um dado. Define eventos como subconjuntos do espaço amostral e calcula a probabilidade de eventos usando a fórmula P(A)=n(A)/n(U), onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(U) é o número total de elementos do espaço amostral.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, eventos complementares, eventos independentes, eventos mutuamente exclusivos e probabilidade condicional. Fornece exemplos de cada conceito e exercícios para aplicá-los.
1) O documento discute experimentos aleatórios, espaço amostral e cálculo de probabilidade usando exemplos de jogos de tabuleiro com dados.
2) Um espaço amostral representa todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, como os números de 1 a 6 para um dado regular.
3) A probabilidade é a chance de um evento ocorrer, como tirar um número par em um dado, e é calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo total de resultados possíveis.
O documento discute probabilidades, definindo conceitos como experimento, evento, evento simples e espaço amostral. Explica que probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. Apresenta exemplos de cálculo de probabilidades usando esses conceitos.
Este documento fornece uma introdução à teoria elementar de probabilidades. Discute conceitos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, operações com eventos e axiomas da probabilidade. Explica como calcular a probabilidade de eventos simples em experimentos aleatórios como lançar dados e retirar cartas de um baralho.
1) O documento discute probabilidades de eventos simples e simultâneos, como a probabilidade de retirar uma bola verde de uma sacola ou três moedas caírem com a mesma face.
2) É apresentada a fórmula para calcular a probabilidade de eventos simultâneos e independentes ocorrerem.
3) Exemplos resolvem problemas de probabilidade de eventos consecutivos, como a probabilidade de uma mulher engravidar no quarto mês de tentativas.
Esta apostila introduz conceitos básicos de probabilidade, como experimento aleatório, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, união e interseção de eventos, eventos complementares e probabilidade condicional. Apresenta fórmulas para cálculo de probabilidades e exemplos ilustrativos.
Esta apostila introduz conceitos básicos de probabilidade, como experimento aleatório, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, união e interseção de eventos, eventos complementares e probabilidade condicional. Apresenta fórmulas para calcular a probabilidade de eventos e exemplos ilustrativos.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos e cálculo de probabilidades. 2) Apresenta exemplos de espaços amostrais e eventos em lançamentos de dados e retiradas aleatórias de bolas de urnas. 3) Explica propriedades da probabilidade de eventos e introduz o conceito de probabilidade condicional.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos e cálculo de probabilidades. 2) Apresenta exemplos de espaços amostrais e eventos em lançamentos de dados e retiradas aleatórias de bolas de urnas. 3) Explica propriedades da probabilidade de eventos e introduz o conceito de probabilidade condicional.
O documento discute os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, operações com eventos como união e interseção, e exemplos numéricos de cálculo de probabilidades.
O documento introduz conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, definições clássica e frequentista de probabilidade, probabilidade condicional, teoremas da soma e da probabilidade total e teorema de Bayes.
Este documento apresenta o resumo da primeira aula sobre matrizes e determinantes. Nele, o autor introduz o assunto, explicando que este tem sido cobrado com frequência em provas. Em seguida, resolve exercícios para revisar o conteúdo anterior e introduzir o tema da aula: matrizes.
Este documento introduz os conceitos fundamentais da teoria das probabilidades, como: eventos aleatórios versus deterministas, espaço amostral, eventos possíveis, cálculo de probabilidades usando a lei de Laplace. A teoria das probabilidades surgiu no século XVII a partir de problemas relacionados a jogos de azar, mas hoje tem aplicações em diversas áreas como economia, medicina e física.
Aula12_estatistica.NOÇÕES DE PROBABILIDADEMeirianeSilva5
Este documento apresenta os conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, probabilidade da união e interseção de eventos, e eventos complementares. Vários exemplos ilustram esses conceitos-chave.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de probabilidade e crenças para sistemas de inteligência artificial. Discute como crenças podem ser representadas numericamente através de probabilidades para apoiar o raciocínio de agentes. Também introduz noções como espaço amostral, eventos, variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade para modelar incerteza.
Aula 14 matrizes e determinantes (parte i )Mcxs Silva
1) O documento apresenta uma aula sobre matrizes e determinantes, um tópico frequente em provas de concursos públicos.
2) São discutidos 5 exercícios resolvidos como dever de casa. As resoluções utilizam raciocínio lógico e probabilidade.
3) A próxima aula continuará o estudo de matrizes e determinantes.
Aula 14 matrizes e determinantes (parte i )Helio Kentron
1) O documento apresenta um resumo de uma aula sobre matrizes e determinantes.
2) É dado que este assunto tem aparecido com frequência em provas de concursos de nível médio e superior.
3) A aula começa resolvendo exercícios de probabilidade como preparação para o assunto principal sobre matrizes.
1) A teoria das probabilidades surgiu no século XVII a partir de problemas relacionados a jogos de azar, sendo desenvolvida por matemáticos como Pascal e Fermat.
2) Experiências podem ser deterministas, com resultado previsível, ou aleatórias, com resultado imprevisível dependendo do acaso.
3) A teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer, considerando o espaço amostral de resultados possíveis e os casos favoráveis a cada evento.
Este documento introduz os conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo: (1) experimentos aleatórios e seus espaços amostrais, (2) definição de eventos e cálculo de probabilidades, (3) eventos mutuamente exclusivos, complementares e independentes. Exemplos ilustram esses conceitos-chave.
1) A teoria da probabilidade surgiu para estudar jogos de azar e permite calcular a chance de eventos aleatórios.
2) Experimentos aleatórios são aqueles que podem ter resultados diferentes em repetições nas mesmas condições.
3) O espaço amostral representa todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo: (1) acontecimentos, resultados possíveis e probabilidades calculadas como a razão entre casos favoráveis e casos possíveis; (2) propriedades como probabilidades entre 0 e 1; (3) esquemas como tabelas de dupla entrada, diagramas de árvore e Venn para facilitar contagens.
1. O documento introduz conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade clássica, frequência relativa e independência.
2. É apresentada a história do desenvolvimento da teoria das probabilidades desde os séculos XVII-XIX.
3. Conceitos como experimento probabilístico, evento, ponto amostral, eventos especiais como impossível e certo são definidos.
1. O documento apresenta os conceitos básicos da teoria da probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade condicional e teoremas da probabilidade.
2. São definidos experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade, eventos reunião, intersecção, complementares e mutuamente exclusivos.
3. A probabilidade de um evento é definida matematicamente como a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis. Teoremas da probabilidade
3. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
Estamos agora em condições de
estabelecer um importante resultado que
felizmente é obvio.
Muitas vezes interessa-nos saber a
probabilidade de não-ocorrência de um
evento.
3
4. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
Por exemplo, se no jogo de dois dados
estamos interessados em não obter 7, é
claro que se há uma chance de 1/6 de
obter 7, então há 5/6 de chance de não
obter 7.
4
5. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
Pode-se demonstrar isso. Seja A o evento
que consiste em não obter 7.
Então A contém 30 resultados:
5
6. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
Portanto,N(A) = 30 e Pr(A) = 30/36 = 5/6.
De modo geral, se p é a probabilidade de
ocorrência de um evento A, então 1 – p é
a probabilidade de não-ocorrência
daquele evento.
Daremos um nome especial ao conjunto
que contém todos os resultados que não
estão em A.
6
7. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
É ele o complemento de A; escreve-se cA (o c
minúsculo representa complemento – lê-se
“complemento de A” ou “complementar de A”):
Pr(cA) = 1 – Pr(A)
Este resultado é importante para os cálculos,
pois às vezes é mais fácil calcular a
probabilidade de não-ocorrência de um evento
do que a probabilidade de sua ocorrência.
7
8. Probabilidade de Não-Ocorrência
de um Evento
Por exemplo:
Se o experimento consiste na jogada de
uma moeda, e A é o evento aparecer
cara, então A é o evento aparecer coroa.
8
9. Probabilidade e União
Suponhamos agora que nos interesse o
total 5 ou 7 na jogada de dois dados.
Não raro precisamos saber a
probabilidade de ocorrência de um ou
outro ou ambos os eventos – daqui para
frente a conjunção ou será usada no
sentido de pelo menos um.
9
10. Probabilidade e União
Chamemos A o evento obter 7.
Então A contemos resultados: {(1.6) (2.5)
(3.4) (4.3) (5.2) (6.1)}
Se B é o evento obter 5, então B
contemos resultados: {(1.4), (2.3), (3.2),
(4.1)}
10
11. Probabilidade e União
Seja C o evento obter 5 ou 7.
Então C contém os resultados seguintes:
{(1.6), (2.5), (3.4), (4.3) (5.2) (6.1), (1.4),
(2.3) , (3.2) , (4.1)}
C contém 10 resultados e, assim,Pr(c)=
10/36.
11
12. Probabilidade e União
Há um nome especial para o conjunto que
contém todos os elementos de um ou
outro de dois conjuntos.
É chamado a união dos dois conjuntos.
Em matemática a palavra união é
representada por um símbolo que se
assemelha a um u: U.
12
13. Probabilidade e União
Podemos pois dizer que C é a união de
dois conjuntos A e B escrevendo:
13
14. Probabilidade e União
Se A é conjunto dos números pares e B é
o conjunto dos números ímpares, então A
é o conjunto das vogais de todos os
números inteiros.
Se V é o conjunto das vogais e I é o
conjunto das consoantes, então V U C é o
conjunto de todas as letras (o alfabeto).
14
15. Probabilidade e União
Há outro fato interessante que o exemplo
dos dados nos ensina.
Dissemos que a probabilidade de obter 7
= Pr(A) = 3/36, a probabilidade de obter 5
= Pr(B) = 4/36 e a probabilidade de obter
5 ou 7 = Pr (A ou B) = Pr(A U B) = 10/36.
15
16. Probabilidade e União
Parece que basta somar as
probabilidades dos dois eventos para
obter a probabilidade de ocorrência de
pelo menos um deles, pois 10/36 = 6/36 +
4/36.
Essa regra, extremamente simples, em
geral funciona:
Pr(A ou B) = Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B).
16
17. Probabilidade e União
Mas esse resultado só é válido quando não há
possibilidade de os eventos A e B ocorrerem
simultaneamente.
Eis um exemplo de raciocínio incorreto:
joguemos uma moeda duas vezes.
Como a probabilidade de aparecer cara na
primeira jogada é 1/2 e a probabilidade de
aparecer cara na segunda jogada é também é
1/2, a probabilidade de aparecer cara na
primeira ou na segunda jogada é 1/2 + 1/2 = 1.
17
18. Probabilidade e União
É obvio que tal não é o caso. No exemplo
dos dados podíamos aplicar aquela
fórmula simples porque não é possível
obter 5 e 7 em uma única jogada de um
par de dados.
Dois eventos que nunca podem ocorrer
simultaneamente dizem-se disjuntos ou
mutuamente excludentes.
18
19. Probabilidade de uma Interseção
Consideremos agora o caso de dois
eventos que podem ocorrer
simultaneamente.
Suponhamos a extração de uma carta de
um baralho; queremos saber a
probabilidade de obter uma figura
vermelha – isto é, um valete vermelho,
uma dama vermelha ou um rei vermelho.
19
20. Probabilidade de uma Interseção
SejaF o evento extrair uma figura. Então
F contém esses resultados:
20
21. Probabilidade de uma Interseção
Como N(F) = 12, a probabilidade de obter
uma figura é de 12/52.
Seja Go evento extrair uma carta
vermelha; G contém os resultados:
|AC, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C,
10C, VC, DC, RC, AO, 2O, 3O, 4O, 5O,
6O, 7O, 8O, 9º, 10O, VO, DO, RO|
21
22. Probabilidade de uma Interseção
G contém 26 resultados e, assim, Pr(G) =
26/52 =½.
Seja C o evento que corresponde à
ocorrência de F e G – ou seja, C é a
extração de uma carta que é
simultaneamente uma figura e vermelha.
22
23. Probabilidade de uma Interseção
Então C contém os resultados:
|VO, VC, DO, DC, RO, RC|
Portanto, Pr(C) = N(C)/S= 6/52.
23
24. Probabilidade de uma Interseção
Háum nome especial para o conjunto que
contém todos os elementos que estão
simultaneamente em dois outros, A e B.
Em nosso caso C é a interseção de F e
G, porque contém os resultados que
estão simultaneamente em F e em G.
24
25. Probabilidade de uma Interseção
O símbolo para a interseção se assemelha a um
u invertido: ∩.
Podemos então escrever:
C = conjunto que contém os elementos F e em
G
C = F interseção G ou
C=F∩G
25
26. Princípio da Multiplicação
Quando temos um conjunto (A) de
resultados igualmente prováveis (ou
equiprováveis), a probabilidade de um
deles, ocorrer é dada por:
26
27. Princípio da Multiplicação
Onde:
NA - É o número de resultados em A e,
S - É o número total de resultados
possíveis.
Assim, desde que possamos determinar
esses dois números – N(A) e S –
resolvemos o problema.
Podemos então calcular diretamente a
probabilidade. 27
28. Princípio da Multiplicação
A parte importante do cálculo de
probabilidade é a contagem dos resultados
correspondentes a um dado evento.
Se não forem muitos, poderemos relacioná-
los um a um; mas, em situações mais
complicadas, o número de resultados logo se
torna demasiadamente grande para permitir
uma listagem.
28
29. Princípio da Multiplicação
Suponha que queiramos adquirir um carro.
Escolhemos o modelo: perua. Agora vamos
escolher:
Cor: vermelho, azul, verde ou branco,
Número de portas: 4 portas, 2 portas.
29
30. Princípio da Multiplicação
CARRO: PERUA
COR NÚMERO DE PORTA
Verde 4 2
Branco 4 2
Vermelho 4 2
Azul 4 2
Vamos ter como resultado N(A) = 4x2 = 8
Resultados possíveis
30
31. Princípio da Multiplicação
Dando uma formulação geral para esse
principio, consideremos dois
experimentos.
O primeiro comporta qualquer um dentre
n resultados, e o segundo admite
qualquer um dentre m resultados
possíveis.
31
32. Princípio da Multiplicação
Suponhamos ainda que possa ocorrer
qualquer combinação dos dois resultados.
Então,o número total de resultados dos
dois experimentos é: n x m
32
33. Princípio da Multiplicação
Esse resultado óbvio, costuma se chamar
princípio da multiplicação.
Porexemplo, jogando duas moedas, cada
uma pode apresentar dois resultados, logo,
o número total de resultados é 2 x 2 = 4.
33
34. Amostragem
Existem vários procedimentos de amostragem
probabilística ou aleatória de uma população.
Sendo a amostragem aleatória simples o
procedimento mais fácil de ser aplicado, pois
todos os elementos da população possuem a
mesma probabilidade de pertencer à amostra.
Amostragem aleatória simples : Esse
procedimento de possui dois critérios, Com
reposição, e sem reposição.
34
35. Amostragem
Se a população for infinita qualquer
procedimento, não afetará o resultado.
Se, no entanto, a população for finita,
teremos que diferenciar os
procedimentos, pois, a cada retirada
afetará o resultado.
35
36. Amostragem Sem reposição
A amostragem sem reposição é mais eficiente,
pois, reduz a variabilidade. Cada elemento só
pode ser tirado uma vez uma vez.
Considerando que N = população e n =
amostra, então o número de amostras possíveis
de acordo com os dois critérios citados acima
será:
Com reposição: Número de amostras = Nn
Sem reposição:
Número de amostras =
36
37. Sem reposição
Exemplo: Considere a população P = {1, 3, 5, 6}.
Em seguida, observe os cálculos do número de
amostras através dos procedimentos de
amostragem com e sem reposição, para
tamanhos de amostras de 1 e 3.
Tamanho de amostra (n) = 2
Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras
possíveis será:
4!/ (2!(4-2)! = 24/4 = 6 resultados
As amostras serão: (1,3) (1,5) (1,6) (3,1) (3,5) (3,6).
37
38. Sem reposição
Tamanho de amostra (n) = 3
Como N = 4 e n = 3, então o número de amostras
possíveis será:
As amostras serão: (1,3,5) (1,3,6) (1,5,6) (3,5,6).
Observe que os grupos de amostras não se
repetem, ou seja, a ordem dos elementos dentro
do grupo não é relevante no método de
amostragem simples sem reposição.
39. Com reposição
Tamanho de amostra (n) = 2
Como N = 4 e n = 2, então o número de amostras
possíveis será: Nn = 42 = 16
As amostras serão: (1,1) (1,3) (1,5) (1,6) (3,1)
(3,3) (3,5) (3,6) (5,1) (5,3) (5,5) (5,6) (6,1) (6,3)
(6,5) (6,6).
Observe, por exemplo, que as amostras (1,3) e
(3,1) são consideradas diferentes, porque a
ordem dos elementos dentro das amostras é
relevante no método de amostragem simples
com reposição. 39
40. Com reposição
Tamanho de amostra (n) = 3
Como N = 4 e n = 3, então o número de amostras
possíveis será:
Nn = 43 = 64
As amostras serão: (1,1,1) (1,1,3) (1,1,5) (1,1,6) (1,3,1)
(1,3,3) (1,3,5) (1,3,6) (1,5,1) (1,5,3) (1,5,5) (1,5,6) (1,6,1) (1,6,3)
(1,6,5) (1,6,6) (3,1,1) (3,1,3) (3,1,5) (3,1,6) (3,3,1) (3,3,3) (3,3,5)
(3,3,6) (3,5,1) (3,5,3) (3,5,5) (3,5,6) (3,6,1) (3,6,3) (3,6,5) (3,6,6)
(5,1,1) (5,1,3) (5,1,5) (5,1,6) (5,3,1) (5,3,3) (5,3,5) (5,3,6) (5,5,1)
(5,5,3) (5,5,5) (5,5,6) (5,6,1) (5,6,3) (5,6,5) (5,6,6) (6,1,1) (6,1,3)
(6,1,5) (6,1,6) (6,3,1) (6,3,3) (6,3,5) (6,3,6) (6,5,1) (6,5,3) (6,5,5)
(6,5,6) (6,6,1) (6,6,3) (6,6,5) (6,6,6).
40
41. Amostragem com reposição
A amostragem significa a escolha de
alguns elementos de um conjunto maior
chamado população.
De modo geral, se escolhermos n objetos,
com reposição, de uma população de m
objetos, então temos m maneiras de
selecionar os objetos.
41
42. Amostragem com reposição
A idéia fundamental da amostragem com
reposição é que, escolhido um elemento,
nada impede que esse elemento volte a
ser escolhido.
A jogada de uma moeda é um exemplo de
amostragem com reposição.
A população tem tamanho 2: caras (K) e
coroas (C).
42
43. Amostragem com reposição
O fato de obtermos cara não impede que
obtenhamos cara novamente na próxima
jogada.
Portanto, jogando-se uma moeda n vezes,
temos 2 resultados possíveis.
43
44. Probabilidade Condicional
Suponha-se, por exemplo, que queiramos
saber a probabilidade de obter o total de 8
na jogada de dois dados (62 =36).
=36)
É claro que essa probabilidade é 5/36.
(2,6), (3,5);(4,4); (5,3),(6,2)
Entretanto, jogando um dos dados
primeiro, teremos uma idéia melhor da
possibilidade de obter 8.
44
45. Probabilidade Condicional
Se, por exemplo, obtemos um 5 como
primeiro dado, precisamos de um 3 no
segundo, e a probabilidade desse
resultado é de 1/6.
Portanto se o primeiro dado acusou 5,
nossa chance de obter o total 8 melhorou
de 5/36 para 1/6.
45
46. Probabilidade Condicional
Por outro lado, suponhamos que o
primeiro dado tenha apresentado a face 1.
Então não há como obtermos o total de 8,
qualquer que seja o resultado do segundo
dado.
46
47. Probabilidade Condicional
Por conseguinte, a probabilidade de
obtermos a soma 8, quando temos 1
como resultado do primeiro dado, é zero.
47
48. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
A situação acima é exemplo de
probabilidades condicional.
Probabilidade condicional: É a probabilidade
de ocorrência de um evento em
consequência de outro que já ocorreu.
A probabilidade condicional de ocorrência de A,
dado que B ocorreu, se escreve: Pr(A|B) (A
barra vertical significa dado que)
48
49. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
Devemos agora determinar como calcular
probabilidades condicionais.
Em circunstâncias usuais, a probabilidade de
ocorrência de A é N(A)/S, em que S é o número
total de resultados e N(A) é o número de
eventos em A.
Mas sabemos que nem todos esses resultados
são possíveis se B ocorreu, apenas os
resultados em B devem ser considerados.
49
50. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
Portanto, o número de possibilidades é N(B).
A questão seguinte é quantas dessas
possibilidades restantes incluem o evento A?
De modo global, há N(A) maneiras de A
ocorrer, mas agora nem todas essas
maneiras são possíveis.
50
51. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
Portanto, o número de resultados
possíveis em que o evento A pode acorrer
é igual ao numero de resultados que
estão tanto em A como em B.
Ora já demos um nome a esse evento: A
eB=A∩B
51
52. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
O evento em que ambos, A e B, ocorrem
é chamado A interseção B.
Portanto, a probabilidade de o evento A
ocorrer, dado que B ocorreu é:
52
53. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
Podemos reescrever essa fórmula
dividindo ambos os membros por s:
53
54. Cálculo de Probabilidade
Condicionais
A probabilidade de A ocorrer, sendo que
B ocorreu, é igual à probabilidade de
ocorrências simultâneas de A e B dividida
pela probabilidade de ocorrência de B.
54
55. Eventos independentes
O conhecimento da ocorrência de um
evento auxilia na avaliação da viabilidade
de outro evento.
Há, entretanto, alguns casos em que o
conhecimento da ocorrência de um
evento nada diz sobre a possibilidade da
ocorrência de outro.
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56. Eventos independentes
Suponhamos, por exemplo, que você
saiba que uma família acaba de ter uma
filha.
Qual é a probabilidade de o próximo
rebento de mesma família ser também
menina?
Nesse caso o conhecimento a respeito do
ultimo filho nada nos diz quanto ao
próximo.
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57. Eventos independentes
Suponhamos que apareça um 3 na
jogada de um dado.
Qual a probabilidade de aparecer um 5 na
próxima jogada?
O fato de sabermos que apareceu um 3
na primeira jogada nada nos diz a
respeito do resultado da próxima jogada.
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58. Eventos independentes
Nesse caso, chamado A o evento 3 na
primeira jogada e B o evento 5 na
segunda jogada.
Pr(A) = 1/6 e Pr(|B) = 1/6, pois o fato de B
ter ocorrido não afeta a probabilidade de
ocorrência de A.
58
59. Eventos independentes
Daremos um nome especial a essa
situação, diremos que esses dois eventos
são eventos independentes.
O fato de sabermos que um dos eventos
ocorreu nada nos diz sobre se o outro
ocorrerá ou não.
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60. Exercício 5
1. Fale sobre a amostragem com reposição
e sem reposição
2. Disserte sobre a probabilidade
condicional.
3. Uma família teve um bebê do sexo
masculino. Qual a probabilidade do
próximo bebê também ser um menino?
Explique.
4. Explique eventos independentes.
5. Fale sobre a união de dois conjuntos.
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61. 6. O que são “elementos disjuntos”? Explique.
7. Quando um empregado é um elemento de
interseção ou disjunto?
8. O que seria óbvio a morte de um trabalhador
que estava sem EPI ou a sua sobrevivência
por estar usando EPI? Explique.
9. Qual a probabilidade de acontecer um
acidente num canteiro de obras? Explique.
10. Em sua opinião a probabilidade de acontecer
um acidente num escritório é a mesma da
construção civil? Sim ou não. Por quê?
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